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DERIVADAS EJERCICIOS RESUELTOS – UNIVERSIDAD PDF

Derivada de una Función en un Punto , Interpretación Geométrica de la derivada , Derivadas Laterales , Recta Tangente y Recta Normal a una Curva en un Punto , Reglas de Derivación , Regla de la Cadena o Derivada de una Función Compuesta , Derivadas de Orden Superior , Derivación Implícita , Diferenciales , Uno de los conceptos básicos del Cálculo Diferencial e Integral es la derivada de una función. En general, la Ciencia tuvo un gran impulso en su desarrollo por la necesidad de entender nuestro entorno. Los problemas que propiciaron el concepto de derivada fueron: \ - Determinar la ecuación de la recta tangente a una curva dada en un punto dado. - Dada la ley del movimiento de una partícula a lo largo de a una recta, esto es. si 5 = / ( t ) es la ecuación que da la posición de la partícula sobre la recta en cada instante t, determinar la velocidad de la partícula en el instante t. Al inicio, las definiciones no tenían precisión. En 1629, Pierre de Fermat hace un trabajo inicial sobre el primer problema, encontrando una manera de construir tangentes a una parábola, y que contenía implícitamente la idea de derivada. Más tarde, se ve que los dos problemas tenían algo en común y que la idea general para resolvemos llevaría a la noción de la derivada de una función en un punto. 5 5.2 DERIVADA DE UNA FUNCION EN UN PUNTO Definición 1. Sea / : R -* IR.una función definida en el punto a £ D¡¡. Se dice que / es derivable en a si el siguiente límite , ,. f í a 4- fe) - / ( a ) f (0) ’ t e - y - í ----------- « existe. Si la función f es derivable en a, f \ a ) se llama derivada de / en íl La notación / '( a ) se debe a Lagrange. También se usan las notaciones: d / ( x ) Dx f { a ) , dx x = a ’ / ( a ) y éstas se debén a Cauchy, Leibniz y Newton, respectivamente. ^ ,. / ( * ) - f ( a ) f (a ) = l im ----------------- x-*a x — a Ejemplo 1. Halle la derivada de la función f ( x ) = Vx en x - 4. Solución f ( 4 + h) — f (4) , V 4 T 7 Í - 2 1 Por definición, / (4) = lim ----------- ---------- = lim -------- -------= - y h-o ft h-*o h 4 Definición 2 (Función derivada) Sea / : R -» R una función. La función / ' está dada por .• f ( x + h ) - f ( x ) f (x) = l i m ---------- h-*o f-t---------- , Si este límite existe, se denomina función derivada de / o simplemente derivada de / , El dominio de la función derivada de / es Df > = [x e / f '(* ) existe). Por otro lado, las notaciones más comunes para la derivada de y = f (x) son d / ( x ) d y . - ¥ £ >’ • / w Al símbolo — ^ se lee " d e r i v a d a d e f i x ) con r e s p e c t o a x". dx Ejemplo 2. (Derivada de la función constante) Pruebe que f i x ) = k k constante, es derivable y f '(* ) - 0, V i E l . Solución f i x 4- h) - f ( x ) k — k f '(* ) = l im ----------- ----------- lim —-— = lim 0 = 0 ’ h-0 h h - 0 h h-'O Por lo tanto, / '( x ) = 0, V x G IR. TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN I Observación 1. La forma equivalente de (1) es 198 Ejemplo 3. (Derivada de la función afín) Pruebe que la derivada de la función f i x ) = a x + b (a, b G R ,a =/= 0) es / '(x ) = a, V x £ l . Solución e u \ i- f ( x + h ) - f ( x ) a (x + h) + h - (ax + b) f (x) = l im ---------------------- = lim ------------------ ------------------ = a h-*o h h-’O h Así. la derivada de la función afín es / '(* ) = a, V x 6 R. Ejemplo 4. Pruebe que si / ( x ) = x n ( n G N es una constante), entonces f es derivable en todo punto x G R y / '(x ) = n x n_1. Solución En esta demostración asumiremos que n > 2 (para n = 1 se verifica fácilmente). f ( x + h ) - f ( x ) (x 4- h )n - x n / (xj = l im -----------:----------- = lim ---------- ----------- h->0 n h^o h [(x + h ) ~ x][(x 4- h) n~l + (x 4- h) n~2x + . .: t x " - 1] DERIVADAS - lim n^o n = lhi—mo [(x 4- h) n_1 + (x 4- h)n~2x 4-... 4-(x 4- h ) x n~2 4- x n_1l = n x n_1 Ejemplo 5. (Función que no es derivable en un punto) Pruebe que f ( x ) — \x\ no es derivable e n x = 0-. Solución f (0) - lim/--(--*--)-----/--( -0--)- - l,i.m —1*1 x-*o X — 0 x->o X y este limite no existe, pues lim —1*1 = 1 y lim —I*! = —1 z-0 h Por tanto, / '( a ) es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de y = f ( x ) en el punto P ( a ; / ( a ) ) . 5.4 DERIVADAS LATERALES Sea / : M -» IR una función y a E Df . Definición 3. La derivada por la izquierda d e / e n a es definida y denotada por t , f ^ ,. f ( a + h ) - f ( a ) f W - f ( a ) / (a ) = lim ----------------------- o / (a ) = lim ----------------- h-o~ h x—*a~~ x — a si el límite existe. Definición 4. La derivada por la derecha de / en a es definida y denotada por c , ^ ,. / ( a + / i ) - / ( a ) f ( x ) - f (a ) / ( a +) = Iim ----------- ;----------- o f ( a +) = lim ----------------- h-*0r h x->a+ x — a si este límite existe. 2 0 0 DERIVADAS Proposición 1. La función f : R - > R es derivable en el punto a t Df si y solo si existen y son iguales f ' ( a +) y Proposición 2. Si una función / es derivable en el punto cu entonces es continua en a. Demostración Para demostrar que / es continua en a tenemos que probar lim f ( x ) = / ( a ) x-*a Como / es derivable en a, entonces c , r , ,. f ( x ) - f ( a ) f (a) = l im ----------------- existe x—a x — a Por otro lado, il-i mr|/r(ex ) - / (a)mJ = ,l•i m/---W--------/--(--«--)-(,x - a> x - a X — a = l im lim(x: - a ) = / '( a ) 0 = 0 x - a X - a x->a- .. Luego, l i m / ( x ) = / ( a ) . X —+CI Por lo tanto, / es continua en a. En resumen, derivabilidad implica-oantinuidad. Observación 2. El recíproco de la proposición 2 no siempre es verdadero. Ejemplo 6. Analice la derivabilidad de la función definida por f W [ 2 - x 2 si X < :) = {( x% - 4x + 2 , si x > 2 La gráfica de esta función se muestra en la Fie. 5.2 , en el punto x — 2. 201 Se demuestra fácilmente que / es continua en x — 2; sin embargo, / no es derivable en x = 2, pues / ( * ) - / ( 2) „ / ( * ) - / ( 2) „ / '(2 ) = lim ---------- ------= - 4 * f (2 ) = lim ------------------= 0 . x-2~ X - 2 x^2* x - 2 Observación 3. Pura hallar las derivadas laterales de las funciones definidas seccionalmente en los puntos donde la función cambia de regla de correspondencia, es útil tener en cuenta las propiedades siguientes: 1. Si f es derivable para x < a. lim f ( x ) — f ( ci ) y existe lim f ' { x ) = L. x-*g~ • x->a~ entonces f ' ( a ~ ) = L. 2. Si f es derivable para x > a. lim / ( x ) = f ( a ) y existe lim / ' ( x ) = L. x—a+ x-*a+ entonces f ' ( a +) = L. Ejemplo 7. Si f ( x ) = j x ' , s! * < 1, encuentre los valores de a y b para 1 ( ax + b , si x > 1 que f '(1 ) exista. Solución Considerando que / '(1 ) existe, entonces / es continua en x = 1. Luego, se tiene lim f ( x ) = lim / ( x ) , de donde se obtiene que 1 = a + b. X->1_ x - l + {2x si jc 1, , por la observación 3, obtenemos a , si x > 1 r f ' ( ! - ) = lim / '( x ) = 2 y / ' ( l + ) = lim f ' ( x ) — a X-*l- x->lT Como / '(1 ) existe, entonces a = 2. Finalmente, de a -t- b = 1 se concluye que b = - 1 . Ejemplo 8. Calcule las derivadas laterales en x = 0 de la función TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN I Solución si x < 0 m = . Solución f { x ) - /(O ) x f '(O- ) = lim — — — = lim - = 1 x->0~ x — 0 x->0~ X f ( x ) — / (0) x 2 / '( 0 +) = lim — - — = lim — = lim x = 0 x - 0 1- X — 0 i- * 0 T X x-»0+ Esta función no es derivable en x = 0, pero es continua en x = 0. 