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TEORIA DE EXPONENTES
La Teoría de Exponentes tiene por objeto estudiar todas las clases de exponentes que existen y las relaciones que se dan entre ellos.
La operación que permite la presencia del exponente es la potenciación, la cual se define así:
POTENCIACIÓN
Es la operación que consiste en repetir un número llamado base tantas veces como factor, como lo indique
otro llamado exponente; al resultado de esta operación se le denomina potencia, y se representa así:
POTENCIAS EN LOS REALES
NOTACiÓN UTILIZADA
• Si "n" es negativo, "a" deberá ser distinto
de cero.
DEFINICIONES
1. Exponente Natural: Va E IR Á n E N
Asf tenemos:
5°=1; (_2)°=1; 0°=1; 31 =3;
~ =2·2·2=8
11. Exponente negativo:
ASI tenemos:
1.1C) TEOREMAS
l. Multiplicación de potencias con bases
Iguales:
• AsI Tenemos:
11. División de potencias con bases iguales:
10
Asf tenemos: ~ = x 10 - 4 = x6
4 •
X
111. Potencia de Potencia: a E IR Á m; n E Z+
(
As f tenemos: x 2)5 = x 2·5 = x1 0
IV. Potencia de Producto:
Asftenemos: (X .y)4=X4 .y4
v. Potencia de Cociente:
Asf Tenemos: (; J = ~ ;
•• •• •• •• •• •• •• •• • 1.1D) PROPIEDAD: EXPONENTES SU- •
CESlVOS: xERm.n.pEZ+· •
Ejemplo: Simplificar
Resolución: Sea la expresión dada:
E = x3
. ; · x3
.. . 20 Factores
x4
. x4
• x4
. •. 14 Fa c t or e s
Por exponente natural:
•• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• ••
Por Teoremas Tenemos:
1.2 RADICACION EN R
1.2A) NOTACiÓN UTILIZADA
(*) Si "n" es par, "a" deberá ser no negativo.
1.28) DEFINICIONES
Asf Tenemos:
W=2~8=23
J9 =3 ~9=32
{/- 32 = -2 ~ -32 = (_2)5
1 1
Tenemos: ~=5; ~=43; J5=52
m
111. a E IR; m E Z A n E z+ I 3a n E IR
Asf Tenemos:
(_8)~= ~(_8)2 = ~(_8) 2= (_2)2= 4
3
- 1.3 3 42 = ,,4 = 2 = 8
1.2C) TEOREMAS
Asf Tenemos: VX · ~ = 'ifXY;
lf,i . ~ = lf4X
Asf Tenemos: VX = Jx ; ~ = 3/x
W Vy ~ '15
.
111. a ElRl\ mn EíZ+13~.'\Y'~ EIR
Asf Tenemos: ~VX = 5·VX = 1~ ;
1.20) PROPI EDADES
•• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• ••
Asf tenemos:
Asf Tenemos:
~ x~ x../ x ... 50Radica les
Tenemos:
• ~ x4 7 ~ x3 7 VX = 5 ·4 ·W( 4
·4 - 3 )-3 + 1 = ~40 •• •• •• •• •• •• •• ••
Asf Tenemos:
1.2E) CASOS ESPECIALES
AsrTenemos: ~4~4V4 ... = 3-.J4 = J4 = 2
As! Tenemos: ~125 + J125 + .J125 + ...
= 2+.y125 = V125 = 5
1.3INTRODUCCION A LAS
ECUACIONES TRASCENDENTES
1.3A)DEFINICIÓN
Las ecuaciones trascendentes son igualdades
donde al menos uno de sus miembros
presenta a la letra incógnita formando parte
de una expresión no algebraica .Veamos
algunos ejemplos:
3x+1 = 81 ; 2x - x = 5 ; K = 3 ;
log~ -x=l ; etc
1.3.B)ECUACIÓN EXPONENCIAL
Es un caso particular de una ecuación
trascendente. aqu! la incógn ita siempre se
presenta formando parte de algún
exponente .Veamos algunos ejemplos:
1. Teorema: Va E jR+ - {1}
•• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •
Si: a" = aY => x = y
Veamos un -ejemplo:
5x- 2 = 58- x =:> x - 2 = 8 - x
2x=10 :. x = 5
Propiedad: {a. b} e jR+ - {1}1 a '* b
Si: a" = b" =:> x = O
Veamos un ejemplo:
:. x=2
/'
Ejemplo: Calcular x en: x = 5
Resolución:
/' .
