INTEGRALES MULTIPLES Y SUS APLICACIONES EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS PDF
Integrales dobles,
Funciones integrables,
Propiedades fundamentales de la integral doble,
, integrales dobles por medio de integrales iteradas,
, CAMBIO de orden de integración ,
, volúmenes de sólidos y áreas de regiones planas por
INTEGRACION doble
Área de una región plana ,
Integrales dobles mediante coordenadas polares ,
Integrales iteradas en coordenadas polares ,
Jacobiano de una función de n variables ,
Cambio de variables para integrales dobles ,
, Aplicaciones de la integral doble. Centro de masa de una lámina ,
Momentos de inercia de una lámina ,
Área de una superficie ,
Integrales triples,
Funciones integrables ,
Cálculo de integrales triples mediante integrales iteradas ,
Propiedades fundamentales de la integral triple ,
Volumen de un sólido mediante integrales triples ,
Cambio de variables en integrales triples ,
Integrales triples en coordenadas cilindricas,
Integrales triples en coordenadas esféricas ,
Centro de masa y momentos de inercia de un sólido,
En esta sección se introduce el concepto de integral doble de una función de dos,
variables Definición
1.- Se dice que un conjunto D e M2 es acotado, cuando existe un rectángulo R = [a; b] x [c; d] c IR2 tal que D c R. Ll rectángulo R se puede escribir como R = {(x; y) E R 2 / a < x < b, c < y < d] Esta región se ilustra en la Fig. 5.1 Definición 2.- Una partición del rectángulo R = [a; bj x [c; d ] es un conjunto de la forma p = Pi X p2 = {[*,-!; X,] X [yj . 1;y¡] / 1 < i < n, 1 < j < m¡ Donde: Px = fx0, x l t ..., xn} es una partición del intervalo [ a ; b] y P2 - {yo.yi, - , y m} es una partición del intervalo [c; d\ Observación 1 : a) Toda partición P del rectángulo R divide a este en n m sub-rectángulos de la forma Ríj = [x¿_i;x¿] x [yj-t-.yj] (Fig.5.2) i = 1,2,..., n y j = 1,2,..., m b) El área de cada sub-rectángulo Rtj para i = 1,2,..., n y j = 1,2,..., m es dado por A(Rij) = AíjA = AXiAyj Se verifica, n m ?i m A íRij) = AXiAy¡ = (b - a)(d - c) i ^ l 7 = 1 i = l 7 = 1 c) Se denomina norma de la partición P al numero denotado por ||P|| = max [ d i a g {R{j) / 1 < i < n , 1 < j < m) Definición 3.- (Partición de un conjunto cerrado y acotado). Se denomina partición del conjunto cerrado y acotado D c R2, al conjunto de los subrectángulos P¿7- del rectángulo R que contiene al conjunto D ral que tiene al menos un punto en común con el conjunto D, esto es, PD = {R¿j c R / RijClD ^ 0,1 < i < n, 1 < j < m} CÁLCULO III Definición 4.- Se dice que una función / : D c R 2 -> R definida en el conjunto cerrado y acotado D es acotada, si existen números reales K1 y K2 tal que Kx < / ( x ;y ) < K2,V(x-,y) E D FUNCIONES INTEGRABLES Sea / : D c i 2 -> 1 una función acotada definida en la región cerrada y acotada D y / O ; y) > o, v (* ;y ) e d Sea PD una partición de D y sea Pí7(xt; y7) un punto arbitrario escogido en y c Pd de modo que /(P¿; ) está bien definido como se ilustra en la Fig. 5.3 La Suma de Riemman de la función / : D c R 2 -> R asociada a la partición PD está dada por n m n m