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INTEGRALES DE SUPERFICIE PROBLEMAS RESUELTOS PDF

REPRESENTACION IMPLICITA Y EXPLICITA DE SUPERFICIES , REPRESENTACION PARAMETRICA DE UNA SUPERFICIE , DEFINICION DE SUPERFICIE PARAMETRICA , VECTORES NORMALES Y PLANOS DE TANGENCIA ,VECTOR NORMAL A UNA SUPERFICIE PARAMETRICA SUAVE , AREA DE UNA SUPERFICIE PARAMETRICA , ORIENTACION DE UNA SUPERFICIE , INTEGRALES DE FLUJO , DEFINICION DE INTEGRALES DE FLUJO , CALCULO DE INTEGRALES DE FLUJO , TEOREMA DE LA DIVERGENCIA , DEFINICIONES ALTERNAS DE GRADIENTE , DIVERGENCIA Y ROTACIONAL , TEOREMA DE STOKES , TEOREMA DE STOKES PARA COORDENADAS CARTESIANAS , INTEGRALES DE SUPERFICIE SUPERFICIES PARAMETRIZADAS DefiniciÓn Sea T un abierto conexo de IR2. Una superficie parametrizada es una aplicaciÓn r: T ~ IR3 (u, v) ~ r (u, v) = ( x (u, v), y (u, v), z (u, v) ) que cumple las siguientes condiciones: (1) las funciones componentes x {u, v}, y (u, v). z (u. v) son continuas y tienen primeras derivadas parciales continuas en T (2) El producto vectorial ~ ~ 1\ ~ ~ * O 'V (u, v) E T v ---+----.l....----u u =u O r z > x ar ar -1\- au av Habitualmente se designa por superficie S a la imagen por la aplicaciÓn r del abierto conexo T; u, v reciben el nombre de parámetros de la superficie. ObservaciÓn la condiciÓn (2) de la definiciÓn de superficie parametrizada hace referencia a lo siguiente: Fijando uno de los parámetros u = Uo o v = Vo obtenemos dos curvas contenidas en la superficie, que reciben el nombre de curvas coordenadas; drldv, drldu representan los vectores tangentes a cada una de dichas curvas, ya que cada derivación parcial deja fija la otra componente. La condición drldu 1\ drldv ":1= O equivale a decir que los vectores drldu, drldv son linealmente independientes, para todo valor (u, v), es decir, para todo punto de la superficie S. Así estos dos vectores generan en cada punto un subespacio vectorial de dimensión dos que corresponde al subespacio director del plano tangente a la superficie en cada punto. Producto vectorial fundamental En la parametrización de una superficie el vector drldu 1\ drldv recibe el nombre de producto vectorial fundamental. Este vector es perpendicular a la dirección del plano tangente: es un vector normal a la superficie en cada punto, no necesariamente unitario. Plano tangente a una superficie La expresión de la ecuación del plano tangente a la superficie S en el punto de parámetros (uo. vol es: x - X (uo' vo) dX I dU (uo' vol dX I dV (uo' vol y - y (uo' vo) ay I dU (uo' vo) ay I dV (uo' vol = O z - z (u o' vol dZ I dU (uo' vol dZ I dV (uo' vo) Métodos básicos de parametrización de superficies (1) Parametrización a través de la gráfica de una función. Supongamos que una superficie venga dada como la gráfica de una función de dos variables f: IR2 --7 IR (x, y) --7 f (x, y) Si se cumplen para la función f las condiciones de regularidad exigidas en el apartado (1) de la definición de superficie parametrizada, entonces, tomando x, y como parámetros: (x, y) --7 r (x, y) = ( X, y, f (x, y) ) (X, y) E Dom (f) se verifica oo rx 1\ ooy r = (- oof x ,- ooyf , 1 ) "# (O, O, O ) por lo que se cumple la condición (2) de la definición, tratándose, por tanto, de una parametrización efectiva. (2) Parametrización de superficies particulares. - Esfera de centro (O, O, O) Y radio R. Expresión implícita: X2 + y2 + z2 = R2 z Expresión paramétrica: x = R sen u cos v O T ~ IR3 (u, v) ~ r (u, v) = ( x (u, v), y (u, v), z (u, v) ) Area de S = A (S) = JI 11 ~ ~ (u, v) 1\ ~~ (u, v) 11 du dv T Caso particu lar Si la superficie S viene dada por la gráfica de una función f: IR2 ~ IR, es decir, si la parametrización de S es: entonces: x z S' ~ IR3 (x, y) ~ (x, y, f (x, y) ) A(S) = JI J (éJf/éJx)2+(df/éJy)2+ 1 dxdy S' S' proyección sobre el plano xy de S ~----~--------y INTEGRAL DE SUPERFICIE DE CAMPOS ESCALARES El concepto de integral de superficie de campos escalares es una generalización natural del concepto de integral doble en el plano, así que su definición es paralela a la de aquella_ Sea S una superficie de IR3 parametrizada en la forma: IR2 :::> T ~ IR3 (u, v) ~ r (u, v) = ( x (u, v), y (u, v), z (u, v) ) Sea el campo escalar F: IR3 ~ IR (x, y, z) ~ F (x, y, z) y supongamos que F está definido y es continuo en todo punto de la superficie S. Los pasos que conducirían a la definición de la integral de superficie del campo escalar F consistirían en subdividir la superficie S en n regiones, valorando en un punto arbitrario de cada una de ellas el campo escalar multiplicado por el área de cada región; hecho esto se calcularía la suma de estos productos y tomando cada vez un número mayor de particiones, por paso al límite, obtendríamos la siguiente: Definición La integral de superficie del campo escalar F sobre la superficie S es: JJ F dS : = JI F ( r (u, v)) 11 g ~ 1\ ~ ~ 11 du dv S T Propiedades (1) La integral de superficie de un campo escalar es independiente de la parametrización escogida para la superficie S. (2) Si el campo escalar que se integra es F (x, y, z) = 1 queda: JJ dS = JI 11 :~ 1\ g ~ 11 du dv = A (S) S T motivo por el cual dS recibe el nombre de diferencial de superficie, o mejor, diferencial de área. (3) JI ( F + G ) dS = JI F dS + JI G dS S S S (4) JI k F dS = k JI F dS ke IR S S (5) Si S = S1 U S2 donde S1 (1 S2 es a lo sumo una curva, JI F dS = JI F dS + JI F dS S S1 S2 Aplicaciones Supongamos que Jl = Jl (x, y, z) es la función de densidad de una lámina curvada S de grosor despreciable. Entonces: Masa de S = M (S) = JI Jl (x, y, z) dS S (1) Centro de masas de una lámina curvada Si denotamos por (x, y, z) las coordenadas del centro de masas: x = M 1(S) JI x Jl (x, y, z) dS S y = M 1(S) JI y Jl (x, y, z) dS S z = M 1(S) JI z Jl (x, y, z) dS S (2) Momentos de inercia de una lámina curvada Sea r una recta y denotemos por d (x, y, z) la distancia de la recta r al punto (x, y, z) de la lámina curvada S. El momento de inercia de S respecto a la recta r resulta ser: Ir = JI d 2 (x, y, z) Jl (x, y, z) dS S INTEGRAL DE SUPERFICIE DE CAMPOS VECTORIALES Sea S una superficie de IR3 parametrizada en la forma: IR2 => T ~ IR3 (u, v) ~ r (u, v) = ( x (u, v), y (u, v), z (u, v) ) Sea F un campo vectorial que esté definido y sea continuo en un abierto U de I R3 que contenga a la superficie S, F: U ~ IR3 (x, y, z) ~ F (x, y, z) = ( F1(x, y, z), F2(x, y, Z), F3 (x, y, z) ) Sea n vector normal unitario a la superficie S, es decir: DefiniciÓn Definimos la integral de superficie del campo vectorial F sobre la superficie S como la integral de superficie del campo escalar F· n sobre la superficie S. JI F· n dS = JI F ( r (u, v) ) . ( ~ ~ A ~ ~ ) du dv s T éJ (x,z) éJ (x,y) éJ (u,v) , éJ (u,v) ) JJ JI éJ(y,z) éJ(z,x) éJ(x,y) s F· n dS = [F1(r(u,v))":\( ) +F2(r(u,v)) ":\( )+F3(r(u,v))":\( )ldUdv T o U,v o U,v o U,v o bien: JI F· n dS = JJ F 1 dy A dz + F2 dz A dx + F3 dx A dy s s Propiedades (1) JI ( F + G ) . n dS = JI F· n dS + JI G· n dS