La ecuación dada es: x = 5
Dando forma al segundo miembro tenemos:
/' sr;:s
x ='15
Ahora por analog!a: x = V5
Nota: Debemos indicar que el método de
analog!a sólo nos brinda una solución.
pudiendo existir otras
Ejemplo: Calcular x en: ifX = .J2
Resolución:
La ecuación dada es: ifX = if2. . De donde es
evidente que : x = 2
Pero.J2 < > ~, luego: ifX = V4. De donde
también resulta: x = 4
1.3C)PROPIEDADESADICIONALES:
=n ; n EQ+
Entonces un valor de x sera: x = ifñ
x·
11. Si : XX = n
Tiene solución, entonces:
O
m=1 - -
10
1
.. m=-
10
ítl!!l Si x E N - {0:1} Simplificar:
31s-x + 125x + 31Sx + 125- x
V~1 +103x
Resolución:
Supongo que "E" es equivalente de
nuestra expresión, luego por definición
y teoremas tenemos:
3x 1 +(S .125)X +3x (S ·125)X +1
E=_'~~_-~s_x-r==~'V~~12~5~X __
3~1 + (103)X
•• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• ••...
3x 1 + 1000x + 3x 1000x + 1
E=_'~~~s~xr=='~\~12=5_X_
311 + 1000x
Simplificando factores comunes y cancelado
signo radical , tenemos:
E=2.+2.= 5+2
2 5 2·5
7
.. E=-
10
Itlml ¿Cuál es el valor que asume "x"
en: 45x - 3 . S2x+l = 16x+2?
Resolución:
Expresando cada base en función de
la base 2 y dando uso de los teoremas
tenemos:
Por Teorema:
16x-3 = 4x+S ~12x =11
11
.. x=-
12
m Deter mine x en:
sx+2 S ~ S12- x
243 = 3
Resolución:
Expresando la base de la potencia del
primer miembro en función de la base
3. tenemos:
S12- x
Por Teorema: 3s oSX+2 = 3--SXs
x+3 S12- 2x
3 =3
x + 3 = 12 - 2x <=> 3x = 9
:. x=3
Siendo 2- solución de:
m
Determine el valor numéri co de: mm+l
Resolución:
La ecuación propuesta es:
•• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •
Hagamos que 22x = b • luego podemos
notar que b > O. ahora la ecuación
ser á:
5 9
b+ - - -=O
2 b
De donde se cumple que:
2b2 + 5b - 18 = O
2b t 9
b~-2
(2b+9)(b - 2) =O
Con lo cual obtenemos:
9
b == -- v b = 2
2
Pero recuerda que b > O; luego:
b =2 <=> ~x =2
Finalmente tenemos:
1
2x = 1 <=> x = -
2
Por condición se plantea :
1 1
- =- ::::::> m = 2
m 2
:. ~1=8
m Si : x 2x2_2x - 1 = x Proporcionar el
valor numérico de x 2 + x -2
Resolución:
De acuerdo con la teoría una ecuación
trascendente se podrá resolver por
comparación, veamos:
2
X 2x -2x -1 = x
2
X 2x -2x = X + 1
Por Teorema tenemos:
Multipl icamos por X2:
Dando forma obtenemos:
2
2 (2)X ( ) [ 21x
+
1 X . X = x+1 . x- )
De donde notamos que:
X2 = x + 1
Ahora al dividir por x
X2 X 1
- =-+-
X X X
x=1+x-1
•• ••• •• •• •• •• .•- •• .•- •• •• •• •• .••' •• •• ••..
