Matemáticas Preguntas Resueltas PDF

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INTEGRALES INDEFINIDAS EJERCICIOS RESUELTOS MATEMATICAS 1 BACHILLERATO PDF

1. Calcula las siguientes integrales: a) (x 2) dx b) (3x2 2x 3) dx c) dx d) dx 1 3 x 2x 10 3 2 2x x 2. Calcula las siguientes integrales: a) (10x ) dx b) dx 3 x x x2 2 3. Calcula las siguientes integrales: a) dx b) 1 x x2 dx c) dx d) dx 6 1 1 cos x 1 2 x 1 x x 3 sen x cos2 x · tg x 4. Calcula las siguientes integrales: a) 5 · e3x 2 dx b) 6 · e5x dx 5. Calcula las siguientes integrales: a) sen dx b) x2 · cos (x3 10) dx 1 5x 2 6. Calcula las siguientes integrales: a) dx b) cosec2 dx 4x 3 5x 2 2 cos (x 2) 10 7. Calcula las siguientes integrales: a) dx b) dx 1 1 2 16 x x · (1 (Lx)2) 8. Escribe la expresio´n algebraica de la funcio´n F(x) sabiendo que f(x) F (x) 6x2 6x 5 y que F(2) 8. 9. De todas las funciones primitivas de f(x) 15x2 2, escribe la expresio´n algebraica de la que pasa por el punto P( 2, 23). 10. Escribe la ecuacio´n de la curva que pasa por los puntos A(1, 0) y B( 1, 8) y cuya derivada segunda es f (x) 12x 6. 11. Escribe la expresio´n algebraica de la funcio´n F(x) sabiendo que f(x) F (x) sen x cos x y que pasa por el punto Q , 2 . 2 12. La velocidad de un mo´vil en un cierto movimiento viene dada por v(t) 5t 2: a) Escribe todas las posibles funciones que expresen el recorrido. b) De todas las funciones anteriores, escoge aquella que verifica que cuando han transcurrido 2 segundos el mo´vil ha recorrido 28 metros. c) Considerando el caso del apartado anterior, calcula el recorrido efectuado por el mo´vil cuando han transcurrido 10 segundos desde que se inicio´ el movimiento. SOLUCIONES Nota: Siguiendo el criterio del libro, la constante C se sobrentiende, por lo que so´lo se escribe cuando se pide su valor. 1. a) (x 2) dx 2x x2 2 b) (3x2 2x 3) dx x3 x2 3x c) dx dx 1 1 x2 x 2 x x x 3 3 2x 2 2 4 x2 1 2 4x2 d) dx (2x 3x 2 10) dx 3 2x 10 2 x x2 10x 3x 1 1 x2 10x 3 x 2. a) dx 5x2 x 5x2 3 1 2 3 2 x 10x x2 2 3 3 b) dx 4 1 3 3 x3 3 4 x3 x x 3 x x2 2 3 4 3 8 2 · 3 3. a) dx 6 · L Wx 1W 6 x 1 b) dx 1 1 1 x x2 2 x x L WxW x 1 x2 x3 x 2 3 c) dx L W 3 sen xW cos x 3 sen x d) dx L Wtg xW 1 cos2 x · tg x 4. a) 5e3x 2 dx 3 e3x 2 dx e3x 2 5 5 3 3 b) 6 dx 6 ex dx e 2 5 5 12 5x e5x 2 2 5 2 5 5. a) 5 sen dx cos 1 1 1 1 5x 5x 5 2 5 2 b) 3x2 cos (x3 10) dx sen (x3 10) 1 1 3 3 6. a) 2 dx 2 tg (x2 2) 2x cos2 (x2 2) b) 5 cosec2 dx 1 3 5x 5 10 ctg 1 3 5x 5 10 7. a) dx arctg 1 4 4 1 x 2 16 x 4 4 1 4 b) arctg (Lx) 8. F(x) (6x2 6x 5) dx 2x3 3x2 5x C F(2) 2 · 23 3 · 22 5 · 2 C 14 C 8 C 6 F(x) 2x3 3x2 5x 6 9. F(x) (15x2 2) dx 5x3 2x C F( 2) 5 ( 2)3 2 ( 2) C 36 C 23 C 13 F(x) 5x3 2x 13 10. f (x) ( 12x 6) dx 6x2 6x C f(x) ( 6x2 6x C) dx 2x3 3x2 Cx K f(1) 1 C K 0 f( 1) 5 C K 8 C 2, K 1 f(x) 2x3 3x2 2x 1 11. F(x) (sen x cos x) dx cos x sen x C F cos sen C 1 C 2 2 2 2 C 3 F(x) cos x sen x 3 12. a) e(t) (5t 2) dt t2 2t C 5 2 b) e(2) 10 4 C 28 C 14 e t2 2t 14 5 2 c) e(10) 250 20 14 284 m 1. Calcula una funcio´n f(x) cuya derivada sea f (x) y tal que para x 1 tome el valor x4 x2 x3 1 x4 f(1) 1. Encuentra el valor de dicha funcio´n para x 1. 