Matemáticas Preguntas Resueltas PDF

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LA RECTA EN EL PLANO EJERCICIOS RESUELTOS MATEMATICAS 1 BACHILLERATO PDF

1. En cada uno de los siguientes casos, calcula las coordenadas del vector cuyo origen es el punto A y cuyo extremo es el punto B: a) A(2, 3) y B(4, 5) b) A( 2, 4) y B( 4, 5) 2. a) Del vector PQ (5, 3) se sabe que P( 1, 2). Calcula las coordenadas del extremo Q. b) Del vector AB ( 2, 6) se sabe que B( 2, 4). Calcula las coordenadas del origen A. 3. Calcula las coordenadas de los puntos medios de los segmentos que tienen por extremos los puntos A y B en los siguientes casos: a) A(2, 3) y B( 4, 3) b) A( 2, 4) y B( 4, 6) 4. Calcula la ecuacio´n vectorial, las ecuaciones parame´tricas, la ecuacio´n general y la ecuacio´n explı´cita de la recta r en los siguientes casos: a) r pasa por el punto A( 1, 3) y tiene como direccio´n la del vector u ( 3, 2). b) Pasa por los puntos A( 1, 2) y B( 3, 4). c) Pasa por el punto A( 3, 4) y su pendiente vale m 2. 5. Calcula el punto de interseccio´n de las siguientes rectas: a) r: 2x 3y 5 0 s: 4x 3y 1 0 b) r: 2x 4y 12 0 s: x 3y 4 0 c) r: 3x 4y 7 0 s: 4x 3y 26 0 6. Comprueba si las siguientes rectas son secantes, paralelas o coincidentes. En el caso de que sean secantes, calcula el correspondiente punto de corte. a) r: 2x 3y 5 0 s: 4x 6y 1 0 b) r: 2x 4y 12 0 s: 3x 6y 18 0 c) r: x 2y 3 0 s: 2x 4y 6 0 7. Calcula la ecuacio´n de la recta s que pasa por el punto P(2, 3) y es paralela a la recta r en los siguientes casos: a) r: 2x y 0 b) r: 2x 3y 7 0 c) r: y 8 0 8. Decide en cua´les de los siguientes casos los puntos A, B y C esta´n alineados y en cua´les forman tria´ngulo. a) A( 1, 5), B(0, 3), C( 2, 7) b) A(1, 2), B(2, 7), C( 1, 3) 9. Calcula las ecuaciones de las medianas del tria´ngulo de ve´rtices A(1, 2), B(2, 7) y C( 1, 3). 10. Dado el tria´ngulo de ve´rtices A(3, 1), B(2, 2), C(0, 0). a) Calcula las coordenadas de su baricentro. b) Calcula las ecuaciones de las rectas que pasan por el baricentro y son paralelas a cada uno de los lados del tria´ngulo. c) Escribe la ecuacio´n del haz de rectas cuyo ve´rtice es el baricentro del tria´ngulo. 11. Calcula el valor de k para que la recta 2kx (3k 2) y k 0 pase por el punto A( 1, 5). 12. Calcula el valor de k para que la recta x (1 k) y 3 k 0 forme con los ejes coordenados un tria´ngulo de cuatro unidades cuadradas de a´rea. SOLUCIONES 1. a) AB (2, 2) b) AB ( 2, 9) 2. a) PQ q p q p PQ q ( 1, 2) (5, 3) (4, 5) Q (4, 5) b) a b AB a ( 2, 4) ( 2, 6) (0, 10) A (0, 10) 3. a) xm (2 4) 1 1 2 M( 1, 3) ym (3 3) 3 1 2 b) xm ( 2 4) 3 1 2 M( 3, 5) ym (4 6) 5 1 2 4. a) x ( 1, 3) t( 3, 2) x 1 3t y 3 2t 2x 3y 11 0 x 1 y 3 3 2 y x 2 11 3 3 b) x ( 1, 2) t( 2, 2) x 1 2t y 2 2t x y 1 0 x 1 y 2 2 2 y x 1 c) y 4 2(x 3) y 2x 10 2x y 10 0 x (0, 10) t(1, 2) x t y 10 2t 5. Se resuelve cada uno de los sistemas y se obtiene: a) P(1, 1) b) P( 2, 2) c) P(5, 2) 6. a) rectas paralelas 2 3 5 4 6 1 b) rectas coincidentes 2 4 12 3 6 18 c) rectas secantes con punto de corte 1 2 2 4 P 3 0, 2 7. a) s: 2x y 1 0 b) s: 2x 3y 13 0 c) s: y 3 0 8. A, B y C esta´n alineados si AB y AC son proporcionales. a) Esta´n alineados, pertenecen a la recta y 2x 3. b) Forman tria´ngulo. 9.M ,N ,P 1 5 3 9 , 5 0, , 2 2 2 2 Y O 1 1 C B A X N M P PA: y 6x 8 NB: y x 9 5 4 2 MC: y x 3 18 5 5 10. a) xG (3 2 0) 1 5 3 3 G 5 1 , 3 3 yG (1 2 0) 1 1 3 3 b) Recta paralela a AB y que pasa por G: y 3x 5 1 x y 3 3 16 1 3 3 9x 3y 16 0 Recta paralela a AC y que pasa por G: y x 5 1 x y 3 3 1 8 3 1 3 9 3x 9y 8 0 Recta paralela a BC y que pasa por G: y x 5 1 x y 3 3 4 2 2 3 3x 3y 4 0 c) (9x 3y 16) (3x 9y 8) 0 11. 2k 5(3k 2) k 0 16k 10 0 k 5 8 12. x (1 k) y 3 k 1 x y 3 k 3 k 1 k S 4 k2 2k 1 0 (3 k)2 2 2k k 1 1. Calcula los coeficientes a y b para que las rectas r: 3x 2 ay y s: 4y 5 bx sean paralelas, sabiendo adema´s que la primera de ellas pasa por el punto de interseccio´n de las siguientes rectas: 2x 3y 2 x 3y 8 2. Comprueba si las rectas r: 6x 5y 12 0, s: y 6 y t: 2x 5y 36 0 pasan por un mismo punto y, en caso positivo, calcula las coordenadas de dicho punto. 