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Lección 1: Funciones ,
Proyecto de la unidad,
Lección 2: Función inyectiva, sobreyectiva y biyectiva,
Lección 3: Función inversa,
Evaluación de proceso,
Lección 4: Función potencia,
Lección 5: Traslaciones horizontales y verticales,
Lección 6: Situaciones que involucran
la función potencia.,
Evaluación de proceso,
Síntesis,
Evaluación final,
Actividades complementarias,
Evaluación de la unidad,
Tabla de especificaciones de la
Evaluación de la unidad,
Antes aprendí a:
• Reconocer funciones en diversos contextos e identificar sus elementos.
• Analizar representaciones de la función lineal y de la función afín.
• Analizar las funciones exponencial y logarítmica.
• Analizar las funciones raíz cuadrada y cuadrática.
En esta unidad podré:
• Caracterizar las funciones y sus elementos.
• Identificar funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas.
• Analizar las condiciones para la existencia de la función inversa y la determinación
de funciones inversas.
• Analizar la función potencia.
• Analizar los desplazamientos de la función potencia.
En la actividad inicial observaste que en cada una de las secuencias había un patrón
que permitía formarlas y, aplicando esta regla, se podía continuar agregando términos.
En algunos casos los términos que continúan la secuencia se obtienen sumando una
cantidad fija al número anterior. En este caso se dice que los términos están en una
progresión aritmética, y la cantidad fija se llama diferencia; por ejemplo, en la secuencia:
14 - 20 - 26 - 32 - 38 - 44 - ...
cada término se genera sumando 6 al término anterior. Luego, la diferencia es 6 y el
número que continúa la secuencia es 50, ya que 44 + 6 = 50.
Asimismo, si el término que continúa la secuencia se obtiene multiplicando el término
anterior por una cantidad fija, se dice que los términos están en una progresión geométrica.
En este caso, la cantidad fija recibe el nombre de razón. Por ejemplo, en la secuencia:
2 - 6 - 18 - 54 - 162 - 486 - ...
cada término se genera multiplicando el término anterior por 3. Por lo tanto, en la
secuencia anterior, la razón es 3 y el número que sigue es 1 458, ya que 486 · 3 = 1 458.
En general dada una progresión aritmética o geométrica, podemos hallar el término en
cualquier posición a partir del primer término y de la diferencia o razón, respectivamente.
En una progresión aritmética, si el primer término de la secuencia es a1 y la diferencia
es d, los términos que siguen, en función de a1 y d, son:
a2 = a1 + d
a3 = a2 + d = a1 + d + d = a1 + 2d
a4 = a3 + d = a1 + 2d + d = a1 + 3d ...
an = a1 + (n – 1)d
En la siguiente actividad utilizarán GeoGebra para modelar situaciones que involucran la función potencia.
1. Podemos usar el software para representar una función potencia que modele el capital final en una
inversión, en función de la tasa de interés compuesto anual, dado el capital inicial y el periodo de
tiempo en que el dinero fue invertido. Abran el programa y sigan los siguientes pasos.
a. En la barra de entrada escriban la función f (x) = 10000(1 + x)^6. De esta manera podrán observar
cómo varía el capital final en función de la tasa de interés compuesto anual, cuando se invierten
$ 10 000 durante 6 años. Para visualizar mejor la gráfica, hagan clic con el botón secundario sobre
alguno de los ejes. Luego, elijan Vista gráfica y, después, ajusten los valores de x Mín y x Máx
a –0,1 y 1, respectivamente; y ajusten y Mín e y Máx a –10 000 y 100 000, respectivamente.
b. Cuando x = 0, ¿cuál es el valor de x?, ¿siempre ocurrirá eso?, ¿por qué?
c. A partir de la gráfica estimen los valores de f (0,05) y f (0,1). Según el contexto, ¿qué representan las
cantidades anteriores?
d. A partir de la gráfica de f estimen el valor de x para el cual el capital inicial se duplica, al cabo de los
6 años.
e. María y Pedro depositaron $ 10 000 cada uno. María lo hizo a 6 años con una tasa de interés del
0,04 % anual y Patricio, a un interés compuesto del 0,08 % durante el mismo periodo de tiempo.
María dice que al cabo de 6 años, Pedro tendrá el doble de dinero que ella. ¿Está María en lo
correcto? Argumenten usando la función graficada en el programa.