•• •• •• •• •• •
x-x-1 = 1
Elevando al cuadrado:
x 2 - 2( x·x- 1) +x -2 = 1
'--,,---'
xO ~1
It mI x
6 ,. Si: x = ,,r2;; .J2 . Calcular el valor
Resolución:
Con la finalidad de encontrar cierta
analogía elevaremos a cada miembro
de nuestra ecuación al exponente 6,
veamos.
Ahora notamos que: x 6 = .J8
Suponiendo que: k = X
24
- X12 + 1
Finalmente Tenemos:
k =(J8f - (J8f +1
k = 64 - 8+1
:. k=57
rml S" x2 , 4~ ~ 1. X = 8
Calcular: x'J¡g
Resolución:
•• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• Nuestra estrategia para resolver este •
problema consistirá en dar forma a la •
parte numérica, tomando como mode- •
lo la parte literal , veamos. •
Observa que: 3 = ~27 = ~9 · 3 = W · ~,
ahora en nuestra ecuación tenemos:
simplificando obtenemos:
x ,:2 = 2~4~
•• •• •• •• •• ••• •• •• •• •• •
j ~J2
x x2 =(2~23
Por comparación : x = 2'113
Finalmente tenemos:
:. x~ = 8
m Determine .,¡; ; sabiendo que:
x 1
x =rz
Resolución:
La ecuación propuesta se puede reescribir
así:
Por analogía:
1 x =-
16
íFF11 Sabiendo que:
Calcular:
Resolución:
De acuerdo con el primer caso especial,
la expresión solicitada se transforma
en:
E = ,J2-~~ .. , (01)
De la condición:
Por comparación: 2 = x.Jz
Con la cual tenemos : ..JV2 = x
Ahora dando forma:
•• •• •• •• •• •• .•' •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• '.• •• •• •• •
.Jz,.Jz¡;:; .Jz ,,2 = x
.. ,(02)
Finalmente (02) en (01):
:. E=.J2
m Determinar el exponente final de
x en F(x). donde:
Resolución:
La expresión F (x) se puede reescribir
de la manera siguiente:
F(x) = ?IX ' ~V ,~~V ,~~~~ "
1 2,3 ' 4
- "2 ~ '4
F(x) = x5 ,x5 ,x5 ,x5
1 2 3 ' 4
-+"2+~+'4+'"
F(x) = x 5 5 5 5
Sea "E" el exponente final de x, luego
se plantea:
Con la finalidad de obtener una serie
auxiliar mu(tip(icamos a cada miem- •
bro por el menor denominador, esto •
es 5, luego tenemos: • ••
2 3 4 5
5E =1 +-+2+3+4+'"
555 5
(02)
Ahora restamos convenientemente (02)
- (01), quebrados homogéneos, y obtenemos.
1 1 1
4E=1+-+ 2 + 3 +···
5 5 5
Finalmente aplicamos el siguiente teorema
de series:
1 + x + x 2 + x 3 + .. . 1 = --; O < x < 1
1
4E =--
1
1--
5
1-x
~ 4E=~
4
5
.. E=-
16
•• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •
¡fCII Determine un valor de x en:
-
Resolución:
rz \ V-:
Supongamos que cada expresión infi nita
en el límite sea igual al número
real "m", luego se plantea :
1)
= m
En el proceso de límite: xl+m = m
l+mr
x= "l/m
11)
=m
En el proceso de límite: ~: = m
111) De (1) y (11) podemos establecer que:
1+n:.¡,; = ~m 3
1 3
m l +m = m S
Por teorema tenemos: _1_ = ~ .
1 +m 5
2 = 3m ~ 3m =2
2
m =-
3
Pero recuerda que: x = ~m3
Finalmente tenemos : x = ~(~r
.. X= ~287
IUBI Si: a >bta l que:
