Matemáticas Preguntas Resueltas PDF

ESCRIBE AQUÍ LO QUE DESEAS BUSCAR

DIVISIBILIDAD EJERCICIOS RESUELTOS DE ARITMÉTICA PREUNIVERSITARIA EN PDF
















CLICK AQUI PARA VER PDF    ****

Número Divisibles Si A representa un número entero y B un número natural diferente de cero: “A es divisible por B” => A B  A: B es exacta con cociente entero. a B se denominará Divisor de A Ejemplo: 91: 13 = 7  91 es divisible por 13 => 91 13 y ¡13 es divisor de 91! 1.2 Múltiplos de un Número Natural Múltiplos de n = n.K (K  Z) SIMBOLOGÍA Notación de Leibnitz Múltiplos de n = = m.n = n.K. Z = { 0; + 1; + 2;+ 3; .... } Ejemplo: = { 0; + 7; + 14;+ 21; .... } 1.3 Principios de Divisibilidad ¡Si A y B son divisibles por n! Se cumplen las siguientes propiedades (1) “A + B es divisible por n” Conclusión: + = (2) “A – B es divisible por n” Conclusión: - = (3) “A.K es divisible por n” .K = (n  ZZ ) (4) “Am es divisible por n” Conclusión: ( )m = (m  ZZ +) (5) “Todo número es divisible por los factores naturales que contiene” Ejemplo: 105 = 3. 5. 7 105 es divisible por: 1: 3: 5: 7 y las combinaciones de estos factores: 15; 21; 35 y 105 (6) “Si A. B = , además: A y n tienen como único factor común la unidad Entonces: B = * (Principio de Arquímedes) Ejemplo: 7.B =  B = 2A + 4 B =  A + 2B = 1.4 Expresar un Número como Múltiplo de otro Número. Ejemplo: Expresar 400 como múltiplo de 23 400  400 = +9 (9) 17 400  400 = -14 - (14) 18 1.5 Aplicaciones del Binomio de Newton Sean A y n números no divisibles.  A = + r A = + r´ r : Residuo por defecto de A:n r´: Residuo por exceso de A:n Se demuestra que: ( + r)m = +rm , m  Z+ ( - r´)m= +(r´)m, m = # par ( - r´)m = -(r´)m , m = # impar 1.6 Restos Potenciales Se llaman restos potenciales de un número “a” respecto a un módulo “m”, a los restos que se obtienen dividiendo la serie natural de las potencias de “a” entre “m”. Estos es: módulo = m potencias = a0; a1; a2;..... restos = r0; r1; r2;....... Luego: a0 = + r0 a1 = + r1 a2 = + r2 . . . . LEY DE FORMACION DE LOS RESTOS POTENCIALES (1) “Cuando m y a contienen los mismos factores primos” Ejemplo: m = 54 = 2.33 a = 12 = 22.3 Módulo = 54 Potencias=120, 121, 122, 123, 124, 125,.... Restos = 1; 12; 36; 0; 0; 0;...... Nótese que: ¡Hay un instante en que los restos se vuelven nulos! (2) “Cuando todos los factores primos m son diferentes a los factores primos de a” Ejemplo: m = 28 = 22.7 a = 15 = 3.5 módulo = 28 potencia = 150;151;152;153;154;...... restos = 1. 15 , 1, 15, 1;...... Grupo Periódico: a su cantidad de elementos se llama GAUSSIANO Para este ejemplo: GAUSSIANO = 2 Nótese que:¡Siempre habrá un grupo de restos que se repetirán periódicamente! (3) “Cuando m y a contienen algunos factores primos iguales y otros diferentes” Ejemplo: m = 40 = 23.5 a = 12 = 22.3 módulo = 40 potencia=120;121;122;123;124;125;126;127... resto= 1, 12, 24; 8; 16; 32; 24; 8; Grupo no periódico Grupo periódico GAUSSIANO = 4 Nótese que: ¡Siempre habrá un grupo no periódico y otro grupo periódico! CONTEO DE MÚLTIPLOS a) ¿Cuántos números de 3 cifras son 7? Resolución: Sea N = 7 K Como N es de 3 cifras entonces 100  N < 1000 100  7K < 1000 100  K < 1000 7 7 14,25  K < 142,8 K  15, 16, 17 ………. 142  valores de K = 142 – 14 1 = 128 valores de K Como existen 128 valores de K por lo tanto existen 128 números que son de 3 cifras y múltiplo de 7. b) En el problema anterior cuantos terminan en cifra 2 Resolución: N = = 7K = K seleccionado = 16, 26, 36,...136  valores de k seleccionado = 136–6 = 130 10 10 = 13  Existen 13 números que terminan en cifra 2 c) ¿Cuántos números de 3 cifras son y de pero no de ? Resolución: Utilizamos diagrama de Veen 3 cifras = 900 números      y de pero no =  -  y de pero no = 150- 30 = 120  PROBLEMAS RESUELTOS 1. Cuántos números de 3 cifras al ser divididos entre 4 y entre 7 dan como residuo 2 en ambos casos? a) 31 b) 32 c) 30 d) 33 e) 34 Resolución N = N =mcm ( )+2 N = + 