2. Modela una función g que te permita calcular el capital final en función de la tasa de interés
compuesto anual, sabiendo que el capital inicial es $ 150 000 durante un periodo de 3 años. Luego,
grafícala usando GeoGebra.
3. Usa la gráfica obtenida para estimar los siguientes valores de la función.
a. g (0,01) b. g (0,05) c. g (0,6)
4. Verifica los valores que obtuviste en la pregunta anterior evaluando directamente la función g para
los valores de x dados. Por ejemplo, para evaluar g(0,01) escribe en la barra de entrada g(0.01).
5. En el contexto anterior, ¿es pertinente calcular f (2)? , ¿por qué? Comenten.
6. Un tipo de bacteria se reproduce de tal manera que en una hora la cantidad de microorganismos
se puede duplicar o cuadruplicar, dependiendo de las condiciones ambientales que existan. Si
inicialmente hay 1 bacteria.
a. Modela con una función el crecimiento de la bacteria en función de la tasa de crecimiento, después
de 6 horas.
b. Usando GeoGebra grafica la función anterior y estima la cantidad de horas que debe transcurrir para
que la cantidad de bacterias sea más de 10 000, en cada caso.
27. ¿Qué función permite determinar el capital final,
en función de la tasa de interés expresada como
número decimal?
A. f (x) = 16 000 · x4
B. f (x) = 16 000 · (x + 1)4
C. f (x) = 16 000 · (x – 1)4
D. f (x) = 16 000 · (100x + 1)4
E. f (x) = 16 000 · (100x – 1)4
28. Si Constanza realiza la inversión con una tasa de
interés anual de 8 %, ¿cuál es el capital final, al
cabo de los 4 años?
A. $ 21 767
B. $ 30 236
C. $ 64 000
D. $ 65 536
E. $ 104 976
29. ¿Cuál es el dominio de la función f (x) = axn?, si:
(1) a = 4
(2) n = 3
A. (1) por sí sola.
B. (2) por sí sola.
C. Ambas juntas, (1) y (2).
D. Cada una por sí sola, (1) o (2).
E. Se requiere información adicional.
30. Dada la función f (x) = (x – a)–3 + b, se quiere
determinar los valores de a y b, si:
(1) La función tiene una asíntota en x = –6
(2) Rec f = R – {7}
A. (1) por sí sola.
B. (2) por sí sola.
C. Ambas juntas, (1) y (2).
D. Cada una por sí sola, (1) o (2).
E. Se requiere información adicional.
31. Andrés invirtió una cantidad de dinero a 5 años
con una tasa de interés compuesto. ¿Cuál será su
capital final al cabo de ese tiempo?, si:
(1) La tasa de interés es de un 7 % anual.
(2) El capital inicial fue de $ 76 000.
A. (1) por sí sola.
B. (2) por sí sola.
C. Ambas juntas, (1) y (2).
D. Cada una por sí sola, (1) o (2).
E. Se requiere información adicional.
9. El volumen de un cono de altura h y radio basal r,
se puede calcular mediante la expresión:
V = 13
πr2h
a. Si en un cono su radio es la novena parte de
su altura, modela una función que permita
representar el volumen del cono en función de
su altura.
b. La función anterior, ¿es una función potencia?
Argumenta tu respuesta.
c. De acuerdo al contexto dado, ¿cuál es el
dominio de la función anterior?, ¿cuál es su
recorrido? Justifica.
10. Modela las siguientes situaciones usando una
función potencia.
a. El volumen de un cubo en función de la
medida de su arista.
b. El área de un círculo en función de la medida
de su diámetro.
c. El volumen de un prisma de base rectangular
cuyo ancho mide el doble que el largo y el alto
mide el triple que el ancho.
11. Resuelve los siguientes problemas.
a. Si se invierten $ 42 000 a una tasa de interés
compuesto del 2 % anual durante 10 años,
¿cuál será el capital final? Y si la tasa de interés
fuera del 4 %, ¿cuál sería el capital final?
b. Un tipo de bacteria se reproduce al doble
cada hora que pasa. Otro tipo de bacteria se
triplica por cada hora transcurrida. Si se hace
un cultivo en el que inicialmente hay 1 000
bacterias de cada tipo, ¿cuántas habrá al cabo
de cinco horas?
c. Sergio y Alicia depositaron cada uno $ 62 000
en sus cuentas bancarias. Sergio lo hizo al 6 %
anual, por 4 años; y Alicia, al 8 % anual por el
mismo periodo de tiempo. Al retirar el dinero,
¿cuánto dinero más tiene Alicia que Sergio?
d. Dos progresiones geométricas parten con el
número 6. Si la razón de una de ellas es 9 y la
razón de la otra es 6, ¿cuál es la suma entre los
términos que ocupan la posición 10 en cada
progresión?