20 2 !x si x > 0 1 ' sj ~ es derivable en x = 0? Solución Considerando la proposición 2 (derivabilidad implica continuidad), se deduce: “Si f no es continua en a , entonces f no es derivable en a ” . En este ejemplo, / es discontinua en x = 0. Luego, / no es derivable en x = 0. Ejemplo 10. Sean / , g dos funciones de tal manera que f ( a ) = g { a ) y f ' ( a - ) = g ' ( a + ). Demuestre que la función = (. g ( x ) , ssi i *x í>a a es derivable en x = a. Solución Como la función h está definida antes y después de a , probaremos que es derivable en a mediante derivadas laterales en a , esto es. u, t h ( x ) - h ( a ) f ( x ) - f ( a ) h {a ) = lim ----------------- = lim ------------------ = f (a ) x-*a~ X — CL x —a~ x — a +, .. h(.x) - h (á ) g ( x ) - g ( a ) h ( a +) = lim ----------------- = lim ------------------ = q ( a +) x - a * x — a i - o ’ x — a Como f ' ( a - ) = g ' ( a +), entonces = h ' ( a +). Luego, h es derivable en a. |'x2, si x es racional DERIVADAS Ejemplo 11. S e a f ( x ) . . . . ( 0, si x es irracional Demuestre que / es derivable en x = 0. Solución De la definición de derivada en el punto x = 0, se tiene / ( « - / ( O ) ,. / ( / 0 - o 2 f ( h ) / (0) = lim --------;-------- = lim ------- -------= lim —— h-> o h h-o h h-*o h rC* omo/ ( / i ) = {„h 2 ■ si. h, es racio.n al .entonces 10 , si h es irracional /( f t ) _ [ h , si h es raciona! h lo , si ft es irracional Luego, en cualquiera de los dos casos, lim —/ (f-—t) = 0. h-> 0 k Por tanto, / '(0) = 0. 203 Sea / : K -> R una función derivable en x = a. Considerando la interpretación geométrica de / '(a ), se tiene las siguientes definiciones: Definición 5. (Recta tangente) Se llama recta tangente a la gráfica de / en el punto P (a; f ( a ) ) a la recta (Fig. 5.3) cuya ecuación es L'r: y - f ( a ) = f ' ( a ) ( x - a) TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN i 5.5 RECTA TA N G EN TE Y RECTA NO RM A L A UNA CURVA EN UN PUNTO Definición 6. (Recta normal) La recta que pasa por el punto P(a; f ( a )) y que es perpendicular a la recta tangente de la gráfica de f en P es llamada recta normal a la gráfica de / en el punto P (Fig. 5.3). 1 Si / ' ( a ) =*= 0. la ecuación de la recta normal es L N : y - f ( a ) = — — —f x - a ) ■ .1 ( a ) Si f ' { a ) = 0, la ecuación de la recta normal es l N: x — a = 0. Ejemplo 12. Dada f ( x ) = x 2 - 2x + 3, halle las ecuaciones de la recta tangente y de la recta normal a ia grafica de f en el punto P ( 2; 3). Solución La pendiente de ia recta tangente es / ( 2 + h) — f (2) 7 n T = / '(2 ) = l i m: ñ-»0 = liin(/t + 2) = 2 h-> o Luego, las ecuaciones de la rectas tangente y normal a la gráfica de f en el punto P(2; 3) son Lt : y - 3 = 2{x - 2) e=> l T: 2x - y - 1 = 0 V y - 3 = - - ( * - 2) ** Ln : x + 2y - 8 = 0 204 Ejemplo 13. Sea f ( x ) - 2 - x - x 2. Determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica de / que es paralela a la recta L: x - y - 4 = 0. Solución -s / ( * + h) - f ( x ) f (x) = lim ------ — ----------- = l im(—1 - 2 x - h ) = - 1 - 2x h-o h h-* o Como la recta L de pendiente m L = 1 es paralela a la recta tangente, entonces m r = / ' 0 0 = - 1 - 2x = = 1, de donde se obtiene que jc = —1. Así, el punto de tangencia es P ( - l ; / ( - l ) ) = P ( - l ; 2 ) . Por consiguiente, la ecuación de la recta tangente es LT\ x — y + 3 = 0. Ejemplo 14. Dada f ( x ) = 2 x 3 + 3 x z — 36x + 1, determine las ecuaciones de las tangentes horizontales a la gráfica de f . Solución La tangente es horizontal si / '(x ) = 0. Por otro lado, es fácil verificar que / '0 0 = 6 x 2 + 6x - 36 = 6(x - 2 )(x + 3). Luego, / ' 0 0 = 0 = í > ( x - 2 ) ( x + 3) = 0 = > x = 2 V x = - 3 Por tanto, en los puntos P(2; - 4 3 ) y Q ( - 3 ; 82) las tangentes de / son horizontales y sus ecuaciones son, respectivamente: Lr . y = - 4 3 A Lt : y = 82 Ejemplo 15. La recta L es normal a la gráfica de f ( x ) = x z - 4 en Q ( a ; / ( a ) ) . Si L pasa por el punto P ( 33; 0). determine Q y la ecuación de L. Solución Como / '(x ) = 2x, la pendiente m r de la recta tangente a la gráfica de / en el punto Q(a\ f ( a ) ) es m T = / '( a ) = 2a Por otro lado, la pendiente de 1a recta L que pasa por los puntos P ( 3 3 ;0 ) y Q ( a ; f ( a )) es / ( a ) - 0 a 2 - 4 m, = ------------ = —------ - a - 33 a - 33 Teniendo en cuenta que L es perpendicular a la recta tangente, entonces 1 m. = - ■ ■ , =?> 2 a 3 - 7a - 33 = 0 => (a - 3 ) ( 2 a 2 4- 6 a + 11) = 0 En consecuencia, a = 3 es ia única raíz real de la ecuación. DERIVADAS Por tanto, <3(3; 5) y L:x + 6y —33 = 0. 205 TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN I 5.6 REGLAS DE DERIVACIÓN Teorema 1. Sean f y g dos funciones derivables en x y sea k una constante. Entonces, las funciones k f , f + g, f - g, f g , — y ^ son derivables en x, y se tiene: Di: ( k f ) ' W = k[ f ' ( x ) ] d 2■ ( / ± g ) ' M = f ' 0 0 ± g' 0 0 o 3: ( / • g ) ' 0 0 = / ' 0 0 • g ( x ) + f i x ) • s '( * ) / 1 \ 5 ' (Wx) D<: U w = “ E w F • si 9 W ' ' ° I [sO O ]2 Ds í f \ , , g ( x ) ■ f ' ( x ) - f ( x ) ■ g ' ( x ) . : ü w = --------------i í w p --------------• 51 s W ' 0 Demostración (Se demostrará que el teorema es válido para x = a.) „ (fc/)(*) - (fc /)(a ) k f ( x ) - k f ( a ) D1,: (v k f )' (a) = xl-i*ma ----------x-- ---- -a-- ---------= lim--------x-- ---- -a-------- / ( x ) - f i a ) - k h m ----------------- = fc[/ (a)] *-*a x — a 0 2: Ejercicio. D3: Como / y .g son derivables en a, entonces son continuas en a. En particular, t t t n g ( x ) = g ( a ) y x-*a i f ■ g j t o - ( f ■ g ) ( a ) f ( x ) - g ( x ) - f i a ) - g ( a ) ( f ■ o) (a ) = h m ------ -— --------------------- = l im ------------------------------------- v/ K J x-±a x - a x^a x - a = lim x-*a f ( x ) - f ( a ) . j W - f l ( a ) 5 (x) + / ( a ) x - a x - a - f \ a ) - g ( a ) + f i a ) ■ g ' i a ) 206 DERIVADAS Como g es derivable en a y g i a ) ^ 0, entonces, por el teorema de conservación de signo, existe 5 ( a ; r ) tal que para todo x £ B (a; r), g i x ) * 0 y tiene el mismo signo que gi a) . Luego, para x e B(a; r ) se tiene: '*'• - - ,Js)w-(s)(0) O - lim • x-*a lim — x-*a x — a g i x ) - g i a ) = l ¡mg W S S H x — a x - a 1 g ( a ) g i x ) g ' ( a ) Lí/O)]2 / . 1 1 f Ds: Como - = / • — y f y g son derivables en a, entonces - y — son 9 g g g derivables en a. Luego, g ’ ' g ( a ) g j a ) ■ f i a ) - f i a ) - g ' j a ) [ 5 ( a ) ] 2 g' ( a ) l g ( a ) Y Teorema 2 Si / 1(/ z, son funciones derivables en x, entonces Ds: f \ + f z + • ■ • + / n es derivable en x y (A + f z + ■■■ + /« ) '( * ) = / / (x) + / 2'(x ) + ... + / n'(x ) D-i'- f \ ' f i f i ' ■■■ • fn es derivable en x y (/1 ' fi ' ■■■■ fn)'(x) = f i ( x ) f z (x) ...fnix) + f i x ) ■ f i i x ) - f 3(x) .../„(x) + ... - + A W / 2W - v i W ' / . W Ejemplo 16. Dada / ( x ) = 5 x 5 + x 4 - 3 x 3 + 1. calcule a ) / ' 0 0 b) / ' ( l ) Solución a) / '(x ) = ( 5 x 5)' + (x 4)' - (3 x 3)' + (1)' = 5 ( x 5)' + 4 x 3 - 3 ( x 3)' + 0 = 2 5 x 4 + 4 x 3 - 9 x 2 b) / ' ( ! ) = 2 5 (1 )4 + 4 ( 1 ) 3 - 9 ( 1 ) 2 = 20 207 TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN ¡ Ejemplo 17. Si / ( x ) = (x 2 4- x 4- l ) x 3, calcule / ' ( x ) . Solución Usando las propiedades Dz y Db, se tiene f ' í x ) = ( x 2 4- x 4- l ) ( x 3)' 4- (x 2 4- x 4- 1 ) ' x 3 = (x 2 + x + l ) 3 x 2 4- (2x 4- l ) x 3 = x 2( 5 x 2 4- 4x 4- 3) Ejemplo 18. Si f ( x ) = x y g ( x ) = |x|, calcule ( / 4- g) ' ( x) . Solución x > 0 x , x < 0 Como f i x ) = x y g ( x ) — |x| = , entonces / '(x ) = 1, V x £ K y g ’ix ) — < q (5 110 es derivable en x = 0) Luego, ( / 4- 3 0 '(x ) = (2 , si x > 0 LO , si x < 0 Ejemplo 19. Dada / ( x ) = x n , x í 0 y n £ N , calcule / ' ( x ) . Solución / 1 \ ' YlXn ~ 1 / , ( x ) = f e ) = ~ = ~ n x " 1' v x £ (M - {0}). Observación 4. i) S ¡ f ( x ) — x n, n & Z, de los ejemplos 4 y 19 se deduce que f ' í x ) = n . ' n~1 ii) En general, si