s s s (2) JI ( k F ) . n dS = k JI F· n dS k E IR S S (3) Si S = S1 U S2 donde S1 (") S2 es a lo sumo una curva, JJ F· n dS = JJ F· n dS + JI F· n dS 8 8 1 82 (4) El valor de la integral de superficie de un campo vectorial es, salvo el signo, independiente de la parametrización escogida. Elección del vector normal (1) Superficies cerradas. Tomaremos n como el vector normal exterior. (2) Superficies abiertas. Tomaremos, si es posible, el vector normal ascendente. - tercera componente positiva - S Interpretación Si F es un campo vectorial, F· n es un campo escalar que representa la componente normal a la superficie S del campo F. Fn = F· n Si el campo vectorial F (x, y, z) representa un campo de fuerzas en el espacio (campo eléctrico, magnético, ... ) entonces JI F· n dS S representa el flujo que atraviesa S por unidad de tiempo. Teoría de fluidos Supongamos que tenemos un fluido estacionario, es decir, aquel que posee en cada punto una velocidad independiente del tiempo v (x, y, z); sea Jl (x, y, z) la densidad del fluido en cada punto; definimos: F (x, y, z) = Jl (x, y, z) v (x, y, z) F (x, y, z) recibe el nombre de densidad de flujo de la corriente de fluido y representa la masa de fluido que circula por (x, y, z) en la dirección de v por unidad de área y unidad de tiempo. La integral JI F· n dS S representa el flujo del campo F que atraviesa la superficie S y, por tanto, la masa total de fluido que atraviesa S por unidad de tiempo. TEOREMA DE STOKES El teorema de Stokes expresa una relación entre la integral de línea de un campo vectorial y la integral de superficie. Teorema de Stokes Sea el campo vectorial F: IR3 ~ IR3 (x, y, z) ~ F (x, y, z) = ( F1(x, y, z), F2(x, y, z), F3(x, y, z) ) cuyas componentes sean funciones continuas con primeras derivadas parciales continuas en un abierto que contenga a la superficie S. Sea S una superficie parametrizada de IR3 cuya frontera sea una curva e cerrada, simple y regular a trozos. Supongamos que e está orientada de forma que al recorrer la frontera del lado de la normal a S deja la superficie a la izquierda. Entonces: f F· dr = JI rot F . n dS e S Caso particular: Teorema de Green Supongamos que S es una región del plano xy. z Parametrización de S: ¡---t---- Y x= x } y = y (x, y) E S z=O aaxr ar 1\ ay = (O, O, 1) x Sea F un campo de IR2 cumpliendo las condiciones del teorema de Stokes: F (x, y, O) = ( P (x, y), Q (x, y), O ) entonces: f P dx + Q dy = ff ( ~ ~ -~ P ) dx dy e s y expresión que recoge el teorema de Green como caso particular del teorema de Stokes. TEMA 3. PROBLEMAS 3.1 Encontrar una representación paramétrica de las siguientes superficies, así como la ecuación del plano tangente en el punto indicado en cada caso: (a) x+y+z=O P=(1,O,-1) (b) x2 + z2 = a2 P = (a, 1, O) (e) z = 2 - x2 - y2 P = (1, 1, O) (d) Y = z2 P = (2,1,1) (e) x2 + y2 + z2 = 1 P = (1/2, 112.12/2) (f) x2 y2 2 -+-+z =1 P = (O, O, 1) 4 9 3.2 Calcular el área de las siguientes superficies: (a) región que en el plano x + y + z = 1 determina el cilindro x2 + y2 = 1. (b) porción de esfera x2 + y2 + z2 = 1 interior al cilindro x2 + y2 = y. (e) porción de la superficie z2 = 2xy que se proyecta en el primer cuadrante del plano xy limitada por los planos x = 2. Y = 1. 3.3 Calcular el área de la superficie determinada por la porción de la esfera x2 + y2 + z2 = 1 interior a la esfera x2 + y2 + (z - 1)2 = 1. 