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IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DEL ARCO COMPUESTO Y REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE EJERCICIOS RESUELTOS DE TRIGONOMETRÍA PREUNIVERSITARIA EN PDF






















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FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA SUMA DE DOS ARCOS Sen (+)= Sen.Cos +Sen.Cos Cos (+)= Cos. Cos-Sen.Sen Tg (+) = FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA RESTA DE DOS ARCOS Sen (-)= Sen.Cos - Cos.Sen Cos (-)= Cos.Cos + Sen.Sen Tg (-) = tg - tg 1+ tg . tg Ojo: Ctg(+)= Ctg . Ctg + 1 Ctg  Ctg  Aplicación: a) Sen 75º = Sen (45º+30º) = Sen 45º Cos30º+Cos45º Sen30º =  Sen75º = b) Cos 16º = Cos (53º-37º) = Cos 53º.Cos37º Sen37º =  Cos 16º = c) tg 8º = tg (53º-45º) = =  Tg 8º 5 EJERCICIOS RESUELTOS 1. Calcular: E=(Sen17º + Cos13º)²+(Cos17º+Sen13º)² = Sen²17º + Cos²13º+ 2Cos13ºSen17º + Cos²17º+Sen²13º+ 2Cos17º.Sen13º = 1+1+2Sen (17º+13º) = 2 + 2Sen30º= 3 2. Hallar: P=Cos80º+2Sen70º.Sen10º Resolución = Cos(70º+10º)+2Sen70º.Sen10º = Cos70º.Cos10º-Sen70º.Sen10º+2Sen70º.Sen10º = Cos70º.Cos10º+ Sen70ºSen10º = Cos(70º-10º)=Cos60º = 3. Hallar Dominio y Rango: f(x) = 3Senx + 4 Cosx Resolución Dominio: x R Rango: y = 5 Y = 5 (Sen37º.Senx +Cos37º.Cosx) Y = 5 Cos(x-37º) Ymax = 5 ; Ymin = -5 Propiedad: E = a Sen  b Cos x Emáx = Emin = - Ejemplo: -13  5 Senx + 12 Cos x  13 -  Sen x + Cosx  4. Siendo Sen 20º = a, Cos 25º = b. Obtener tg 25º en término de “a” y “b” Resolución Sen 20º = a Sen (45º-25º) = a b- Sen 25º = a Sen 25º = (b-a) Tg25º = 5. Simplificar: E=Sen²(+)+sen²-2sen (+) Sen.Cos Resolución: Ordenando: E = Sen²(+) – 2Sen(+) Sen.Cos + Sen² + Cos²Sen² - Cos²Sen² E = sen(+)-Cos.Sen²+Sen²(1-Cos²) E = Sen²Cos² + Sen² . Sen² E = Sen²(Cos² + Sen²) E = Sen² 6. Siendo: Sen + Sen + Sen =0 Cos + Cos + Cos  = 0 Calcular: Cos (-) + Cos (-) + Cos (-) Resolución: Cos + Cos = - Cos  Sen + Sen = - Sen  Al cuadrado: Cos² + Cos² + 2Cos . Cos = Cos² Sen² + Sen² + 2Sen . Sen = Sen² 1 + 1 + 2 . Cos( - ) = 1 Cos ( - ) = - Por analogía: Cos ( - ) = - Cos ( - ) = - E = - 3/2 Propiedades : Ejm. Tg18º+tg17º+tg36ºtg18ºtg17º=tg35º Tg20º + tg40º + tg20º tg40º =  (tg60º) tg22º + tg23º + tg22º . tg23º = 1 tg + tg2 + tg tg2 tg3 = tg3 8. Hallar tg si: Resolución: ........................ 9. Siendo: tg (x-y) = , tg (y-z) = 1 Hallar: tg (x-z) Resolución ........................ 10. Siendo “Tag ” + “Tag” las raíces de la ecuación: a . sen  + b . Cos  = c Hallar: Tg ( + ) Resolución: Dato: a Sen + b Cos = c a Tg + b = c . Sec  a² tg² + b²+ 2abtg = c² (1+tg²) (a² - c²) tg²  + (2ab)tg + (b² - c²)=0 tg + tg = tg . tg = tg (+) = tg(+) = Propiedades Adicionales Si : a + b + c = 180° Si: a + b + c = 90° EJERCICIOS 1. Si : ;  III C; ,  IV C. Hallar: a) 16/65 b) 16/65 c) 9/65 d) 13/64 e) 5/62 2. Reducir : a) Taga b) Tagb c) Tag(a – b) d) Tag( a +b ) e) Ctga 3. Si : Hallar E = a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 4. Si : ;θ III C; Tag =1 ;   III C Hallar E = a) 17 /13 b) 17 /15 c)17 /14 d) 17 /26 e) 5 /26 5. Reducir : a) Senb b) Sena c) Cosa d) Cosb e) 1 6. Reducir :M = a) 2Cosθ b) 2Senθ c) 3Cosθ d) 2Senθ Cosθ e) Ctgθ 7. Reducir : a) 1 b) -1 c) d) e) 2 8. Reducir : a) b) c) d) e) 9. Si se cumple: Hallar M = a) 1 /2 b) 2 c) 1 /2 d) 1 e) 1/4 10. Si ABCD es un cuadrado. Hallar Tagx a) 19/4 b) 4/19 c) 1/2 d) 7/3 e) 3/4 11. Reducir : E = a) 1 b) 2 c) 1 /2 d) 1 /4 e) 1 /8 12. Si: ; Hallar E = a) 11/ 10 b) 10 / 11 c) 5 /3 d) 13 / 10 e) 1 / 2 13. Hallar : Ctgθ a) 1 /2 b) 1 /32 c) 1 /48 d) 1 /64 e) 1 /72 14. Hallar :M = a) 2 b) 1 c) 1 /2 d) 3 e) 1 /3 15. Hallar el máximo valor de: M = a) 1 b) 2 /3 c ) 4 /3 d) 5 /3 e) 1 /7 REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE PRIMER CASO: Reducción para arcos positivos menores que 360º f.t. Depende del cuadrante f.t. Ejm: Sen200º=(Sen180º+20º)=-Sen 20º IIIQ Tg300º = (tg300º - 60º) = -tg60º IVQ Cos = -Senx II Q Sec SEGUNDO CASO: Reducción para arcos positivos mayores que 360º f.t. (360º . n + ) = f.t. (); “n”  Z Ejemplos: 1) Sen 555550º = Sen 70º 555550º 360º 1955 1943 -1555 1150 - 70º 2) Cos TERCER CASO: Reducción para arcos negativos Sen(-) = -Sen Ctog(-) = -Ctg Cos(-) = Cos Sec(-) = Sec Tg(-) =-tg Csc(-) = -Csc Ejemplos: Sen (-30º) = -Sen30º Cos (-150º) = Cos 150º = Cos (180º - 30º) = - Cos 30º Tg = -ctgx ARCOS RELACIONADOS a. Arcos Suplementarios Si:  +  = 180º ó   Sen = Sen Csc = Csc Ejemplos: Sen120º = Sen60º Cos120º = -Cos60º Tg b. Arcos Revolucionarios Si  +  = 360º ó 2   Cos = Cos Sec = Sec Ejemplos: Sen300º = - Sen60º Cos200º = Cos160º