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DESIGUALDADES EJERCICIOS RESUELTOS DE TERCERO DE SECUNDARIA PDF

Concepto de desigualdad , Reconocer una desigualdad , Traducir a desigualdades frases en lenguaje verbal de la vida diaria , Reconoce una desigualdad y la diferencia de una igualdad. Traduce lenguaje verbal con situaciones cotidianas a lenguaje matemático que emplee desigualdades. Propiedades de las desigualdades. Establecer las propiedades principales de las desigualdades. Aplicar las propiedades de las desigualdades a la demostración de otras. Enuncia propiedades de las desigualdades. Emplea las propiedades de las desigualdades en demostraciones sencillas. Intervalos. Utilizar los intervalos como la forma correcta de representar un subconjunto de R. Operar intervalos. Utilizar los intervalos para presentar información. Reconoce los intervalos como subconjuntos de R. Opera intervalos . Representa información utilizando intervalos. Aplicación de las desigualdades a la interpretación de información. Utilizar las desigualdades para establecer relaciones entre información que se maneja en la vida diaria. Utiliza desigualdades para representar información cotidiana en variados contextos. Inecuaciones lineales con coeficientes enteros y fraccionarios. Identificar una inecuación. Resolver inecuaciones con coeficientes enteros y fraccionarios. Reconoce una inecuación. Resuelve inecuaciones con coeficientes enteros y fraccionarios. Relación entre las ecuaciones y las inecuaciones lineales. Distinguir una desigualdad de una ecuación. Distingue una inecuación de una ecuación. Inecuaciones lineales con valor absoluto. Resolver inecuaciones con valor absoluto. Resuelve inecuaciones con valor absoluto. Inecuaciones cuadráticas y fraccionarias. Resolver inecuaciones cuadráticas y fraccionarias. Resuelve inecuaciones cuadráticas y fraccionarias. Sistemas de inecuaciones lineales sencillas con una incógnita. Identificar sistemas de inecuaciones lineales . Resolver sistemas de inecuaciones lineales con una incógnita. Reconoce un sistema de inecuaciones lineales con una incógnita. Resuelve sistemas de inecuaciones lineales con una incógnita. Planteo y resolución de sistemas de inecuaciones con una incógnita, análisis de la existencia y pertinencia de las soluciones. Resolver problemas de planteo que involucren inecuaciones y sistemas de inecuaciones lineales. Verificar sus soluciones en cuanto a su pertinencia en el contexto de un problema. Resuelve problemas de planteo que involucren inecuaciones y sistemas de inecuaciones. Analiza las soluciones para establecer la pertinencia de estas en el contexto del problema. Igualdad-desigualdad son patrimonio de todo ser humano, expresadas tanto en su intimidad como en su relación con los otros y el medio ambiente en general. Seguramente estarás siempre escuchando, leyendo o reflexionando que debiera haber igualdad de género, de acceso a la salud, a la educación, a un trabajo digno, a una vejez digna. Todas estas y, sin duda, otras tantas preocupaciones forman parte de un país que quiera el pleno desarrollo de sus habitantes y de manera armónica. Por otro lado, la delincuencia, la drogadicción, la violencia y el narcotráfico se encuentran muy asociados a la desigualdad de oportunidades, y los conocemos como los males sociales actuales que golpean directamente a nuestra comunidad, sociedad, nación. De manera incuestionable, la igualdad de género ha sido una de las preocupaciones que se han evidenciado más fuertemente en el presente siglo. Cabe recordar la participación de mujeres notables en los siglos XIX y XX, como Javiera Carrera, quien se desenvolvió en forma anónima dentro de la esfera del poder durante los inicios independentistas de Chile; Eloísa Díaz y Ernestina Pérez, quienes se recibieron de médico en 1887; Gabriela Mistral, Premio Nobel de Literatura, y, por supuesto, Michelle Bachelet Jeria, la primera mujer que asume como Presidenta de Chile. Pero hay mucho más que hacer en estos y otros niveles para lograr vivir en una nación cada vez más libre, auténtica, democrática, comprometida y abierta a todos los cambios que se