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ESTUDIO Y REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES MEDIANTE DERIVADAS EJERCICIOS RESUELTOS MATEMATICAS 2 BACHILLERATO PDF

1. a) Dibuja la gra´fica de la funcio´n f (x ) x 2 2x 3 atendiendo a los siguientes puntos: dominio de definicio´n, corte con los ejes, intervalos de monotonı´a e intervalos de curvatura. A partir de la gra´fica anterior, establece razonadamente co´mo serı´an las gra´ficas de las funciones: i) g (x ) x 2 2 WxW 3 ii) m(x ) x 2 2x 3 iii) n (x ) (x 2)2 2(x 2) 3 b) Dibuja las gra´ficas de las tres funciones anteriores. 2. Representa la funcio´n f (x ) Wx 2 2x 3W y estudia sus simetrı´as. 3. Dada la funcio´n f (x ) , se pide: x 2 x 1 a) Representa la funcio´n. b) Indica su dominio y la ecuacio´n de sus ası´ntotas. c) Indica sus intervalos de crecimiento y decrecimiento. 4. Dada la funcio´n f (x ) , se pide: x 3 3x 2 4 x 2 a) Dominio y puntos de corte con los ejes. b) Extremos relativos y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento. c) Ası´ntotas verticales y oblicuas. d) Representa la gra´fica de la funcio´n. 5. Determina el valor del para´metro k para que la recta y 2x 6 sea una ası´ntota oblicua de la funcio´n f (x ) y halla la ecuacio´n de las restantes ası´ntotas de esta funcio´n. 2x 2 x k 6. Halla las ası´ntotas de la funcio´n f (x ) x 2 · e x y comprueba si en algu´n caso la ası´ntota corta la gra´fica de la funcio´n, calculando el punto de corte. SOLUCIONES 1. a) Dominio: R. Puntos de corte con los ejes: (0, 3), ( 1, 0), (3, 0); f (x ) 2x 2 se anula en x 1, la funcio´n decrece en ( , 1) y crece en (1, ); mı´nimo (1, 4); como f (x ) 2 0 la funcio´n es convexa. f(x) Y O 1 1 X i) g (x ) f (Wx W) su gra´fica coincide con la de f (x ) en los valores positivos y es sime´trica respecto al eje OY. ii) m (x ) f (x ) su gra´fica es sime´trica respecto al eje OX de la de f (x ). iii) n (x ) f (x 2) es la funcio´n trasladada segu´n el vector u (2, 0). b) Y O 1 1 X g(x) m(x) Y O 1 1 X Y O 1 1 X n(x) 2. Se representa la para´bola g (x ) x 2 2x 3 y como f (x ) Wg (x )W, los trozos negativos se sustituyen por sus sime´tricos respecto al eje OX. Como proviene de una para´bola, es sime´trica respecto al eje x 1. f(x) = x2–2x–3 Y O 1 1 X 3. a) El estudio y la gra´fica se obtienen a partir de la funcio´n g (x ) teniendo en cuenta que x 2 x 1 los trozos negativos de esta (x 1) se sustituyen por sus sime´tricos respecto al eje OX. Y O 1 1 X f(x) = x2 x – 1 b) Dominio: R {1} Ası´ntota vertical: x 1 lim f (x ) lim f (x ) xA1 xA1 Ası´ntotas oblicuas: y x 1 si x , y x 1 si x c) f (x ) es creciente en (0, 1) (2, ) y decreciente en ( , 0) (1, 2) 4. a) Dominio R {0} Puntos de corte con los ejes: ( 2, 0) y (1, 0) b) f (x ) se anula en x 2 x 3 8 x 3 Signo de f (x ) + –2 – 0 + La funcio´n crece en ( , 2) (0, ) y decrece en ( 2, 0). Tiene un ma´ximo relativo en ( 2, 0) c) x 0 es ası´ntota vertical: lim f (x ) y lim f (x ) xA0 xA0 y x 3 es ası´ntota oblicua: m 1 f (x ) x 3 3x 2 4 lim lim xA x xA x 3 n (f (x ) x ) 3 3x 2 4 lim lim xA xA x 2 d) f(x) = x3+3x2–4 x2 Y O 1 1 X 5. Como 2 debe ser (f (x ) 2x ) 6 f (x ) lim lim xA x xA 6 2k 2x 2 2kx lim 2x lim xA x k xA x k k 3 La funcio´n es f (x ) y tiene adema´s una 2x 2 x 3 ası´ntota vertical en x 3. 6. Dominio R. No tiene ası´ntotas verticales. f (x ) 0 x 2 2x 2 lim lim lim lim xA xA ex xA ex xA ex y 0 es ası´ntota horizontal cuando x Punto de corte (0, 0) lim f (x ) lim x 2 · e x , no hay as´ıntota xA xA horizontal cuando x m (x · e x ) , no hay f (x ) lim lim xA x xA ası´ntota oblicua cuando x . 1. Halla las ası´ntotas de la funcio´n f (x ) . Comprueba si en algu´n caso la ası´ntota corta a la gra´fica de x e2x 1 la funcio´n y, en ese caso, calcula el punto de corte. 