Matemáticas Preguntas Resueltas PDF

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EXPRESIONES ALGEBRAICAS EJERCICIOS RESUELTOS MATEMATICAS 1 BACHILLERATO PDF

1. Dados los polinomios A(x) 2x3 3x2 2x 1 B(x) 3x3 x2 2 y C(x) x3 2x 4, calcula: a) A(x) B(x) C(x) b) A(x) 2B(x) C(x) c) 3A(x) B(x) 4C(x) 2. Realiza los siguientes productos de polinomios: a) (2x2 3x 5) · ( 3x 2) b) ( x3 x2 2) · ( 3x2 4) 3. Simplifica todo lo que puedas las siguientes expresiones algebraicas: a) 2 · (x2 1)2 4x · (2x2 3x 1) b) 4 · (2x 3) · (2x 3) 3 · (2x 3)2 4. a) Calcula el resto y el cociente de la siguiente divisio´n de polinomios: ( 3x4 11x3 14x2 19x 8) : (3x2 2x 5) b) Escribe la expresio´n de la divisio´n entera: dividendo divisor · cociente resto 5. Aplica la regla de Ruffini a las divisiones siguientes y escribe, en cada caso, el dividendo en funcio´n del cociente, del divisor y del resto: a) (4x4 3x3 3x2 x 5) : (x 2) b) (2x5 x3 2x 1) : (x 3) 6. Calcula las raı´ces enteras de los siguientes polinomios y factorı´zalos: a) x3 2x2 5x 6 b) x3 x2 5x 3 c) x4 2x3 3x2 4x 4 7. Simplifica las siguientes fracciones algebraicas: a) 2x2 7x 3 3x2 4x 15 b) 3x3 6x2 3x 2x3 2x2 10x 6 c) 4x3 3x2 25x 6 x4 x3 7x2 x 6 8. Halla el valor nume´rico de las siguientes fracciones algebraicas: a) para x 1 2x2 x 2x2 2x 1 b) para x 3 x2 2x 3 2x2 3x 2 9. Halla el verdadero valor de las siguientes fracciones algebraicas: a) para x 1 2x2 2x 2x2 x 1 b) para x 2 x2 x 2 2x2 3x 2 10. Realiza la siguiente operacio´n con fracciones algebraicas y simplifica el resultado si es posible: 2 3 6 x 1 x 1 x2 1 11. Realiza la siguiente multiplicacio´n de fracciones algebraicas y simplifica el resultado si es posible: x 1 2x2 5x 3 · 2x 1 x2 1 12. Realiza la siguiente divisio´n de fracciones algebraicas y simplifica el resultado lo ma´s posible: x 2 x 1 : x 2 x2 4 13. Dado el polinomio p(x) 2x4 3x3 4x2 2kx 4: a) Calcula, en funcio´n de k, su valor nume´rico para x 2. b) Calcula el valor de k para que el polinomio sea divisible por x 2. SOLUCIONES 1. a) A(x) B(x) C(x) 2x2 3 b) A(x) 2B(x) C(x) 7x3 5x2 4x 1 c) 3A(x) B(x) 4C(x) 5x3 10x2 14x 11 2. a) (2x2 3x 5) · ( 3x 2) 6x3 13x2 21x 10 b) ( x3 x2 2) · ( 3x2 4) 3x5 3x4 4x3 2x2 8 3. a) 2 · (x2 1)2 4x · (2x2 3x 1) 2x4 8x3 16x2 4x 2 b) 4 · (2x 3) · (2x 3) 3 · (2x 3)2 4x2 36x 63 4. a) Cociente x2 3x 1 Resto 2x 3 b) ( 3x4 11x3 14x2 19x 8) (3x2 2x 5) · ( x2 3x 1) 2x 3 5. a) Cociente 4x3 11x2 25x 49 Resto 93 (4x4 3x3 3x2 x 5) (4x3 11x2 25x 