requieran para alcanzar la plenitud de todos. Nuestra contribución es desde la matemática. El estudio y las aplicaciones de las desigualdades matemáticas en varios aspectos de la vida cotidiana y del saber en general pueden ser un buen inicio para colaborar de manera constructiva a disminuir las desigualdades sociales que hemos mencionado anteriormente. Para Miguel de Guzmán, matemático español (1936-2004), el impacto de la matemática en nuestro entorno cultural es evidente. Nuestros sistemas de organización manifiestan esquemas matemáticos que les sirven de soporte. Nuestra arquitectura revela estructuras matemáticas subyacentes. Nuestros medios de información y de comunicación son cada vez más potentes gracias a los avances recientes de la informática, que aúna de forma espectacular los progresos matemáticos y tecnológicos. Te invitamos en esta unidad a trabajar con la Matemática, observar, descubrir y aprender sobre desigualdades, inecuaciones matemáticas y sistemas de inecuaciones. A través de la presentación se ha querido traspasar el ámbito netamente matemático. Hay un sentido social en el concepto de igualdad versus desigualdad que es conveniente analizar con sus estudiantes. Más allá de lo expuesto en la introducción, puede usted trabajar otra introducción desde el punto de vista matemático. Una sugerencia es la siguiente: “Como se ha estudiado anteriormente, los conjuntos numéricos vistos hasta el momento, N, Z, Q, Q’ y R, son ordenados. Esta característica hace que se pueda establecer una relación de orden para determinar cuándo un número es mayor o menor que otro. Así, se pueden establecer relaciones usadas en la vida diaria que sirven para decidir, por ejemplo, cuál es el lugar donde conviene comprar un determinado artículo dependiendo de dónde será este más barato. Las propiedades de las desigualdades nos permiten también predecir qué pasará con alguna desigualdad determinada, por ejemplo, si el sueldo de dos grupos de personas difiere en cierta cantidad (debido a que uno es mayor que el otro), entonces, si se doblan los sueldos de esos grupos, la diferencia será mayor, la desigualdad se mantendrá, pero se hará mayor aún. También les puede mencionar a sus estudiantes que las inecuaciones determinan ciertas restricciones en contextos de determinados problemas de maximización o minimización, debiendo recurrir a un desarrollo matemático para poder resolver dichos problemas (ámbito referido a programación lineal). Por ejemplo, decir que una empresa de alimentos desea crear un determinado producto que contenga al menos 3g de proteínas y a lo más 4g de carbohidratos, determinará una inecuación. Otros contextos donde podemos intuir el uso de inecuaciones o desigualdades es para determinar el dominio de funciones como las estudiadas en las unidades 1 y 2: función raíz cuadrada y funciones cuadráticas. Por último, conviene señalar que las inecuaciones, que finalmente representan intervalos, no deben necesariamente tener una connotación negativa en la vida real; muchas de ellas, por el contrario representan o dan sentido de normalidad. Por ejemplo, pensemos en el ámbito de la salud. Los rangos de normalidad de la glicemia en una persona adulta fluctúan entre 60 a 100 mg/100 ml, esto se representará en el intervalo [60,100]. Como en todas las unidades, se trabajarán antes de la unidad propiamente tal algunos conceptos que deben ser recordados. En esta unidad la sección de conocimientos previos hace alusión al tema de los conjuntos. Como este contenido no está formalmente abordado a través de los programas ministeriales en los cursos anteriores, es de suma importancia que los trabaje con detención con sus estudiantes, de manera de revisar los conceptos más importantes, y que se utilizarán en la sección de intervalos, como son la idea de conjunto, de pertenencia, de subconjunto y la operatoria básica de ellos (unión, intersección, diferencia y complemento). Algunas consideraciones relacionadas con estos conocimientos previos son: • En las representaciones de los conjuntos se debe hacer énfasis en los distintos tipos, sus ventajas y desventajas. Por ejemplo, si bien es