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CONTEO DE NÚMEROS Y DE CIFRAS EJERCICIOS RESUELTOS DE ARITMÉTICA PREUNIVERSITARIA EN PDF













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Sucesión: Es una función cuyo dominio son los números entero positivos. Ejemplo: f(n) = n 1 2 3 4 5 ... 50 f(n) 3 2 5/3 3/2 7/5 ... 26/25 También se dice que en una sucesión es el ordenamiento de números o cantidad que tienen una regla de formación. * Serie. Es la suma de los términos de una sucesión Ejemplo: P=3+2+5/3+3/2+7/5+...+26/25 * Progresión Aritmética (P.A) de 1º Orden Es una sucesión donde la diferencia de 2 términos consecutivos es un valor constante llamado razón. Ejemplo: P.A. 4,6,8,10,12.......... (CRECIENTE) P.A.: ½,1,3/2,2,5/2,.....(CRECIENTE) P.A.:25,23,21,19 ......(DECRECIENTE) NOTACION: P.A.: a1, a2, a3,... an a1 = 1º término an = último término n :  términos r : razón En general: an = a1 + (n-1) r CONTEO DE NUMEROS Fórmula para hallar el número de términos en una progresión aritmética. Ejemplo: Determinar el número de términos en: a) 24, 27, 30, ..., 726   término = 2) Cuántos términos tiene la progresión aritmética a) 7,9,11,...,421 Rpta. 208 b) 12,17,22,...527 Rpta. 104 Observación Dada la P.A. P.A. a1,a2,a3,.....ap,....aq,.......an p términos q términos Siempre se cumple: i) La suma de los términos equidistantes de los extremos siempre es constante a1 + an = ap + aq ii) Término Central (ac) * Si n es impar * Si n es par y no hay término central a1+an = ap + aq SUMA DE UNA PROGRESION ARITMETICA * Progresión Aritmética 2º Orden Sea la Sucesión: C  a0, a1, a2, a3, a4,......an B  b0, b1, b2, b3, ......bn A  c1, c1, c1, .........c1 Pivot Principal Pivot Secundario S = Cantidad de cifras en una serie natural Dada la sucesión 1,2,3,4,5,....(N-1), N N numeral de “k” cifras entonces Nº cifras = (N + 1)k – 111....1 K cifras Ejemplo: Cuantas cifras se usan en la numeración de un libro de 350 hojas. Resolución: 350 hojas = 700 páginas La numeración es: 1,2,3,4,...,700 Nº cifras = 701 x 3 – 111 = 2103 – 111 Nº cifras = 1992 Ejemplo: Determinar la cantidad de cifras a) Del 1 al 38 b) Del 1 al 324 c) Del 1 al 3999 Análisis Combinatorio Se reconoce del siguiente modo: ¿Cuántos numerales de esta forman existen? a) ¿Cuántos números de 3 cifras existen? Sea N = a  0    1 0 0 2 1 1 . . . . . . 9 9 9 9x10x10 = 900 números b) Cuántos numerales de esta forma existen Rpta. 1026 números Método Combinatorio a) ¿Cuántos números pares de 3 cifras existen? b) ¿Cuántos números capicúas de 5 cifras tienen un sólo “6” en su escritura? c) ¿Cuántos números de la forma existen? Resolución: a) b) 1 0 0 1 0 6 2 1 2 2 1 3 2 4 3 2 . . 6 . . . . 8 . . 9 9 6 6 se excluyen 9.10.5=450 . . . . . . 9 9 8. 9.1 = 72 c) 1 2 2 3 3 4 . . . . . . 6 8 6 x 7 = 42 d) ¿Cuántos números de 3 cifras, se escriben con un 8, con 9 y algunas otra cifra diferente de los anteriores? Resolución: CASOS 8 9 a 8 a 9 a 8 9 0 0 1 1 1 2 2 2 . . . . . . . . . . 7 7 7 Permutando 8x 8x 7x 8 y 9 2 2 2 16 16 14 Cantidad de números = 46 PROBLEMAS PARA RESOLVER EN CLASE 1. Calcular cuantas cifras tiene el término de lugar 77 de la siguiente progresión 42(6); 45(6); 52(6);........ a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 2. ¿Cuántos términos tiene la siguiente secuencia 8(60); 9(59); (58); (57) :..... a) 17 b) 18 c) 19 d) 25 e) 26 3. Hallar el término de lugar de la siguiente progresión aritmética ;...... a) 302 b) 303 c) 352 d) 402 e) 403 4. ¿Cuántos términos tiene la siguiente progresión aritmética? a) 14 b) 18 c) 23 d) 24 e) 72 5. ¿Cuántos términos tiene la siguiente secuencia? 