3.4 Calcular el área de las siguientes superficies: (a) porción de la esfera x2 + y2 + z2 = 1 comprendida entre los planos z = 12 12 Y z = -12 12. (b) porción del cilindro parabólico z = y2 sobre el triángulo de vértices (O, O). (1, O), (1. 1). (e) porción del paraboloide hiperbólico z = xy interior al cilindro circular x2 + y2 = 4. 3.5 Calcular el área de la porción de semiesfera x2 + (y - a)2 + z2 = a2, z ~ O, interior al cilindro x2 + y2 = ay. 3.6 Calcular el área de las siguientes superficies: (a) porción del cono z2 = x2 + y2 situada por encima del plano z = O Y limitada por la esfera x2 + y2 + z2 = 2x. (b) porción del cono z2 = x2 + y2 situada entre los planos x + 2z = 3 Y z=O. (c) porción del paraboloide 2z = 4 - x2 - y2 sobre el disco de centro (O, O) Y radio 12. (d) porción del cilindro z2 + x2 = 25 interior al cilindro x2 + y2 = 25. 3.7 Calcular el área de la superficie del recinto limitado por los planos z = 1/5, z = 4/5 Y las esferas x2 + y2 + z2 = 1, x2 + y2 + (z - 1)2 = 1. 3.8 Calcular las integrales de superficie de los campos escalares F sobre las superficies S indicadas: (a) F (x, y, z) = z2 S == casquete de z = 1/2 (x2 + y2) para O ~ z ~ 1. (b) F (x, y, z) = xy S == x2 + y2 + z2 = a2 en el primer octante. (c) F (x, y, z) = x2y2z2 S == x2 + y2 + z2 = 1. 3.9 Probar que el momento de inercia de un recipiente esférico hueco alrededor de uno de sus diámetros es 2/3 M R2, siendo M su masa y R el radio, suponiendo que su densidad es constante. 3.10 Calcular las integrales de superficie de los campos escalares F sobre las superficies S que se indican: (a) F (x, y, z) = z (b) F (x, y, z) = x2yz S == casquete más pequeño en que el plano y + z = 1 divide a la esfera x2 + y2 + z2 = 1. 3.11 Calcular las coordenadas del centro de masas de un casquete esférico homogéneo de la esfera x2 + y2 + z2 = R2. 3.12 Calcular las integrales de superficie de los campos vectoriales F sobre las superficies S que se indican: (a) F(x,y,z)= 1 (y,-y,1) Jx2+ y2 (b) F (x, y, z) = ( sen xyz , z(x - y) I x2 + y2) S == porción del plano y = 2z limitado por el hiperboloide de una hoja x2 + y2 - z2 = 1. (c) F (x, y I z) = ( xz , yz , z2 ) S == primer octante del elipsoide 4x2 + 9y2 + z2 = 1. 3.13 Calcular las integrales de superficie de los campos vectoriales F sobre las superficies S que se indican: (a) F (x, y, z) = (yz , xz , xy ) S == cubo con centro el origen y aristas de longitud 2. (b) F (x, y, z) = (x - y, y - z, x - y) S == frontera de [0,1]3. 3.14 Calcular las siguientes integrales de superficie: (a) ff (x + y) dy 1\ dz + (y + z) dz 1\ dx + (x + z) dx 1\ dy S S == superficie del cuerpo limitado por z = 4 - x2 - y2 Y z = O. (b) ff xy dy 1\ dz + y2 dz 1\ dx + y2 dx 1\ dy S S == superficie del cuerpo O S; x S; 1 , O S; Y S; 1 , O S; z S; 1 . (c) ff y dy 1\ dz + x dx 1\ dz + dx 1\ dy S S == r (t, u) = ( t cos u , t sen u , u ), O S; t S; 1, O S; u S; 21t 3.15 Calcular el flujo que atraviesa la superficie del primer octante de la esfera x2 + y2 + z2 = R2 en la dirección de la normal ascendente, para el campo F (x, y, z) = ( yz, xz, xy ). 3.16 El flujo de un fluido tiene el campo F (x, y, z) = ( x, - 2x - y, z) como vector densidad de flujo. Sea S el hemisferio superior (z ~ O) de la esfera x2 + y2 + z2 = 1. Calcular la masa de fluido que atraviesa S por unidad de tiempo en la dirección de la normal ascendente. 