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DISTRIBUCIONES CONTINUAS - DISTRIBUCION NORMAL EJERCICIOS RESUELTOS BACHILLERATO 1 MATEMATICAS PDF

1. Calcula el valor de c para que la funcio´n f(x) sea la funcio´n de densidad de c(4 2x) si 0 x 2 0 en otro caso una variable aleatoria continua y halla el valor de la media. 2. La funcio´n de densidad de una variable aleatoria continua viene definida por f(x) x 1 si 0 x 2 2 0 en otro caso a) Calcula la media de la distribucio´n. b) Obte´n el valor de p(X 1). 3. Utiliza la tabla de la distribucio´n N(0, 1) para calcular las siguientes probabilidades: a) p(Z 0,75) c) p( 0,5 Z 0,5) e) p( 0,8 Z 1,2) b) p(Z 1,2) d) p(1 Z 2) 4. La duracio´n media de las bombillas de una cierta marca sigue una distribucio´n normal de media 7 200 horas y desviacio´n tı´pica 500 horas. ¿Cua´l es la probabilidad de que una bombilla se funda despue´s de las 8 000 horas de uso? 5. El tiempo de hospitalizacio´n en una determinada zona sanitaria sigue una distribucio´n normal de media 7 dı ´as y desviacio´n tı´pica 3 dı´as. a) ¿Cua´l es la probabilidad de que un enfermo este´ menos de cinco dı´as en el hospital? b) ¿Que´ tanto por ciento de los enfermos esta´ hospitalizado ma´s de ocho dı´as? 6. El nu´mero diario de visitantes de un parque de atracciones se distribuye segu´n una normal N(2 000, 250). a) Halla la probabilidad de que en un dı´a determinado el nu´mero de visitantes no supere los 2 100. b) Calcula la probabilidad de que un dı´a cualquiera los visitantes sean ma´s de 1 500. c) En un mes de treinta dı´as, ¿en cua´ntos dı´as cabe esperar que el nu´mero de visitantes supere los 2 210? d) Si se quieren clasificar los dı´as en tres tipos de manera que el 15 % se considere «de baja asistencia», el 60 % «de asistencia media» y el 25 % «de asistencia masiva», ¿cua´les han de ser las cuotas de visitantes que marquen el paso de un tipo a otro? 7. Las alturas de los individuos de una poblacio´n se distribuyen normalmente con media igual a 1,75 m y varianza igual a 64 cm2. Calcula la probabilidad de que: a) Un individuo tenga una altura mayor que 180 cm. b) Un individuo tenga una altura menor que 170 cm. c) Un individuo tenga una altura comprendida entre 170 y 180 cm. d) Si se quiere considerar como individuos de «talla especial» a aquellas personas que este´n fuera del intervalo central que contiene al 70 % de la poblacio´n, ¿que´ alturas determinan esta caracterizacio´n? 8. El 40 % de los habitantes en edad laboral de una determinada poblacio´n se emplea en la agricultura. Si elegimos quince trabajadores al azar de esa poblacio´n, calcula la probabilidad de que al menos tres de ellos se dedique a la agricultura, aplicando: a) La distribucio´n binomial. b) La aproximacio´n normal a la distribucio´n binomial. SOLUCIONES 1. 