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EVENTOS EXCLUYENTES , INDEPENDIENTES Y PROBABILIDADES EJEMPLOS RESUELTOS DE SEGUNDO DE SECUNDARIA PDF

Si en un experimento debe ocurrir primero un suceso A (con probabilidad P(A) y luego un suceso B (con probabilidad P(B) luego de que ocurre A), se tiene que: ... Si un suceso C se compone de dos sucesos A y B mutuamente excluyentes, entonces: P(C) = P(A) + P(B) Dos sucesos A y B son independientes si la ocurrencia de uno no influye en la ocurrencia del otro. Además se cumple que: ... En caso de que la ocurrencia de A influya sobre la probabilidad de B (y viceversa), los sucesos son dependientes. En tal caso, ... En muchas situaciones de nuestra vida cotidiana, utilizamos las probabilidades pero sin la regla de Laplace, sino a partir de la observación de ciertas regularidades. Así, lo que no nos ocurre frecuentemente (encontrar a una persona a la que no vemos hace mucho tiempo, por ejemplo), lo consideramos algo poco probable, mientras que estimamos el tiempo empleado en desplazarnos desde nuestra casa a nuestro lugar de estudio en forma probabilística, según lo que nos solemos demorar. Por lo mismo, suponemos que si alguien tarda más de lo esperado puede haber tenido algún inconveniente. Un segundo paso es establecer relaciones entre los sucesos que observamos y sus probabilidades. Este procedimiento fue, en la historia de la humanidad, el primer paso en el uso del método científico, al intentar establecer causas y efectos. El ser humano en las cavernas poco a poco fue asociando el aspecto del cielo y su color, la velocidad del viento y la temperatura con las lluvias, por ejemplo, lo que le permitió preverlas. Día a día hacemos estas asociaciones, pero muchas veces que dos sucesos ocurran a la vez no implica, necesariamente, que estén directamente relacionados o que uno influya en la probabilidad del otro. Nuestro afán de anticiparnos a los hechos para prever sus consecuencias muchas veces nos puede llevar a conclusiones equivocadas producto de un análisis apresurado, o de una incorrecta interpretación de las probabilidades involucradas. ¿Qué debes saber? Definir casos, eventos y calcular probabilidades Para este indicador, se sugiere repasar los conceptos de caso y evento —considerando que ya dominan los de experimento aleatorio y espacio muestral—. Es importante que aclare a los estudiantes que, en general, se utiliza “caso” para determinar un resultado individual y “evento” o “suceso” para señalar un conjunto de casos. Debe aclararse que dicho conjunto puede tener un solo elemento (por lo que en rigor un caso también es un evento), ser igual al espacio muestral o ser el conjunto vacío. Puede apoyarse con el ejemplo del lanzamiento de un dado, estableciendo que: • los casos de este experimento (es decir, los posibles resultados son 1, 2, 3, 4, 5 y 6. • el evento “sale un número par” es el conjunto {2, 4, 6} • el evento “sale un número primo par” es {2}. Utilizar el principio multiplicativo para calcular probabilidades Para este indicador, se sugiere utilizar apoyos gráficos en la resolución de los ejercicios, que les permitan a los estudiantes visualizar este principio y con ello recordarlo y aplicarlo. Una forma sencilla de hacerlo es mediante tablas de doble entrada, que permiten observar fácilmente que la operación involucrada es una multiplicación Puede ocurrir que los estudiantes, en primera instancia, asuman que la disyunción “o” es excluyente, pues así suele ser en el lenguaje natural. Así, pueden pensar que si decimos que una persona tiene corderos o vacas significa que solo tiene un tipo de animal, no ambos. Conviene aclarar este punto con ellos y mostrarles que la disyunción puede ser incluyente y de hecho lo es en matemática. Existen casos en que la disyunción es excluyente por la naturaleza de la situación (por ejemplo, si hablamos de hombres o mujeres no habrá personas que sean “hombre y mujer”), pero esta no es la norma en el lenguaje matemático. Es frecuente que los estudiantes confundan los casos en los que el orden debe considerarse y en los que no, lo que producirá errores en sus cálculos. En la resolución de problemas, haga que los estudiantes expliciten sus razonamientos en cada caso, para lo cual puede plantearles preguntas como las siguientes: • ¿es lo mismo escoger como compañeros de trabajo a Isabel y Emilio, que a Emilio e Isabel? • ¿es lo mismo usan pantalón café y polera negra que pantalón negro y polera café? Puede ocurrir también que los estudiantes, por la premura de resolver rápidamente los ejercicios, confundan la fórmula de variación y de combinación. Para ello, permítales calcular ambas y constatar que, si el orden no es relevante, es evidente que habrá menos casos en que sí lo es. Por lo mismo, la fórmula para la combinación es la misma que para la variación, pero dividida por n!, pues necesariamente son menos casos. Resuelve los siguientes problemas. 4. ¿Cuántas palabras con o sin sentido se pueden formar con las letras de la palabra PALTOS, de tal modo que comiencen con P y terminen con S? 5. Martín quiere sacarse una foto con su familia, compuesta por su papá, su mamá, él y sus dos hermanos. Para eso, se pondrán al azar uno al lado del otro. ¿Cuál es la probabilidad de que sus dos padres queden juntos en la foto? 6. Paulina quiere adornar su casa con plantas, para lo que le encarga a su hermano que compre 2 plantas de interior y 5 de exterior. En la tienda su hermano compra las plantas al azar (todas distintas) pues no las distingue. Si en la tienda había 6 tipos de plantas de interior y 8 de exterior, ¿cuál es la probabilidad de que cumpla con el deseo de Paulina? 7. En un plano cartesiano hay 5 puntos no colineales (A, B, C, D y E), es decir, no pertenecen a una misma recta, ¿cuántos triángulos es posible dibujar? ¿Cuál es la probabilidad de que al escoger 3 de los 5 puntos para formar un triángulo se elijan los puntos A, B y C? 8. Un profesor interrogará a la mitad de los estudiantes de un curso de 38. Si uno de ellos no estudió, ¿cuál es la probabilidad de que no salga seleccionado? 9. La clave de un maletín de seguridad está compuesto por 5 dígitos. A su dueño se le olvidó la clave, solo sabe que comienza con un número primo. ¿Cuál es la probabilidad de que, al tratar de abrir el maletín, acierte con la clave al primer intento? 10. Se formará un equipo de 4 mujeres y 3 hombres elegidos entre 12 mujeres y 18 hombres. Pablo y Camila son hermanos, ¿cuál es la probabilidad de que ellos conformen juntos el equipo? 11. Desafío: Marcela es hermana de Raúl, y Constanza es hermana de Beatriz, mientras que Leonardo no es hermano de los anteriores nombrados. ¿Cuál es la probabilidad de escoger al azar a dos personas de este grupo que sean de distinto sexo o que sean hermanos?