2. Dada la funcio´n f (x ) , se pide: Wx W eWx 1W a) Hallar dominio y ası´ntotas. b) El estudio de la continuidad y derivabilidad de la funcio´n. c) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos. d) Los intervalos de concavidad y convexidad y los puntos de inflexio´n. e) La representacio´n gra´fica de la funcio´n. 3. Dada la funcio´n f (x ) : sen x 2 cos x a) Estudia su signo en el intervalo [ , ] y las simetrı´as que presenta su gra´fica. b) Determina sus ma´ximos y mı´nimos relativos en el intervalo. c) Determina sus puntos de inflexio´n en [ , ]. d) A partir del estudio realizado en los apartados anteriores, representa gra´ficamente la funcio´n en todo su dominio. 4. Dada la funcio´n f (x ) , donde a es un nu´mero positivo: e ax 1 x a) Determina sus ma´ximos y mı´nimos relativos. b) Halla la ecuacio´n de sus ası´ntotas. c) Representa gra´ficamente la funcio´n para a 1. 1. Dominio R {0}. f (x ) x 1 1 lim lim lim xA0 xA0 e2x 1 xA0 2e2x 2 f (x ) tiene una discontinuidad evitable en x 0. f (x ) 0 x 1 lim lim lim xA xA e2x 1 xA 2e2x y 0 es ası´ntota horizontal cuando x , no hay punto de corte; lim f (x ) no hay as´ınxA tota horizontal cuando x . y x es ası´ntota oblicua cuando x . 2. a) Dominio R; f (x ) x si x 0 e1 x x si 0 x 1 e1 x x si x 1 ex 1 y 0 es ası´ntota horizontal. b) f (x ) es continua en R pero no derivable en x 0 ni en x 1. f (x ) 1 x si x 0 e1 x 1 x si 0 x 1 e1 x 1 x si x 1 ex 1 f (x ) x 2 si x 0 e1 x x 2 si 0 x 1 e1 x x 2 si x 1 ex 1 c) f (x ) se anula en x 1. Creciente: ( , 1) (0, 1); decreciente: ( 1, 0) (1, ). Ma´ximos relativos: y (1, 1); mı´nimo 1 1, 2 relativo: (0, 0). e d) Se anula en x 2 e) y en x 2. Co´ncava: ( 2, 0) (1, 2) Convexa: ( , 2) (0, 1) (2, ) Puntos de inflexio´n: y 2 2 2, 2, 3 e e 3. a) Como 2 cos x es siempre positivo, el signo de f (x ) coincide con el de sen x: f (x ) 0 en (0, ) y f (x ) 0 en ( , 0). La gra´fica es sime´trica con respecto al origen, ya que f (x ) es impar, luego basta hacer el estudio en (0, ). b) f 1. Considera la funcio´n f (x ) x 3 3x 2 9x. Determina: a) Su dominio. b) Sus puntos de corte con los ejes coordenados. c) El signo de la funcio´n en cada regio´n. d) Sus extremos. e) Sus intervalos de crecimiento y decrecimiento. f) Sus puntos de inflexio´n. g) Su curvatura. h) Dibuja su gra´fica. 2. Halla los puntos de corte con los ejes coordenados y las regiones de signo de la funcio´n f (x ) e x(x 2 4). 3. Halla, cuando existan, las ası´ntotas horizontales, verticales y oblicuas de las siguientes funciones: a) f (x ) 1 x 1 b) f (x ) x 1 x 2 1 c) f (x ) x 2 1 x 4. Considera la funcio´n f (x ) x si x 1 x 2 1 si x 1 2 a) Estudia su continuidad y su derivabilidad. b) Represe´ntala gra´ficamente. 5. Considera la funcio´n f (x ) Wx 2 2x 3W: a) Represe´ntala gra´ficamente. b) Razona en que´ puntos no es derivable. c) Estudia sus extremos. d) Estudia sus intervalos de monotonı´a. 6. Representa la funcio´n f (x ) . x 2 x 2 1 7. A partir de la gra´fica de f (x ) , dibuja las gra´ficas de: 6. Conocida la gra´fica de la funcio´n f (x ) sen x, dibuja razonadamente las gra´ficas de las funciones: a) f (x ) Wsen (x 1)W b) f (x ) sen2 x 7. Un fontanero ha comprobado que trabajando x horas diarias, sus ingresos vienen dados, en euros, por la funcio´n f (x ) . Teniendo en cuenta que cada hora de trabajo le supone un gasto de 1,20 euros en material, que 60x x 2 debe descontar de los ingresos: a) Escribe la funcio´n que determina los ingresos del fontanero. b) ¿Cua´ntas horas debe trabajar al dı´a para obtener los ma´ximos beneficios? ¿A cua´nto ascienden estos? c) Representa gra´ficamente la funcio´n beneficios (fı´jate en cua´l es el dominio de f ). 8. La funcio´n f (x ) 40x 2 1 200x 5 760 representa el nu´mero de viajeros por hora que pasan a diario por la estacio´n central del metro de una ciudad, donde x simboliza la hora del dı´a objeto de estudio. a) ¿A que´ hora abre y cierra el metro de esta ciudad? b) ¿A que´ hora se produce la mayor afluencia de viajeros? ¿Cua´ntas personas entran en la estacio´n a esa hora? c) Si queremos viajar cuando entren en el metro menos de 2 240 personas por hora, ¿cua´ndo debemos hacerlo? d) Representa gra´ficamente la funcio´n como ayuda para responder mejor a las preguntas anteriores.