c es una constante y f (x) = x c, entonces f '( x = c x c_1 Por ejemplo, s i / ( x ) = x 1/3, entonces f '(x ) = ^ x ~ 2/3. x 4- 3 Ejemplo 20. Dada / ( x ) = - — x * 2, calcule /'(*)■ Solución Aplicando Ds p a ra x =é 2, tenemos (2 — x ) ( x 4- 3)' - (x + 3)(2 - x ) ' / ' ( * ) = (2 — x ) 2 (2 — x ) ( l ) — (x 4- 3 ) (—1) 5 (2 - x ) 2 ~ (2 - x ) 2 208 a x s 4- bx 4 + c Ejemplo 21. Dada f ( r ) = _ halle f ' í x ) . Va2 4- b2 4- c2 Solución / ( x ) = - —;-----1- ; ^ (a x 3 4- ¿X 4- C) V a 2 + b 2 + c 2 f '(x ) = .......... ( a x 3 4- ¿ x 4 4- c)' = - ( 5 a x 4 4- 4 ¿ x 3) V a 2 4- 4- c2 V a2 4- b 2 4- c 2 DERIVADAS 5.7 DERIVADA DE UNA FUNCION COMPUESTA LEMA 1. Si / : M -> M es una función derivable en a, entonces existe una función N( h ) tal que / ( a 4- h) — / ( a ) = h f ' ( a ) 4- hN{h), V (a 4 /i) £ D^, con lim N(/i) = 0 = /V(0). Demostración f í a 4- h) - f ( a ) Como f es derivable en a, se tiene lim ------------ ;----------- = f (a) h-o h Luego, lrti-m*0 / ( a + h ) ~ f ( a ) h f í a ) Definiendo N(h) = f i a + h ) - f i a ) 0, = 0. • f i a ) , si h * 0 si h = 0 se cumple para h 0: h Ni h ) = / ( a 4- /i) — / ( a ) - h f i a ) o / ( a 4■ h) - f i a ) = h f ’ia) + h Ni h ) Esta igualdad es válida para todo (a 4- h) £ Df ( inclusive para h = 0) y se tiene: lim N{h) = 0 = /V(0) h-> 0 Teorema 3 (Regla de la cadena) Sean f : A - > U y g: B R dos funciones con I m i f ) c B. Si / es derivable en a £ Df y g es derivable en b = f i a ) £ B, entonces g ° / es derivable en a y se cumple í 9 ° f ) ' í a ) = g ' ( f í a ) ) ■ f i a ) 209 TÓPICOS DE CA LCU LO - VOLUMEN I Demostración. Como g es derivable en b = / ( a ) , por el lema 1. existe una función N ( k ) tal que g ( b + k) - g { b ) = k g ' ( b ) + k N ( k ),con lim k-*G N( k ) = 0 = W(0) (1) Como I m f c B , se puede tomar b = f ( a ) y b + k = f ( a + h ) £ lmf. Reemplazando estos valores en (1) y dividiendo entre h * 0, se tiene a(f(a + h))- g(f (a)) = gl{fM) /(« + /Q - /(a) + / ( a + /Q - /(a) ^ (fc) (2) Considerando que / es derivable en a y, por ende, continua en a, se tiene: lim fc - lim [ / ( a + h) - / ( a ) ] = 0 h->0 fr-»0 Puesto que N es continua en A: = 0, entonces, por el teorema del límite de una función compuesta, tenemos lim JV(fc) = Wflim k ) = N (0) = 0 h~* 0 /i—*0 Tomando límite a (2) cuando h -+ 0, se obtiene g ( f ( a + h ) ) - g ( f ( a ) ) lim ---------------- ----------------- h-0 h. = lim h-»0 , , , , ^ f ( a + h ) - f ( a ) / ( a + /i) - / ( a ) | 9 ( / ( a ) ) -------ñr- -----+ ------fIt------1 - f f ' ( / ( a ) ) ■ / '( a ) + 0 • [ / '( a ) ] = S ' ( / ( a ) ) • / '( a ) Por tanto, (g ° / ) ' ( a ) = g' ( f {ci ) ) ■ f '( a ) Corolario. Sea / es una función derivable en a y h( x ) = [ / ( * ) ] ’ (n es una constante), entonces h es derivable en a y ft'(a) = f t [ / ( a ) ] n_1/ '(a ). Demostración Sea /i(x) = (5 o / ) ( * ) = [ /( * ) ] " , donde g ( x ) = x". Como .cj'(x) = n x n_1, entonces g ' ( / ( a ) ) - n [ / ( a ) ] n_1. Por lo tanto, por el teorema 3, se tiene h' ( a) = (c? o / ) ' ( « ) = 5 ' ( / ( a ) ) • / '( a ) - « [ / ( a ) ] " - 1 • / '( a ) 2 1 0 Observación 5. De los resultados obtenidos, se tiene i) Si y = y ( t ) A t = t( x ) so« dos funciones derivables, entonces d y d y d t d y d t — = — donde — = y'(_t) A — = t ' ( x ) d x d t d x d t dx ii) Si y = f (x ) es una función derivable y tiene inversa x = / _1(y), entonces d x 1 d y idry = ~ary~_ • si dx ° d x iii) Si y — y ( t ) A x = x ( t ) so/? dos funciones derivables, entonces , dy d y = d i dx dx d t iv) 5/ / ( x ) = [u (x )]n y u ( x ) es derivable, entonces f '(jc) = n [ u (x )]n-1 • u ' ( x ) (Regla general de las potencias) v) Si f (x) = J u ( x ) y u ( x ) es derivable con u ( x ) > 0, entonces 2 y/u(x) vi) Si f ( x ) = |u (x )| y u (x ) es derivable con u ( x ) * 0, entonces u( x ) f w ' i U w i " w Ejemplo 22. Si / ( x ) = (x 4 + l ) 3 y g ( x ) = (x 3 + 12x - 4 )200, halle a) / ' ( * ) b) g \ x ) Solución Aplicando la regla general de potencias, se tiene a) / ' ( x ) = 3 (x 4 + l ) 2( x 4 + 1)' = 3 (x 4 + 1)2(4x 3) = 12x3( x 4 + l ) 2 b) g ' ( x ) = 2 0 0 (x 3 + 12x - 4 ) 199(x 3 -r 12x - 4)' = 6 0 0 (x 2 + 4 ) ( x 3 + 12x - 4 )199 d y Ejem plo 23. Si y = x 4 - x 2 + x A x = ( t 2 + l ) 4, halle — . dt Solución d y d y dx ~d t ~ líx ~dt ~ ( ~ 2X + 1)[4( + 1)! t] = 8 í(í2 + 1) 3^ 3 ~ 2x + 1) DERIVADAS 211 TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN I 16 [X T* — . h a lle /'(x ). ' 1 5 (X 4- 2 \ ' Solución f ' M = 16 16 x + 2 x - 2. x 4- 2 x — 2 \x - 2) 15 (x - 2) - (x + 2) (x - 2)2 64 (x + 2 ) 15 ( x - 2 y 7 Ejemplo 25. Si / ( x ) = \ J ( S x 2 - 3x + 2 )3, determine / ' ( x ) . Solución Se tiene / ( x ) = ( 5 x 2 - 3x + 2 )3/s. Luego. 3 2 3(10x — 3) / ' ( * ) = - ( 5 x 2 - 3x + 2 )_5(5x - 3x 4- 2)' = e , 5 sV ( 5 x 2 - 3 x + 2 ) 2 Ejemplo 26. Sean / ( x ) = Halle: a) / ' ( x ) Solución a x 2 — 3 a 2x a x 2 — 3 a 2x x - 4a b) g'(x) y g( x) - (x 2 — 4)V x2 + 4. c) 5 ' ( 0 ) a) / ( x ) = 1 / a x 2 ^ « = 5 H 1/5 x - 4a / 'W = s - 3 a 2x \ 4/5 / a x 2 - 8 a 2x 4- 1 2 a 3 a x 2 — 3 a 2x 5 ( a x 2 - 3 a 2x^ x - 4a v x - 4 a J 4a (x - 4 a ) 2 a ( x - 6 a ) ( x - 2 a ) 5 i / x - 4 a \ 4 5 ( x - 4 a ) 2 yj \ a x 2 - 3 a 2xJ b) g { x ) — ( x 2 — 4 ) ( x 2 4- 4 ) 1/<2 c?'(x) = ( x 2 - 4 )^(x 2 + 4) 2(2x) 4- (x 2 4- 4 ) 1/2.2 x = x ( 3 x 2 -r 4) Vx2 -t- 4 c) 3 '« ) ) = 0 212 Ejemplo 27. Dada /( * ) = - = ■■■. t \x\ < 2, calcular/'O ) . V4 — x 2 Solución V4 — x 2(2x) — x 2(— x ) q 3 / ' ( x ) = ------- V4 — x 2 _ 8x — x 3 DERIVADAS X2 4 ~ * 2 vC4 — x 2) 3 Ejemplo 28. Dada / ( x ) = y/S + |3 x 2 - 8|, h a lla r /'( x ) . Solución ^ (5 + |3 x 2 — 8)1)' 1 / 3 x 2 — 8 / O ) = — ■ = = = = = ....... = — - — — • (3x - 8)' 2V5 + | 3 x 2 - 8 | 2^/5 4- |3 x 2 — 8| \ | 3 x z — 8| - 1 / 3 x 2 - 8 \ _ 3 x ( 3 x 2 - 8) 2y¡S + |3 x 2 — 8| \ | 3 x 2 — 8| X J ~ | 3 x 2 - 8 I V 5 + | 3 x 2 - T \ Ejemplo 29. Halle g' (4), si / ( x 4- 1) = 2 x 2 4- 8 y g ( x + 1) = / ( x - 2). Solución Si z = x 4- 1, entonces x = z - 1 y / ( z ) = 2 (z - l ) 2 + 8. Luego, / ' ( z ) = 4(z — 1). Por otro lado, aplicando la regla de la cadena, se tiene g ' ( x + l ) = f ' ( x - 2) Finalmente, evaluando en x = 3, obtenemos <7'(4) = / ' ( ! ) = 4(1 - 1 ) = 0 Ejemplo 30. Si / ' ( * ) = ----- — A y = f (——— ), X — 1 \X + 1/ Solución x — 1\ dy halle — . ax x — 1 Sean z = ----- 7 A y = /( z ) , entonces, por la regla de la cadena, se tiene x 4- i dy = d y dz_ = 2 _ z 2 d x dz dx Z (x 4 l ) 2 z - 1 ( x t 1) x — 1 dy 1 — x Reemplazando z p o r ———, se obtiene — = 2 x 4 -1 d x (x 4 - 1 ) 2 ( 4 x*~ s i | x | ^ 2 Ejemplo 31. Dada la fu n c ió n /(x ) = j 2 ' ~ . kx — 4 , si \x\ > ¿ a) ¿ / es co ntinua en los puntos x — 2 y x — —2? b) Calcule / ' ( - 2 - ) , / ' ( - 2 +), / ' ( 2 +). c) Halle / ' ( x ) y obtenga su dominio. d) Trace la gráfica de / . Solución a) f es continua en x = —2 y x = 2, pues lim / ( x ) = lim / ( x ) = 0 = / ( - 2 ) y x->-2~ Oí— 2T lim / ( x ) = lim / ( x ) = 0 = / ( 2 ) x->2 x-*2t TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN i r- 2 x , — 2 < x < 2 b) / ' ( x ) = l2x , x < —2 V x > 2 Como lim+/ ' ( x ) = 4, lim_/'(x) = —4, lim _/'(x) = - 4 y j j m / ' ( x ) = 4, y considerando la continuidad de / en x = —2. por la observación 3. se concluye que / ' ( —2 +) = 4 , / '( 2 ~ ) = —4 , / ' ( - 2 “ ) = - 4 y f ' ( 2 +) = 4 - Teniendo en cuenta que las derivadas laterales en x = —2 y en x = 2 son diferentes, entonces se concluye que / no es derivable en x = —2 y en x = 2. C) / ' ( x ) = f : 2* ■ 51 1x1 , Df ' = E - (2, - 2 } ’ ’ K ' [ 2 x , si |x| > 2 d) La gráfica se muestra en la figura 5.4. 