2. Recordando la definicio´n de primitiva de una funcio´n, demuestra la siguiente igualdad: dx · x arcsen x 1 x2 1 x2 2 2 3. Calcula algu´n valor de a para que se verifique la siguiente igualdad: dx 2 arcsen x x 4 x2 a2 x2 2 a 4. a) Recordando la fo´rmula que proporciona el coseno del a´ngulo doble, demuestra que: sen2 x 1 cos 2x 2 b) Con la ayuda de la fo´rmula anterior, calcula: sen2 x dx 5. Calcula la expresio´n de una funcio´n y F(x) que verifique las siguientes condiciones: i) (2x2 1) · F (x) 12x3 8x2 6x 4 ii) F(2) 3 y F (2) 4 6. Considera el polinomio P(x) x2 4x 8. a) Escribe el polinomio en la forma P(x) (x )2 , donde y son dos nu´meros reales. b) Dividiendo por tanto el numerador como el denominador de la fraccio´n algebraica , escrı´bela en la 1 P(x) forma , donde q(x) es un polinomio de primer grado. 1 1 P(x) (q(x))2 1 c) Con la ayuda del apartado anterior, y recordando las integrales de tipo arco tangente, calcula: dx 1 x2 4x 8 7. a) Comprueba que sen A sen B 2 sen cos teniendo en cuenta que: A B A B 2 2 sen(a b) sen a cos b cos a sen b y que sen(a b) sen a cos b cos a sen b (Solo hay que realizar los cambios de variables a b A y a b B.) b) Con la ayuda del apartado anterior, demuestra que sen mx · cos nx [sen(m n)x sen(m n)x]. 1 2 c) Calcula el valor de la integral sen 3x cos 2x dx. SOLUCIONES Nota: Siguiendo el criterio del libro, la constante C se sobrentiende, por lo que solo se escribe cuando se pide su valor. 1. f(x) dx x4 x2 x3 1 x4 1 x 2 x 4 dx x LWxW C 1 1 1 x x 3x3 f(1) 1 1 1 L1 C 1 1 3 C 2 3 Por tanto, la funcio´n f(x) es: f(x) x LWxW 1 1 2 x 3x3 3 f( 1) 1 3 2. D · x arcsen x 1 x2 2 2 · 1 x 2x 1 1 x2 2 2 2 1 x2 2 · 1 x2 1 x2 x2 1 1 x2 2 1 x2 3. D 2 arcsen x x a2 x2 2 a 2 a2 x2 x · ( 2x) a 2 4 a2 x2 x2 1 a2 a2 4 2x2 8 2x2 2 a2 x2 2 4 x2 a 2 a2 4 8 2 a 4 4. a) cos 2x cos2 x sen2 x 1 2 sen2 x sen2 x 1 cos 2x 2 b) sen2 x dx cos 2x dx dx 1 x sen2x 2 2 2 4 5. F (x) dx 12x3 8x2 6x 4 2x2 1 (6x 4)dx 3x2 4x c F(x) (3x2 4x c)dx x3 2x2 cx d F(2) 3 y F (2) 4 8 8 2c d 3 12 8 c 4 c 0, d 3 F(x) x3 2x2 3 6. a) P(x) x2 4x 8 (x 2)2 4 8 (x 2)2 4 b) 1 1 x2 4x 8 (x 2)2 4 1 1 4 4 (x 2)2 4 1 2 x 1 1 4 4 2 c) dx dx 1 1 4 2 2 x 4x 8 1 x 1 1 2 1 1 2 1 1 · 2 dx arctg x 1 2 4 1 2 2 x 1 1 2 7. a) a , b a b A A B A B a b B 2 2 sen A sen B sen(a b) sen(a b) 2 sen a cos b 2 sen cos A B A B 2 2 b) A (m n)x, B (m n)x A B mx 2 A B nx 2 sen mx · cos nx sen cos A B A B 2 2 [sen A sen B] [sen(m n)x sen(m n)x] 1 1 2 2 c) sen 3x · cos 2x dx sen 5x dx sen x dx 1 1 cos 5x cos x 2 2 10 2