2  = 28K + 2 100  28k + 2 < 1000 3,5  k = 35,6 4,5,6,7,....,35 Cantidad de valores Por lo tanto existen 32  Rpta. B 2. Calcular la suma de todos los múltiplos de 7 comprendidos entre el 90 y el 318 a) 6699 b) 6700 c) 6723 d) 6721 e) 6800 Resolución: Sea el número N de la forma N = = 7K 90<7k< 318 12,85 < k < 45,42 k  13,14,15,...,45 45-12 = 33 valores Por lo tanto existen 33 múltiplos de 7 estos son 7(13), 7(14), 7(15),...7(45) 33 términos S = 203 x 33 = 6699  S = 6699 Rpta. A 3. En un barco habían 180 personas, ocurre un naufragio y de los sobrevivientes, 2/5 fuman, 3/7 son casados y los 2/3 son ingenieros. Determinar cuantas personas murieron en dicho accidente. a) 60 b) 65 c) 70 d) 75 e) 80 Resolución: S + M = 180 Obs. S = sobreviviente M = muertos Fuman = Casados = S = Ingenieros = Luego S = Pero S = 105, 210... Pero S < 200  S = 105 Reemplazando 105 + M = 180 M = 75 Rpta. D PRACTICANDO 4. A una reunión de 2 países asistieron 400 personas. De los representantes del primer país, se sabe que los 2/5 son economistas, los 3/7 son agrónomos y los 3/8 son biólogos. ¿Cuántos representan al segundo país? a) 280 b) 260 c) 120 d) 240 e) 140 Rpta. 120 5. En una academia hay 510 alumnos. De los hombres, los ¾ eran menores de 17 años; los 2/5 estudiaron el ciclo anterior y los 4/9 quieren ser ingenieros. Si las mujeres están comprendidas entre 100 y 200. Hallar el número de hombres menores de 17 años. a) 280 b) 200 c) 270 d) 150 e) 240 Rpta. 270 6. En una fiesta donde asistieron 280 personas entre damas, caballeros y niños, la cantidad de caballeros que no bailaban en un momento dado era igual a la cuarta parte del número de damas; la cantidad de niños asistentes era igual a la sétima parte del número de damas. Si la quinta parte de las damas están casadas, se desea saber cuántas damas no bailaban en dicho momento. a) 55 b) 65 c) 45 d) 75 e) 80 Rpta. 55 7. Si: a + b + c = 6. Entonces: Siempre es múltiplo de: a) 11 b) 74 c) 7 d) 13 e) 27 Rpta. 74 PROBLEMAS PARA RESOLVER EN CLASE 1. Del 1 al 5000,cuántos números son: I Divisibles por 16 II Divisibles por 13 Dar la suma de ambos resultados. a)646 b)672 c)696 d) 698 e) 692 2. ¿Cuántos números de cuatro cifras son divisibles entre 11? a)800 b)809 c)810 d)819 e) 820 3. Hallar cuántos números de tres cifras que terminan en 4 resultan ser múltiplos de 7 a) 72 b) 90 c) 29 d) 13 e) 10 4. En un barco donde iban 100 personas ocurre un naufragio. De los sobrevivientes la onceava parte son niños y la quinta parte de los muertos eran casados. ¿Cuántos murieron? a)55 b)5 c) 45 d) 15 e) 30 5. En un salón de 50 alumnos se observa que la séptima parte del número de mujeres son rubias y la onceava parte del número de hombres usan lentes. ¿Cuántos hombres no usan lentes? a) 22 b) 28 c) 2 d) 20 e) 4 6. En una división el divisor es el cociente y el resto . Entonces el dividendo es: a) b) c) d) e) 7. ¿Cuántos números de dos cifras al ser divididos entre 21 el resto que se obtiene es 3? a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 8. El número tiene como divisores a: a) 11 b) 13 c) 7 d) 77 e) todas 9. Calcule cuántos números positivos de 4 cifras hay tal que al expresado a base 5,6 y terminan en cifras 2, 3 y 4 respectivamente. a) 38 b) 40 c) 41 d) 43 e) 68 10. Si: Además Calcule cuántos valores tiene A. a) 2 b) 1 c) 3 d) 4 e) 5 11. Con S/.500 se compraron 100 artículos entre A, B y C, si los precios de cada uno son S/.50, S/.10 y S/.1 respectivamente. Calcule cuánto se compró de cada artículo. a) 1; 39 y 60 b) 2; 40 y 59 c) 8, 36 y 56 d)5; 30 y 65 e) 8;34 y 58 12. Halle el menor número de 4 cifras tal que al expresarlo en las bases 2; 5 y 9 sus cifras terminales respectivas fueron: 101;10, y 5 a) 1850 b) 1805 c) 1580 d) 1085 e) 1508 13. Si la cuarta parte de los alumnos de un salón aprobaron aritmética y la novena parte aprobaron álgebra. ¿Cuántos alumnos hay en dicho salón si es menor que 50? a) 457 b) 