2 1 4 DERIVADAS Ejemplo 32. Dada la función si x < - 1 f i x ) = ■ si - 1 < x < 1 3 - x 2 1 vx si x > 1 a) Verifique si / es continua en x = - 1 y x = 1. b) C a l c u l e / ' ( - I “ ), / ' ( - 1+), / ' ( 1 - ) , / ' ( l+). c) Halle / ' ( x ) e indique su dominio. Solución a) Se verifica fácilmente que / es continua en x = - 1 y en x = 1, pues / ( - l ) = i = lim f ( x ) y / ( l ) = 1 = lim / ( x ) x — l x->l b) Para x =*= — 1 y x í 1, se tiene f —3 x 2 , x < - 1 r w - - x 1 - 1 < X < 1 X > 1 En los puntos x = - l y x = l , debemos analizar las derivadas laterales. Por la continuidad de / en dichos puntos y por la indicación dada en la observación 3, para hallar las derivadas laterales en los puntos mencionados, es suficiente tomar los limites laterales en / '( x ) . Como / ' ( —1“ ) = —3 y / ' ( —1+) = 1 , / no es derivable en x = —1. Puesto que / ' ( 1+) = - 1 y / ' ( 1 “ ) = - 1 , / es derivable en x = 1. c) Por lo tanto. - 3 x ‘ - x , x < - i - 1 < x < 1 ------ r , X > 1 V X 2 Su dominio es = E - {-1}. d) La gráfica se muestra en la figura 5.5. 2 1 5 En los siguientes ejercicios, aplique la definición de la derivada en un punto y calcule / ' ( a ) . 1) f ( x ) = 5x - 3 , a = 2 R. 5 2) f ( x ) = 8 — 2 x 3 , a = —1 R . - 6 3) f ( x ) = V4 + 2x , a - 0 R. 0,5 4) / ( x ) = ----= = = = = , a = 1 R .- 1 / 1 2 8 11V5 + l l x 5) / ( x ) = \ x - 1 |3 , a = 1 R. 0 En cada uno de los ejercicios siguientes, aplicando la definición, halle f ' ( x ) e indique su dominio D^r. 1) / ( * ) = 3 x 2 — 3x + 5 R. 6x — 2 , = R 2) / ( x ) = x 3 - 4 x R. 3 x 2 - 4 , Dfi = IR 2x + 3 13 r , S J / W - j j r j R- ■ O / - - * ' - U / 3 ) TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN í E JER C IC IO S « / W - r b R- ( 2 ^ ? ' D/ ' = E - Í 2! 5) / ( * ) = — R. - . D,. = <-2; +oo) V F + 7 ' 2(x 4- 2 ) - 3/ 2 6) / ( x ) = V9 - a:2 R. — . , DV.< = ( - 3 ; 3) V9 - x 2 En los siguientes ejercicios, determ ine si la función dada es d e r iv a b a en e! punto a. «n a r x 4- 2 , si x < - 4 1 ) / W = U _ 6 , si Je > — 4 ■ “ = - 4 2) / M = P ! Z ± - 51 * < 2 . a = 2 W x — 2 , si x > 2 3) / ( x )\ = íÍ V1 - x , si. x < 1 . a„ = 11 ^ [(1 - x ) 2 , si x > 1 4) / ( x ) = |x 2 - 9 | , a - 3 y a - — 3 ( \ x + 2 \ , x < O 5) / ( x ) = i 2 - x 2 , 0 < í < 2 , a = 0 y a = 2 ( x 2 — 4x + 2 , x > 2 2 1 6 DERIVADAS En cada uno de los siguientes ejercicios, halle la derivada de las funciones dadas. 1) / ( * ) = - T 2) / ( x ) = 1 - x 2 1 + x 2 3) / ( x ) = (x - 1) x —1 x 4- 1 5) / ( x ) = (Vx + 1 + Vx - l ) 4 6) / ( x ) = 7) / ( x ) 8) / ( * ) = (1 - x 2) 3/ 2 4 - x 2 J ( 1 + x 2) 3 V i + x + V T^Tx V i + x - V I ^ 9) / ( x ) = V2x + - 10) / ( x ) = x V x 2 - a 2 - 11) / ( * ) = V x2 — a 2 a 2V a2 4- x 2 12) / ( x ) = ¡x2 — 9| 13) / ( x ) = x 2| x| 3 14) / ( x ) = ( x 3 - |x |3) 2/ 3 15) / ( x ) = Í ( l + ^ ) 8 / 3 - Í ( i + x 3)5/3 12 R. ----- - —4x (1 + x 2) 2 3x + 5 3 íx - 1 3(x + 1) ^| x + 1 r. - V o ^ W + ~ £ : 7 V x T S 2(Vx — 1 + V x + l ) 4 R. V x2 ~ 1 3 x 2 (1 - X 2)V2 2 x 3 - 13x (4 — X2) ! / 2 ( l + X 2 ) 5' 2 1 4- 1 R. R. x - 1 xV2x 2 x 4 - 3 a 2x 2 4- 2 a 4 ( x 2 - a 2) 3/ 2 1 R, ( a 2 4- x 2) 3/ 2 2 x ( x 2 - 9) |x 2 - 9| R. 5 x 3|x| 2 x (x - |x |) R \¡ x 3 - | x |3 R. x s ( l + x 3) 2/3 2 1 7 TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN í 16) f i x ) = 17) f i x ) = 18) f i x ) = 1 - Vx 1 + V x 4x 4- 6 Vx2 + 3x 4- 4 Ul 1 + X2 - 1 R. 2(1 + Vx)Vx — x 2 7 i x 2 + 3x 4- 4 )3/ 2 x j l - x 2) | x | ( l + x 2) 2 En los siguientes ejercicios, halle f i x ) y determine su dominio Df >. '»■'m - E - i . : ! : > i 2) / w - g ; í x > 0 x < 0 ' \x + 3 1, si x < - 2 3) / ( x ) = \ x 2 4- 4x + 5 , si - 2 < x < 0 ,5 - x 2 , si x > 0 4) f i x ) = ' - x 2 — 6x - 134 , x 3 - 6 x 2 + 12x - 8 , 6x - x 2 - 8 , a - 8 , « f r ^ _ í U + 2| , x < 0 5; — (Jx — 2 | , x > 0 6) f i x ) = ■ ( x - 5 ) 1/3( x 4 - 4 ) 2/ 3, x z 4- 5x -t- 4 x 2 - 5x 4- 4 ’ (x + l ) 1/5( x - 2 ) 4/ 5, x 2 — 8x 4- 12 x 2 4- 1 7) / ( x ) = If2* + 2 1 x 3 4- 3 x 2 4- X 4- 3 .2x4- lJ 1 x 3 - 3 x 2 - x 4- 3 x < — 3 - 3 < x < 3 3 < x < 5 x > 5 si x < - 4 si — 4 < x < - 1 si - 1 < x < 2 si x > 2 si x < (x + 3 ) 1/5( x - 1 )2/5, (x - l ) 3(x - 5 )4/7 , x 2 — 6x 4- 5 x 2 4- 6x 4- 5 si - 3 < x < 1 si 1 < x < 5 si x > 5 2 1 8 En el siguiente grupo de ejercicios, halle f i a ) y las ecuaciones de las rectas tangentes y normal a la gráfica de / en el punto de abscisa x = a. 1) f i x ) = V x + Vx , a - 64 R. 1 /12 2) f i x ) = V2x 4- V 4 x 2 , a = 4 R. 5 / 6 DERIVADAS , s V16 4 - 3 X 3) f i x ) = ------------- , a = 3 R.- 4 1 / 9 0 x ^ „ V 5 - 2 x 1 4) / W = ^ T T ■ a = 2 R - 5/ 4 5) / ( x ) - x 2 - 5 , a = 3 R. 1 5 /2 10 - x 2 V 6) / ( x ) = V S x + 1 2 (x 2 4- 6 ) 2 , a = 3 R. (5 8 1 )2' 3 PROBLEMAS 1) Determine c y d para que la funcion / sea derivable en x = 2. i - 3 x 2 , si x < 2 f i x ) = ( , . . ^ _ cx r d , si x > 2 R. c = - 1 2 , d = 12 V5 -i- 2x 2) Dada f i x ) — -------------, halle (x 4- 2 ) / ( 2 ) 4- 6 x / '( 2 ) . R. 3 - 2x V5 - 8x 3) Dada la fu n ció n / ( x ) = j : = , determ ine los valores de m si v 2 x — 7 ( m 2 + 4 ) / ( - ^ ) = 1 2 m / ' ( - i ) . R. m = - 3 V m = - 4 / 3 4) Si k =?= 0, determine los valores de A, B y C de modo que: a) f i x ) = G4x2 4- B k x 4- C k 2) i k - x ) 3/2 y / ' ( x ) = V/c - x (/c2 4- x 2) b) / ( * ) = 04x2 - B/cx 4- C k 2) i k - x)5 y / ' ( x ) = (/c - x)5(fc2 4- x 2) R. /I = - 2 / 9 , B = 8 /6 3 , C = - 1 4 2 / 3 1 5 5) Halle g ’i S) si / ( V x 2 4- l ) = y]x2 + 1 4- \ J l 6 i x 2 4- 1) y / ( x 2 - 2) = ^ ( x 2 4-1) R. 4 / 3 219 6) Dadas / ( x ) = x 3 y g ( x ) = / O 2), halle: a ) / ' ( x 2) b ) g '( x ) R. a) 3 x 4 b) 6 x s 7) Si / ( 2 x - 1) = 4 x 2 - 1 y g { 2x) = / ( 2 x + 1), halle g ' ( x - 2). R. 2x x / x \ dy 8) S>\f’(x) = —7— - A y = / (— — halle — . ’ ‘ x 2 + 1 Ve + V dx i----------- x 9) Halle la derivada de / ( x ) = V * 2 + 16 respecto de ^ en x = 3. R. - 1 2 / 5 x TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN I 10) Halle la derivada de J x 2 — 2x respecto de _ ^ . R. - ( x - l ) 3( x 2 - 2 x )~ 1/2 11) Si / ( x ) = [x], determine / ' y su dominio. R. / ' ( x ) = 0 , Df = R — Z 12) Sea / : R -> R función derivable, si c es constante, demuestre que: a) Si ,g(x) = / ( x + c), entonces g ' ( x ) = / ' ( x 4- c). b) Si g ( x ) = / ( e x ) , entonces # '( x ) = c / '( c x ) . 13) Si / y g son derivables en a, demostrar que m á x ( f , g ) y m í n ( / , g ) son derivables en a, siempre que / ( a ) =*= 5 (a). Indique un contraejemplo si / ( a ) = fif(a). 14) Determine las ecuaciones de la tangente y de la normai a la gráfica de / en t. punto cuya abscisa es a, si a) / ( x ) = (2 - 3x + x 3)V l + x 2 , a = 0 R. Lt : 3 x + y — 8 = 0 , Lw: x - 3y + 4 = 0 VIO - x 2 b) / W - (JC2 + 2)3 ■ a - 1 R. Lt : 19x + 81y - 28 = 0 , 729x - 171y - 7 1 0 = 0 15) Si / ( x ) = x 4 - 4 x 3 - 8 x 2 - 12x + 10, determine los puntos sobre la gráfica de y = / ( x ) de tal manera que la recta tangente en dichos puntos sea paralela a la recta 12x + y - 5 = 0. Además, halle las ecuaciones de las respectivas rectas tangentes. R. y = — 12x + 10 , y = - 1 2 x + 7 , y = - 1 2 x - 118 2 2 0 16) Halle la ecuación de la recta normal a la gráfica de / ( x ) = x 2 + x + 1, sabiendo que dicha recta pasa por P(37; 0). R. x + 5y - 37 = 0 17) Determine los puntos de la curva y = x 3 - x 4- 1 de modo que la tangente a la curva en dichos puntos sea perpendicular a la recta x + 2y - 12 = 0. Además, obtenga las ecuaciones de las rectas tangentes en dichos puntos. R. 2 x - y + 3 = 0 , 2 x - y - l = 0 18) Determine la ecuación de la recta que pasa por (0; 2) y es tangente a la gráfica de / ( x ) = 2 x 3 - 5x 4- 6. R. y = x 4- 2 19) Si / ( x ) = x 4 - 4 x 3 - 1 2 x 2 4- 32x - 16, determine todos los puntos sobre la curva y = / ( x ) de tal manera que la recta tangente en dichos puntos sea paralela al eje x. R. (1;1), ( - 2 ; - 8 0 ) y (4; 80) 20) Determine los valores de a, b y c de modo que a) / ( x ) - x 2 + a x + b y g ( x ) = x 2 4- ex tienen la misma recta tangente en el punto (2; 2) R. a = - 1 , b = 0 , c = - 1 b) / ( x ) = x 2 4- ax + b y g ( x ) = x 3 - c se intersecan en (1; 2) y tienen la misma tangente en dicho punto. R. a = 1 , b = 0 , c = —1 x 2 4~ 4 21) Halle la ecuación de la recta tangente a la curva g ( x ) = --------- que pasa DERIVADAS por el punto 0J. R. 2x 4- 4y — 3 = 0 , 2x - y — 3 = 0 22) Sea / ( x ) = x 2 4- ax + b, halle los valores de a y b de modo que la recta y = 2x sea tangente a la gráfica de / en (2; 4). 