FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS PDF
Curvas de nivel , Superficies de nivel, Conjuntos abiertos y cerrados , Límite de una función de varias variables Propiedades de los límites , Regla de dos trayectorias para calcular límites , Continuidad de funciones de varias variables Propiedades de continuidad , I UNCIONES DE VARIAS VARIABLES
D< flnición 1. Una función real de n variables denotada por / : D c Rn -» R es una regla de correspondencia que asigna a cada n-upla de números reales ( - ; *n) de un conjunto D del espacio Rn , un único número real z denotado por * = f ( x 1;x 2; ...; xn) I iis variables x 1; x 2; ...; xn se denominan variables independientes de la función, mientras que z se llama variable dependiente.
1 I domino de la función / es el conjunto l)/ = d = {(xa; x 2; ...; xn) e E n /3 z £ iK .A z = f { x t \ x z-,...; xn)} c E n ! I rango o recorrido de la función / es el conjunto R, = { z £ l / 3 (^1 x2; •••;*„) 6 D A f ( x 1;x2: ... ;xn) = z] c E I li mpio 1. Determine el dominio y rango de la función / (* ;y ) = v '3 6 - * 2 - y 2 Solución I I dominio de la función f es ei conjunto D = {(x: y) G IR2 / 36 - x 2 - y 2 > 0} = {(x;y) E l 2 / x 2 + y 2 < 36} I s dccir. el dominio es ei conjunto de todos los puntos que se encuentran en la t ircunferencia x 2 + y 2 = 36, o en su interior. ( 'mno 36 - x 2 - y 2 > 0 <=> 0 < x 2 + y 2 < 36 «=* 0 < 36 - x 2 - y 2 < 36 ■ > 0 < z - <¿36 — x 2 - y 2 < V36 = 6, entonces el rango de la función / es el i im|unto Rf = {z £ & / 0 < z < 6} = [0; 6] CÁLCULO III Definición 2. Sea / : D c l n - + l una función de n variables reales con dominio D. Se denomina gráfica de la función z = f ( x i , ...;x n) al conjunto de todos los puntos (X ; x2; ...; xn; z) cuyas coordenadas satisfacen la ecuación z = f ( x 1\ x 2\ ...;xn) y se escribe Gr = í(x i; x2; ...; xn; z) G E " +1 / z = / ( x x; ...; xn)} c E ”+1 Para el caso n = 1 (función de una variable real) la gráfica es una curva, mientras que para n = 2 adopta la forma de una superficie en el espacio E 3, siendo / (x; y) la distancia orientada desde (x; y; 0) hasta (x; y; /(x ; y)) (ver fig. 2. 1) Al referirnos a una función dada por la ecuación z = f ( x x; ...;x n), se supone (a menos que se especifique explícitamente alguna restricción adicional) que el dominio está formado por el conjunto de n-uplas (xx; ...; xn) para los cuales z es un número real.