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LEYES DE EXPONENTES PROBLEMAS RESUELTOS TIPO EXAMEN DE ADMISION A LA UNIVERSIDAD














TEORIA DE EXPONENTES La Teoría de Exponentes tiene por objeto estudiar todas las clases de exponentes que existen y las relaciones que se dan entre ellos. La operación que permite la presencia del exponente es la potenciación, la cual se define así: POTENCIACIÓN Es la operación que consiste en repetir un número llamado base tantas veces como factor, como lo indique otro llamado exponente; al resultado de esta operación se le denomina potencia, y se representa así: POTENCIAS EN LOS REALES NOTACiÓN UTILIZADA • Si "n" es negativo, "a" deberá ser distinto de cero. DEFINICIONES 1. Exponente Natural: Va E IR Á n E N Asf tenemos: 5°=1; (_2)°=1; 0°=1; 31 =3; ~ =2·2·2=8 11. Exponente negativo: ASI tenemos: 1.1C) TEOREMAS l. Multiplicación de potencias con bases Iguales: • AsI Tenemos: 11. División de potencias con bases iguales: 10 Asf tenemos: ~ = x 10 - 4 = x6 4 • X 111. Potencia de Potencia: a E IR Á m; n E Z+ ( As f tenemos: x 2)5 = x 2·5 = x1 0 IV. Potencia de Producto: Asftenemos: (X .y)4=X4 .y4 v. Potencia de Cociente: Asf Tenemos: (; J = ~ ; •• •• •• •• •• •• •• •• • 1.1D) PROPIEDAD: EXPONENTES SU- • CESlVOS: xERm.n.pEZ+· • Ejemplo: Simplificar Resolución: Sea la expresión dada: E = x3 . ; · x3 .. . 20 Factores x4 . x4 • x4 . •. 14 Fa c t or e s Por exponente natural: •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• Por Teoremas Tenemos: 1.2 RADICACION EN R 1.2A) NOTACiÓN UTILIZADA (*) Si "n" es par, "a" deberá ser no negativo. 1.28) DEFINICIONES Asf Tenemos: W=2~8=23 J9 =3 ~9=32 {/- 32 = -2 ~ -32 = (_2)5 1 1 Tenemos: ~=5; ~=43; J5=52 m 111. a E IR; m E Z A n E z+ I 3a n E IR Asf Tenemos: (_8)~= ~(_8)2 = ~(_8) 2= (_2)2= 4 3 - 1.3 3 42 = ,,4 = 2 = 8 1.2C) TEOREMAS Asf Tenemos: VX · ~ = 'ifXY; lf,i . ~ = lf4X Asf Tenemos: VX = Jx ; ~ = 3/x W Vy ~ '15 . 111. a ElRl\ mn EíZ+13~.'\Y'~ EIR Asf Tenemos: ~VX = 5·VX = 1~ ; 1.20) PROPI EDADES •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• Asf tenemos: Asf Tenemos: ~ x~ x../ x ... 50Radica les Tenemos: • ~ x4 7 ~ x3 7 VX = 5 ·4 ·W( 4 ·4 - 3 )-3 + 1 = ~40 •• •• •• •• •• •• •• •• Asf Tenemos: 1.2E) CASOS ESPECIALES AsrTenemos: ~4~4V4 ... = 3-.J4 = J4 = 2 As! Tenemos: ~125 + J125 + .J125 + ... = 2+.y125 = V125 = 5 1.3INTRODUCCION A LAS ECUACIONES TRASCENDENTES 1.3A)DEFINICIÓN Las ecuaciones trascendentes son igualdades donde al menos uno de sus miembros presenta a la letra incógnita formando parte de una expresión no algebraica .Veamos algunos ejemplos: 3x+1 = 81 ; 2x - x = 5 ; K = 3 ; log~ -x=l ; etc 1.3.B)ECUACIÓN EXPONENCIAL Es un caso particular de una ecuación trascendente. aqu! la incógn ita siempre se presenta formando parte de algún exponente .Veamos algunos ejemplos: 1. Teorema: Va E jR+ - {1} •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• • Si: a" = aY => x = y Veamos un -ejemplo: 5x- 2 = 58- x =:> x - 2 = 8 - x 2x=10 :. x = 5 Propiedad: {a. b} e jR+ - {1}1 a '* b Si: a" = b" =:> x = O Veamos un ejemplo: :. x=2 /' Ejemplo: Calcular x en: x = 5 Resolución: /' . La ecuación dada es: x = 5 Dando forma al segundo miembro tenemos: /' sr;:s x ='15 Ahora por analog!a: x = V5 Nota: Debemos indicar que el método de analog!a sólo nos brinda una solución. pudiendo existir otras Ejemplo: Calcular x en: ifX = .J2 Resolución: La ecuación dada es: ifX = if2. . De donde es evidente que : x = 2 Pero.J2 < > ~, luego: ifX = V4. De donde también resulta: x = 4 1.3C)PROPIEDADESADICIONALES: =n ; n EQ+ Entonces un valor de x sera: x = ifñ x· 11. Si : XX = n Tiene solución, entonces: O m=1 - - 10 1 .. m=- 10 ítl!!l Si x E N - {0:1} Simplificar: 31s-x + 125x + 31Sx + 125- x V~1 +103x Resolución: Supongo que "E" es equivalente de nuestra expresión, luego por definición y teoremas tenemos: 3x 1 +(S .125)X +3x (S ·125)X +1 E=_'~~_-~s_x-r==~'V~~12~5~X __ 3~1 + (103)X •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• ••... 3x 1 + 1000x + 3x 1000x + 1 E=_'~~~s~xr=='~\~12=5_X_ 311 + 1000x Simplificando factores comunes y cancelado signo radical , tenemos: E=2.