23) Sea / ( x ) = x — x 3, x e [—2; 2]. Halle las constantes m y b de modo que la recta y = m x 4- b sea tangente a la gráfica de / en el punto ( - 1 ; 0). Si una segunda recta que pasa por ( - 1 : 0 ) es también tangente a la gráfica de / en el punto (a; c), determine las coordenadas a y c. R. m — —2 , a = l , b — —2 , c = 0 221 TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN I 5.8 DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR Sea y = / ( x ) una función derivable, la derivada de la función f ' ( x ) se denomina segunda derivada de / , y es indicada con una de las notaciones , d 2f ( x ) .. d 2y / " ( * ) , D i m . - d£x 2 r '' / ( * ) .’ d x 2 Si / " ( x 0) existe, se dice que / es dos veces derivable en x 0 y el número / " ( x 0) se denomina segunda derivada de / en x 0. Si / " ( x ) es una función derivable, su derivada ( / " ) ', (derivada de la segunda derivada) se denomina tercera derivada de / y se denota con uno de los símbolos d 3/ ( x ) d 3y / " '( * ) . D3f ( x ) , d x 3 ’ d x 3 De esta manera, derivando sucesivamente la función / (siempre que sea posible), se obtiene la n-ésim a derivada o derivada de orden n de / y se indica con una de las notaciones , , d nf ( x ) d ny / » « , » ; / « . ¿ Proposición 3 (Fórmula de Leibniz). Supongamos que las funciones u (x ) y u (x ) son definidas y derivables hasta el orden n en el mismo conjunto A. Entonces, y = u • v es derivable hasta el orden n en A y se tiene: y í n) = [ u '. V + U. v ' ) ( n> = Q ) V + U^n ~ r> . V ' + . . . + + Q ) U i n ~ k ) . V ^ + . .. + Q j U. (En esta fórmula se entiende que = u, = v, u (lj = u ', u m = u ",e tc .) Demostración. Se demostrará por inducción. Para n — 1, la propiedad es verdadera, pues yC1) = y ' - u ' . V + U ■ v ' = ( u ' . V + U. = ( q ) U(1). V + ( U W . V ( ) Supongamos que es verdadero para n — p, esto es, y W = (u '. v + u . v ' y = Q 17 + ( J ) u ^ - 1). v ' + - 4- ( £ ) u (P - k). v k + ... + Q u. u (p) Probaremos que para n = p + 1, la propiedad es verdadera. En efecto. y C p + l ) = ( y ( P ) ) ' = g j U ( P + 1 ) . v + Q u ( p ) . v ' + g ) u ( p ) . v ' + g ) u ( p - D . + . . . . . . + Q u ' . v W + Q u . v W 222 DERIVADAS Usando las igualdades ( k - l ) + f f l = ( p r : ) Æ) = i p + 1 ] fp + n voy V o / l p ; 1I p + u Tenemos y (P + l) = (P J U(P+1). „ + (P + ^ U(P) * ' + (P + 2 j + ( p + l ) u -v(p+1) = ( u ' - u + u - l / ) (p+1) Por lo tanto, la fórmula de Leibniz es válida para todo n E W , E jem p lo 33. Si / ( x ) = V x 2 + 5 , g { x ) = - 1* 1 1+ JC 2 halle: a) / " ( * ) b) g " ( x ) c) /i"'(x ) Solución a) f'(x) = ~ — 5 V x2 U(P 1)_ yí/ + . . . 1*1 , , , a:4 + x 3 + 4 v 2 x + 9 b) s '( x ) : + 5 , entonces / " ( x ) = ------- -------- ( x 2 + 5 )3/ 2 ' , V x =/= 0 (en x — 0 no es derivable). En vista de que — es 1 ó - 1, según sea x > 0 ó x < 0, al d erivar — lo í'On^iíif’IMrPmnc n r \r r % r \ o 1*1 9 " (* ) - x [(1 + * 2) 2( - 2 x ) - (1 - x 2) 4 x ( l + x 2)l 2x x 3 - 3x 1 1*1 (1 + x 2) 4 1*1 (1 + x 2) 3 e) h (x ) = u v donde u = x 4 + x 3 + 4 y y = (2x + 9)~*/2. Luego, por la formula de Leibniz, se tiene h " '(x ) = '(u1 v + u v ') W = u " 'v + 3 u " v ' + 3 u 'v " + u v '" Por tanto, _ 24* +_6 _ 3 (1 2 x 2 + 6x) 9 (4 x 3 + 3 x 2) 1 5 (x 4 + x 3 + 4) V2x + 9 (2x + 9 )3/ 2 (2x + 9 )5/ 2 (2x + 9 )7/ 2 Kjemplo 34. Sean / ( x ) = |x |3 y ^ (x ) = ’ si x - 0 l - x 4 , s ix < 0 ■ a) H a lle /'( x ) y / " ( x ) y determine si e x is te /'" ( x ) para todo x 6 K. b) Halle g '( x ) y g " ( x ) y determine si existe g " '( x ) para todo x E l 2 2 3 Solución TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN I , . , rr \ { x 3 , si X > 0 rt a) Al s e r / ( x ) = j . se tiene / (f x)\ = j( 3 x„2 , , si X > 0 l —x , si x < 0 l —3x , si x < 0 f n ( v s _ f 6 x , si x > 0 ' . r 6 , s ix > 0 7 W l —6x , si x < 0 y 7 W 1—6 . si x < 0 Usando derivadas laterales, se obtiene que /'( O ) = /" ( O ) = 0. /'" ( O ) no existe, pues / '" ( O - ) = - 6 * 6 = / " ' ( 0 +). Por tanto, / '" ( x ) no existe para todo X 6 1 (solo existe para todo x 0). b) Con el mismo razonamiento, se tiene , , , (4 x 3, si x > 0 ,,, >. f1 2 x 2, si x > 0 s W “ U l > . si X < 0 ■ a W = 1- 121’ . si 1 < 0 ’ .... , f 24x , si x > 0 5 ~ i —24x , si x < 0 Se tiene que g \ 0) = <7''(0) = g"'{Q ) = 0. Luego, g " '( x ) existe V x E K . Ejemplo 35. Si P (x ) es un polinomio de grado n, calcule su derivada de orden n. Solución Si P (x ) = a nx n 4- a n_1x n~1 + ... + a t x + a 0 (a n * 0), entonces P '(x ) = n a nx n_1 + (n - l ) a n_!Xn_2 + ... + 2 a 2x + a x P " (x ) = n (n - l ) a nx n~2 + (n - 2)(n - l ) a n_1x n-3 4 -... + 2 a z p(n)(x) = n !a n Además, tenemos que P (fc)(x) = 0 , V k > n + 1. 1 Ejemplo 36. Sea / ( x ) = ^ +—, x * - 1 , calcule la n-ésima derivada d e / . Solución Como / ( x ) = (1 4- x ) “ \ derivando sucesivamente, se obtiene 1 / ' ( x ) = - 1 ( 1 4 - x ) ~ 2 = ( 1 + x ) 2 / " ( x ) = ( 1 ) ( 2 ) ( 1 4 x ) - 3 = ( 1 ^ )3- ( —l ) nn! f M ( x ) = — — -------- 7 ’ ( 1 4- x ) n+1 2 2 4 Ejemplo 37. Halle la n-ésima derivada de / ( x ) = V1 4- x. Solución. Teniendo en cuenta q u e / ( x ) = (1 4- x ) 1/2, parax > - 1 , se tiene / '( x ) = ^ ( 1 + *)~1/2 = — ==F= 2 2v 1 4- x / " ( x ) = - x1 -1r ( l + x ) - 3/2 = - ; 1 DERIVADAS 2 2 2 2V(1 + x ) 3 3 3 24 24^ /(l 4- x ) 7 ( 2 n - 3 ) ( ( 2 n - 5 ) . . . ( 5 ) ( 3 ) /( n j ( x ) = ( _ l ) " +1 i ---------- -----, v n > 2 2nV (l -rX )2" " 1 E jem plo 38. Si /( x ) = halle /M = ( 2 1 + 1)— E jem plo 39. Sea / ( x ) = 6* halle / ln,(x). Solución Usando fracciones parciales, tenemos 17 , 1 3 / (x) = — (x — 2) 4- — (x 4- 3) / '( X ) = y [ - ( x - 2 ) - 2] + y [ - ( x 4 - 3 ) “ 2] / " ( * ) = y [ 2 (x - 2 ) - 3] 4- y [ 2(x 4- 3 ) - 3] ( —l ) nn! / ( x) = r 17 13 + • ( x - 2 ) n+1 ( x 4- 3 ) n+1 22 5 TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN I Ejemplo 40. S e a / ( x ) = ~ ^ X * halle x 2 — 2x — 3 Solución Como / ( x ) es una fracción racional impropia, primero dividimos y luego aplicamos fracciones parciales a la fracción propia resultante, esto es, cr \ -, 4 x + 8 m - 1 + o r - 3 H * + 1) = 1 + 5 ( * - 3 r ‘ - Derivando sucesivamente, se obtiene / (n)W = ( - ! ) » „ ! [------ ------------------ 1____ I l ( x - 3 ) n + 1 ( x + l ) n + lj E jem plo 41. S e a / f r ) = — £ ± L _ ^ , ha||e / ( « w . Solución Aplicando el método descrito en el ejemplo anterior, se obtiene /( * ) = x + 1 - | ( x - l ) ' i + - 2)-i + + 2) -i r m = i - - [ - ( x - 1 ) - 2] + ^ [_ ( * _ 2 )- 2 ] + 1Z [ H x + 2 )_2] f " (X) = - | [2(x - l)- 3 ] + ~ [ 2 ( x - 2 r 3] + ~ [2(x + 2 ) - 3] / '(*) = - - [~ 2 .3 (x - I ) “4] + — [—2.3(x - 2 ) - 4] + H [—2.3(x + 2 ) “4] />”' M = ( - l)» „ l + — ^ 2 )„ „ ] , V „ > 2 E jem plo 42. Si / ( * ) = -* * halle f (n,(x). Solución Siguiendo el procedimiento del eje...pío anterior, se tiene tr \ t. 1023 / ( * ) = x 3 + 16x + — (x - 4 )-1 + ~ ( x 4- 4 )_1 Derivando sucesivamente y factorizando, se tiene ( —l ) nn! r 1025 8 +C/*”> 1X \ ' /<">(x) = ( - 1 ) n! [ 1025 1023 T] , V n > 2 2 6 DERIVADAS 5.9 D ERIV A CIÓ N IM PL ÍC IT A Sea E (x ,y ) = 0 una ecuación de variables x e y . Si al reemplazar y por / ( x ) , la ecuación se transforma en una identidad, entonces la función definida por y — f ( x ) es llamada función implícita determinada por la ecuación E ( x ,y ) = 0. Por ejemplo, la ecuación y 2 — x + 1 = 0 determina implícitamente a las funciones y — f ( x ) = Vx - 1 ó y - g (x ) - - V x - 1 Estas funciones (explícitas) se obtuvieron despejando y de la ecuación. Es fácil comprobar que estas expresiones satisfacen la ecuación y 2 — x + 1 = 0 . Es necesario recalcar que no toda función dada implícitamente puede ser expresada en forma explícita. Por ejemplo, no es posible despejar y de la ecuación y 7 4- eos y - x 2 4- sen x 4- 4 = 0. Finalmente, diremos que no toda ecuación define una función en forma implícita. Por ejemplo, la ecuación x 2 4- y 2 4- 4 = 0 no define ningún^ función. La obtención de la derivada de una función definida en forma implícita por una ecuación se denomina derivación implícita. Supongamos que la ecuación y 2 — x 4-1 = 0 define implícitamente a la función y = f ( x ) , entonces [ / ( x ) ] 2 = x - 1 Derivando respecto de x a ambos lados de la igualdad, se obtiene ¿ [/ W ]Z = - i ) =» 2 f ( x ) . f '( x ) = 1 =* / ' ( x ) = ^ Este resultado se puede obtener sin necesidad de reemplazar y por / ( x ) , ya que Si derivamos la función explícita y = Vx — 1, obtenemos 1 1 y ~ 2 V x ^ I ~ 2 y Si hubiéramos considerado la función y = - V x - 1, el resultado es el mismo. En general, si la ecuación E ( x ,y ) = 0 define implícitamente a la función y = / ( x ) , para obtener —- o y ' es suficiente derivar la ecuación término a d x término, considerando a la variable y como una función de x, y de la ecuación resultante despejar y'. 2 2 7 Un método práctico para obtener — es aplicar la siguiente fórmula: d x d y E' —d x = ---E-'y- 0K)} donde E'x es la derivada de E ( x ,y ) respecto a x, considerando a y constante, y E'y es la derivada de E (x , y ) respecto a y, considerando a x constante. d y _ 1 d x 2 y TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN I En el ejemplo anterior, E'x = — 1 A E'y = 2y, entonces La fórmula (I) se demuestra usando “derivadas parciales”. Ejem plo 43. Las siguientes ecuaciones definen implícitamente una función y = /(*)■ Halle y ' = 4 ^ - d x 6x 4- 8 x 2y - y 3 + y 5 a) x + y = 25 b) 4x - 9y = 36 c) ------------- -----------------= 4 Solución a) Derivando implícitamente respecto a x, se obtiene 2x + 2 y y ' = 0, de donde y ' = — d d 4 x b) Análogam ente, — [4x2 — 9 y 2] = — (36) » 8x — 1 8 y y ' 0 <=> y ' = — c) En este caso, transformando la ecuación dada, se tiene 6x + Qx2y - y 3 + y 5 - 4 x 2 = 0 dy E'x d y 6 + 16xy - 8x Aplicando la fórmula — = - — , se obtiene — = - —- — _ , . _ F dx E’y dx 8 x 2 - 3y 2 + 5y4 Observación 6. De los resultados obtenidos en el ejemplo 43, se deduce que si se trata de hallar la derivada de una función implícita para un determinado valor de X, es necesario conocer el correspondiente valor para y. Ejem plo 44. Halle las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva x 5 + y 5 — 2xy = 0 en el punto (1; 1). Solución El punto (1; 1) pertenece a la curva, pues satisface su ecuación. Para hallar la pendiente de la recta tangente, derivamos implícitamente. Así, se tiene 2y - 5 x 4 y ' = — - — — = m T 7 5 y 4 - 2 x 2 2 8 Evaluando esta derivada y ' en el punto (1; 1) se obtiene m T = - 1 . Por,lo tanto, las ecuaciones de las rectas tangente y normal son. respectivamente: Lt : y — 1 = —(x — 1) <=> Lr : x + y — 2 = 0 l'N- y 1 — (x 1) s—y Ln : x y = 0 DERIVADAS Ejem plo 45 Halle la ecuación de la recta normal a la gráfica de \ x y ) 27 —— —T—— + 3 4 I — + - ] = 7 9 en el punto (3; 5). Solución Multiplicando la ecuación por x 3, se obtiene 2 7 (y 2 — x 2) 3^2 4- -4r— -7 = 7 9 x 3 y 1- + x L Derivando implícitamente, se tiene 81 . , „ i ~2 (y 2 - X 2)2(2yy' - 2x) + 34 (4x3y + x 4y ')(x 2 + y 2) - x 4y(2x + 2y y ') (x2 4- y 2) 2 = 2 3 7 x 2 415 Evaluando en el punto (3; 5), se obtiene y ' = ----- . 249 La ecuación de la recta normal es LN: 249x 4 - 415y - 2822 = 0 Ejem plo 46. Halle el área del triángulo que forman las rectas tangente y normal a la curva j x y — 2x 4 - 3y — 6 = 0 en el punto (3; 3) y el eje y. Solución Derivando implícitamente, se obtiene 1 —7= (y 4 - x y ') - 2 4 - 3 y ' = 0 2y x y Evaluando en el punto (3; 3), tenemos , 3 y = La ecuación de la tangente es Lr : 3x - 7y 4- 12 = 0 La ecuación de la normal es LN: 7x 4- 3y - 30 = 0 Las intersecciones de de estas rectas con el eje y son (0; 1 2 /7 ) y (0; 10). Luego, el área del triángulo (Fig. 5.6) es 3 ( 1 0 —f f i _ 37 A ~ 2 - 7 u 2 2 9 TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN I d 2y E jem plo 47. Halle — - de cada una de las funciones dadas. d x ¿ a) 2 x 2 — 3y = 6 Solución a) Si 2 x 2 — 3y 2 = 6 => y ' = 2% 3y (a ) Derivando nuevamente respecto a x, se tiene 2 y - x y ' y 3 ’ v 2 (/*) 2 / 3 y 2 — 2x2 Reemplazando (a ) en (/?) y simplificando, se obtiene y " = — I -------- ----- 3 \ 2 y i Finalmente, como 3 y 2 - 2 x 2 = - 6 , obtenemos 4 V ~ _ 3y^ b) Para facilitar la derivación, elevamos al cuadrado ambos términos. De este modo, obtenemos y x y Nuevamente, derivando implícitamente, se tiene - y x ( x ) - y y . y — — = o => y - - , si x ^ y X 2 X = o Luego, y " = 0. 2 3 0 EJERCICIOS I) En los ejercicios del 1 al 8, calcule / (n5(x) para el valor de n que se indica. 1 DERIVADAS 1) / ( x ) = V * 2 + l . n = 2 R. ( x 2 + l ) 3/ 2 2 - Vx 2 + 3a / x 2) f ( x ) ---------- p , n = 2 R. 2 + v x ’ x V x (2 + V x)3 x 3 - 2 x 2 _ 24 3) f W = “ ■ n = 4 4 ) / ( x ) = i-----1 , n = 3 1 - x ' (x - 1 )5 6 1 - x ’ ‘ (1 - x )4 1 24 • 4! 5) /W - 2x + 3 >’ n = 4 ' (2x + 3 )5 24 6) / ( x ) = V4x + 1 , n = 3 R. 7) / ( x ) = |9 - x 2| , n = 2 R. 8) f ( x ) = |4 - x 3 - x 51, n = 3 R. (4x + l ) 5/ 2 2(9 - x 2) 19 — x 21 (4 + x 3 — x s)(6 x — 2 0 x 3) ¡4 + x 3 - x 5| 9 ) Sea / : US -> K una función derivable hasta el orden 2 tal que / ( 3 ) = 2 y f '{ 3 ) - / " ( 3 ) = 5. Si g: IK -* R es una función que está definida por g { x ) = x 2/ ( 2 x 2 — 4x — 3), calcule: a) g " { x ) en función de / , / ' y / " b) ^ " ( 3 ) R. a) 2 /(u ) + (20x2 - 1 6 x )/'(u ) + (4x2 - 4x)2/" (u ). donde u = 2x2 — 4x — 3 b) g " ( 3) = 3412 II) En los ejercicios siguientes, halle / (k)(x). 1 (n + fc - 1)! = R-( ~ 1} (n — 1)Í ( * - * r n- k . x * a 1 — x 2 (—l ) fc/c! 2) / ( x ) 1 + x R' ( l + x )k+1 5x — 2 . 3) / ( * ) = — — T4 R- ( 1) fc! 1 (fc 4- 1)! 4) / U ) = (1 - x ) 2 R' (1 - x ) k+2 3 (x + 2 )fc+1 (x - 2 )fc+1 231 TÓPICOS DE CALCULO - VOLUMEN I X6 4- X 2 - 1 5) ZW = x 2 - 1 6) / ( * ) = x 2 + x — 2 x 4 _ 5 x - l 7) / W = J I 3 T 8 ) / W = * ’ + * - 1 2 3a:2 4- 5x — 1 2a: + 1 9) / ( * ) = x“ 35- ---- -x-52— - z4--x- -4--- --4- ----------------------------7 61x02 )— / (x* —) 1= -—5r III) En los siguientes ejercicios, halle por medio de derivación implícita. d x , , , 3 x 2 + 4x y - y 2 1) x 3 4- 2a: y — x y + 2y 3 = 4 R. 2x y - 2 x 2 - 6y 2 a y - x 2 2) x 3 — 3a x y 4- y = a 3 R. —- y ¿ - a x 3) x z - a j x y + y 2 = a 2 R 4 ^ + 5’ A y j x y + ax y 2 ' x 3 2 2 a: x 3 y 2 5 3y 4) + = ^ Ry - Vx 5) ------ ^ + aJ y f v x y 4- Vx 5 y 25 R. — ó y - Vx 2 2x 18y 2xy - 3 x 2 - y 2 6) x 3 + x y = x y R. 2 v:y - x 2 d x IV) En cada uno de los ejercicios del grupo III, determine -----, donde x = g { y ) d y es la función definida implícitamente por la ecuación dada. V) En los siguientes ejercicios, halle el valor de y " en el punto indicado. 