Matemáticas Preguntas Resueltas PDF

ESCRIBE AQUÍ LO QUE DESEAS BUSCAR

INTEGRALES INDEFINIDAS - MÉTODOS DE INTEGRACIÓN EJERCICIOS RESUELTOS MATEMATICAS 2 BACHILLERATO PDF

1. Calcula la primitiva de la funcio´n f (x ) que cumple la condicio´n de que su gra´fica pasa por el punto x x 2 1 (0, 3). 2. Halla la ecuacio´n de una curva y f (x ) sabiendo que pasa por el origen de coordenadas y que la pendiente de la recta tangente en el punto gene´rico de abscisa x es m (x ) 3x 2 1. 3. Calcula las siguientes integrales indefinidas: a) ex · (ex 1)4 dx b) x · e dx x2 2 4. Calcula las siguientes integrales indefinidas: a) dx L2x x b) dx 1 x · Lx 5. Calcula las siguientes integrales indefinidas: a) x · sen x dx b) x 2 · 2x dx 6. Calcula las siguientes integrales indefinidas: a) dx 2x 5 x 2 1 b) dx x 1 9 x 2 7. Calcula las siguientes integrales indefinidas: a) dx x 4 x 3 x 2 x 3 x 2 x b) dx x 2 4 x 3 x 2 x 1 8. Determina todas las primitivas de la funcio´n f (x ) x 3 x 3 3x 2 4x 12 9. Calcula las siguientes integrales indefinidas: a) ex · 1 e2x dx b) sen x · sen 2x dx SOLUCIONES Nota: Siguiendo el criterio del libro, la constante C se sobrentiende, por lo que solo se escribe cuando se pide su valor. 1. F (x ) dx C x x 2 1 x 2 1 Como F (0) 3 C 2 y F (x ) x 2 1 2 2. f (x ) m(x ) dx (3x 2 1) dx x 3 x C f (0) 0 C 0 y f (x ) x 3 x 3. a) Cambio de variable: t ex 1; dt ex dx t 4 dt (ex 1)5 t 5 1 5 5 b) Cambio de variable: t x 2 2; dt 2x dx et dt et e 1 1 1 x2 2 2 2 2 4. a) Si t Lx ; dt t 2 dt L3x dx t 3 1 x 3 3 b) Si t Lx ; dt dt Lt L (Lx ) dx 1 x t 5. a) Integracio´n por partes: u x, dv sen x · dx du dx, v cos x I x cos x ( cos x) dx x cos x sen x b) u x 2, dv 2x dx du 2x dx, v 2x L2 I 2x · dx x · 2x dx x 2 · 2x 2x x 2 · 2x 2 L2 L2 L2 L2 Integrando de nuevo: u x, dv 2x dx du dx, v 2x L2 I x 2 · 2x 2 x · 2x 2x dx L2 L2 L2 L 2 x 2 · 2x x · 2x 1 2x 1 L2 (L2)2 (L2)3 6. a) I dx dx 2x 5 2 x 1 x 2 1 L Wx 2 1W 5 arctg x b) I dx dx x 1 2 9 x 9 x 2 dx dx 1 1 2x 1 3 2 2 2 9 x 3 x 1 3 L W9 x 2 W arctg 1 1 x 2 3 3 7. a) Haciendo la divisio´n entera: I dx 3 x 2 1 2 x x Descomponiendo en fracciones simples: 3 A B x 2 x x x 1 es decir, 3 A (x 1) Bx Dando valores a x se obtiene A 3 y B 3 I dx 3 3 x 2 1 x x 1 x 3 LWxW 3 LWx 1W x 3 3 b) x 3 x 2 x 1 (x 1) (x 1)2 Descomponiendo en fracciones simples: I 3 dx 7 dx 3 dx 4 x 1 4 x 1 2 (x 1)2 L Wx 1W L Wx 1W 3 7 3 1 4 4 2x 1 8. x 3 3x 2 4x 12 (x 2 4) (x 3) Descomponiendo en fracciones simples: I dx 6 dx 6 x 5 dx 2 13 x 3 13 x 4 13 x 2 4 L Wx 3W L Wx 2 4W arctg 6 3 5 x 13 13 26 2 9. a) Cambio de variable ex sen t, exdx cos t dx I 1 sen2 t · cos t dt cos2 t dt dt t sen t · cos t 1 cos 2t 1 1 2 2 2 Deshaciendo el cambio de variable: I arcsen ex ex 1 1 1 e2x 2 2 b) I dx cos (2x x ) cos (2x x ) 2 cos x dx cos 3x dx 1 1 2 2 sen x sen 3x 1 1 2 6 1. Calcula la siguiente integral indefinida : x 2 · cos2 x dx 2. Calcula la siguiente integral indefinida : x · arcsen x dx 3. Calcula la siguiente integral indefinida : sen2 x · cos2 x dx 4. Calcula la siguiente integral indefinida : cos5 x dx 5. Calcula la siguiente integral indefinida : xn · Lx dx 6. Calcula la siguiente integral indefinida : x 3 · 3x dx 7. Utiliza el cambio de variable x 1 t 6 para obtener todas las primitivas de la funcio´n: f (x ) 1 3 1 x 1 x 8. Busca un cambio de variable adecuado y calcula la integral indefinida : 3 2x 1 dx 9. Halla todas las primitivas de la funcio´n f (x ) empleando el siguiente cambio de variable: tg t 1 x 1 cos x 2 10. Para integrar funciones de la forma deben encontrarse las constantes A y B que f (x ) a sen x b cos x 1 1 g (x ) a sen x b cos x 2 2 cumplen la condicio´n f (x ) Ag (x ) Bg (x ). Ası´ se obtiene: dx dx dx Ax BL Wg (x )W C a sen x b cosx f(x ) g (x ) 1 1 A B a sen x b cosx g(x ) g (x ) 2 2 Ax BLWa 2 sen x b 2 cos x W C Aplica el procedimiento anterior para calcular la siguiente integral indefinida: dx sen x cos x sen x 2 cos x SOLUCIONES Nota: Siguiendo el criterio del libro, la constante C se sobrentiende, por lo que solo se escribe cuando se pide su valor. 1. u x 2, dv cos2 x dx du 2x dx, v cos2 x dx dx 1 cos 2x 2 x sen 2x, I x 2 1 1 1 1 x sen 2x 2 4 2 4 2x dx 1 1 x 3 x 2 sen 2x x sen 2x 2 4 2 4 x 2 dx x sen 2x dx 1 2 calculando por partes la u´ltima integral, se obtiene: I x 3 x 2 sen 2x x 3 x cos 2x sen 2x 2 4 3 4 8 2. u arcsen x, dv xdv du , v dx x 2 1 x 2 2 I arcsen x dx; hacemos un x 2 1 x 2 2 2 1 x 2 cambio de variable para calcular la nueva integral J : x sen t, dx cos t · dt J cos t dt sen2 t dt dt sen2 t 1 cos 2t cos t 2 t sen 2t, y por tanto: 1 1 2 4 I arcsen x arcsen x sen (2 arcsen x) x 2 1 1 2 4 8 3. I (sen x · cos x)2 dx dx 2 sen 2x 2 sen2 2x dx dx 1 1 1 cos 4x 4 4 2 x sen 4x 1 1 8 32 4. I cos x · (1 sen2 x )2 dx, t sen x, dt cos x dx I (1 t 2)2 dt (1 2t 2 t 4) dt t , deshaciendo el cambio 2t 3 t 5 3 5 I sen x 2 sen3 x sen5 x 3 5 5. u Lx, dv xn dx du dx, v 1 xn 1 x (n 1) I Lx dx Lx xn 1 xn xn 1 xn 1 n 1 n 1 n 1 (n 1)2 6. Integrando por partes tres veces con el cambio u xp (p 3, 2, 1), dv 3x, se obtiene: I 3x x 3 3x 2 6x 6 2 3 4 L3 (L3) (L3) (L3) 7. x 1 t 6 dx 6t 5 dt, F (x ) f (x ) dx · ( 6t 5) dt 6 dt 1 t 5 3 6 6 t t t 3 t 2 6 dt ; efectuando la divisio´n entera: t 3 t 1 F (x ) 6 dt 1 t 2 t 2 1 t 1 6 t 3 t 2 t LWt 1W 3 2 F (x ) 2 3 6 3 6 1 x 1 x 1 x 6 LW 1W 6 1 x 8. Haciendo t , dt dx 2dx 1 2x 1 2 2x 1 t I t · 3t dt du dt, v 3t L3 I t . Deshaciendo el cambio: 3t 3t L3 (L3)2 I 3 2x 1 3 2x 1 2x 1 2 L3 (L3) 9. Empleando las identidades trigonome´tricas: 1 tg2 y cos2 con 1 1 cos 2 cos2 2 , tg t, cos x , dx dt; x x 1 t 2 2 2 2 1 t 2 1 t 2 F (x ) f (x ) dx · dt 1 2 1 t 2 1 t 2 1 1 t 2 dt t tg x 2 10. Buscamos A y B que verifiquen: sen x cos x A(sen x 2 cos x) B(cos x 2 sen x ) (A 2B) sen x (2A B) cos x; debe ser A 2B 1, 2A B 1 A , B . Ası ´: dx 1 3 sen x cos x 5 5 sen x 2 cos x x LWsen x 2 cos x W 10. Halla a para que la integral de la funcio´n f (x ) 3x 2 2x a en el intervalo [1, 4] sea igual a 6. 11. f (x ) ax ax 2 encierra con el eje OX y las abscisas x 0 y x 1 un a´rea de 2 unidades cuadradas. Halla el valor de a. 12. Se sabe que 4 x dx x 2 dx. Halla el valor de b. 1. Calcula las siguientes integrales definidas: a) dx 7 1 x 2 2 b) (cos x sen x ) dx 4 0 c) dx e L2x x 1 2. Calcula las siguientes integrales definidas: a) dx 4 x cos2 x 0 b) dx 4 1 x 2 4x 4 0 c) dx 2 sen x 1 tg2 x 0 3. Halla la funcio´n cuya gra´fica es tal que la recta pendiente en cada punto de abscisa x sigue la ecuacio´n y 6x 4, y el a´rea encerrada por la curva pedida, el eje OX y las abscisas x 1 y x 2 es 5 unidades cuadradas. 4. Se sabe que f (x ) dx 3. ¿Cua´l es el valor de (f (x ) 2) dx? 5 5 2 2 5. La para´bola f (x ) x 2 ax b verifica que su gra´fica pasa por el punto (0, 3) y que f (x ) dx 2. Halla 1 los valores de a y b. 0 6. Demuestra, utilizando la integral definida, que el a´rea del recta´ngulo de la figura es S b · h 7. Demuestra, utilizando la integral definida, que el a´rea del tria´ngulo recta´ngulo de la figura es S