9. ¿Para qué valores de a y b el vértice de la función
f (x) = 2a – b + 6(x + b – 4a)4 es el punto (4, 6)?
10. Modela las siguientes situaciones usando una
función potencia.
a. El área de un cuadrado de lado a2.
b. El perímetro de un triángulo equilátero de
lado b3.
c. El octavo término de una progresión
geométrica cuyo primer término es 7 y de
razón x.
d. El n-ésimo término de una progresión
geométrica cuyo primer término es a y de
razón x.
11. El volumen de un prisma de base cuadrada de
lado l y altura h, se puede calcular mediante la
expresión V = l2h.
a. Si la altura de un prisma de base cuadrada
mide el doble que el lado de la base, modela el
volumen del prisma, en función de l.
b. La función anterior, ¿es una función potencia?
Argumenta tu respuesta.
c. De acuerdo al contexto dado, ¿cuál es el
dominio de la función anterior?, ¿cuál es su
recorrido? Justifica.
12. Se invierten $ 42 000 a una tasa de interés
compuesto anual durante 6 años. Calcula el
capital final, para cada una de las tasas de
interés dadas.
a. 1 %
b. 2 %
c. 4 %
d. 8 %
e. 10 %
f. 20 %
13. Ramón depositó $ 72 000 con una tasa de interés
anual del 7 %, durante 5 años.
a. ¿Cuánto dinero obtuvo de ganancia?
b. Si hubiese realizado el depósito a un 14 %
anual, ¿su ganancia habría sido el doble?
Argumenta tu respuesta.
c. ¿Cuánto más habría ganado si hubiese
realizado la inversión con una tasa de interés
del 21 %?
14. Determina el término que ocupa la posición 12
en una progresión geométrica cuyo primer
término es el 2 y cuya razón es la indicada.
a. r = 2
b. r = 3
c. r = 6
d. r = 9
5. Determina si las siguientes afirmaciones son
verdaderas o falsas. Justifica las falsas.
a. La función f (x) = 8 – 4x es sobreyectiva.
b. La función g(x) = 7x2 + 5 es inyectiva.
c. La función h(x) = 2 · log x es biyectiva.
6. Escribe la expresión algebraica de una función
inyectiva tal que no sea sobreyectiva.
7. ¿Cómo representarías una función sobreyectiva
pero que no sea inyectiva, algebraicamente?
8. Representa una función biyectiva con una
expresión algebraica.
9. Determina la inversa de las siguientes funciones.
a. f (x) = 3x – 4
b. f (x) = x + 5
8
c. f (x) = 3 · 4x
d. f (x) = log3 x
10. Si f (x) = 3x – 25, ¿existe f–1(x)? Justifica.
11. Demuestra que si f (x) = ex + 1, entonces
f–1(x) = ln(x – 1). ¿Cuál es la relación entre las
gráficas de ambas funciones?
12. ¿Para qué valores de k, el recorrido de la función
f (x) = –3xk corresponde a R0?
13. Determina si las siguientes afirmaciones son
verdaderas o falsas. Justifica las falsas.
a. La función potencia f (x) = axn, con n positivo
impar y a > 0, es siempre creciente.
b. El vértice de una función potencia f (x) = axn es
el punto más bajo de la curva.
c. La gráfica de la función potencia f (x) = axn, con
n negativo impar y a < 0, se halla en el segundo
y cuarto cuadrante.
d. El dominio de la función potencia f (x) = axn,
con n positivo par y a < 0, son todos los
números reales positivos y el 0.
e. La gráfica de la función potencia f (x) = axn, con
n positivo par, es una curva llamada parábola.
14. Grafica las funciones f (x) = 2x4 y g(x) = 2x3.
Luego, responde.
a. ¿En qué puntos se intersecan?
b. ¿Para qué valores de x es creciente cada una?
c. ¿Cuál es el recorrido de cada función?
15. A partir de la gráfica de f (x) = 3x2 (en color negro)
determina las funciones cuyas gráficas son las de
color rojo, azul y verde.