1) x 3 4- x y 2 + y 3 = 8 , P ( 2; 2) R. - 1 5 2) x 2 + 5xy 4 - y 2 - 2x 4- y = 6 , P ( 1; 1) R. 1 1 1 /2 5 6 3) x 4 - x y + y 4 = 1 , P(0; 1) R .- 1 / 1 6 4) x 2 + 4xy + y 2 + 3 = 0 , P (2; —1) R .- 1 / 3 2 3 2 VI) Determine — ^ , expresando su respuesta en la forma más simple. dx~ 1 ) X 1/ 2 4- y 1' 2 = 2 R. x ~ 3' 2 b 4 2) b 2x 2 - a 2y 2 = a 2b 2 R . ------ 5—7 a 2y 3 2 b 3x y 3) x 3 - 3ax y + y 3 = b 3 R DERIVADAS d 2 4) 3 x 2 - 2xy + y" = a 2 R. (ax - y 2) 3 2 a 2 (x - y ) 3 5) x 2' 3 4- y 2' 3 = a 2/ 3 R. a 2/3 3 x 4 / 3 y i / 3 VII) Halle las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva dada en el punto indicado. 1) x 3 + 3 x y 2 + y 3 = 1 , P (2; - 1 ) 2) V 4 Í - , / 9 y 4- 5 = 0 , P (4 ;9 ) 3) x y fx y 4- 2 y 2 - 3 = 0 , P ( l; 1) _______ 2% 2 4) 7 3 + x 2y 2 — - p r = 0 , P ( l ; l ) 5) ^ Í/T J / 1 + x y 2 27 = (2 )1/X^ , P ( l; 1) V i -*-x y 6) x 3 - a x y + 3 a y 2 = 3 a 3 , P (a; a) R. Lt : 2x 4- 5y — 7 a = 0 , 5x — 2y — 3 a = 0 ^3 VIII) En el siguiente grupo de ejercicios, halle y'" = — —. expresando su d x i respuesta en su forma más simple, x 4- 3 y 2 x 1) x x 4- 3 y 2 ¡~ n | X m i y 2) (-4 - I - = 10, p ara todo n y m entero I y Vx 2 3 3 TÓPICOS DE CALCULO - VOLUMEN ! 3 ) j ¡ ± 5 - j x - J y yJx + ^/y PROBLEM AS 1) Demuestre que la tangente a la curva x y = 1 forma con los ejes coordenados un triángulo de área constante, es decir, que el área no depende del punto de tangencia. 2) Demuestre que el segmento de tangente a la hipérbola x y = a 2 comprendido entre los ejes coordenados queda dividido en 2 partes iguales por el punto de tangencia. 3) Pruebe que la suma de las intersecciones con los ejes coordenados de cualquier recta tangente a la curva x 1/2 4- y 1/2 — b 1^2 es constante e igual a b ( b > 0). 4) Halle las ecuaciones de las normales a la parábola 4y — 8 x 2 + 9 = 0 que pasan por el origen. 5) Encuentre la ecuación de la recta que pasa por P (— 1; 2) y es tangente a la curva y x 4- 3 y = x — 1 6) Si las tangentes a las curvas 2 x 2 — 8x — y + 1 = 0, x 2 4- 8 x — 2 y — 5 = 0 son paralelas y los puntos de tangencia están sobre una vertical, halle las coordenadas de dichos puntos. R. (4; 1) , , 4 3 /2 ) 7) Halle la ecuación de la tangente a la curva x 2y = x + 1 cuya inclinación es 45°. R. x - y i- 1 = 0 8) Si una recta tangente a la curva x 4 — 2 x 2 — x 4- y = 0 en el punto (—1; 0) es también tangente a la misma curva en el punto P (a ; b), halle las coordenadas de P. 9) Si la pendiente de la recta tangente a la curva x 2y 4- a 2y = x 2 — a 2 en t ' punto de abscisa x = 1 es 1, halle ei valor de a. 10) Demuestre que en la curva x 2/3 4- y 2/3 = b 2/z, el segmento de la tangente comprendida entre los ejes coordenados tiene una longitud constante e igual a b. 234 DERIVADAS 5.10 D IFEREN CIA LES Definición 7. Sea / : E -» M una función definida por y = / ( x ) . i) Si a G Dr y Ax =£ 0 es un número tal que a 4- Ax G Df , Ax es llamado increm ento de x. Se define Ax como el cambio que experimenta la variable independiente x al pasar de a hasta a 4- Ax. ii) El cambio correspondiente en y (cuando x pasa de a hasta a 4- Ax) es el incremento de y, que se denota por Ay, y está dado por Ay = f ( a 4- Ax) - f i a ) iii) La diferencial de la variable independiente x (denotada por d x ) se define como d x = Ax iv) La diferencial de la función f en el punto a, correspondiente al incremento A x, (denotada por dy) se define como d y — f i a ) ■ Ax = f i a ) , d x En general, la diferencial de la función f en cualquier punto x G Df , está definida como d y = f ( x ) ■ dx 5.10.1 IN T E R PR E C IÓ N G E O M É T R IC A DE LA D IFE R E N C IA L Sea / : E -» E una función derívable en el punto a G Dr , y sean P ( a ; / ( a ) ) y Q(a 4- Ax; f ( a 4- Ax)) dos puntos sobre la gráfica de / (Fig. 5.7), entonces; a) Ay = f i a 4- Ax) — f i a ) es la distancia dirigida de R a Q. b) La pendiente de la recta tangente T es m T-— f i a ) . De esta manera, la distancia dirigida de R a S es RS = tan a ■ Ax = f i a ) ■ Ax = f ( a ) ■ d x = d y c) Cuando Ax es pequeño (A x —> 0), la diferencia entre Ay y d y también es pequeña. Luego, d y es una aproximación para Ay. es decir, Ay s d y o f i a 4- Ax) - f ( a ) = f ( a ) ■ dx d) De esta última aproximación, se deduce f i a 4- Ax) = f i a ) 4- f i a ) ■ dx Por lo tanto. Ay representa el aumento o disminución de ia variable dependiente y cuando x cambia en una cantidad d x, mientras que d y es una aproximación a ese aumento o disminución (Ay). TOPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN I Ejemplo 48. Si / ( x ) = x 2, calcule A y A d y para x = 3 y Ax = 0,3. Solución a) Ay = / ( 3 + 0,3) - / ( 3 ) = /( 3 ,3 ) - / ( 3 ) = 10,89 - 9 = 1,89 Este resultado nos indica que si y = x 2, el valor y aumenta en 1,89 cuando x cambia de 3 a 3,3. b) d y = / '( x ) . d x = / '( 3 ) . dx = (6). (0,3) = 1,8 Este resultado nos indica que si y =; x 2 , el valor y aumenta aproximadamente en 1,8 cuando x cambia de 3 a 3,3. En este ejemplo, se observa que la diferencia entre Ay y d y es de 0,0°. Ejemplo 49. Si la longitud del radio de un círculo es 8.25 cm y el error máximo posible al medirlo es de ± 0,05 , ¿cuál es el error cometido al calcular el área? Solución Área del circulo: A (r ) = n r 2 Como 7\ = 8,25 y A r = ± 0,05, entonces el incremento de A es A A = n (r x +A r ) 2 — n r 2 = nA r{2 rx + A r) = 7r(±0,05)(16,5 ± 0,05) Luego, A A = 0.82757T cm 2 (incremento por exceso) ó A A = — 0,827571 cm 2 (incremento por defecto) Ejemplo 50. Si y = ó V x * , calcule d y en cualquier punto x. Solución Se tiene: dy = / '( x ) ■ dx = ( 8 Vx) • dx 236 DERIVADAS 5.10.2 PRO PIED A D ES DE LA D IFER EN C IA L DE UNA FUNCIÓN Proposición 7. Sean u = / ( x ) y v = g ( x ) funciones derivables y c una constante, entonces 1) d (c ) = 0 2) d (c ■ u ) = c ■ d u 3) d (u ± v ) = d u ± d v 4) d (u • v) = u d y + v d u {U\ v d u - u d v 5) d ( - J = ------—------, siem pre que v * 0 Demostración. Ejercicio para el lector. 4x Ejem plo 51. Si / ( x ) = halle d /( x ) . v 2 + x 2 Solución Teniendo en cuenta que d f { x ) = f ' { x ) d x , basta hallar la derivada / '( x ) y multiplicarlo por la diferencial de la variable independiente dx. Observación 7. (Estimación del error) Sea x el valor medido de una variable y x + Ax su valor exacto. Entonces, el error de medición en la medida de la variable x es Ax = (x + Ax) — x = dx Ahora, si el valor medido x se utiliza para calcular el valor de y = /( x ) , entonces el error transmitido en la medida de la variable y es A y = / ( x + Ax) - / ( x ) Este error trasmitido se aproxima (o se estima) mediante la diferencial de y = f ( x ) , esto es. A y = d y = / '( x ) dx Para determinar si el error transmitido es grande o pequeño, se usa el error relativo y el error porcentual de y = /( x ) . Estos errores son dados por a) E .R { f( x ) ) = - s — (error r e la tiv o ) / ( x ) f ( x ) ^ A / W d /( x ) b) E. P [ f ( x ) ) = x 100% = ———- x 100% (erro r p o rcen tu a l) /(.x ) ¡ \%) 237 TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN i Ejemplo 52. La altura de un paralelepípedo de base cuadrada es 15 cm. Si el lado de la base cambia de 10 a 10,02 cm, calcule el cambio aproximado de su volumen usando diferenciales. Además, halle el error relativo y el error porcentual. Solución El volumen del paralelepípedo es V = x 2h. Como h es constante y x variable, tenemos V = 1 5 x 2 y dV = 30x d x En nuestro caso, x — 10 y d x = 0,02. Luego, dV = 6 cm 3. Por tanto, el volumen sufre aproximadamente un aumento de 6 c m 3. Los errores relativo y porcentual son, respectivamente: dV 30 x d x 3 0 (10)(0,02) E R{-V^ T = ^ = 1 5 (1 0 )2 ~ = 0,004 dV E .P (V ) = — x 100 = 0,4% Ejemplo 53. Es necesario construir una caja cúbica que tenga la capacidad de 8000 dm 3. Use diferenciales para estimar el error en la medida de la arista interior, a fin de que el volumen sea correcto dentro de una aproximación de 12 dm 3. Solución El volumen de un cubo es V = a 3. Como el volumen de la caja es de 8000 dm 3. se obtiene a = 20. dV Por otro lado, dV = 3 a2 da => da = — - 3 a2 Como dV = 12 y a = 20, entonces da = 0,01. Esto significa que la arista debe ser medida con una aproximación < 0,01dm . Ejemplo 54. Mediante diferenciales, aproxime la raíz quinta de 3127. Solución Sea f ( x ) = Vx, entonces en a = 3125 se tiene que / ( a ) = V 3125 = 5. Si a 4- Ax = 3127 =* Ax = 2 = d x. Como / ( a 4- Ax) = / ( a ) 4- f \ a ) d x , se tiene /( 3 1 2 7 ) s /( 3 1 2 5 ) + / '( 3 1 2 5 ) ( 2 ) «=> v'3127 = 5 + ^ ^ ( 2) = 5,00064 El valor de V3127 que se obtiene por medio de una calculadora es 5,00063983. 