1 c(4 2x) dx c(4x x2] 4c c 2 1 20 4 0 x (4 2x) dx (4x 2x2) dx 2 2 1 1 4 4 0 0 1 2x3 2 2 2x2 4 3 0 3 2. a) x dx dx 2 x 2 x2 1 x 2 2 x 0 x2 x3 2 2 2 6 0 3 b) p(X 1) dx 2 x x2 2 1 1 x 1 2 4 1 4 3. a) p(Z 0,75) 0,7734 b) p(Z 1,2) p(Z 1,2) 1 p(Z 1,2) 0,1151 c) p( 0,5 Z 0,5) p(Z 0,5) p(Z 0,5) 0,383 d) p(1 Z 2) p(Z 2) p(Z 1) 0,1359 e) p( 0,8 Z 1,2) p(Z 1,2) p(Z 0,8) 0,673 4. X es N(7 200, 500) Z es N(0, 1) X 7 200 500 p(X 8 000) p 8 000 7 200 Z 500 1 p(Z 1,6) 0,0548 5. X es N(7, 3) Z es N(0, 1) X 7 3 a) p(X 5) p 5 7 Z 3 p(Z 0,067) 0,2514 b) p(X 8) 1 p(Z 0,33) 0,3707 Aproximadamente el 37 % de los enfermos. 6. X es N(2 000, 250) Z es N(0, 1) X 2 000 250 a) p(X 2 100) p(Z 0,4) 0,6554 b) p(X 1 500) p(Z 2) 0,9772 p(X 2 210) p(Z 0,84) 0,2005 c) En treinta dı´as, 30 · 0,2005 6,015. El nu´mero esperado de dı ´as es 6. d) Buscamos los valores z1 y z2 tales que: p(Z z1) 0,15 y p(Z z2) 0,25 p(Z z1) 0,15 p(Z z1) 0,85 z1 1,04 x1 250z1 2 000 1 740 p(Z z2) 0,25 p(Z z2) 0,75 z2 0,68 x2 250z2 2 000 2 170 Las cuotas deben ser 1 740 visitantes y 2 170 visitantes. 7. X es N(175, 8) Z es N(0, 1) X 175 64 8 a) p(X 180) p(Z 0,63) 0,2643 b) p(X 170) p(Z 0,63) 0,2643 c) p(170 X 180) p( 0,63 Z 0,63) 0,4714 d) p( m Z m) 0,7 2 0,7 1 p(Z m) 2 p(Z m) 0,85 m 1,04 Las alturas son: x1 8 · ( 1,04) 175 166,68 cm x2 8 · 1,04 175 183,32 cm 8. a) B(15; 0,4); p(X 3) 1 p(Z 3) 1 [p(X 0) p(X 1) p(X 2)] 0,9729 b) X es N(6; 1,9); p(X 3) 1 p(X 3) 1 p(X 2,5) 1 p(Z 1,84) p(Z 1,84) 0,9671 1. El beneficio en la venta de artı´culos textiles, en tanto por uno, es una variable aleatoria con funcio´n de densidad: f(x) k si 0 x 1 1 x2 0 en otro caso Calcula el valor de k y el beneficio medio esperado. 2. La distribucio´n de los ingresos de los individuos de cierta poblacio´n, en miles de euros, es una variable aleatoria continua X con funcio´n de densidad: f(x) 3 (20x x2) si 0 x 20 4 000 0 en otro caso a) Calcula el ingreso familiar medio esperado de esa poblacio´n. b) Si solo realizan la declaracio´n de la renta los individuos con ingresos superiores a 9 000 euros, ¿que´ porcentaje de ellos quedara´n exentos de realizar la declaracio´n? 3. Se sabe que la altura de los varones de una Universidad sigue una distribucio´n normal de media 1,75 m y que el 33 % de estos alumnos mide ma´s de 1,80 m. Calcula la varianza de la distribucio´n de las alturas. 4. El tiempo, X, de funcionamiento (en horas) hasta la primera averı´a de un lavavajillas sigue una distribucio´n normal de media 20 000 horas. Se sabe que el 20 % de los lavavajillas tiene, como mı´nimo, una duracio´n de 21 680 horas. a) Calcula p(WX 20 000W 2 000). b) Si se quiere ofrecer un perı´odo de garantı´a, expresado en horas, ¿cua´l debe ser el ma´ximo valor que hay que dar a este para tener que reemplazar solo el 5 % de los aparatos? 5. El peso del contenido de las latas de melocoto´n en almı´bar envasadas por una cierta ma´quina se distribuye normalmente con media de 1 kg. El proceso de envasado esta´ disen˜ado de tal manera que solo una de cada 100 latas contiene una cantidad del producto fuera del intervalo 950-1 050 g. ¿Cua´l es el valor ma´ximo que puede tener la desviacio´n tı´pica de la distribucio´n de pesos para que se cumpla este requisito? 