GEOMETRIA ANALITICA EJERCICIOS RESUELTOS DE SECUNDARIA–MATEMATICA 4 ESO PDF

GEOMETRÍA ANALÍTICA
Las coordenadas de los vértices de un rectángulo son A(2, 2); B(2, 5); C(6, 5), y D(6, 2).
Halla las coordenadas y representa los vectores A B , B C , C D  y D A . ¿Qué relación existe entre A B  y
C D ? ¿Y entre B C  y D A ?
A B    (0, 3) B C    (4, 0) C D    (0,  3)  DA    ( 4, 0)
A B     C D  B C     D A
Las coordenadas de un punto A son (3, 1) y las del vector A B  son (3, 4). ¿Cuáles son las coordenadas
del punto B? Determina otro punto C de modo que el vector A C  tenga el mismo módulo y la misma
dirección que el vector A B , pero distinto sentido.
B   (3   3, 4   1)   (6, 5) A C    ( 3,  4) C   ( 3   3,  4   1)   (0,  3)
Representa los vectores a     (2, 2); b     (7, 0); c     ( 6, 2); d     (3,  1), y e     ( 6, 0) con origen en el
origen de coordenadas. ¿Qué coordenadas tienen los extremos de cada vector?
Las coordenadas de los extremos de cada vector
coinciden con las coordenadas de los vectores.
Halla las coordenadas de los vectores de la figura.
a     (2, 2)
b     (7, 0)
c     ( 6, 2)
d     (3,  1)
e     ( 6, 0)
Dados los vectores u     (6, 5); v     ( 3, 0) y w     (2,  4), calcula:
a) 2u
b) 3v     w
c) 5(u     v  )   w
a) 2u     2   (6, 5)   (12, 10)
b) 3v     w     3   ( 3, 0)   (2,  4)   ( 9, 0)   (2,  4)   ( 11, 4)
c) 5(u     v  )   w     5   [(6, 5)   ( 3, 0)]   (2,  4)   5   (9, 5)   (2,  4)   (45, 25)   (2,  4)   (47, 21)
Los vértices de un paralelogramo son A(3, 4); B( 4, 4); C(3,  4), y D. ¿Cuáles son las coordenadas de D?
Dados los vectores a     ( 7, 2); b     (10,  4); c     (14,  4), y d     ( 19, 2), determina si son linealmente
dependientes:
dependientes.
Indica las coordenadas de los siguientes vectores y represéntalos gráficamente.
a) a      7i    2j  c) c     14i    4j
b) b     10i    4j  d) d      19i    2j
a) a      7i    2j     7(1, 0)   2(0, 1)   ( 7, 2) c) c     14i    4j    (14,  4)
b) b     10i    4j    (10,  4) d) d      19i    2j    ( 19, 2)
Dados los vectores u     (1, 2); v     (3,  4); w     (2,  3) y z     (4,  6) realiza estas operaciones.
a) u     v   b) w     z   c) (u     v  )   w
a) u     v     (1, 2)   (3,  4)   3   8    5
b) w     z     (2,  3)   (4,  6)   8   18   26
c) (u     v  )   w     [(1, 2)   (3,  4)]   (2,  3)   (4,  2)   (2,  3)   8   6   14
Los módulos de dos vectores son 6 y 10. Halla el producto escalar de ambos vectores si el ángulo que
forman es de 60 .
u     v     | u   |   | v   |   cos (u  , v  )   6   10   cos 60    60  
1
2    30
Calcula el módulo de estos vectores.
a) a     (3,  1) c) c     ( 4, 5)
b) b     ( 2,  7) d) d     (6, 0)
a) | a   |    3 2   (  1)2    1 0 c) | c   |    (  4)2   52    4 1
b) | b   |    (  2)2   ( 7)2    5 3 c) | d   |    6 2   02     3 6   6
Halla el módulo del vector de origen A(1, 1) y de extremo B(5, 4).