cierto que escribir un conjunto por extensión ayuda a visualizar claramente cuáles son sus elementos, esta representación no es posible en conjuntos infinitos, por lo que se necesitará la notación por comprensión. Ayude a sus estudiantes a comprender la forma de escribir este tipo de presentación de un conjunto, destacando los beneficios de esta cuando los conjuntos son infinitos (más adelante será necesario para presentar las soluciones de una inecuación) • La pertenencia de un elemento a un conjunto es una idea intuitiva. La pertenencia a un conjunto tiene que ver con alguna propiedad que lo caracteriza. A veces es más fácil mirar cuando un elemento no pertenece a un conjunto determinado. Al abordar este tema conviene ligarlo con pensamientos y acciones de la vida cotidiana; por ejemplo, ¿cuándo una persona pertenece o no a una familia determinada? ¿Qué edad debe tener una persona para pertenecer al grupo del adulto mayor?, etc. • El concepto de subconjunto es una conexión relacional y se puede trabajar a través de la habilidad de comparación. Este concepto se expresa con respecto al conjunto que lo contiene y puede representar una restricción de este. Este concepto tiene una relevancia, pues veremos, más adelante, que el conjunto solución de las inecuaciones son subconjuntos de los números reales. • Con respecto al conjunto universo, es importante distinguir cuál es el conjunto de referencia en un contexto determinado. Este es el que generalmente representa el universo. Note que en este sentido no hay un solo conjunto universo para una determinada situación. En nuestro caso, el conjunto universo continuará siendo el de los números reales, a menos que se indique lo contrario. La existencia de un conjunto universo da una solidez a la descripción y existencia de un intervalo. • Por otro lado, y no necesariamente con una connotación de opuesto al universo, como lo piensan los estudiantes, está el conjunto vacío. No siempre es claro llamarlo “conjunto” (si la idea intuitiva es que los conjuntos son una agrupación de elementos), y menos aseverar que es “subconjunto de todo conjunto”. Conviene mencionarlo a través de la idea intuitiva de ausencia de elementos. Su relevancia se presenta cuando se trabaja con la operatoria de conjuntos. Por ejemplo, la idea de que dos intervalos nada tengan en común, es decir, que no existan números que cumplan una propiedad común, se expresa mediante el conjunto vacío. • Referente a la operatoria de conjuntos, esta nos permitirá asociarla a las soluciones de inecuaciones: • La unión permite la reunión en un solo conjunto de los elementos de otros conjuntos. Su definición está en función del “o” lógico. En algunas ocasiones, la unión se asocia con la palabra “sumar” en el sentido de “añadir a algo”. En particular, en la construcción de un intervalo solución para una inecuación dada. • La intersección está sustentada en el “y” lógico. Se asocia con la palabra simultaneidad. Especialmente se usa cuando se desea encontrar el conjunto solución para dos o más inecuaciones simultáneas. Es decir, se buscan aquellos números que cumplan con dos o más condiciones a la vez. ¿Para qué se usan las propiedades de las desigualdades? Existen dos grandes aplicaciones de ellas que queremos compartir contigo. La primera y más usual en un contexto cotidiano es la aplicación a la resolución de inecuaciones, que trataremos en la próxima sección. La segunda, menos usada en contextos cotidianos, pero igualmente importante, es la aplicación a la demostración de algunas reglas matemáticas, la que veremos a continuación. Antes de comenzar, es bueno que aclaremos dos conceptos que suelen confundirse: no es lo mismo mostrar que algo sucede, que demostrar que aquello sucede. Cuando mostramos que algo sucede, damos un ejemplo, puede ser numérico, de que determinada regla se cumple. Cuando demostramos que algo sucede, debemos hacerlo de forma general, de modo que usando una serie de pasos lógicamente ordenados y correctos, ya sean algebraicos o geométricos, se pueda concluir que la afirmación señalada es verdadera. Veamos algunos ejemplos de demostraciones y otras proposiciones.