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FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES PROBLEMAS RESUELTOS PDF

Curvas de nivel , Superficies de nivel, Conjuntos abiertos y cerrados , Límite de una función de varias variables Propiedades de los límites , Regla de dos trayectorias para calcular límites , Continuidad de funciones de varias variables Propiedades de continuidad , I UNCIONES DE VARIAS VARIABLES D< flnición 1. Una función real de n variables denotada por / : D c Rn -» R es una regla de correspondencia que asigna a cada n-upla de números reales ( - ; *n) de un conjunto D del espacio Rn , un único número real z denotado por * = f ( x 1;x 2; ...; xn) I iis variables x 1; x 2; ...; xn se denominan variables independientes de la función, mientras que z se llama variable dependiente. 1 I domino de la función / es el conjunto l)/ = d = {(xa; x 2; ...; xn) e E n /3 z £ iK .A z = f { x t \ x z-,...; xn)} c E n ! I rango o recorrido de la función / es el conjunto R, = { z £ l / 3 (^1 x2; •••;*„) 6 D A f ( x 1;x2: ... ;xn) = z] c E I li mpio 1. Determine el dominio y rango de la función / (* ;y ) = v '3 6 - * 2 - y 2 Solución I I dominio de la función f es ei conjunto D = {(x: y) G IR2 / 36 - x 2 - y 2 > 0} = {(x;y) E l 2 / x 2 + y 2 < 36} I s dccir. el dominio es ei conjunto de todos los puntos que se encuentran en la t ircunferencia x 2 + y 2 = 36, o en su interior. ( 'mno 36 - x 2 - y 2 > 0 <=> 0 < x 2 + y 2 < 36 «=* 0 < 36 - x 2 - y 2 < 36 ■ > 0 < z - <¿36 — x 2 - y 2 < V36 = 6, entonces el rango de la función / es el i im|unto Rf = {z £ & / 0 < z < 6} = [0; 6] CÁLCULO III Definición 2. Sea / : D c l n - + l una función de n variables reales con dominio D. Se denomina gráfica de la función z = f ( x i , ...;x n) al conjunto de todos los puntos (X ; x2; ...; xn; z) cuyas coordenadas satisfacen la ecuación z = f ( x 1\ x 2\ ...;xn) y se escribe Gr = í(x i; x2; ...; xn; z) G E " +1 / z = / ( x x; ...; xn)} c E ”+1 Para el caso n = 1 (función de una variable real) la gráfica es una curva, mientras que para n = 2 adopta la forma de una superficie en el espacio E 3, siendo / (x; y) la distancia orientada desde (x; y; 0) hasta (x; y; /(x ; y)) (ver fig. 2. 1) Al referirnos a una función dada por la ecuación z = f ( x x; ...;x n), se supone (a menos que se especifique explícitamente alguna restricción adicional) que el dominio está formado por el conjunto de n-uplas (xx; ...; xn) para los cuales z es un número real. Ejemplo 2. Dado /( x ;y ) = 6 4- --^ 3 6 — 9x2 — 4y2 a) Encuentre el dominio y rango de ia función, b ) Trace la gráfica de f . Solución f x 2 y 2 1 a) Df - {(x; y) G E 2 / 36 - 9x2 - 4 y 2 > 0} = J (x; y) G E 2 / — 4-— < 1 [ V > Luego, el dominio de / es el conjunto de todos ios puntos (x; y) que están en x 2 y 2 ia elipse — 4- — = 1. o en su interior 4 9 El rango de la función f es ei conjunto «/ = | z e K / 6 < z < 6 + ^V36 = 8j = [6; 8] b) La gráfica de la función / es ia superficie que se muestra en la figura 2.2 Ejemplo 3. Determine analítica y gráficamente el dominio de ias siguientes funciones 68 PUNCIONES DE VARIAS VARIABLES n) / (x ;y) = ln(y2 — x 2) 4- areseniy — 2) — y 9 — x 2 — y 2 J 16 - x 2 - y 2 J y 2 - 1 »» //(*; y) = rlnV(xi2- -+-- -y-+2 - y 4) V'X 2 _ y 2 Solución .i) Df - {(x; y) G E 2 / y 2 — x 2 > 0 A —1 < y — 2 < 1 A 9 — x 2 — y 2 > 0} = {(x; y) G E 2 / y 2 > x 2 A 1 < y < 3 A x 2 4 y 2 < 9} I ue^o, el dominio de / es el conjunto de puntos (x; y) que se encuentran entre las netas y = —x y y = x, interior o sobre la circunferencia x 2 4 y 2 = 9 y entre las teclas y = 1 y y = 3, como se muestra en la figura 2.3 (las líneas punteadas no forman pane del dominio). \\ / \ / X / i y \\ \\ 1 1 ' S)/\ Vi -rU- / x. / N. / ^ 4 __ ^ \ b) Df = {(x; y) E R2 / 16 - x 2 - y 2 > 0 A x 2 4-y 2 - 4 > 0 A x 2 4-y 2 - 4 * 1 A y 2 — 1 > 0 A x 2 — y 2 > 0} = í( * ;y ) 6 IR2 ¡ x 2 + y 2 < 16 A x 2 + y 2 > 4 A x 2 + y 2 * 5 A (y < - 1 V y > 1) A x 1 - y 2 > 0 } Por consiguiente, el dominio es el conjunto sombreado en la figura 2.4. I ,as líneas punteadas no forman parte del dominio. Ejemplo 4. Si / ( x 4- y; x - y ) = x y 4- y 2, halle / ( x ; y ) Solución 1 x 1 Al escoger u = x 4 - y y v — x — y, se obtiene x = - (u 4- v ) y y = - (u — v) 2 2 I Aiego, la regla de correspondencia de / en términos de u y v es 1 1 1 /( u ; v ) = - ( u + i;)(u - v) 4- j ( u - v ) 2 - - ( u 2 - ui;) 4 4 2 Por tanto, la regla de correspondencia de / en términos de x e y es /O ; y) = ¿ ( * 2 ~ * y ) 6 9 CÁLCULO III O PE R A C IO N E S CON FUNCIONES Sean f , g \ Rn -> R dos funciones de n variables cuyos dominios son Df y Dg respectivamente. Entonces se tiene: a) Función suma ( f + 0)QÓ = / ( * ) + 9(x). Df+g = Df n Dg y x = (x i; x 2; ...; xn) b) Función diferencia ( / - 0 ) ( í ) = / ( * ) - g(x), x e Df.g = Df nDg c) Función producto ( /• á 0 ( * ) = f ( x ) . g ( x ) , x 6 Df g = Df C\ Dg d) Función cociente 0 ^ = W y - e Df n ~ k e Rn 1 3 Definición 3. Sean / : f I y g:R~* R funciones cuyos dominios son Df y Dg respectivamente. La función compuesta g ° / es dada por ía regla de correspondencia ( f l " / ) ( í ) = g ( f ( x ) ) = g i f & l ' X 2¡ - : * n ) ) El dominio de la función compuesta 5 » / es = {x e D f / f(x ) G 03} En la figura 2.5 se muestra la función compuesta g ° / . Ejemplo 5. Dado g{x) = arccosx y / (x;y; z) = v;x 2 i- y 2 + z 2 - 9. encuentre el dominio y la regla de correspondencia de la función g ° t ■ Solución 70 I UNCIONES DE VARIAS VARIABLES D¡ K * ; y ;z ) e 4 y 2 4 z 2 - 9 > 0},D ^ = [ - 1 ; i] »„ ■I {(x ; y \ z ) G Df / f ( x ; y; z) G Dg] {(x\y-,z) e Df / - 1 < V x 2 + v 2 + z 2 - 9 < l j ( (x ; y ;z ) G K3 / 9 < x 2 + y 2 + z 2 < 10} I i n - la de correspondencia de la función g o f es < i I )(*; y; z) = g ( f ( X \ y; z )) = arccos ( J x 2 + y 2 + z 2 - 9 ) , (x; y; z) G Dgof < I KVAS DE NIVEL 1 I (x\y) es una función de dos variables y c es una constante real, entonces 1.1 1 1!lea de la ecuación /( x ;y ) = c es un conjunto de puntos en el espacio R 3 • on coordenadas (x ;y ;c). Todos los puntos tienen la misma cota z = c. Luego, lodos estos puntos están a la misma altura sobre el plano XY, es decir, están al mismo nivel sobre el plano XY. I as gráficas de la ecuación / ( x ; y j = c, en el plano XY, se llaman curvas de nivel de la función / . \ la lamilla de las curvas de nivel de f se denomina mapa de contorno. 