49) · (x 2) 93 b) Cociente 2x4 6x3 17x2 51x 155 Resto 464 (2x5 x3 2x 1) (2x4 6x3 17x2 51x 155) · (x 3) 464 6. a) Raı´ces: x 1 x 2 x 3 x3 2x2 5x 6 (x 1) · (x 2) · (x 3) b) Raı´ces: x 1 doble x 3 x3 x2 5x 3 (x 1)2 · (x 3) c) Raı´ces: x 1 doble x 2 doble x4 2x3 3x2 4x 4 (x 1)2 · (x 2)2 7. a) 2x2 7x 3 (2x 1) · (x 3) 3x2 4x 15 (3x 5) · (x 3) 2x 1 3x 5 b) 3x3 6x2 3x 3x · (x 1)2 2x3 2x2 10x 6 (2x 6) · (x 1)2 3x 2x 6 c) 4x3 3x2 25x 6 x4 x3 7x2 x 6 (4x 1) · (x 2) · (x 3) 4x 1 (x2 1) · (x 2) · (x 3) x2 1 8. a) 1 2 1 3 2 2 1 3 b) 9 6 3 18 18 9 2 7 9. a) 2x2 2x 2x · (x 1) 2x 2x2 x 1 (2x 1) · (x 1) 2x 1 2 · 1 2 2 · 1 1 3 b) x2 x 2 (x 1) · (x 2) x 1 2x2 3x 2 (2x 1) · (x 2) 2x 1 2 1 3 2( 2) 1 5 10. 2 3 6 x 1 x 1 x2 1 2 · (x 1) 3 · (x 1) 6 (x 1) · (x 1) 2x 2 3x 3 6 5x 5 (x 1) · (x 1) (x 1) · (x 1) 5 · (x 1) 5 (x 1) · (x 1) x 1 11. · x 1 2x2 5x 3 2x 1 x2 1 (x 1) · (2x 1) · (x 3) x 3 (2x 1) · (x 1) · (x 1) x 1 12. : x 2 x 2 x 2 x x 2 1 x 2 x2 4 x (x 2) · (x 2) 2x 4 2x · (x 2) · (x 2) x · (x 2) 13. a) El valor nume´rico se obtiene sustituyendo la indeterminada por 2. Por tanto: p( 2) 2 · ( 2)4 3 · ( 2)3 4 · ( 2)2 2k · ( 2) 4 32 24 16 4k 4 76 4k b) Para que el polinomio dado sea divisible por x 2 debe verificarse que su valor nume´rico para x 2 sea nulo. Por tanto: 76 4k 0 k 19 76 4 1. a) Demuestra que a3 b3 (a b) · (a2 ab b2) b) Simplifica todo lo que puedas la fraccio´n algebraica R(x) . x3 y3 x2 xy y2 2. Saca dos veces factor comu´n en las siguientes expresiones: a) xy zy xa za b) 2xa ya 2xb yb c) 2xa 4xb 3ya 6yb 3. Recuerda las expresiones algebraicas que establecen el cuadrado de la suma y el cuadrado de la diferencia, para factorizar los siguientes polinomios: a) 9x2 12x 4 b)4x2 12xy 9y2 c) 4x4 16x2y 16y2 4. Recuerda la expresio´n algebraica que establece la diferencia de dos cuadrados como el producto de una suma por una diferencia, para factorizar los siguientes polinomios: a) 9x2 4y2 b) 12 3x2 c) a2 (b c)2 d) 4x2 9y4 5. Descompo´n en factores los siguientes polinomios: a) x2 y2 2xy z2 b) 4x2 9y2 4z2 12yz c) 4 9x2 25y2 30xy 6. Calcula el valor de k para que al simplificar la fraccio´n algebraica resulte un polinomio de primer x 9 3 x 1 x 1 k x 1 grado. Escribe la expresio´n de dicho polinomio. 