3. Estudia, segu´n los distintos valores del para´metro , las posiciones relativas de las siguientes rectas del plano: ( 1)x 2 y 11; x (5 2) y 6 4. Halla las coordenadas del extremo B de un segmento AB sabiendo que las coordenadas de A son (2, 2) y que el punto P( 4, 1) esta´ situado en el interior de dicho segmento y de tal forma que lo divide en dos partes cuyas longitudes son proporcionales a 3 y 2. 5. Estudia, segu´n los diferentes valores del para´metro a, la posicio´n relativa de los puntos A(3a, 2), B(6a, 2) y C( 3, 3a 2); es decir, indica en que´ casos dichos puntos son los ve´rtices de un tria´ngulo y en que´ casos esta´n alineados. 6. Dos ve´rtices consecutivos de un paralelogramo son los puntos A(3, 2) y B(4, 0). Calcula las coordenadas de los otros dos ve´rtices sabiendo que las diagonales del paralelogramo se cortan en el punto T . 1 1, 2 7. El paralelogramo ABCD verifica que tres de sus ve´rtices tienen por coordenadas A(4, 3), B(5, 0) y C( 1, 2): a) Calcula las coordenadas del cuarto ve´rtice D. b) Demuestra que se trata de un recta´ngulo. c) Dado el punto P(2, 1), calcula las coordenadas de los vectores PA, PB, PC y PD, ası´ como sus respectivos mo´dulos. d) Demuestra que la suma de los cuadrados de las distancias que separan a P de A y de C coincide con la suma de los cuadrados de las distancias que separan a P de B y de D. 8. Consideramos el cuadrila´tero de ve´rtices A( 1, 2), B(7, 4), C(9, 6) y D( 3, 4): a) Escribe las coordenadas y los mo´dulos de los vectores diagonales AC y BD. b) Escribe las coordenadas de los ve´rtices del cuadrila´tero que se forma al unir por los puntos medios M, N, P y Q de los lados del anterior. c) Demuestra que el nuevo cuadrila´tero MNPQ es un paralelogramo. d) Calcula las coordenadas y los mo´dulos de los vectores MN y NP. e) Demuestra que el perı´metro del recta´ngulo MNPQ coincide con la suma de las longitudes de las diagonales del recta´ngulo ABCD. SOLUCIONES 1. Se resuelve el sistema de ecuaciones y obtenemos el punto de interseccio´n P(2, 2). Obligamos a que las ecuaciones tengan la misma pendiente y a que r pase por P: a 2, b 6 3 b 12 12 a 4 6 2 2a a 2 2. x 3, y 6 P(3, 6) 6x 5y 12 0 y 6 Comprobamos si P verifica la tercera ecuacio´n: 2 · 3 5 · 6 36 6 30 36 0 Las tres rectas se cortan en el punto P. 3. Las pendientes de las rectas son: m1 y m2 1 2 5 2 1 m m 3 2 7 2 0 1 2 2 5 2 2 las rectas son paralelas 1 las rectas son paralelas 3 1 2 y las rectas son secantes 3 4. Sea B(x, y) el punto buscado. P A B(x, y) Y O X Se debe verificar que: AP PB 3 2 ( 6, 3) , 3(x 4) 3(y 1) 2 2 B( 8, 3) 3x 12 12 x 8 3y 3 6 y 3 5. Para que los puntos A, B y C este´n alineados se debe verificar que los vectores AB y AC sean proporcionales. AB (3a, 4) 3a 4 AC ( 3 3a, 3a) 3 3a 3a 9a2 12a 12 0 a 22 a 3 6. Las diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio. Por tanto, T es el punto medio del segmento de extremos D y B. C O B X Y A D T Sea D(x, y): 1; x 2; y 1 4 x 0 y 1 2 2 2 D( 2, 1) T es el punto medio del segmento de extremos C y A. Sea C(x, y): 1; x 1; y 1 3 x 2 y 1 2 2 2 C( 1, 1) 7. a) Las diagonales se cortan en el punto M: M , , 4 1 3 2 3 1 2 2 2 2 Sea ; 5 x 3 y 1 D(x, y) D( 2, 1) 2 2 2 2 b) Los vectores AD ( 6, 2) y AB (1, 3) son ortogonales, ya que AD · AB 6 6 0. Por tanto, el paralelogramo es un recta´ngulo. c) PA (2, 2) WPAW 4 4 2 2 PB (3, 1) WPBW 9 1 10 PC ( 3, 3) WPCW 9 9 3 2 PD ( 4, 0) WPDW 16 4 d) WPAW2 WPCW2 8 18 26 WPBW2 WPDW2 10 16 2 8. a) AC (10, 8) WACW 100 64 164 BD ( 10, 8) WBDW 100 64 164 b) M(3, 3), N(8, 1), P(3, 5), Q( 2, 1) c) MN (5, 4) QP y QM (5, 4) PN d) WMNW 25 16 41 WNPW 25 16 41 e) Per´ımetrodeMNPQ 4 41 2 164 WACW WBDW