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CURVAS EN EL PLANO - LUGARES GEOMÉTRICOS EJERCICIOS RESUELTOS MATEMATICAS 2 BACHILLERATO PDF

1. Escribe las ecuaciones implı´cita y explı´cita de la recta cuyas ecuaciones parame´tricas son: x 2t 1 y 4 3t 2. Escribe la ecuacio´n implı´cita de la circunferencia cuyas ecuaciones parame´tricas son: x 1 2 cos t y 2 2 sen t 3. Escribe las ecuaciones parame´tricas de la recta 2x 3y 4 0. 4. Escribe las ecuaciones parame´tricas de la circunferencia 2x 2 2y 2 3 0. 5. Halla la ecuacio´n implı´cita de la elipse cuyas ecuaciones parame´tricas son: x 2 cos t y 4 sen t 6. Halla la ecuacio´n implı´cita de la hipe´rbola cuyas ecuaciones parame´tricas son: 2 x cos t y 4 tgt 7. Escribe las ecuaciones implı´cita y explı´cita de la para´bola cuyas ecuaciones parame´tricas son: x t 2 y 2t 3t 2 8. Escribe las ecuaciones parame´tricas de la elipse 9x 2 4y 2 36 0. 9. Escribe las ecuaciones parame´tricas de la hipe´rbola 25x 2 144y 2 3 600 0. 10. Escribe las ecuaciones parame´tricas de la para´bola y 2x 2 5x 10. 11. Pasa a coordenadas polares los puntos A y B (3, 3). 2, 4 12. Pasa a coordenadas cartesianas los puntos A y B . 3 2, 2, 4 4 13. Determina la ecuacio´n en coordenadas polares de la circunferencia x 2 y 2 36. 14. Determina la ecuacio´n en coordenadas rectangulares de la circunferencia r 8 cos . 1. Despejando t en las dos ecuaciones: t x 1 4 y 2 3 Ecuacio´n impli ´cita: 3x 2y 5 0 5 3x Ecuacio´n expl i ´cita: y 2 2. Despejando sen t y cos t y calculando la suma de sus cuadrados, se obtiene: sen2 t cos2 t 1 (y 2)2 (x 1)2 4 4 Ecuacio´n implı´cita: x 2 y 2 2x 4y 1 0 3. Punto: P ( 2, 0) Vector direccional: u (3, 2) Ecuaciones parame´tricas: x 2 3t y 2t 4. 2x 2 2y 2 3 0 x 2 y 2 3 2 Ecuaciones parame´tricas: 3 x cos t 2 3 y sen t 2 5. Despejando sen t y cos t y realizando la suma de sus cuadrados, se obtiene: sen2 t cos2 t 1 y 2 x 2 16 4 Ecuacio´n implı´cita: 4x 2 y 2 16 0 6. Recordando las fo´rmulas fundamentales de trigonometrı ´a: 1 tg2 t 1 1 y 2 x 2 cos2 t 16 4 Ecuacio´n implı´cita: 4x 2 y 2 16 0 7. Sustituyendo el valor de t : Ecuaci´on expl´i cita: y 2x 2 3x 2 2 Ecuacio´n impli ´cita: 2x 3x y 2 0 8. 9x 2 4y 2 36 0 1 x 2 y 2 22 32 Ecuaciones parame´tricas: x 2 cos t y 3 sen t 9. 25x 2 144y 2 3 600 0 1 x 2 y 2 122 52 Ecuaciones parame´tricas: x 12 sec t y 5 tgt 10. Las ecuaciones parame´tricas de la para´bola y 2x 2 5x 10 son: x t 2 y 2t 5t 10 11. A (r, ): r x 2 y 2 32 32 3 2 y 3 arctg arctg x 3 4 A 3 2; 4 B (r, ): r x 2 y 2 32 ( 3)2 3 2 y 3 7 arctg arctg x 3 4 B 7 3 2; 4 12. A (x, y ): x r cos 2 cos 2 4 y r sen 2 sen 2 4 A ( 2, 2) B (x, y ): 3 x r cos 2 cos 2 4 3 y r sen 2 sen 2 4 B ( 2, 2) 13. (r cos )2 (r sen )2 36 r 2 (cos2 sen2 ) 36 Ecuacio´n en polares r 6 14. tg y x cos 1 1 x 1 tg2 y 2 x 2 y 2 1 2 x La ecuacio´n de la circunferencia en coordenadas polares es: x 2 y 2 8x 0 8x x 2 y 2 x 2 y 2 1. a) Se consideran los puntos P y Q cuyas coordenadas polares son P(rp , p) y Q(rq , q). Deduce una fo´rmula que permita calcular la distancia que separa dichos puntos en funcio´n de dichas coordenadas. b) Calcula la distancia que separa los puntos P y Q cuyas coordenadas polares son: P y Q . 