1 1 c 111 pío 6. Para el paraboloide elíptico z = / ( x ;y ) = (x - l ) 2 4- (y - l ) 2, dibuje un mapa de contorno utilizando curvas de nivel para c = 1.2,3,4 . Solución Para cada c > 0, la ecuación z = /( x ;y ) = (x - l ) 2 + (y - l ) 2 = c es una * iii^inferencia con centro en el punto c0( 1; 1) y radio r = Ve. Asi, para c = 1, ía curva de nivel es (x - l ) 2 4* (y - l ) 2 = 1 I a lisura 2.6 muestra las cuatro curvas de nivel de / y la figura 2.7 muestra ia "i a fie a dei paraboloide elíptico. Fig CÁLCULO III SUPERFICIES DE NIVEL Sea w = /(x ; y; z ) una función de tres variables con dominio D e l 3 Las gráficas de la ecuación /( x ;y ;z ) = fe (fe constante real), en el espacio M3? se llaman superficies de nivel de la función / . A diferencia de las curvas de nivel, las superficies de nivel son normalmente difíciles de dibujar. Ejemplo 7. Dibuje las superficies i /( x ;y ;z ) = x 2 4- — 4- z 2 yj 4 Solución Cada ecuación de la superficie de / tiene por ecuación j x 2 + ^ - + z 2 = k <=> x 2 + 4- z 2 = k 2 4 Luego, las superficies de nivel de / son elipsoides con centro en el origen de coordenadas. La figura 2.8 muestra las dos superficies de nivel de / . Ejemplo 8. Halle la ecuación de la curva de nivel de la función / ( x ; y ) = y 2 arctan(x2) que pasa por el punto >4(1; 4) Solución Para cada valor de la constante c, la ecuación de la curva de nivel de f es y 2 arctan(x2) = c Como i4 (l;4 ) es un punto de la curva de nivei, entonces sus coordenadas satisfacen su ecuación, esto es 16 arctan(l) = c <=* c = 16 í n \j = An Por tanto, la ecuación de ia curva de nivel de ia función /' que pasa por el punto 4(1; 4) es cN: y 2 arctan(x2) = 4zr hg. 2.8 de nivel de la función nivel de I jcitiplo 9. Una compañía fabrica una caja rectangular cerrada de modo que su \olumen sea de 36 m 3. El material para la base y la tapa cuesta Sí. 12 el metro - uadrado; para los lados de enfrente y de atrás. S/.10 el metro cuadrado; y los oíros dos lados S/. 8 el metro cuadrado. i) Si C denota el costo total de la caja, determine C en función de las dimensiones de la base de la caja. lo < .ileule el costo total de construir una caja cuyas dimensiones de la base son: largo 2 metros y ancho 3 metros. Solución .i) Si x e y son las medidas de largo y ancho de la base de la caja, y z la medida de la altura, entonces el volumen es V = xyz Como el volumen de la caja es 36 m 3, entonces 36 V = xy z = 36 => z = — xy Al utilizar los costos de cada lado por metro cuadrado, se tiene el modelo de costo total C = 12(2xy) 4- 10(2xz) 4- 8(2yz) = 24xy 4- 20xz 4- 16yz Al reemplazar la expresión de z en el costo total, se obtiene ^ o /3 6 \ /3 6 \ 720 576 C(x;y) = 24xy 4- 20x( — j 4- 16y (— ) = 24xy 4-------- 1------- \ x y ) \ x y l y x Por tanto, la función costo total de la caja en términos de las medidas de la base es „ x 720 576 C(x; y) = 24xy 4--------1------ (x > 0 # y > 0) y x b) El costo total de construir una caja cuyas dimensiones de la base son x = 2m y y = 3 m es 720 576 C(2; 3) = 24(6) + — + — = S / . 672 Ejemplo 10. La empresa Pallancos S.A. fabrica dos tipos de cinta de casetes de 60 y 90 minutos de duración. El costo por unidad de mano de obra para los dos tipos de casetes es de S/. 2 y de S/. 3 respectivamente. Además, la empresa tiene costos fijos semanales de S/. 4000. a) Halle el costo semanal C como función del número de unidades de los dos tipos de cintas producidas. b) Caicule el costo total de producir 10000 cintas de 60 minutos y 8000 cintas de 90 minutos. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 73 c) Si la empresa vende la cinta de 60 minutos a S/. 2,50 y de 90 minutos a S/. 3,50 cada una, halle la utilidad semanal como función del número de unidades producidas y vendidas por semana. Solución Sea x el número de casetes de 60 minutos producidos en una semana e y el número de casetes de 90 minutos producidos en una semana. a) El costo semanal de producir cintas de 60 y 90 minutos es C (x;y) = 2x 4- 3 y + 4000 b) El costo total de producir 10000 cintas de 60 minutos y 8000 cintas de 90 minutos es C(10Q00; 8000) = 20000 4- 24000 4- 4000 = S/. 