3.17 Verificar el teorema de Stokes con el cálculo de las integrales de línea sobre las trayectorias C de los campos vectoriales F que se indican: (a) F (x, y, z) = ( z, x, y ) C curva intersección del plano y + z = 2 Y el cilindro x2 + y2 = 1. (b) F (x, y, z) = ( y - z, z - y, x - y ) C curva intersección del cilindro x2 + y2 = 1 Y el plano x + z = 1. (c) F (x, y, z) = ( x2 + y, yz, x - z2 ) C curva intersección del plano 2x + y + 2z = 2 Y los tres planos coordenados. (d) F (x, y, z) = ( x, y, O ) C curva intersección del paraboloide z = x2 + y2 con el cilindro circular x2 + y2 = 4. 3.18 Emplear dos superficies diferentes para calcular las siguientes integrales de línea mediante el teorema de Stokes. (a) J y dx + Z dy + x dz e C curva intersección de la esfera x2 + y2 + z2 = a2 y el plano z = a/2, con a> O. (b) J (y2 - xz) dx + (x2 + zy) dy + (x2 + y2) dz e C curva intersección del plano 2x + 2y + 2z = 1 con el paraboloide z = x2 + y2. (c) J (y + x) dx + (x + z) dy + z2 dz e C curva intersección del cono z2 = x2 + y2 Y el plano z = 1. 3.19 Calcular el valor de la integral de línea J F . dr siendo C una curva cerrada e que limita un recinto sobre el plano xy de 3 unidades de área, y el campo: F (x, y, z) = (y3 Ch x + Sh y sen z, 3y2 Sh x Ch z + 4x, y (Sh x + Ch z) ) 3.20 Probar que las siguientes integrales de línea tienen los valores que a continuación se detallan: (a) f y dx + Z dy + x dz = -/3 1t e C curva intersección de la esfera x2 + y2 + z2 = 1 con x + y + z = 1. (b) f (y + z) dx + (z + x) dy + (x + y) dz = O e C curva intersección del cilindro x2 + y2 = 2y Y el plano y = z. (c) f (y - z) dx + (z - x) dy + (x - y) dz = - 10 1t e C curva intersección del cilindro x2 + y2 = 1 Y el plano x + z/4 = 1. (d) f (y2 + z2) dx + (x2 + z2) dy + (x2 + y2) dz = 41t e C curva intersección de la semiesfera x2 + y2 + z2 = 4x, z ~ O, yel cilindro x2 + y2 = 2x. 3.21 Calcular cada una de las siguientes integrales de línea: (a) f (y2 + z2) dx + (x2 + z2) dy + (x2 + y2) dz e C = { x + y + z = a} í) { x2 + y2 = a2/4 } (b) f (y2 + z2) dx + (x2 + z2) dy + (x2 + y2) dz e C = { x2 + y2 + z2 = 4y } í) { x2 + y2 = 2y } (c) f y dx + Z dy + x dz e e = { x2 + y2 + z2 = 1 } í) { y + z = 1 } 3.22 Sobre la trayectoria intersección del plano x + y + z = 3/2 con la frontera del cubo unidad, a [O, 1]3, calcular la integral de línea del campo vectorial F (x, y, z) = ( y2 - z2, z2 - x2 , x2 _ y2 ). SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS DEL TEMA 3 3. 1 Encontrar una representación paramétrica de las siguientes superficies, así como la ecuación del plano tangente en el punto indicado en cada caso: (a) (b) x+y+z=O P=(1,0,-1) Parametrización r = r (x, y): x=x } y=y x,ye IR z=-x-y dr _ O ( 1 J d x - -1 -ª.l. - (O1 J d Y - -1 'ti x, y x -1 1 O Plano tangente: Y O 1 = O; x+y+z=O z + 1 -1 -1 x X2 + z2 = a2 P = (a, 1, O) z Parametrización: r = r (u,v) ;-'-+---1-- y x=acosu} y=v z = asen u U e [O, 21t] ve IR Valor de los parámetros en P = (a, 1, O) , u = O, v = 1. d r (O J d v = 1 (0,1) O x- a O O Plano tangente: y-1 01 =0; z a O x-a = O (e) (d) x x z = 2 - X2 - y2 P = (1, 1, O) z 2 r---+--y Parametrización: r = r (x,y) x=x } y=y 2 2 z=2-x -y X ,ye IR Valor de los parámetros en P = (1, 1, O) , x = 1, Y = 1. ~ ~ (1,1) = (-~ J aay r - (O1 J (1,1) -2 x - 1 1 O Plano tangente: Y - 1 O 1 = O ; 2x + 2y + z - 4 = O z -2 -2 P = (2, 1, 1) z Parametrización: r = r (x,z) r-----y Yx =_ zX2 } x,ze IR z=z Valor de los parámetros en P = (2, 1, 1) , x = 2, z = 1. aaxr l = (1OJ (2,1) O aazr l = (2,1 ) (e) (f) Plano tangente: z ~-+---t-1- Y x x - 2 1 O y-1 O 2 = O; y-2z+1 = O z -1 O 1 P = (1/2, 1/2, f2 /2) Parametrización: r = r (u,y) x = sen u cos y } y = sen u sen y z = cos u O