2 3 8 DERIVADAS Ejem plo 55 Halle aproximadamente Solución 201 1 Sea f ( x ) = Vx . Como = 1 — consideramos « = l y A x = ~ = d* 1 1 Teniendo en cuenta que f '( x ) = - 6/7, se tiene f ' ( 1) = -. 7 ' 7 . / 2 0 i \ Como / ( I + Ax) - / — / ( 1 ) + f { l ) d x , entonces tenemos /2 0 1 \ 1 / 1 \ 1413 / Í2 0 2 J ^ 1 + 7 ( - 2 0 2 ) = I Í 1 4 = ° '9 9 9 2 9 2 7 8 6 - EJERCICIOS En los ejercicios del 1 al 5, halle Ay, d y y E = A y - d y para los valores de a y Ax indicados. 1) f ( . x ) = x 2 + S x , a = - l y Ax = 0,02 2) f ( x ) = x 3 + 3x 2 - 6 x - 3 , a = 2 y Ax = 0,01 3 ) f ( x ) = — — , a = 0 y Ax = 0,1 1 + x 1 4) / ( x ) = — , a - 4 y dx - 0,01 Vx x 3 5) f (x) — ~ ; — , a ~ 1 y dx = 0,3 x 2 + 1 En los ejercicios del 6 al 12, halle la diferencial de la función, ó) ; ( x ) = 4 x 3 T 5 x 2 4- 1 7) / ( x ) = 3 x 2 4- 2Vx 3a x ¡t2 4- 1 8> = m = i») m = — V-S 4- 1 . . . . 4xS gn(x2 - 1) 8dx 11) / ( x ) = — — ■ x 6 (4; 6> R. V lx /2 ] 4 -x 2 ' ’ ' (2 + x 2) 3/ 2 !2 ) / W = [ í l + i x - [ ^ J , I £ (0;7) R. ^ 2 3 9 TÓPICOS DE CALCULO - VOLUMEN I En los ejercicios del 13 al 17, estime el valor que se indica aplicando diferenciales. 13) / O ) - x 3 + 2 x 2 - x + 1 , /(3 ,0 0 2 ) 14) / ( x ) = X 4 + 5 ^ 2 - 4 , / ( —2,97) V5 + 2x 15) / ( x ) = ----------- , /(2 ,0 2 4 ) 16) / ( x ) = \ 1 — x T T x • V 4 x + 1 17) f M = ^ T T ’ /(1,91) En los ejercicios del 18 al 23, estime el valor aproximado de: 18) y/35,5 19) V7-45 20) (8,01)4/3 + (8,O I)2 3 ^ = = 21) V82 + V82 22) 3v'63 H— 23) V1020 2 v 6 3 24) Use diferenciales para estimar los valores de x para los cuales a) V x T T - Vx < 0,01 R. x > 2500 b) V x T T - Vx < 0,002 R. x > Solución (a) (a) Si / ( x ) = Vx => A / ( x ) = / ( x + A x ) — / ( x ) = / ( x + 1) - f ( x ) Luego, Ax = 1 — dx. Como A / < 0,001 y A /(x ) = / '( x ) d x , entonces / '( x ) f ' x < 0,01 =5 < 0,01 =* x > 2500. 2 Vx 25) El diámetro de una esfera es 9 cm. Al medirlo, se introduce un posible error de ± 0,05 cm ¿Cuál es el error porcentual posible en el cálcuio del volumen? 26) La altura de un cono recto circular es el doble del radio de la base. Al efectuar una medición, se halló que la altura es de 12 pulgadas con un error posible de 0,005 pulgadas. Halle el error aproximado en el cálculo del volumen del cono. R. 9 ít/ 4 0 p u l g 3 2 4 0 27) Una caja metálica de forma cúbica de 64 pulg3 de volumen interior tiene por caras planchas de 1/4 pulgada de espesor. Si el costo del metal a emplearse es de S8 por pulg3, halle el costo aproximado del metal que se empleará en la construcción de la caja aplicando diferenciales. R. S 96 28) Un tanque cilindrico abierto tiene una capa exterior de 1/32 pulg de espesor. Si el radio interior es de 6 pulg y la altura 10 pulg, aplicando diferenciales, determine aproximadamente la cantidad de pintura que se requiere para recubrir el tanque. R. 1 5 7 r/4 p u lg 3 29) Se quiere construir un recipiente de forma cúbica de 1000 p u lg 3 de volumen, cuyas caras son de un material que cuesta $ 2/pulg3 ¿Con qué exactitud se debe construir la arista de cada cara para que el costo total del material sea el correcto, con una tolerancia de $ 50? R. error de 5/24 pulg 30) Se mide el diámetro de una esfera y con el resultado se calcula el valor de su volumen. Si el máximo error posible al medir el diámetro es 0,02 cm y el error máximo aceptable al calcular el volumen es de 3 cm 3, ¿cuál es el diámetro aproximado de la esfera más grande a la que puede aplicarse estas condiciones? DERIVADAS R. 10V 3/7rcm 31) Un cilindro circular recto tiene 10 cm de altura. Si el radio cambia de 2 a 2,06 cm, calcule el cambio aproximado correspondiente al volumen del cilindro y halle el error porcentual del cambio en el volumen. 32) En determinada fábrica, la producción es Q( K) = 4 0 0 K 1/2 unidades, donde K representa la inversión de capital de la empresa. Estime qué incremento porcentual se generará en la producción a partir de un aumento del 1% en la inversión de! capital. R. 0,5 % 33) En una refinería de petróleo, los tanques para almacenar el combustible tienen la forma de un cilindro circular cuya altura es el triple del radio de la base. Al medir la altura de uno de los tanques, se obtiene 15 m con un error posible de 0,06 m. Aplicando diferenciales, determine el error al calcular el volumen. Además, indique el error porcentual en el cálculo del volumen. R. 9 n /2 m 3 y 1,2 % 241 34) En una planta industrial, se utilizan 10 recipientes esféricos de hierro de radio externo de 6 pies y de grosor 1/4 de pulgada. Usando diferenciales, a) Determine el peso del hierro utilizado en la construcción de recipientes si el peso del hierro es de 450 libras por pie cúbico. b) Calcule el costo del hierro utilizado si una libra de hierro cuesta S/. 100. c) Obtenga el error relativo y porcentual de la cantidad de hierro utilizado en la construcción de un recipiente. R. a) 13500 7r libras b) S/. 1350000 n c) 1/96 y 1,04% In(-) 35) Sea f ( x ) = x W , p ,q > 0. Suponga que el error porcentual en el cálculo de / (x) es aproximadamente 0,8 % cuando el error porcentual de x es 0,2%. Mediante diferenciales, halle p y q, sabiendo que p + 4 e 4q = 2 0 e 4. R. p = 4 e 4 y q = 4 36) Un gerente de ventas estima que su equipo venderá 10000 unidades durante el próximo mes. El cree que su estimación es precisa dentro de un error porcentual del 3%. Si la función utilidad es u ( x ) = x - (4 x 10~5) x 2 dólares, donde x es el número de unidades vendidas por mes, calcule el error porcentual en la utilidad estimada. R. I % 37) Calcule el volumen de una esfera de radio igual al de la base de un cono circular recto, sabiendo que se usa el mismo instrumento de medida y que a' calcular el perímetro del cono se comete un error de 0,3 7r cm y un error de 15 % cuando se mide su volumen. Considere la altura y el radio de la base del cono de igual longitud. R. 36 n cm 3 38) Pruebe que el error relativo de un número elevado a la n-ésim a potencia es n veces el error relativo del mismo número. 39) La ecuación de demanda de un producto de un monopolista es p = —l donde p es el precio de cada unidad cuando se demandan x unidades. Si en la actualidad se demandan 25 unidades, aplicando diferenciales, estime el precio del producto cuando se tiene una demanda de 27 unidades. 40) En cierta fábrica, la producción diaria es q(L ) = 300L2/3 unidades, donde L es la fuerza laboral medida en horas de trabajo por día. Se sabe que en la actualidad se utilizan 512 horas de trabajo cada día. Aplicando diferenciales, estime la cantidad adicional de horas de trabajo necesarias para incrementar la producción diaria en 12,5 unidades.