48000 c) La utilidad semanal de la empresa es U(x; y) = Ingreso semanal — Costo semanal 1 1 = 2,5x 4- 3,5y - (2x 4- 3y 4- 4000) = - x 4- - y - 4000 Ejemplo 11. Trace la gráfica de las siguientes funciones: a) /(x ; y) = 3 - %/x 2 -f y 2 - 4y 4 4 b) g(x\ y) = 4 4- ^ 9 4- x 2 -f y 2 c) h(x \y) = 3 4- y¡x2 4- y 2 - 4x - 6y 4- 12 d) j(x: y) = 5 - - y j l 6x 4- 4y - 4x2 - y 2 - 4 4 Solución a) Df = {(x; y) G R2 j x 2 + y 2 - 4y 4- 4 > 0} = {(x;y) G E 2 / x 2 + (y — 2) 2 > 0} = R2 La gráfica de la función / está formada por eí conjunto de puntos (x ;y ;z ) G R 3 que satisfacen la ecuación z = 3 — yjx2 4- y 2 — 4y 4- 4 <=* (z — 3) 2 = x 2 4- y 2 - 4y -r 4 » (z — 3) 2 = x 2 4- (y - 2) 2 « x 2 4- (y - 2) 2 - (z - 3) 2 = 0 Esto es, la gráfica de la función es la mitad inferior del cono elíptico con vértice en el punto K(0; 2; 3) (ver Fig. 2.9) El rango de / es el intervalo Rf = (—oo; 3] b) Dg = {(x; y) G R 2 / 9 4- x 2 4- y 2 > 0} = R2 La gráfica de la función g está formada por el conjunto de puntos (x ;y ;z ) G R ú que satisfacen la ecuación z = 4 4- y 9 -f x 2 4- y 2 » (z — 4)2 = 9 t i 2 t y 2 CÁLCULO III 74 FUNCIONES DIZ VARIAS VARIABLES í z — 4^2 x 2 v 2 I sto es, la gráfica de la función g es la parte superior del hiperboloide elíptico de dos hojas con centro en el punto C(0; 0; 4) ( ver Fig. 2 .10). I I rango de la función g es el intervalo Rg = [7; +oo) c ) l)h = {(x; y) G R2 / x 2 4- y 2 - 4x - óy + 12 > 0} = {(x;y) G R2 / (x - 2) 2 + (y - 3)2 > 1} Luego, el dominio de la función h es el conjunto de puntos (x ;y ) G R" que pertenecen o están ai exterior de la circunferencia (x - 2) 2 4- (y - 3) 2 = 1 I ,a gráfica de la función h es el conjunto de puntos (x; y; z) G R3 que satisface la ecuación / = 3 4 yjx2 4- y 2 — 4x — 6y 4- 12 $=> (z — 3) 2 = x 2 4 y 2 - 4x - óy 4 12 » (x - 2) 2 + (y - 3) 2 - (z - 3) 2 = 1 I .sto es, la gráfica de la función h es la mitad superior del hiperboloide elíptico de una hoja con centro en el punto C(2; 3; 3) (ver Fig. 2.11). I I rango de la función h es el intervalo Rh = [3; +oo) 75 D2 CALCULO 111 d) D, = {(x; y) G E 2 / 16x 4- 4y - 4 x 2 - y 2 - 4 > 0} = I (x ;y ) G IR2 / ( x - 2)2 , ( y - 2)2 _ ) 4 ~ Luego, el dominio de la función j es el conjunto de puntos (x ;y) G E 2 que pertenecen o están en el interior de la elipse ( x - 2 ) 2 ( y - 2 )2 4 16 La gráfica de la función j está formada por el conjunto de puntos (x; y; z) G E 3 que satisfacen la ecuación z — 5 — 16x 4- 4y — 4x2 — y 2 - 4 9 c=> (z — 5) 2 = — (16x 4- 4y — 4x2 — y 2 - 4) ( z - 5 ) 2 (x - 2 )2 ( y - 2 ) 2 <=?-------------- --------------------------------= 1 9 4 16 Esto es, la gráfica de la función j es la pane inferior del elipsoide de centro el punto C(2; 2; 5) (ver Fig. 2.12). El rango de la función j es el intervalo R¡ = [2; 5] Ejemplo 12. Determine analítica y gráficamente el dominio de las siguientes funciones /-------- — . -•------------------ /-y\ a) / ( x ; y ) = j y sen x b) g ( x \ y ) = ^/sen ( x 2 -f y 2) -f arcsen [ - j Solución a) = {(x; y) G E 2 / y sen x > 0} = {(x; y) G I 2 / 2kn < x < (1 4- 2k)n A y > 0} U{(x; y) G E 2 / (1 + 2/cj7T < x < (2k 4- 2)n A y < 0, A: G E} Luego, el dominio de la función / es ei conjunto sombreado en la figura 2.13. Fig 2 13 76 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES h > ~ {(x;y) £ E 2 / s e n ( x 2 4- y 2) > 0 A —1 < - ' < l ) j j(x; y ) G E 2 / 0 < sen ( x 2 4- y 2) < 1 A - 1 < - < 1 j ■ ( ( x; y) G E 2 / 2kn < x 2 4- y 2 < (1 4- 2k)n A —x < y < x A x > 0 , / c G N } U ( ( v; y ) G E 2 / 2/c7r < x 2 4- y 2 < (1 4- 2k)n A x < y < - x A x < 0 ( k G N) donde N = {0 ,1 ,2 ,3 ,...} ! > i’tállca de la función g se muestra en la figura 2.14 para k = 0 y k = 1. EJERCICIOS i I )etermine analítica y gráficamente el dominio de las siguientes funciones x y „ _____ a) i (x) y) = 2 /(*;y)= e vy “ 1 ln (x 2 4- y 2) v x 4- y 2 In(y - x 2) O / ( x ; y j = = -t- ——— — d) / ( x ; y ) = arcsen x 4- — :— ............................- V 4 x y 2 9 - r y 2 v r - r e ) / (x; y ) = ln (^ — [ ) 4- y 1 - (x - l ) 2 - (y - l ) 2 se n (x - y ) + V 2 x T y I) / (x ;y ) = ------------------------- --------------- yj2x - X 2 - 4y 2 - 16y - 1 ■) /X*; y ) = I V y 2 - i ] + | V T = F ] h) f(x-, y) = + Iv^yjj i • I ( x ; y ) = !n (3 6 — 4 x 2 — 9 v 2) — arcsen I-------- ) •.x + y ) ln (x - 2y ) / v \ I) I (x-,y) = — + arccos I —1— ) v'y - 2x Vx - y > k 11 (x; y; z) = v- z 2 — x 2 - y 2 + in (9 - x 2 - y 2 - z 2) 4 4- v 16 — z 2 I) / (x; y; zj = --------— ^ = - 11) / ( x ; y; z) = In (xyz) 4 -r v 16 — x 2 — y 2 m ) / (x; y; z) = arcsen x -r arcsen y + arctan z I Míe la gráfica de las siguientes funciones .i) / ( \ ; y) = 2 4- 4x2 4- 4 y 2 b) /(x ; y) - eos x , - n < x < n e I / ( a ; y ) = 4 4- y x 2 4- v 2 d) / ( x ; y ) = 4 - v 4 + x 2 4- y 2 > / ( vi y ) = 2 — y 16x — 4 x 2 — 4 v 2 — 16v — 16 f) / ( x , y ) = e _y" " ) / ( ' ; y) = 4 - ^ x 2 4- y 2 - 4x 4- 6y - 3 h ) / > 4- v y 2 - 4 x 2 4- 16x - By - 16 CÁLCULO III 3.- Dibuje las curvas de nivel (/(x ;y ) = k) de las siguientes funciones para cuatro valores de k. a ) / ( x ; y ) = V*y b ) /( x ;y ) = (1 + x + y) 2 c ) /( x ;y ) = 1 — 1*1 - lyl d )f(x-,y) = -j=\ X e ) /( x ;y ) = ln(x2 4-y) f) /(x ; y) = ^ + ^ g ) /( * :y ) = ^ h ) /( x ;y ) = e ^ +^ 0 /(*; y) = (* - 1)2 - (y - !)2 j) /(*; y) = V10° - 25*2 - 4 y2 4.- Dibuje las superficies de nivel (/(x ;y ;z ) = /c) de las siguientes funciones para 3 valores de k e indique el nombre. 2 2 a) /(x ; y; z) = y + b) /(x ; y; z) = x 2 + y 2 - z 2 c) /(x ; y; z) = x 2 + y 2 + z 2 d) /(x ; y; z) = v'x 2 + y 2 - 4z - 2x e) /(x ; y; z) = z - (x - 2) 2 - (y - 3) 2 0 /(x ; y; z) = 4x2 + 9y 2 4- 36(z + l ) 2 5.- Sea f: R 2 -> K una función de dos variables tal que / ( x + y; x - y) = 5x2 + 5y2 + 6xy Halle /(x ; y) y esboce la gráfica de f . 6.- En los siguientes ejercicios están definidas las funciones / y g. Encuentre ft(x; y) si h = / ° g. Halle el dominio de h. a) f ( t ) = a rc ta n t , g(x-,v) = v;x 2 - y 2 b) / ( t ) = arcsen t , g{x\ y) = V 1 - x 2 - y 2 x 2 y 2 z 2 7.- Dado que f(x ; y; z) = — 4- — 4- — , encuentre la superficie de nivel que n 4 9 25 pasa por (- 2 ; 3; -1 0 ). 8.- Una empresa elabora dos productos A y B. El costo de los materiales y de la mano de obra es de SI. 14 por cada unidad del producto A y de SI. 25 por cada unidad de B. Los costos fijos son de SI. 2000 por semana. a) Exprese el costo semanal C en términos de las unidades de A y B producidas cada semana. 78 b) ¿Cuál es el costo total de producir 200 unidades de A y 150 unidades de B?. R .8550 c ) Si la empresa vende los dos tipos de producto A y B a SI. 20 y SI. 30 cada una respectivamente, obtenga la utilidad semanal de la empresa como función del número de unidades producidas y vendidas por semana. R. U = 6x 4- 5y - 2000 * Se construye un tanque que tiene la forma de un paralelepípedo rectangular abierto de modo que albergue 1000 metros cúbicos de agua. Los costos de los materiales son: SI. 20 el metro cuadrado de la base y de SI. 10 el metro aladrado para las paredes verticales. ■ i) Determine el costo total C de construir el tanque como función de las dimensiones de la base del tanque, b) Calcule el costo total de construir un tanque cuyas dimensiones de ia base son: largo 50 metros y ancho 30 metros. 0 lina fábrica de pinturas vende dos marcas de pintura. Las cifras de venta indican que si la primera marca se vende a x nuevos soles por galón y la .ef unda a y nuevos soles por galón, la demanda de la primera marca será l)\ U; y) - 200 - 10x + 20v galones por mes y la demanda de la segunda marca será D2(x; y) = 100 + 5x — lOy galones por mes. a) Lxprese el ingreso total mensual de la fábrica de pinturas, obtenido de ia venta de ia pintura, como una función de ios precios x e >. R. / = 200x 4- lOOy 4- 25xy — 10x2 — 10y2 b) Calcule el ingreso de la fábrica si la primera marca se vende a S/. 20 e! .‘■alón y la segunda a S/. 15 el galón. R. Si. 6750 1 l ina tapa cónica descansa sobre la parte superior de un cilindro circular recto, como se muestra en la lisura adjunta. Si la altura de la tapa es dos tercios de la altura de! cilindro, exprese el voiumen deí sólido como función de las variables indicadas. 11 , Rm V = — n r 2h 9 I )na lata para refresco se construye con una envolvente lateral de hojalata, y » un lapa y base de aluminio. Dado que el costo de la tapa es S/. 20 por unidad i ii.airada, de SI. 10 por unidad cuadrada para ¡a base, y de S/. 30 por unidad FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES cuadrada para la envolvente. Determine la función de costo C(r; h) en donde r es el radio de la lata y h su altura. R. 30nr2 + 60nrh 13.- Una tienda de calzado vende dos clases de zapatos de damas que son parecidos pero están hechos por diferentes fabricantes. El costo para la tienda del par de zapatos de la primera clase es de $ 30 y el costo de la segunda es de $ 40. Se ha determinado por experiencia que si el precio de venta de la primera clase es x doláres y el precio de venta de la segunda es y doláres, entonces la venta mensual total de la primera clase es (70 — 5x + 4y) pares de zapatos y la venta mensual total de la segunda clase es (80 + 6x — 7y) pares de zapatos. a) Exprese la utilidad en términos del precio de venta de los zapatos de primera y segunda clase. b) ¿Cuál es la utilidad si el precio de venta de los calzados de primera y segunda clase es de $ 40 y $ 50 respectivamente? 14.- Si T ( x ; y ) es la temperatura en un punto (x;y) de una placa de metal ligero en el plano XY, entonces a las curvas de nivel de T se les llama curvas isotérmicas. Todos los puntos de una de estas curvas están a la misma temperatura. Suponga que una placa ocupa el primer cuadrante y que T (x;y) = xy. Una hormiga que parte del punto (1; 4) quiere caminar sobre la placa de modo que la temperatura en su trayectoria permanezca constante. ¿Cuál debe ser la trayectoria de la hormiga? 4 CÁLCULO III 2.2 CONJUNTOS ABIERTOS Y CERRADOS Definición 4. Sean X = (x 1; x 2; ...;x n) , Y = (y i; y 2í —jyn) dos puntos en el espacio Rn. La distancia entre estos puntos es dada por d(X; Y) = V (y¡ - x ^ y + (y2 ~ 'x 2) 2 + - + (y,. - *n)2 = ll*' - *11 Definición 5. Sea a = (a x; a 2; ...; a n) un punto en el espacio R n y r un número real positivo. Se llama vecindad abierta o bola abierta de centro a y radio r. al conj unto B(a ; r) = {X E E n / d(X\ d) < r] = [X E Mn / ||X - a\\ < r] 80 FUNCIONES DE VARIAS VARIADLES Definición 6. Se denomina vecindad cerrada o bola cerrada de centro a y radio r, hI ronjunto //((/; r ) = { ^ e r / d(X\á) < r } Definición 7. Una vecindad o bola reducida de centro a y radio r > 0, es el HMijunto //'(«; r) = ( ^ M n / 0 < d{X)d) < r) = B(a; r ) - {a} 1 |«ii*pío 13. a) En la recta real (E) son vecindades de centro a los intervalos H ----------- %------------- — t------------------------- ------------------- j- (i r a a + r a — r a a + r I1(u; r) = (a — r; a 4- r ) ; B(a\ r) = [a — r; a + r] lo I n el plano M2, son vecindades los círculos de centro a = (c^; a2) H(a-.r) = { (x ;y ) 6 K2 / (x - a x) 2 + (y - a 2) 2 < r 2} (Fig. 2,15) //(a ;r) = {O; y) 6 R2 / (x - a x) 2 + (y - a2) 2 < r 2} (Fig. 2.16) ll'(a;r) = B ( a \ r ) - {(a^az)} (Fig. 2.17) V i k r s \ a = (a;ar) » \ / k V i 0 . X X • Fig 2 15 Fig 2 16 c ) I n el espacio ¡R3, son vecindades las esferas de centro a = (aj,; a 2; a 3) y radio r. //(a ; r) = { ( x ;y ; z ) E l 3 / ( i - a j ) 2 + (y - a 2) 2 + (z - a 3) 2 < r 2} (Fig. 2.18) 81 CÁLCULO III Fig 2 17 Definición 8. Un conjunto D c E n es abierto s.s.s. \/X E D,3S > 0 tal que B{X\S) c D Ejemplo 14. a) En la recta R , D = (a; b) es un conjunto abierto. b) D = {(x;y) E l 2 / x > 0 ) es un conjunto abierto (Fig. 2.19) c) D — {(x; y) E R2 / x > 0} no es un conjunto abierto. d) A = {(x; y; z) E R3 / y > 0} es un conjunto abierto. e) B = [X E E 3 / D(X\ Y) > r} no es un conjunto abierto. f) S = Rn, 5 = 0 son conjuntos abiertos. Definición 9. Un conjunto 5 c E n es cerrado s.s.s. eí complemento es un conjunto abierto. Ejemplo 15. a) S = [a\ b] c R es cerrado, pero A = [a; b) c E no es cerrado b) 5 = {(x;y) E E 2 / xy < —1} es un conjunto cerrado, pues S' = R 2 — 5 es abierto. Fig. (2.20) c) M = {(x; y; z) E R3/ a < x < b , c < y < d , e < z < f } es un conjunto cerrado. u V S X 'N Hg 2 20 FUNCIONES L)E VARIAS VARIABLES Drffiiición 10. (Punto de Acumulación). Un punto P0 E E n es un punto de acumulación de un conjunto D c E n, si toda bola reducida B'(P0i r ) contiene mi mitos puntos de D, es decir # '(P 0; r ) n D ? 0 . I limpio 16. Sea D = {(x; y) E R2 / x < 0,v < 0} U {(2; 2)}, Po(0; 0) es un punto de acumulación de D, pues para cualquier r > 0, Z?'(P0;r ) n D * 0 . Más mu, cualquier punto de D distinto de (2; 2) es un punto de acumulación de D, y •’) no es punto de acumulación de D. V < LÍMITE DE UNA FUNCIÓN DE VARIAS VARIABLES I n esta sección se extiende ios conceptos de límite de las funciones de una variable real, abordados en el capitulo 3 de Tópicos de Cálculo Vol. I, a las funciones de varias variables. Drfinición 11. Sean / : D c E 2 -» E una función de dos variables definida en el conjunto D\ Po(*o;yo) un punto de acumulación de D y L un número rea. cualquiera, entonces lim / ( x ;y ) = L a v solo si para cada e > 0, 3 5 > 0 tai que |/(x ; y) - L ¡ < siempre que 0 < v (X - x 0) 2 + (y - y 0) 2 < 5 I sia definición en términos de vecindades es lim f{x-,y) = L » Ve > 0,30' > 0 / V(x;y) 6 B'({x0 -,y0)\S ) n D, (x>y) *(xo>yo) ==> / ( x ;y ) E B(L: e) (Fig. 2.21) 83 Observación 1. La definición 11 es mucho más compleja que el de las funciones de una variable real, ya que en este caso, únicamente se tiene una trayectoria lineal para aproximarse a un punto, por la izquierda o por la derecha o por ambos lados; sin embargo, en el caso de las funciones de dos variables existen infinitas trayectorias (o curvas) para aproximarse al punto (x 0',y0), como se muestra en la figura 2.22. El estudio de los límites para funciones de n variables es análogo. CÁLCULO III Observación 2. ||(x ;y ) - (a; b)\\ < 8 =* \x - a¡ < 8 A \y — b\ < 8 Ejemplo 17. Demuestre que Jim ( x í - y 2) = 5 Cx;y)-(1;2) Demostración. Sea e > 0, debemos encontrar un 8 > 0 tal que \x 4- y 2 — 5¡ < c. siempre que 0 < ||(x;y) — (1; 2)|¡ < 8 . Para esto expresamos \x 4-v 2 — 5¡ en términos de \x — 1¡ A |y — 2 i, esto es \x + y 2 - 5¡ = \(x - 1) + (y - 2 ) 2 : 4y - 8| = Kx - 1) + (y - 2 ) 2 + 4 (y - 2)¡ < ¡x — 1¡ 4- |y — 2 1¡y - 2| 4- 4 |y - 2\ Así, se tiene: \x 4- y 2 - 5¡ < ¡x — 1¡ 4- ¡y - 2 1¡y — 2¡ 4- 4¡y - 2¡ < e ... (1) Ahora, restringimos la elección de 8 de modo que 6 < 1. Luego. ¡I(*;y) — (1; 2)|| < 5 < 1 — 1| < 5 A ¡y — 2| < 5 < 1 ... (2) Sustituyendo (2) en ( 1), se obtiene: 84 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES |* + y 2 - 5| < \x - 1| + |y - 2 ||y - 2| + 4 |y - 2| < S + 6 + 40' = 60' -■e l'or lauto, si escogemos 8 = mín | l ; se verifica I* + y 2 — 5| < e, siempre qur 0 < || (x;y) - (1; 2 ) || < 8. Esto demuestra que lim (x + y 2) = 5 0;y)-*(l;2) I ¡m iplo 18. Demuestre que lim ( x 2 4- 2 * y ) = 3 (*;y)-»( 3 ; -i) 11« mostración. Sea e > 0; debemos encontrar un 8 > 0 tal que \x2 4- 2xy - 3| < e% u mprc que 0 < ||(x ;y ) - (3; —1 ) || < 8 =t> 0 < \x - 3| < 8 A |y 4- 1| < 8. I’ftu esto expresamos |x 2 4- 2xy - 3| en términos de \x — 3| A |y 4- 1|, esto es, | v* ♦ 2xy - 3| = ¡x2 - 2x - 3 4- 2xy 4- 2x| = |(x - 3)(x 4- 1) 4- 2 x ( y 4- 1)| < \x 4- l\\x - 3| 4- 2 |x ||y 4- 1| < e ... (1) ‘•i hacemos 8 < 1, se tiene \x - 3| < 1, |y 4 - 1| < 1 I U* \x - 3| < 1, se obtiene \x 4 - 1| < 5 y |x | < 4 ... (2) 1 iiq»o, reemplazando (2) en (1) resulta |x 2 4- 2 xy - 3| < \x + l\ \x - 3| 4- 2 |x ||y 4- 1| < 58 4- 8^ = 138 = £ l‘oi lanto, si escogem os 8 = min | l ; — | se verifica \x2 4- 2 xy — 3| < e siempre que 0 < ||(x ; y ) - (3; —1)|| < 8 , (0 < \x - 3| < 5 A 0 < |y 4- 1| < 5) Por tanto, lim ( x 2 4- 2 xy) = 3 lx;y)->(3;-iy l'UOIMEDADES DE LIMITES I iorcm a 1. Sean f , g : E 2 E funciones de dos variables tales que lim f ( x ; y ) = L , lim g(x ;y) - M y P0(x0;y Q) es un punto de í 1'.y;-*Uo;y0) (x;y)-*(x0-,y0) j .u timulación del conjunto Df n Dg c: E 2 , entonces se tiene j al iim í f ( x ; y ) ± g ( x ; y ) ] = L x M (x;y)-+(x0ly0)' b; lim J / ( x ; y j . g ( x ; v ) ] fx:y)->t.x0;yo) ¡ = (\(,. x;y)-*(x0;y0)J j ( x\(:xy,y))^)X-Q[- ,yQ) Jim f ( x ' , y ) \ = L.M ){ c) lim [c f(x] y)] = c iim f ( x ; y ) = cL (c = constante) u,y.j-í*o;yo) U;y)-^(^o;yo) f(x] y) L d) lim —------ = - - , siempre que M ^ 0 \x;y)-*ix0;y0) g(X',y) M CALCULO III ! ! REGLA DE DOS TRAYECTORIAS PARA ¡ CALCULAR LIMITES ¡i ¡ Si los valores de lim /(x ; y) son distintos cuando (x; y)se aproxima I (x;y)->(x0;yQ) ( . a (x0; y0)a través de dos trayectorias diferentes, entonces ¡ lim /( * ;y ) no existe (x;y)-*(x0;y0) j xy Ejemplo 19. Dada la función /( x ;y ) = —------ . Calcule lim f ( x ; y ) J 1 JK x 2 + y 2 (*;y)-( 0:0)J en caso exista. Solución Df = R 2 — {0; 0} Para calcular el límite, consideremos dos trayectorias diferentes que pasan por el punto P0(0; 0), esto es Ti = {( x; y) E R 2 j y - 0} y T2 - {(x; y) E R2 / y = xj Los límites sobre estas trayectorias son: 0 Sobre 7\: lim /(x ; y) = lim /(x; 0) = lim — = 0 í*;y)-»(0:0) ' x->0J x ^ 0 X 2 x 2 \ Sobre 7V. lim f ( x ’,y) = lim f(x ;x ) = lim -—- — — (x;y)-»(0;0) x-*0J x->0 2 x2 2 Por tanto, de acuerdo a la regla de dos trayectorias se concluye que lim f ( x ; y ) no existe. (*;y)-K0;0) x v 2 Ejemplo 20.- Dada la función /(x ; y) = - r - 1— -.C alcule lim /( x ;y ) X3 f y * (x;y)-*(0:0J Solución Df = {(x;y) E R 2 / x 3 t - y 3 ~ 0} = {(x;y) E R 2/ y -x } Sean ias trayectorias que pasan por el origen de coordenadas Ti = í(x] y) E R2 / y = x] y T2 = {(x; y) E R2 / y = x 2} Los límites sobre estas trayectorias son: x 3 1 Sobre 7\: lim /( x ;y ) = lim/r(x;x) = lim — - - - 1 (jc;y)-»(0;0) ^ x - V x-^0 2 x ° 2 x 5 Sobre T2: lim / ( x ; y ) = lim /(x ;x O = lim —------- ---- = 0 Ú;y)->(0;0) x->0 Por consiguiente, iim A x ;y ) no existe. & (x;y)-*(0;0) ^ 86 Observación 3. En los ejemplos 19 y 20 hemos concluido que no existe el límite, pues encontramos dos trayectorias que conducen a límites diferentes. Sin embargo, aunque las dos trayectorias hubieran conducido a un mismo límite, no se puede concluir que el límite existe. Para llegar a esta conclusión, debemos probar que el límite es el mismo para todas las trayectorias. Esta tarea sugiere el uso de la definición para demostrar la existencia o no existencia del límite. Observación 4. En el cálculo del límite de funciones de varias variables, podemos sustituir directamente como hacíamos con funciones de una sola variable, siempre que la expresión resultante tenga sentido. Por el contrario, si la sustitución directa da lugar a una forma indeterminada, debemos investigar la existencia del límite mediante la regla de L'Hospital o siguiendo diversas trayectorias que pasan por el punto, lo que puede mostrar que el límite no existe. I ambién existen métodos que utilizan coordenadas polares en el cálculo del límite de una función de dos variables cuando (x ; y ) tiende a (0; 0). E jemplo 21. Calcule los siguientes límites en caso existan 2xy2 - 3 x 3y 3 - 1 a) iim — ------ — b) lim - r — — - 2;3) X¿ + y ¿ ( x ; y ) - * ( - l; - l) X 2y z — 1 x 2 —y 2 1 —e (2*+y)z c) lim ---- — d) lim FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES x;y)-*(9;9) j y _ v'x (*;y)-(-l;2) Sen2{2.X -f y) in(43 4- 7xy) 4 xy c) lim ---------—--------—- f) lim , (*;y)-*(-3;2) arctan(3xy 4- 18) í*;y)-*(0;0) + y 2 9y 2(x 4-1) 4- 3x2 x 2 - y 2 g) lim ------— ------ r------ h) lim —------ (*;y)->(0;0) 3y 2 4 -x 2 (*;y)-*(o(0;0) xy 4- yz 4- xz k) lim , _ U;y;z)->(0;0;0) X* 4- y ¿ 4- Z¿ Solución 2xy2 - 3 - 3 9 .i) iim — ------— = -— — = —3 u;y)->(-2:3) x L + y 2 4 4-9 b) El límite es de la forma 0/0. Al factorizar xy - 1 en el numerador y en e! denominador, se tiene 87 x 3y 3 - 1 _ (xy - l ) ( * 2y 2 + xy + 1) _ 3 (x;y)H ™ i;-i)x2y 2 — 1 (*;y)-»Pl;-X) (x y — l ) ( x y + 1 ) 2 c) El límite es de la forma 0/0. Al efectuar una racionalización en el denominador, se obtiene x 2 - y 2 _ ( * - y ) Q + y)G /y + V*) (x;y)-»(9;9) ^ - V* (*:y)-(9;9) (^/y - V*) (-/y + V*) (x - y) (x + y ) ( J y + y¡x) = lim ---------------------------------- (x ;y )-(9 ;9 ) y - X = lim f—(jc + y)(-v/y Vx^)] = —108 (x;y)-*(9;9) d) El límite es de la forma 0/0. Al hacer el cambio de variabie u = 2x + y, se obtiene una expresión en términos de u, donde u -» 0 cuando (x; y) -» (- 1 ; 2). Luego, al aplicar la regla de L'Hospital (L 'H ), se tiene CÁLCULO III l — e (2*+y)2 1 - eu LJÜ - e uZ2u L = lim -----tjz— :— r (*;y)-*(-i;2) sen2(2x + y) = l iu-m>o -s-e--n-27 (7u-)T — ul-i*mo ;2 sen u. eos u u e u2 LJÜ e “ 2 + 2u 2e “ 2 = - lim ------- = - lim -------------------= - 1 u-*o sen u u-*o eos u e) El límite es de la forma 0/0. Al hacer el cambio de variable u = 6 + xy, se obtiene ln (l + 7 (xy + 6)) ln (l + 7u) ^ (*;y)-í(—3¡2) arctan[3(xy + 6)] u->o arctan(3u) L2= lVi m* T T t ü ----7 u-> 0 3 3 1 4- 9 u 2 f) El límite es de la forma 0/0. Si (r;0 ) son las coordenadas polares del punto (.x ; y), entonces se tiene ( x = reos 6 {y = r sen 9 Luego, 4xy , 4 r 2 sen 0 eos 0 L = lim - = = = = lim — 1---------------- = 4 lim r sen 9 eos 9 = 0 (*;y)-K0;0)^x2 + y 2 ** r“*° ' • (pues, ¡sen 0 eos 0 | < 1 para cualquier valor de 0 ) g) El límite es de la forma 0/0. Al usar coordenadas polares, se tiene: 88 / _ 9 y 2(x 4- 1) 4- 3 x 2 ^ r 2[9r sen26 eos 9 4- 9sen26 4- 3cos20j (*;y)-*(0;0) 3y2 -F x 2 r-*o r 2[3sen20 4- cos20] ^ 9r sen29 eos 9 + 6sen29 + 3 3(2sen20 4- 1) r-*o 2 sen 2 0 -F 1 2 sen2 9 4-1 ^ h) El límite es de la forma 0/0. Al utilizar coordenadas polares, resujta x 2 ~ y 2 r 2 (eos2 9 — s e r 2 9) _ L = lim —r—— - = lim --- ---------- = eos29 - (*;y)-<0;0) 4- y ¿ r-*0 r 2 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES Como este límite depende del ángulo 0, entonces no existe. __ ,2^ ^ X ¿ 4 _ i) Como f(x-,y) = -------y~-—¿------- » se hace el cambio de variable u = T_ x ¿ + y ¿ - f y ¿ Luego, se tiene L = lim f ( x ; y ) = lim-\-n--(--l-+---n--)-L-£- Ji l±i J?í. - i (x;y)-*(l;l) u-*0 u u-»0 1 I) I I límite es de la forma 0. oo. Al expresar cotangente en términos de seno y coseno, se obtiene: L = lim x v íl — cot2(xy )]. Iníl 4- sen (xy )] (x ;y )-(0 ;0 ) J xy[sen2(xy) - cos2(xy)] ln[l 4- sen (xy)] lim -------------------------- —— ------------------------------------------ í*;yj-*(0;0 / sen¿(xy) = hm [r sen22(/ xy)a - cos22 (/• xy)\] i. lim ----* y— hm i-n--[-l- -4--- -se:—n( x-y--)-\ (*;y)->(0;0) ix;y)->(o,o) sen(xy) (x;v)-*(0;0) sen(xy) = (o — 1) (1) (1) = —i k) El limite es de la forma 0/0. Si (p\9,cp) son las coordenadas esféricas del punto (x) y; z), entonces se tiene íx = p eos 0 sen jy = p sen 9 sen

(3;ir ' (*;y)-»(2;-2) c) lim ( x 2 4- y 2 - 4x 4- 2y ) = - 4 d) lim ( x 2 4- 2x — y ) = 4 (x;y)-> (3;-l) J U ;y )-(2 ;4 )V 2.- En los siguientes ejercicios demuestre que para la función dada lim f ( x \ y ) no existe í*;y)-K0;0) x y 3 a) f(x-, y ) = — — r , tome 7\ = {(*; y) £ R2 / y = 2x} y x z i- y to T2 = {(x; y ) e R2 / y 3 = x}, donde (x; y ) ^ (0; 0) 2 2 b) /( * ; y) = " 2 y— , tome 7\ = eje X, T2 = {(x; y) £ R 2/ y = x] x i y 4 4 c)/ ( * ; y)=Tx 2~ y 4) 3 - = f e ; y ) / y = x },t 2 = f e ; y ) e R2 / y 2 = x] d) f(x ; y) = X ^ 7\ = {(*; y) £ R2/ y = x } , T2 = {(x; y) £ R2/ y = x 2} x 2y 2 e )/(x ;y ) = — -,7\ = {(x;y) £ R2 /y = 0},T2 = {(x;y) £ R2/ y = x] x • y 3.- En los siguientes ejercicios pruebe que lim / ( x i y ) existe x y , s N 3x2y yfxí + y 2 a ) / ( x ;y ) = 1 . b ) /-(4-x ";V*y- ) = x 3 4- y 3 c) /(x ; y) = —------- /?. el límite es cero. x 2 4- y 2 90 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES dtx) /t((x ;y )\ = <) x sen (V-y}/ + y sen (\x- )/ ,si x * Q ,'y * 0 tf.El limi. ( 0 # si x = 0 ó y = 0 límite es cero. (CL — X \ l’.ira / (x; y) = ln — —J , donde x < a, y < a, demuestre que lim /Yx; y) no existe. d.v'H(a;a) Sugerencia: Considerar dos rectas distintas que pasan por el punto (a; a). ( alen le los siguientes límites, en caso existan e x y — 1 x y ( x 2 - y 2) a) lim ---------- R. 0 b) lim -----— — -— R. 0 U;y)-*(0;0) X (*;y)->(0;0) X 2 + y 2 cos(xy) - 1 ln(x2 4- y 2 - 4) O lim -----— ----- R. 0 d) lim - ^ R. 1 (x;y)->(0;0) X (x ;y )-> (-l;-2 ) X 2 4" y ¿ — 5 x sen (x 2 4- y 2) e) lim ------- ^ -----r— R. 0 (*;y)->(0;0) X 2 4- y L (eos x — i)(y — 2) 1 .~X- / ) ( x ; yÜ > —m» ( 0:2 j -----X~27(7y~31 —- 8Ô)Â ----- 24 & Í*;y)l-i>m(0 :1) ex (y -V R. 0 aresen (xy - 2) 1 (*;y,)i-m»( 2;i) -ar-c-ta-n(3xy — 6) 3 i) lim e*2+y2 - 1 (*;y)-(0;0) x 2 4- y 2 /?. 1 )) lim (x 2 4- y 2)5en 1 \ 1 — eos (sen 4 xy) 8 — P.O k) lim ----- ——— — R.~ x y ! U;y)-+(o;o) sen2 (sen (3xy)) 9 sen (xy) I) lim (* ;y l-(0 ;2 ) X /?. 2 11) lim (x;y)->(0;0) cos(xy) - cos(sen (2xy)) x 2y 2 ni) lim U;yH(-l;2) 1 - cos(2xy 4- 2y) (x 4- l ) 2y 2 4- arccot y y ] n i lim xy sen (sen (2 xy)) u;y)-(0;0) 1 — eos (sen 4 xy) R .4- o) 7l íxm-^ ooí lV 4- —x y \ x R. 2 4- 7T R . e H y-+k P) / I 4- tan x y \ s e n x y lim -------------- (x, y) *(0;0) VI 4- sen x y ) q) lim (v. i ) 4 y - 2 s) lim f ( x ; y ) , donde (*;y)-(4;-2/ v 1 - cosfxy 4 2x) / x 3y 3 \ /(x ;.y ) = ------------- 2------4 4 arctan — — j R . 2 - 2 n x(y 4-2)2 \(y + 2) / t) lim /( x ; y), donde (x ;y )-* (+ o o ;i ) / 4y\* ln(x2 4 -y 2) /( x ; y) = + — j 4- 2 arctan(x 4- y 4- 5) 4— ^ — /?. e 4 4- n CALCULO III 2.4 CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES Definición 12. Sea /:D c= R2 -> R una función de dos variables definida en el conjunto D y sea (x0;y 0) E D, con (x0;y 0) punto de acumulación de D. La función / es continua en (x0; yo) *=> lim /(x ; y) = / ( x 0; y0) (x;y)->O0;y0) Se dice que la función / es continua en el conjunto D, si es continua en cada punto del conjunto D. Ejemplo 22. Dada la función /( x ;y ) = 5xy. Determine si / es continua en (2; 1) Solución Como lim f ( x ' , y ) = lim 5xy = 10 = /(2 ; 1), entonces la función / es continua en (2; 1). x y 2 Ejemplo 23.- S ea/(x ; y) = -j x , (x; y) * (0; 0) 2 + y 2 0 , (x; y) = (0; 0) Determine si / es continua en (0; 0). Solución i) /( 0 ; 0) = 0 x y 2 ii) lim /( x ; y ) = lim —-------- es de la forma 0 /0 . Al utilizar (*;y)-»(0;0)' ' (*;y)-»(0;0) X 2 + y 2 7 coordenadas polares, resulta: x y 2 r 3 eos 6 sen2 6 L= (x;yl)i-m»( 0;0) —x ¿- -+-- -y--¿- = rl-i>mo ----------r- 2- --------- = lirm-» 0r ic o s 6 sen¿6) = 0 92 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES ( orno ( Hm ^ ())/ ( Ar' y) = 0 = / ( 0; 0), entonces / es continua en (0; 0) I |rmplo 24.- Dada la función x 3y 3 ,0 ;y) * (0; 0) /’(x ;y) = ^ x 2y 4- (y - x )2 0 , (x;y) = (0; 0) I íriermine si f es continua en (0; 0). Solución )) / (0; 0) = 0 • i i lim f(x',y) es de la forma 0 /0. Lue^o, al utilizar coordenadas polares n ; y ) >(0;0) ' F u’ tiene: lim /( x ;y ) = lim U ;y)-*(0:0)' v y U ;y W 0 ;0 ) X 2y 4- (y — x) 2 r ó eos3# sen 30 1 ¡ m ——-------- ---------------------------------------— r •*o r z[r cos¿# sen 0 4- (sen 6 — eos 0 ) 2J r 4 eos3 6 sen3 6 r -o r eos26 sen 6 4- (sen 6 - eos 0 )2 • limo este límite depende del ángulo 6 . entonces el límite no existe. Por i onsiguiente, / no es continua en el punto (0; 0). I |i*mpío 25.- Dada la función / 4 * 4 \ / (* ;)’) = ] arcBn ) - 1*: * C°: °3 l A , (x ;y ) = (0; 0) i .ik ule ei valor de A para que la función / sea continua en (0; 0). Solución P.»i i calcular el valor de A, es suficiente calcular lim f(x \ y) (x;y)-»(0:0) V \ m, al usar coordenadas polares resulta r 4(cos40 4* sen4#) j lim f ( x ; y ) = lim arctan \\,V) *(();()) r - > 0 J = lim arctan[r4(cos46 4- sen40)j = 0 r-»0 niiin / debe ser continua en (0; 0), se tiene: 93 CÁLCULO III , Km / O ; y) = 0 = /(O; 0) = A O ;y)-<0;0) Por tanto, A = 0. PROPIEDADES DE CONTINUIDAD Sean / y g funciones de dos variables continuas en el punto (x0; yo)> entonces a) c f es continua en (x0; y0), siendo c constante real. b) / ± g es continua en (x0; y0). c) f . g es continua en (x 0;yQ). f d) - es continua en (x0; yo), siempre que g{xQ\ yo) * 0 9 Teorema 2. Sean / : D c R 2 E y g: E -> E dos funciones reales tales que I m g ( /) = Rf cz R. Si f es continua en (x0;y0) y £ es continua en / ( x 0;y0), entonces la función compuesta h = g ° f definida por /i(x;y) = g ( f ( x \ y ) ) es continua en el punto (x0;y0). Ejemplo 26. . s , S e a /(x ;y ) = < xy ( 1 , (x;y) = (0; 0) Pruebe que / es continua en todo E 2. Solución Note que /( x ; y) = (g ° h) (x ; y) = g(h(x: y)), donde {sen z z , S I Z * Q 1 , si z = 0 La función h es continua en (0; 0) y la función g es continua en z = 0, entonces f = g o ti es continua en (0; 0). Por consiguiente, / es continua en todos los puntos de E^. Ejemplo 27.- Sea /(x ; y) = ^ 4y2 4- (x — 3) 2 si (x;y) ^ (3; 0) 2 , si (x;y) = (3; 0) a) Determine los puntos donde la función no es continua. b) Indique el tipo de discontinuidad que presenta / . Solución 94 n) i ) / ( 3 ; 0 ) = 2 i i) Sean las trayectorias que pasan por el punto (3;0) 7\ = {(x;y) e U2 / y = 0} y T2 = {(x;y) e R2 / y = x - 3} I,<>s límites sobre estas trayectorias son: SObrC : (xJ I% ;0/ (X:y) = ^ = 0 Sobre T2: lim /(x ; x - 3) = l im j^ — ^ — = i (x;y)->(0;0r V ' x->3 5(x — 3) 2 5 I llego, por la regla de las dos trayectorias el límite no existe. I'or tanto, f es discontinua en el punto (3; 0) de tipo esencial. I li mpio 28.- Determine si la función dada es continua en el punto (0; 0). ( 7 l 5 x 2 + 15y2 + 16 - 7 1 6 - x 2 - y 2 / ( x ;y ) = j x z + y 2 , si (x; y) (0; 0) V 2 . s i (x; y) = (0; 0) Solución I) / (0; 0) = 2 i i) (x;yli)m-( 0;0) / ( x ; y) es de la forma0/0. Al efectuar una racionalización en el numerador, se obtiene: , ,. , .. 7 l 5 /. - lim f (x; y) = hm - --------------------------------------------------------------------— (x;y)->(0;0) (x;y)->(0;0) x + y 2 16(x2 + y 2) 16 = lim ---------------- ------ ------ --- ■ ------ = — = 2 U;y)-(0;0) (x 2 + y 2) 7 ! 5 x 2 + 15y2 + 16 + 7 l 6 - x 2 - y 2 8 ( orno (*;yl)i-m»(0 ;0) / (x; y) = 2 = / ( 0; 0), entonces / es continua en v( 0; 0). y I templo 29.- Dada la función /( x ;y ) = ln(4x2 + 9 y 2 - 36). Halle el conjunto < tunde /' es continua. * Solución I .i Iunción / es continua en el conjunto l> {(x;y) e l 2 / 4x 2 + 9 y 2 - 36 > 0} = |( x ;y ) e IR2 / + y > l j x 2 y 2 pie corresponde al exterior de la elipse — + — = 1 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 95 1.- En los siguientes ejercicios, determine los puntos en los que la función es discontinua. a) /( * ; y) = í |x | + |y| ' St (* : y) * (0:0) «• Discontinua en (0; 0) ( o , si (x; y) = (0; 0) b) /( * ; y ) = í R. Continua en todo B’ ( 0 , si (x; y) = (0; 0) _ j y sen ( ^ 2 + ^ 2') , si (x; y) * (0, 0) R Continua en todo K2 0 , si (x ;y ) = (0; 0) CÁLCULO III EJERCICIOS c) fix-, y) Í xy |x| + lyl ' 51 ^ * (0' °' R- Continua en todo R2 0 , si (x; y) = (0; 0) e, fOc-.y) - ' S' (* i5° ' (0:0) R. Discontinua en (0:0) ( 1 , si (x ;y ) = (0; 0) ( 8 arccot ( ) ■si y j * (0 :0) R. Continua en R 2 f ) /( x ;y ) = i 4rr . si (x; y) = (0; 0) / ^2-éV2 \ 2 in 2 - 1 COSX . . . _ y ) - \ v 2 - f y ¿ 1 + r 2 , si (x; y) = (0 ; 0) Carctan (x2 + y 2) + ln(x2 4- y 2 + 1) ^ (x ;y j ^ (0;0) h> /(x ; y) = -j x 2 + y 2 ( 0 , si (x; y) = (0 ; 0) R. Discontinua en (0; 0) ¡n f, v) _ jy‘ 'n(x‘ + y ") ,s¿ ^x.y) 10, 0) R Continua en R2 .yJ ¡ Q _ si (x; y) = (0; 0) ( 1 - cos(2x2 + 2y2) _ fy. ^ * f0:0-, j) /(* ; y) = < (x2 4- y 2) 2 x‘ + y ‘ + 2 (_ 3 , si (x; y) = (0; 0) R. Continua en FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES I kicrmine el conjunto en el que las siguientes funciones son continuas 3xy x 2 + y 2 - 4 . w , .... , _______ 2) 2 _L v2\ x 4 + y 4 •> ) / (x; y) = 2 2— 7 b) /(x ; y) = arccos(y - x 2) < > /(x ;y ) = l n ( 1 6 - y 2 + x 2) d ) / ( x ; y ) = ---------------- yj9 - x 2 - y 2 *')/’(*; y) = ln (4 - x 2 - y 2) - ln(x2 4- y 2 - 1) sen (xy) 0 A ' ; y) = —7------ T g) y) = arcsen(x2 + y 2) i li u< l( IOS DE REPASO DE LIMITES Y CONTINUIDAD I ( .»kule los siguientes límites, en caso existan x 2y 2 4- 2 x 2y — x y 2 — xy 4- 2x — y — 2 n) lim — --------- — ----------------------- — - ----------—— - R .—l (x.y)->(i - 2) x ¿y 4- x y ¿ 4- 2x — y ¿ 4- 3x y 4- 2x — 4 y — 4 x 3 4- y 3 J x y - 2 4- x 3y 3 - 8 I» lim , R. 0 c) lim v ■■■■■ ;...... ..— ------- R. 1 /2 U ; y ) - ( 3 ; - 3 ) ^ /x T y (* ;y )-* (2 :i) , / x 2y 2 _ 4 1 / 1 1 \ ti) lim — --------------------------------- -r - 7 ) R.2 (Af;.y)-(0:0) xy \1 - xy 1 4- xy 4- x zy ¿/ x 3 sen (y 2 - 9) - i »•) lim 7----- ——rr R. 0 0 lim -----------------------------------rr /?. 1 (jr;y)-»(o;o) (y 4- 3)sen (x 2) (x;y)-»(0;0) sen (x 2) ln (l 4- y 2) x sen (xy) ln (l + x y 2) g) lim y —y Ä.0 h) lim ------------------------------------------ (a;v)-*( — ------- V ------0;0) i - e*2+y2 (x;y)-»(0;0) tan x (1 — cos(x2 4- y 2)) ' I .niclie la continuidad de las siguientes funciones x 2 4- 4 y 2 i) / (x; y) = —— R. continua en D = M2 - {(x; y) e l 2 /x = ±2y} x — 4y b) / (x; y) = y eos Q 2 | -2j /?. R2 - {(0; 0)} c )fix ;y) = d )f(x ;y ) = ■y* x 2 4- y 2 ln(4 — x 2 - y 2) R. continua en D = {(x; y) E E 2 / x 2 4* y 2 < 4} y 3 4- ln x (x - 4 ) 3 4- y 6 R. continua en D = {(x; y ) E E 2 x > 0 A x ^ 4 - y 2} x 3 4- ln(y 4-1) . «■) t ( x ; y ) = i ) 3 '+"¿6 R* continua en D = {(x;yj 6 l 2 / y > - l } 9 7 CÁLCULO III 3.- Analice la continuidad de las siguientes funciones en el punto (0; 0). * 2y2 ,si (x;y) (0; 0) a) /(x ; y) = •( x 2y 2 + (x - y ) 2 0 , si (x; y) = (0; 0) Íx 3 sen (y 2 — 16) . , ^-------- Tr--,si (x ;y ) * (0;4) (y - 4) sen x 0 , si (x; y) = (0; 4) í x c o s l ( x : y ) * ( 0: 0) ( 0 , si (x; y) = (0; 0) , {x + y + - ^ - 2 , si (x;y) =/= (0; 0) d )/(x ;y ) = { x4 + y 2 i. 0 , si O ; y) = (0; 0) 5|x| + 7 |y | 4.- Demuestre ^q ue (x;yl)i-m*( 0;0) 1X2 4- 9y—‘ = + 00 Solución: Usando coordenadas polares, se tiene 5|x¡ + 7|y¡ |rj[5 |c osfl¡ + 7jsen fl|] U ;jH 0;0) l x 2 + 9 y 2 r 2(7cos2d + 9sen 20) 5jcos 0¡ 4 -7¡sen 0[ — lirn ----------—------------------ — — -j-oo r-*o \r\(7 cos26 + 9sen20 ) 5.- Analice la continuidad de la función en (0; 10) ln(y — (0.25)* — 4) j 1 0 - y y> * •+ \U + r + 4 "■escon,inua' 6.- Analice ia continuidad de / en el punto (0; 0). 2 2 , si (x; y) (0; 0) /(x ; y) = ^ |x |3 + |y ¡3 ,0 , si (x; y) = (0; 0)