6. En una isla del Pacı´fico se ha comprobado que la estatura sigue un modelo normal de probabilidad con una media de 160 cm. Sabiendo que el 47,5 % de los nativos de esa isla tienen una estatura comprendida entre 150 y 160 cm y que el 16 % de ellos supera los 165 cm, determina, sin utilizar las tablas de la distribucio´n normal: a) El porcentaje de nativos que tienen una estatura inferior a 170 cm. b) La estatura que es superada por el 84% de la poblacio´n. 7. Se sabe que el 40 % de los consumidores de una marca de cereales para el desayuno son nin˜os de edades comprendidas entre los ocho y los doce an˜os. Se eligen al azar 100 nin˜os de esas edades. ¿Cua´l es la probabilidad de que, si los primeros veinticinco nin˜os preguntados declaran que toman esa marca de cereal para desayunar, haya exactamente cuarenta nin˜os en la muestra que la consuman? 8. Un examen contiene 38 preguntas a las que solo se puede responder Verdadero o Falso. Si decidimos contestar al azar lanzando al aire una moneda, la probabilidad de superar el examen es 0,4364. Calcula cua´l es el nu´mero mı´nimo de preguntas que hay que acertar para superar este examen. SOLUCIONES 1. 1 f(x)dx dx k · [arctgx 1 1 k 1 ] 1 x2 0 0 0 k 0 k k 4 4 4 x · f(x)dx dx dx 4 x 1 1 1 2 2x 2 1 x 1 x2 0 0 0 · [L W1 x2W 2 1 2 · L2 ]0 2. a) x · (20x x2)dx 20 3 4 000 0 x(20x x2)dx 10 20 3 4 000 0 El ingreso familiar medio esperado es de 10 000 euros. b) p(x 9) (20x x2)dx 0,425 9 3 4 000 0 El 42,5 % de los individuos de esa poblacio´n quedara´n exentos. 3. X es N(1,75, ) Z es N(0, 1) X 1,75 p(X 1,80) 0,33 p 0,33 1 p 0,33 1,80 1,75 0,05 Z Z p 0,67 0,05 Z Buscando en la tabla: 0,44 0,1136 cm 2 0,0129 cm2 0,05 4. X es N(20 000, ) Z es N(0, 1) X 20 000 p(X 21 680) 0,2 p 1 680 Z p 0,8 1 680 Z Buscando en la tabla 0,84, ya que 1 680 p(Z 0,84) 0,7995; por tanto: 2 000. a) p(WX 20 000W 2 000) p(WZW 1) 2 p(Z 1) 0,6826 1 2 b) M: «ma´ximo valor». p(X M) 0,95 p Z M 20 000 2 000 1,645 M 20 000 2 000 M 23 290 5. X es N(1 000, ) Z es N(0, 1) X 1 000 p(950 X 1 050) 0,99 p Z 0,99 50 50 2 0,99 p 0,995 50 1 50 p Z Z 2 Buscando en la tabla 2,58 19,38 50 El ma´ximo valor es: 19,38 g 6. La funcio´n de densidad es sime´trica respecto a la media 160. a) p(X 170) p(X 150) 0,475 0,5 0,975 El 97,5 % de los nativos mide menos de 170 cm. b) 0,84 1 0,16 1 p(X 165) 1 p(X 5) 1 p(X 5) p(X 155) 7. X: «nu´mero de consumidores entre los 100 nin˜os» es B(100; 0,4) con 40 y 4,9. Se puede aproximar por una normal N(40; 4,9). p(X 40/X 25) p(X 40) p(X 25) p(39,5 X 40,5) 1 p(X 24,5) 39,5 40 40,5 40 p Z 4,9 4,9 24,5 40 1 p Z 4,9 0,08 2[p(Z 0,1) 0,5] p(Z 3,16) 8. X: «nu´mero de respuestas correctas» es B(38; 0,5) con 19 y 3,08. Se puede aproximar por una normal N(19; 3,08). Si M: «nu´mero de respuestas correctas necesario para aprobar», p(X M) 0,4364. 0,4364 p 0,16 M 19 M 19 Z 3,08 3,08 M 19,492 Como mı´nimo hay que acertar veinte preguntas.