Matemáticas Preguntas Resueltas PDF

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INTERVALOS DE CONFIANZA EJERCICIOS RESUELTOS MATEMATICAS 2 BACHILLERATO PDF

1. Se ha tomado, al azar, una muestra de 15 pymes (pequen˜as y medianas empresas) y se les ha preguntado por el nu´mero de trabajadores. Los resultados han sido: 8, 5, 2, 6, 14, 4, 5, 9, 20, 7, 10, 12, 14, 6, 3. a) Calcula la media aritme´tica y la varianza muestrales. b) Calcula la cuasivarianza muestral. c) ¿Que´ relacio´n existe entre la varianza y la cuasivarianza muestrales? 2. Utiliza las tablas de la distribucio´n normal tipificada y halla los valores crı´ticos tales que el a´rea rayada tome los valores: a) A´ rea rayada 0,8624. b) A´ rea rayada 0,98. c) A´rea rayada 0,75. 3. La media de los pesos de 500 estudiantes de un determinado centro es 68 kg y la desviacio´n tı´pica 6 kg. Suponiendo que los pesos se distribuyen normalmente, halla: a) El nu´mero de estudiantes que pesan entre 65 y 71 kg. b) El nu´mero de estudiantes que pesan menos de 60 kg. 4. La media de los dia´metros interiores de tubos de acero es 12,75 cm, con una desviacio´n tı´pica de 0,75 cm. El propo´sito para el que se destinan estos tubos permite una tolerancia ma´xima en el dia´metro entre 11,75 y 13,75 cm, suponiendo que los dia´metros se distribuyen normalmente. a) Determina el porcentaje de tubos defectuosos. b) ¿Que´ intervalo centrado en 12,75 contiene al 50 % de la poblacio´n de tubos? c) Si la produccio´n es de 5 000 unidades, ¿cua´ntos se espera que tengan un dia´metro superior a 14 cm? 5. Una muestra de 100 votantes elegidos al azar, entre todos los de un distrito determinado, indico´ que el 55 % de ellos estaba a favor de un determinado candidato A. Halla un intervalo de confianza para el para´metro «proporcio ´n de votantes favorables al candidato A» al nivel del: a) 95 % b) 99,73 % 6. A dos grupos de enfermos A y B, formados por 50 y 100 individuos, respectivamente, se les ha suministrado, al primero, un somnı´fero nuevo, y al segundo, uno convencional. Para los pacientes del grupo A, el nu´mero medio de horas de suen˜o ha sido 7,82 horas, con una desviacio´n tı´pica igual a 0,24 horas. Para los del grupo B: 6,75 horas y 0,30 horas. Calcula el intervalo de confianza para la diferencia del nu´mero medio de horas de suen˜o inducidas por los dos somnı´feros para un nivel del: a) 95 % b) 99 % SOLUCIONES 1. a) Media aritme´tica muestral: x 8,33 Varianza muestral: s 2 22,62 (x 8,33)2 i 15 b) Cuasivarianza muestral: 2 24,24 (x 8,33)2 i sp 15 1 c) 2; en efecto: 24,24 n s2 15 · 22,62 sp n 1 14 2. a) 0,8624 0,0688 0,0688 zα2 p (Z Z ) 0,8624 0,0688; Z 1,49 2 2 b) zα2 0,98 0,01 0,01 p (Z Z ) 0,98 0,01 0,99; Z 2,33 2 2 c) zα2 0,75 0,125 0,125 p (Z Z ) 0,75 0,125 0,875; Z 1,15 2 2 3. La variable peso, X, se distribuye segu´n una N(68, 6). a) p (65 X 71) p Z 65 68 71 68 6 6 p ( 0,5 Z 0,5) 2 · [p (Z 0,5) 0,5] 2 · [0,6915 0,5] 0,383. El nu´mero de estudiantes con el peso entre 65 y 71 kg es: 500 · 0,3830 191,5 191 o´ 192. b) p (X 60) p p (Z 1,33) 60 68 Z 6 1 p (Z 1,33) 1 0,9082 0,0918 El nu´mero de estudiantes con el peso menor de 60 kg es: 500 · 0,0918 45,9 46. 