7. Se considera un recta´ngulo de base 20 metros y de altura 12 metros. a) Escribe la expresio´n algebraica que determina el a´rea de un nuevo recta´ngulo que se obtiene al incrementar la medida de la base del dado en x metros y al disminuir su altura en y metros. b) Calcula el valor nume´rico de la expresio´n anterior para x 2 e y 4. B x A 8. Un recta´ngulo se encuentra inscrito en un tria´ngulo recta´ngulo de catetos 12 y 20 cm tal y como muestra la figura. a) Escribe la expresio´n algebraica que determina el a´rea del recta´ngulo suponiendo que la distancia entre los puntos A y B es de x centı´metros. b) Calcula los valores nume´ricos de la expresio´n anterior para x 2, x 5 y x 10. 9. Calcula la expresio´n del polinomio de segundo grado P(x) sabiendo que P(x 2) 2x2 5x 7. 10. Calcula los valores de a y de b para que el polinomio 4x3 4x2 ax b sea divisible por 2x2 x 1. Escribe el cociente de la divisio´n. 11. Dado el polinomio p(x) (x 1)2 Ax y la fraccio´n algebraica R(x) , calcula el valor de A para x3 1 x que se verifique la igualdad p(x) R(x) . 1 1 x SOLUCIONES 1. a) Multiplicando los polinomios: (a b) · (a2 ab b2) a3 a2b ab2 ba2 ab2 b3 a3 b3 b) Aplicando la expresio´n anterior: R(x) x y x3 y3 (x y) · (x2 xy y2) x2 xy y2 x2 xy y2 2. a) xy zy xa za y(x z) a(x z) (x z)(y a) b) 2xa ya 2xb yb a(2x y) b(2x y) (2x y)(a b) c) 2xa 4xb 3ya 6yb 2x(a 2b) 3y(a 2b) (a 2b)(2x 3y) 3. a) 9x2 12x 4 (3x 2)2 b) 4x2 12xy 9y2 (2x 3y)2 c) 4x4 16x2y 16y2 (2x2 4y)2 4. a) 9x2 4y2 (3x)2 (2y)2 (3x 2y) · (3x 2y) b) 12 3x2 3 · (4 x2) 3 · (22 x2) 3(2 x)(2 x) c) a2 (b c)2 (a (b c)) · (a (b c)) (a b c)(a b c) d) 4x2 9y4 (2x)2 (3y2)2 (2x 3y2) · (2x 3y2) 5. a) x2 y2 2xy z2 (x y)2 z2 (x y z) · (x y z) b) 4x2 9y2 4z2 12yz (2x)2 (9y2 4z2 12yz) (2x)2 (3y 2z)2 (2x 3y 2z)·(2x 3y 2z) c) 4 9x2 25y2 30xy 22 (3x 5y)2 (2 3x 5y) · (2 3x 5y) 6. x 9 3x 3 x 9 3 x 1 x 1 x 1 kx k x 1 k x 1 x 1 (4x 12) · (x 1) 4x 12 ((k 1)x (k 1)) · (x 1) (k 1)x (k 1) El denominador debe ser constante. Por tanto: k 1 y el polinomio sera´: 2x 6 4x 12 2 7. a) Las medidas del nuevo recta´ngulo son 20 x y 12 y. Por lo tanto, su a´rea se puede escribir como: S (20 x) · (12 y) b) Para los valores indicados: S(x 2, y 4) 22 · 8 176 m2 8. a) Los tria´ngulos ABF y ACE son semejantes y, por tanto, verifican el teorema de Tales: B E C D F x 20 12 A FB x 20 3x FB 12 5 El a´rea del recta´ngulo sera´: S (20 x) · 3x 60x 3x2 5 5 b) S(2) 21,6 cm2 120 12 5 S(5) 45 cm2 300 75 5 S(10) 60 cm2 600 300 5 9. P(x 2) 2x2 5x 7 2(x 2)2 8 8x 5(x 2) 10 7 2(x 2)2 8 8(x 2) 16 5(x 2) 10 7 2(x 2)2 3(x 2) 5 Por tanto: P(x) 2x2 3x 5 10. Cociente: 2x 3. Resto: (a 5)x (b 3) 0 a 5 0 a 5 b 3 0 b 3 11. p(x) R(x) (A 1)x2 (1 A)x 1 1 x Para A 1 p(x) R(x) 1 1 x