Producto escalar
Dados los vectores u     ( 6, 8) y v     (1, 7), calcula:
a) u     v   b) ( 2u  )   v   c) | u   |
a) ( 6, 8)   (1, 7)    6   56   50
b) (12,  16)   (1, 7)   12   112    100
c)  (  6)2   82   10
Estudia si los vectores de las siguientes parejas son perpendiculares entre sí.
a) u     (6, 9) y v     ( 3, 2)
b) u     (2, 4) y v     ( 8,  4)
c) u     ( 3, 6) y v     (10, 5)
d) u     ( 1,  2) y v     (4, 2)
a) (6, 9)   ( 3, 2)    18   18   0. Sí son perpendiculares.
b) (2, 4)   ( 8,  4)    16   16    32. No son perpendiculares.
c) ( 3, 6)   (10, 5)    30   30   0. Sí son perpendiculares.
d) ( 1,  2)   (4, 2)    4   4    8. No son perpendiculares.
Halla el ángulo que forman los vectores u   y v   en cada caso.
a) u      2,  3   y v       3 , 1
b) u     ( 6, 10) y v     (3,  5)
c) u      2,  2   y v       2,  2
a) cos    
 2).
Ahora se comprueba si ese punto pertenece a t: 1   4   2   9   0.
Por tanto, las tres rectas se cortan en el mismo punto: (1, 2).
C U E S T I O N E S P A R A A C L A R A R S E
Siendo A(1, 4) y B(0, 6), ¿el vector fijo A B  es un representante del vector libre u     ( 1, 2)?
A B    (0, 6)   (1, 4)   ( 1, 2)
Sí lo es, porque tienen las mismas coordenadas.
¿Son equipolentes dos vectores opuestos? Razona tu respuesta.
No, porque tienen distinto sentido.
Clasifica las siguientes operaciones según sea su resultado un número o un vector.
a) k(u     v  ) b) k(u     v  ) c) u     (v     w  ) d) k   (u     v  )
a) Número b) Vector c) Número d) Número
¿Cuál es el producto escalar de dos vectores de igual módulo y dirección, pero que tienen sentido
contrario?
Su dirección y su sentido son iguales
¿Es posible que el producto escalar de dos vectores u   y v   sea igual a 12 si |u   |   3 y | v   |   4? ¿Por qué?
u     v     | u   |   | v   |   cos    3   4   cos    12 si cos    1; es decir, si tienen la misma dirección y sentido.
a) Razona si es posible determinar la ecuación de una recta sabiendo que pasa por el punto A(0, 6) y
que su ordenada en el origen es 6.
b) ¿Y si la recta pasa por el punto A y por el origen de coordenadas?
a) No, porque que la ordenada en el origen sea 6 quiere decir que pasa por el punto de primera coordenada 0 y de segunda
coordenada 6, que es el punto A, y, por tanto, solo se sabe un punto de la recta y, para que quede determinada, se necesita
al menos otro.
b) En este caso, sí es posible determinarla, porque se conocen dos puntos por los que pasa.
 4   0
8.63
Relaciona en tu cuaderno las rectas dadas por las siguientes ecuaciones con los elementos que les corresponden.
¿Cuál es la posición relativa de dos rectas
a) que tienen la misma dirección y un punto en común?
b) con distinta dirección?
c) que en su ecuación punto-pendiente tienen la misma pendiente y el punto distinto?
a) Coincidentes.
b) Secantes.
c) Paralelas
P R O B L E M A S P A R A A P L I C A R
Para arrastrar una mesa muy pesada de tablero circular y con una pata en el centro, se atan dos
cuerdas y se tira de ellas como muestra la figura.
Si se utilizase una única cuerda para obtener el mismo
resultado que con las dos anteriores, ¿qué fuerza
debería aplicarse?
La fuerza que se ejerce sobre cada una de las cuerdas tiene el
mismo módulo, dirección y sentido que los vectores
a     (3, 6) y b     (5,  6).
La cuerda se obtendría como resultado de sumar las otras dos.
a   + b     (3, 6)   (5,  6)   (8, 0)   (8, 0)
Una maqueta de un barco de vela es empujada por la corriente del agua de un estanque que ejerce una
fuerza f a   (10, 8). A su vez, el viento sopla con una fuerza f v   ( 3,  1).
¿En qué dirección y sentido es la fuerza resultante? ¿Cuál es su módulo?
El barco se desplaza según el resultado de sumar a la fuerza de la corriente la del viento: (10, 8)   ( 3,  1)   (7, 7)
El barco se desplaza en el mismo sentido que la fuerza de la corriente.
Su módulo es:  7 2   72     9 8   7 2 .
En un radar se observa el vuelo de dos aviones. Uno de ellos se encuentra en el punto de coordenadas
(5, 3) y se desplaza siguiendo la dirección del vector u     ( 4, 7). La trayectoria del segundo queda
determinada por la recta de ecuación 7x   4y   83   0.
Si continuaran su vuelo de forma indefinida, ¿chocarían en algún momento?
Trayectoria del primer avión:

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