+2.= 5+2 2 5 2·5 7 .. E=- 10 Itlml ¿Cuál es el valor que asume "x" en: 45x - 3 . S2x+l = 16x+2? Resolución: Expresando cada base en función de la base 2 y dando uso de los teoremas tenemos: Por Teorema: 16x-3 = 4x+S ~12x =11 11 .. x=- 12 m Deter mine x en: sx+2 S ~ S12- x 243 = 3 Resolución: Expresando la base de la potencia del primer miembro en función de la base 3. tenemos: S12- x Por Teorema: 3s oSX+2 = 3--SXs x+3 S12- 2x 3 =3 x + 3 = 12 - 2x <=> 3x = 9 :. x=3 Siendo 2- solución de: m Determine el valor numéri co de: mm+l Resolución: La ecuación propuesta es: •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• • Hagamos que 22x = b • luego podemos notar que b > O. ahora la ecuación ser á: 5 9 b+ - - -=O 2 b De donde se cumple que: 2b2 + 5b - 18 = O 2b t 9 b~-2 (2b+9)(b - 2) =O Con lo cual obtenemos: 9 b == -- v b = 2 2 Pero recuerda que b > O; luego: b =2 <=> ~x =2 Finalmente tenemos: 1 2x = 1 <=> x = - 2 Por condición se plantea : 1 1 - =- ::::::> m = 2 m 2 :. ~1=8 m Si : x 2x2_2x - 1 = x Proporcionar el valor numérico de x 2 + x -2 Resolución: De acuerdo con la teoría una ecuación trascendente se podrá resolver por comparación, veamos: 2 X 2x -2x -1 = x 2 X 2x -2x = X + 1 Por Teorema tenemos: Multipl icamos por X2: Dando forma obtenemos: 2 2 (2)X ( ) [ 21x + 1 X . X = x+1 . x- ) De donde notamos que: X2 = x + 1 Ahora al dividir por x X2 X 1 - =-+- X X X x=1+x-1 •• ••• •• •• •• •• .•- •• .•- •• •• •• •• .••' •• •• ••.. •• •• •• •• •• • x-x-1 = 1 Elevando al cuadrado: x 2 - 2( x·x- 1) +x -2 = 1 '--,,---' xO ~1 It mI x 6 ,. Si: x = ,,r2;; .J2 . Calcular el valor Resolución: Con la finalidad de encontrar cierta analogía elevaremos a cada miembro de nuestra ecuación al exponente 6, veamos. Ahora notamos que: x 6 = .J8 Suponiendo que: k = X 24 - X12 + 1 Finalmente Tenemos: k =(J8f - (J8f +1 k = 64 - 8+1 :. k=57 rml S" x2 , 4~ ~ 1. X = 8 Calcular: x'J¡g Resolución: •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• Nuestra estrategia para resolver este • problema consistirá en dar forma a la • parte numérica, tomando como mode- • lo la parte literal , veamos. • Observa que: 3 = ~27 = ~9 · 3 = W · ~, ahora en nuestra ecuación tenemos: simplificando obtenemos: x ,:2 = 2~4~ •• •• •• •• •• ••• •• •• •• •• • j ~J2 x x2 =(2~23 Por comparación : x = 2'113 Finalmente tenemos: :. x~ = 8 m Determine .,¡; ; sabiendo que: x 1 x =rz Resolución: La ecuación propuesta se puede reescribir así: Por analogía: 1 x =- 16 íFF11 Sabiendo que: Calcular: Resolución: De acuerdo con el primer caso especial, la expresión solicitada se transforma en: E = ,J2-~~ .. , (01) De la condición: Por comparación: 2 = x.Jz Con la cual tenemos : ..JV2 = x Ahora dando forma: •• •• •• •• •• •• .•' •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• '.• •• •• •• • .Jz,.Jz¡;:; .Jz ,,2 = x .. ,(02) Finalmente (02) en (01): :. E=.J2 m Determinar el exponente final de x en F(x). donde: Resolución: La expresión F (x) se puede reescribir de la manera siguiente: F(x) = ?IX ' ~V ,~~V ,~~~~ " 1 2,3 ' 4 - "2 ~ '4 F(x) = x5 ,x5 ,x5 ,x5 1 2 3 ' 4 -+"2+~+'4+'" F(x) = x 5 5 5 5 Sea "E" el exponente final de x, luego se plantea: Con la finalidad de obtener una serie auxiliar mu(tip(icamos a cada miem- • bro por el menor denominador, esto • es 5, luego tenemos: • •• 2 3 4 5 5E =1 +-+2+3+4+'" 555 5 (02) Ahora restamos convenientemente (02) - (01), quebrados homogéneos, y obtenemos. 1 1 1 4E=1+-+ 2 + 3 +··· 5 5 5 Finalmente aplicamos el siguiente teorema de series: 1 + x + x 2 + x 3 + .. . 1 = --; O < x < 1 1 4E =-- 1 1-- 5 1-x ~ 4E=~ 4 5 .. E=- 16 •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• • ¡fCII Determine un valor de x en: - Resolución: rz \ V-: Supongamos que cada expresión infi nita en el límite sea igual al número real "m", luego se plantea : 1) = m En el proceso de límite: xl+m = m l+mr x= "l/m 11) =m En el proceso de límite: ~: = m 111) De (1) y (11) podemos establecer que: 1+n:.¡,; = ~m 3 1 3 m l +m = m S Por teorema tenemos: _1_ = ~ . 1 +m 5 2 = 3m ~ 3m =2 2 m =- 3 Pero recuerda que: x = ~m3 Finalmente tenemos : x = ~(~r .. X= ~287 IUBI Si: a >bta l que: