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FUNCION EXPONENCIAL , LOGARITMICA Y RAIZ EJERCICIOS RESUELTOS DE SEGUNDO DE SECUNDARIA PDF

En ocasiones, el desarrollo de la matemática se ha visto impulsado por formas novedosas de enfrentar los problemas, de maneras que hasta el momento no habían sido exploradas. Para los estudiantes ha sido natural, desde cursos anteriores, relacionar funciones con su gráfica. Lo han hecho con la función afín, identificándola con una línea recta y analizando sus variaciones según cambien los parámetros involucrados en ella. Sin embargo, esta forma de trabajar es reciente históricamente hablando, y se debe al aporte de René Descartes. Los griegos habían estudiado algunas curvas en la antigüedad, y lograron determinar muchas de sus características esenciales. Sin embargo, no fue sino hasta Descartes que se comenzó a asociar una curva a una ecuación, que describiera la relación entre el incremento horizontal (variable x) y el vertical (variable y). La fusión de dos miradas (analítica y geométrica) significó el avance que hoy nos permite modelar situaciones diversas y predecir comportamientos de fenómenos de manera mucho más intuitiva y clara. Los estudiantes deben saber que para graficar rectas solo se requieren dos puntos, por lo que les puede parecer innecesario realizar una tabla de valores. Mencione que es preciso hacerlo, ya que en esta sección se deberá analizar el comportamiento de otras funciones, de las que aun no se conocen sus características. Por otro lado, enfatice que las transformaciones al gráfico de una función f(x) (traslaciones verticales y horizontales) son válidas para cualquier función. Una dificultad frecuente para los estudiantes es que la traslación vertical sigue un comportamiento esperable (si se suma un valor positivo, se desplaza hacia los positivos), mientras que para la traslación horizontal opera de manera inversa, es decir, si se suma un valor positivo la traslación se da hacia los negativos. Para que comprendan mejor este punto, puede plantear el siguiente ejemplo: Considere la función f(x), y supongamos que f(a) = b. Si tomamos ahora la función f(x + p), con p > 0, el valor de x para el cual f(x + p) = b es a – p, pues: f((a – p) + p) = f(a + p – p) = f(a) = b a – p es un valor menor que a, es decir, la función toma el valor b “antes”. Si es necesario, puede utilizar este ejemplo asignando valores numéricos a a, b y p, por ejemplo a = 1, b = 2 , p = 3. Es posible que los estudiantes cometan errores en las tablas de valores, ya que no respetan las prioridades de las operaciones. Para evitar este inconveniente, corrija en el momento estas equivocaciones, y enfatice en la necesidad de un trabajo ordenado y metódico. En ocasiones, los estudiantes confunden el eje respecto del cual se realiza la reflexión; al comparar las funciones f(x) y f(–x), puede ser que al ver el signo negativo junto a la x asuman que la reflexión correspondiente es respecto del eje X. Para evitarlo, procure que hagan el razonamiento análogo al que se explicó para las traslaciones, es decir, si para f(x), f(a) = b, entonces para f(–x), f(–a) = b pues: f(–(–a)) = f(a) = b –a es el valor simétrico de a respecto del eje Y, por lo que la reflexión de la gráfica es respecto del eje Y. Funciones, tablas y gráficos Propósito: analizar grácas de funciones y sus variaciones. Taller En parejas, lean y realicen las siguientes actividades. 1 Consideren las siguientes funciones. f(x) = 2x g(x) = f(x) +1 = 2x + 1 j(x) = f(x+3) = 2(x + 3) h(x) = f(x) – 1 = 2x – 1 k(x) = f(x – 3) = 2(x – 3) a) Completen la siguiente tabla. X –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 f(x)=2x g(x)=2x +1 h(x)=2x – 1 j(x) = 2(x + 3) k(x) = 2(x – 3) b) Graquen las funciones f(x), g(x) y h(x) en el mismo plano cartesiano, según los valores de la tabla anterior. ¿Qué relación observas entre ellas? c) Graquen las funciones f(x), j(x) y k(x) en el mismo plano cartesiano, según los valores de la tabla anterior. ¿Qué relación observas entre ellas? d) ¿En qué punto se intersecan las grácas de las funciones f(x), g(x) y h(x) con el eje Y? ¿Qué relación puedes establecer entre los términos de la función y su gráca? e) ¿En qué punto se intersecan las grácas de las funciones f(x), j(x) y k(x) con el eje X? ¿Qué relación puedes establecer entre los términos de la función y su gráca? f) ¿En qué punto se deben intersecar las grácas de las funciones j(x) =f(x) + 5 y k(x) = f(x) – 2 con el eje Y? Graquen y comprueben sus conjeturas. g) Considerando lo anterior conjeturen respecto de la relación que existe entre las grácas de las funciones f(x) = 2x, m(x) = f(x) + 5 y n(x) = f(x) – 2. Luego, grafíquenlas y veriquen sus conclusiones. En general, dada una función f(x) y un número real positivo a, se tiene que: f(x) + a es una traslación vertical de f(x), a unidades hacia arriba. f(x) – a es una traslación vertical de f(x), a unidades hacia abajo. f(x + a) es una traslación horizontal de f(x), a unidades hacia la izquierda. f(x – a) es una traslación horizontal de f(x), a unidades hacia la derecha. Una función f(x) es una relación entre elementos de dos conjuntos A y B, donde a cada elemento del conjunto A le corresponde un único elemento del conjunto B. El dominio de una función es el conjunto formado por los elementos que tienen imagen. Se escribe Dom f(x). El recorrido de una función corresponde al conjunto de las imágenes del conjunto del dominio de la función. Se escribe Rec f(x). Debes saber… 199 1 2 3 4 2 Ahora consideren las siguientes funciones. f(x) = 2x + 1 l(x) = f(–x) = 2(–x) + 1 = –2x + 1 m(x) = –f(x) = –(2x + 1) = –2x – 1 a) Completen la siguiente tabla. X –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 f(x) = 2x + 1 l(x) = –2x + 1 m(x) = –2x – 1 Grafiquen las funciones f(x), l(x) y m(x) en el mismo plano cartesiano, según los valores de la tabla anterior. ¿Qué relación observan entre las gráficas de las funciones anteriores? Expliquen. En general, dada una función f(x), se tiene que: l(x) = f(–x) es una reexión de f(x) respecto del eje Y. m(x) = –f(x) es una reexión de f(x) respecto del eje X. Como puedes observar, la forma de la gráfica de f(x) se ha mantenido en cada caso, pero se observan algunas transformaciones isométricas según las modificaciones que se realizan. Los resultados anteriores podemos resumirlos diciendo que, si f(x) es una función, a su gráfica se le pueden realizar las siguientes transformaciones: Traslación vertical Traslación horizontal Reflexión hacia arriba: hacia la izquierda: respecto del eje X: Y f(x) x f(x) + a a Y f(x) x f(x + a) a Y f(x) x –f(x ) hacia abajo: hacia la derecha: respecto del eje Y: Y f(x) x f(x) – a a Y f(x) x f(x – a) a Y f(x) x f( – x) Razona y comenta § ¿Qué crees que ocurrirá si se multiplica una función por un número? Experimenta con una función f(x), grafícala y compara con 5f(x), –2f(x) y 0,5f(x). Practiquemos lo aprendido 200 Repaso 1. Ubica los siguientes puntos en el plano cartesiano. a) A(4, 4) b) B(–6, 2) c) C(–4, 5) d) D(–2; 2) e) E(–4, –2) f) F(–2, –4) g) G(–2, 4) h) H(2, –4) i) I(0, 3) j) J(0, –3) k) K(3, 1) l) L(–3, 1) 2. Construye la gráfica de las funciones expresadas en las siguientes tablas. a) Se asocia la medida del lado de un cuadrado con su área. Lado 1 2 3 4 5 Área 1 4 9 16 25 b) El triple de un número. Número 3 4 5 6 Triple del número 9 12 15 18 3. Calcula las siguientes expresiones considerando las funciones: f(x) = 2x g(x) = 3x² h(x) = x 2 a) f(3) + g(2) – h(12) b) (f(12))² – 5h(10) c) h(50)– f(10) 26 d) f(–3) – h(5) + 0,25 g(12) e) f(a+b) – (a – b) f) h(a)– f(a) a 4. Determina cuál(es) de las siguientes gráficas representa(n) una función. Justifica cuando no lo sean. a) Y x b) Y x c) Y x d) Y x 5. Determina el dominio y el recorrido de las siguientes funciones. a) f(x) = 2x b) g(x) = 4 x c) h(x) = 3 x