4. a) p (defectuoso) la suma de las a´reas a la izquierda de y a la derecha de 11,75 12,75 0,75 , es decir: 13,75 12,75 0,75 1 p ( 1,33 Z 1,33) 1 0,8164 0,1836. Porcentaje de tubos defectuosos: 18,36 %. b) zα2 0,5 0,25 0,25 P(Z Z ) 0,5 0,25 0,75; Z 0,675. 2 2 Intervalo: (12,75 0,675, 12,75 0,675) (12,075, 13,425) c) Si la produccio´n es de 5 000 unidades, el nu´mero de tubos con dia´metro superior a 14 cm es igual a: 5 000 · p 14 12,75 Z 0,75 5 000 · [1 p (Z 1,67)] 237,5 237 o´ 238 tubos. 5. n 100; 0,55 0,0497 pp ·(1 pp) pp n a) 1 0,95 p Z Z0,05 2 0,95 0,975 Z 1,96 0,05 0,05 2 2 IC: Z · pp (1 pp) pp 2 n (0,55 1,96 · 0,0497) (0,453; 0,647) b) 1 0,9973 p Z Z0,0027 2 0,9973 0,99865 Z 3 0,0027 0,0027 2 2 IC: Z · pp ·(1 pp) pp a 2 n (0,55 3 · 0,0497 (0,4009; 0,6991) 6. El intervalo de confianza para la diferencia de medias: IC · 2 2 A B x A x B z 2 n n A B a) Para un nivel del 95 %, z0,05 1,96. 2 IC 7,82 6,75 1,96 · 0,242 0,302 50 100 1,07 1,96 · (0,981; 1,159) 0,45299 10 b) Para un nivel del 99 %, z0,01 2,58 2 IC: 1,07 2,58 · (0,953; 1,187). 0,4529 10 1. a) Dar ejemplos de estimadores puntuales insesgados y eficientes para la media y la varianza poblacionales. b) Supongamos que las alturas de 100 estudiantes de una universidad representan una muestra, elegida al azar, de las 5 316 alturas de todos los estudiantes de dicha universidad. Si la media y la desviacio´n tı´pica de estas 100 alturas son 178 cm y 10 cm respectivamente, determina estimaciones insesgadas y eficientes de la altura media y la varianza poblacionales. 2. Al medir el tiempo de respuesta a sen˜ales luminosas en pruebas para renovar el permiso de conducir, se estima que la desviacio´n tı´pica del mismo es de 0,05 segundos. Indica cua´l sera´ el nu´mero de medidas que debera´s hacer para que el error de tu estimacio´n no exceda de 0,01 segundos, con un nivel de confianza del: a) 95 %. b) 99 %. 3. En 60 lanzamientos de una moneda se obtuvieron 36 cruces. Halla el intervalo de confianza para la proporcio´n de cruces que se obtendrı ´an en un nu´mero ilimitado de tiradas, con un nivel de confianza del: a) 95 %. b) 99,73 %. 4. El consumo de un producto sigue una distribucio´n normal, con varianza 300. A partir de una muestra de taman˜o 25 se ha logrado una media muestral igual a 180. Halla un intervalo de confianza, al 99 %, para la media del consumo. 