458 c) 459 d) 460 e) 461 14. Al dividir dos números entre 15 los residuos son 13 y 11. Hallar el residuo del producto de éstos números entre 15. a) 16 b) 32 c) 42 d) 48 e) 8 15. ¿Cuántos números del uno al mil son múltiplos de 5 pero no de 25? a) 200 b) 18 c) 150 d) 100 e) 160 16. Del 1 al 1000 ¿Cuántos son 2 ó 3? Dar como respuesta la suma de las cifras de dicho número. a) 15 b) 17 c) 21 d) 19 e) 23 17. ¿Cuántos números positivos no mayores que 5 000 son múltiplos de 5 y 6 a la vez pero no de 7? a) 133 b) 143 c) 137 d) 166 e) 123 18. Calcular cuántos números de 4 cifras son divisibles por 9 y por 15 pero no por 25. a) 160 b) 170 c) 180 d) 150 e) 130 1. Si: A = 3k + 1 ; B = 3k + 2 Halle el residuo que deja la expresión: E = [2A + 22B + 2³] entre 7 A) 1 B) 2 C) 3 D) 5 E) 4 2. Una importadora ha comprado relojes a S/. 143 c/u, lapiceros a S/. 91 c/u; pulseras a S/. 77 c/u. Si la factura total fue S/. 2213. Halle el número de relojes. A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 3. ¿Cuál es el residuo de dividir: 666...666 (8) entre 13? 102 cifras A) 2 B) 8 C) 3 D) 5 E) 9 4. Si: es la suma de 83 números consecutivos, halle el valor de “a”. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 5. ¿Cuántos términos son múltiplos de ? 2; 5; 10; 17; .......; 10001 A) 12 B) 9 C) 8 D) 5 E) 6 6. Si al dividir por exceso: con no deja residuo, halle el valor de b. A) 1 B) 2 C) 5 D) 7 E) 8 7. Halle el residuo de dividir: por 10 A) 1 B) 2 C) 5 D) 6 E) 7 8. Halle el residuo de dividir: por 2. A) 0 B) 1 C) 0.1 D) FD E) N.A. 9. ¿Cuál es el residuo de dividir la siguiente suma: E = [26n+3+9k.4k] entre 7? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 10. Sea: n! = + 2; (n+1)! = + 6 ¿Cuál es el residuo de (n+3)! entre 23? A) 3 B) 6 C) 5 D) 12 E) 13 11. ¿Cuántos términos de la serie: 4; 11; 22; 37; 56; ....(100 términos) son: ( +1)? A) 14 B) 15 C) 9 D) 8 E) 12 12. Halle “a” si (a+b) = 6, además: y el exponente tiene 88 cifras. A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 2 13. Si el número se convierte en base 11. ¿Cuál será la cifra de unidades del resultado? A) 7 B) 3 C) F.D. D) 2 E) 1 14. Halle el resto de dividir E entre 7: A) 2 B) 6 C) 3 D) 1 E) 5 15. Halle (d+u), si el número de la forma: y m + c + d + u = u² 16. ¿Cuántos términos de la siguiente sucesión: 2; 6; 12; 20; 30; ....;14762 al expresarlos en base 5, resultan que su cifra de menor orden es 1? A) 12 B) 24 C) 36 D) 42 E) 28 17. En una fiesta infantil el payaso “POPI” juega con un grupo no más de 150 niños y observa que si los agrupa de 7 en 7 le sobran 5 niños; si los agrupa de 4 en 4 le faltaría un niño para formar un nuevo grupo y si los agrupa de 9 en 9 le sobran 2 niños. Calcule el número de niños que hay en dicha fiesta. A) 42 B) 130 C) 47 D) 122 E) 56 18. En una conferencia a la que asistieron 528 personas; se sabe que de los varones: la tercera parte usan corbata; los usan lentes y los llevan saco. De las mujeres se sabe que: la sexta parte usa minifalda; las usan lentes y las tienen ojos azules. Calcule el número de personas que usan lentes. A) 137 B) 56 C) 81 D) 420 E) 48 19. Un comerciante va a la “Galería Gamarra” con S/. 3060 para comprar polos, camisas y pantalones de precios unitarios iguales a S/. 15; S/. 24 y S/. 60 respectivamente. Si entre pantalones y camisas debe comprar más de 10 prendas. Calcule cuántas prendas en total compró; si la cantidad de polos fue la mayor posible; además compró al menos uno de cada uno y empleó todo su dinero. A) 183 B) 172 C) 163 D) 184 E) 195 20. El residuo de dividir el número 657143 entre 25 es . Calcule el resto de dividir dicho número entre a  b A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 21. Halle el menor valor de N = , sabiendo que es múltiplo de: A) 214 B) 316 C) 213 D) 426 E) 441 22. Halle el mayor número , tal que: al ser dividido entre 40, deje como residuo 24. A) 996 B) 249 C) 989 D) 995 E) 998