4 5, 4, 9 9 2. a) Se considera el tria´ngulo de ve´rtices OAB cuyas coordenadas polares son O(0, 0), A(rA , A) y B(rB, B), y tales que A y B son puntos del primer cuadrante y B A. Deduce una fo´rmula que permita calcular la medida de la altura relativa al lado OA en funcio´n de dichas coordenadas. b) Deduce una fo´rmula que permita calcular el a´rea del tria´ngulo en funcio´n de dichas coordenadas. c) Calcula el a´rea del tria´ngulo determinado por los ve´rtices OAB cuyas coordenadas polares son: O(0, 0), A y B 5 2, 3, 9 18 3. Eliminando t en la ecuaciones parame´tricas , escribe la correspondiente ecuacio´n implı´cita. x 2 cos t 3 y 3 sen t 2 Indica la figura geome´trica que representa. 4. Eliminando t en la ecuaciones parame´tricas , escribe la correspondiente ecuacio´n implı´cita. 2t x 1 t 3 2t 2 y 1 t 3 5. Un objeto se lanza con una velocidad inicial v0 y formando e´sta un a´ngulo con la horizontal. La posicio´n del objeto, con respecto al tiempo t, viene dada por las ecuaciones parame´tricas: x v cos · t 0 1 y v sen · t g · t 2 0 2 siendo g el valor de la aceleracio´n de la gravedad. a) Determina la ecuacio´n implı´cita de la trayectoria del mo´vil. b) Interpreta la forma de dicha trayectoria. c) Suponiendo que 30 , v0 500 m/s y g 9,8 m/s2, calcula la distancia horizontal recorrida por el objeto y la duracio´n del movimiento. 6. Determina la ecuacio´n en coordenadas polares de la hipe´rbola 1 x 2 y 2 4 4 7. Halla la ecuacio´n en coordenadas polares de la elipse 1 x 2 y 2 4 3 8. Halla la ecuacio´n en coordenadas polares de la para´bola x 2 2y 1. a) Aplicando el teorema del coseno: d (Q, P) r 2 r 2 2 · r · r · cos ( ) q p q p q p b) Aplicando la fo´rmula anterior: d (Q, P) 4 42 52 2 · 4 · 5 · cos 9 1 16 25 40 · 21 2 2. a) sen ( B A) h rB · sen ( B A) h rB b) Superficie · rA · rB · sen ( B A) r · h 1 A 2 2 c) Superficie · 2 · 3 · sen 1 5 2 18 9 3 · sen uc 3 6 2 3. cos2 t sen2 t 1 2 2 x 3 y 2 2 3 1 (x 3)2 (y 2)2 22 32 Elipse centrada en el punto ( 3, 2) y de ejes paralelos a los ejes de coordenadas. La medida de los ejes es: 2a 4, 2b 6 4. Despejando 1 t 3 en las dos ecuaciones: 1 t 3 t 2t 2t 2 y x y x Sustituyendo en la primera ecuacio´n: x : 2y y 3 2yx 2 1 3 x x x 3 y 3 x 3 y 3 2xy 0 5. a) t x v0 cos y v0 sen · g 2 x 1 x v0 cos 2 v0 cos tg · x x 2 g 2v 2 cos2 0 b) y tg x x 2 es una para´bola de g 2v 2 cos2 0 eje paralelo al eje de ordenadas y abierta hacia abajo. c) x (500 cos 30 )t 250 3 t 2 2 y (500 sen 30 )t 4,9t 250t 4,9t Para y 0: momento inicial t 0 250 momento final t 51 s 4,9 x 250 3 · 51 22 083,6 m El alcance es de aproximadamente 22 083 metros, y la duracio´n del movimiento es de aproximadamente 51 segundos. 6. Haciendo x r cos , y r sen , se obtiene: 1 r 2 cos2 r 2 sen2 4 4 r 2 (cos2 sen2 ) 4 r 2 cos 2 4 7. Haciendo x r cos , y r sen , se obtiene: 1 r 2 cos2 r 2 sen2 4 3 3r 2 cos2 4r 2 sen2 12 8. Haciendo x r cos , y r sen , se obtiene: r 2 cos2 2r sen r cos2 2 sen 0 Y O 1 1 Q P X αQ αP rQ rP Y O 1 1 A h B X