5. Al medir el dia´metro de arandelas producidas por una empresa, se estima que la desviacio´n tı´pica de dicho dia´metro es 0,05 cm. Se han hecho 121 mediciones con objeto de estimar el dia´metro medio. ¿Se puede afirmar, con el 99 % de confianza, que el error de la estimacio´n no excedera´ de 0,012 cm? 6. Una empresa adquiere 5 000 cables de acero. Un ensayo con 40 de ellos, elegidos al azar, dieron una media de resistencia a la rotura de 2 400 kg, con una desviacio´n tı´pica de 150 kg. a) Halla un intervalo de confianza para la resistencia media, de la poblacio´n de cables adquiridos, al nivel de confianza del 80 %. b) Repite el apartado a para un nivel del 95 %. c) Compara las longitudes de los intervalos obtenidos en los apartados anteriores e interpre´talos. d) ¿Cua´l deberı´a ser el taman˜o de la muestra, para estar seguro al nivel del 85 %, que el error ma´ximo cometido sea de 10 kg? SOLUCIONES 1. a) Para la media poblacional: la media muestral: X. Para la varianza poblacional: la cuasivarianza muestral: Sp2 (x x)2 i n 1 b) Para la media poblacional: 178 cm. Para la varianza poblacional: 2 S2 2 · 102 101,01 cm2 n 100 Sp Sp n 1 99 2. a) Para 1 0,95 el intervalo de confianza, para la media poblacional, es x 1,96 . Como no conocemos , tomamos n s 0,05 s, con lo que el error es: 1,96 0,01 K n 2 0,05 0,05 1,96 n 0,01 9,82 96,04 para n 97, el error 0,01 s b) Para 1 99, el intervalo de confianza es x 2,58 y el error de la estimacio´n n 2,58 . Tomamos s 0,05 s, ası ´: n 2,58 0,01 K n 2 0,05 0,05 2,58 n 0,01 12,92 166,4 paran 167, el error 0,01 s 3. a) 1 0,95, 0,05 p (Z Z ) 0,95 0,975, z 1,96 0,05 2 2 2 IC: pp ·(1 pp) 0,6·0,4 pp z · 0,6 1,96· 2 n 60 (0,6 0,124) (0,476, 0,724) b) 1 0,9973, 0,0027, P(Z Z ) 2 0,9973 0,9987, z 3 0,0027 2 2 IC: pp · (1 pp) 0,6 ·0,4 pp z · 0,6 3 · 2 n 60 (0,6 0,189) (0,411; 0,789) 4. Como la poblacio´n sigue una normal, la variable media muestral sigue N x, , aun para valores de n n 30, donde hemos sustituido , desconocida, por x. El intervalo de confianza para la media poblacional es: x z · 300 180 z0,01 2 n 2 25 (171,06; 188,94), ya que Z0,01 2,58 2 5. Sı´ se puede, ya que: error ma´ximo z · 2 n z · 2,58 · 0,0117 0,05 0,05 0,01 2 121 11 6. El estimador de la media poblacional es la media muestral, x N , pero como es des- , n conocida se trabaja con: N . sp , n · s 150,01 150 5 000 sp 4 999 a) Para 1 0,80, el valor crı´tico z z0,2 1,28, puesto que: p (Z Z ) 2 2 2 0,80 0,10 0,90; entonces: IC x z Sp 150 2 400 1,28 · 2 n 40 (2 369,6; 2 430,4) b) Para un nivel de confianza 1 0,95, el valor cr´ıtico z z0,05 1,96, ya que 2 2 p (Z Z ) 0,95 0,025 0,975 2 IC (2 353,5; 2 446,5) 150 2 400 1,96 · 40 c) Los intervalos obtenidos cubrira´n, o no, el valor de la media poblacional . Se observa que cuanto mayor es 1 , mayor es la amplitud del intervalo y mayor es la probabilidad de que cubra el verdadero valor de . d) El error ma´ximo que se comete es el radio del intervalo de confianza: E z · , despesp jando: 2 n z0,15 1,44, ya que p Z z0,15 2 2 0,85 0,925 0,15 2 n 466,56, con 2 2 z · ps 1,44 · 150 2 E 10 una muestra de 467 o ma´s cables nos aseguramos, con un nivel de confianza del 85 %, que el error ma´ximo sea de 10 kg.