100111; 111122; 122133; .., a) 70 b) 80 c) 90 d) 101 e) 110 6. Si los términos “a” y “a + 1” de una progresión aritmética son 251 y 259 respectivamente. Hallar la suma del primer y último término de la serie sabiendo que antes del término del lugar “a” hay 30 términos y después del término de lugar “a+1” hay 45 términos. a) 330 b) 339 c) 397 d) 630 e) 679 7. En la siguiente sucesión 13x; 24(x+1); 35(x+2);....... Se cumple que la diferencia entre el 18avo y décimo término es 264. Calcular la suma de cifras correspondientes a la base duodecimal. a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 e) 20 8. Hallar el máximo valor que puede tomar el último término de la siguiente progresión aritmética a) 859 b) 869 c) 879 d) 889 e) N.A. 9. Si la siguiente progresión aritmética Tiene 57 términos. Hallar a+b+m+n a) 20 b) 21 c) 22 d) 23 e) 25 10. Los siguientes números se llaman “números triangulares” 1;3;6;10; ....... Cuál es el vigésimo número triangular? a) 180 b)210 c) 215 d) 220 e) 246 11. Determinar el número de términos de la siguiente progresión 8;18;38;68; ......., 1908 a) 16 b)17 c)18 d)19 e)20 12. Cuando tipos de imprenta se emplearon para imprimir la siguiente secuencia. 10077; 10078;10079;....;100300 a) 941 cifras b)1321 cifras c) 1426 cifras d) 1584 cifras e) 2403 cifras 13. Si se escribe la serie de los números naturales a partir del 1, sin separar las cifras. ¿Cuál es en esta serie la cifra que ocupa el 1992º lugar? a) 0 b)1 c) 2 d) 5 e)6 1. Si el término avo de la siguiente serie aritmética es . Calcule “a +b” si: 30;…;48;51… A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 2. Dada la siguiente progresión aritmética: “n” términos Halle: a+b+n A) 15 B) 16 C) 17 D) 18 E) 19 3. ¿Cuántos términos tiene la siguiente progresión aritmética: A) 26 B) 17 C) 20 D) 19 E) 22 4. En la numeración de las páginas impares de un libro se han empleado 440 tipos de imprenta. ¿Cuántas páginas puede tener el libro? A) 165 B) 330 C) 320 D) 145 E) 325 5. Al escribir la secuencia adjunta que tiene 113 términos. ¿cuantas cifras en total se han utilizado? A) 664 B) 665 C) 620 D) 653 E) 655 6. Las 72 primeras páginas de un libro utilizan 69 tipos de imprenta menos en su numeración que las utilizadas por las 72 últimas ¿Cuántas páginas tiene el libro? A) 159 B) 157 C) 148 D) 195 E) 185 7. En la siguiente serie, halle el término que ocupa el lugar ante penúltimo. 3, 9, 17, 27,……., 699 A) 559 B) 597 C) 647 D) 649 E) 585 8. ¿Cuántos números de la forma: existen? A) 960 B) 2160 C) 3200 D) 3600 E) 2400 9. En que sistema de numeración existen 136 números de las formas: A) 16 B) 17 C) 18 D) 19 E) 20 10. ¿Cuántos números de tres cifras existen, que tengan por lo menos una cifra par y por lo menos una cifra impar? A) 500 B) 625 C) 675 D) 635 E) 600 11. ¿Cuántos números capicúas existe entre 800 y 80000? A) 900 B) 800 C) 700 D) 750 E) 810 12. ¿Cuántos números de 10 cifras hay en base 16 tal que el producto de sus cifras sea 30? A) 990 B) 800 C) 720 D) 500 E) 600 13. ¿En que sistema de numeración hay 66 números capicúas de 5 cifras, que exactamente tenga 2 veces la cifra 2 en su escritura? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 14. Se escriben en forma consecutiva los números enteros positivo uno a continuación del otro hasta emplear 2226 cifras. ¿Cuál es la cifra que ocupa el último lugar? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 15. Un libro se empieza a enumerar desde una primera página y se observa que 58 números comienzan con la cifra 7. ¿Cuántos números escritos terminan con la cifra 7? A) 76 B) 67 C) 70 D) 74 E) 73 16. Se han arrancado las 50 últimas hojas de un libro, notándose que el número de tipos de imprenta que se han utilizado en su numeración, ha disminuido en 361. ¿Cuántos tipos de imprenta se han utilizado en la numeración de las hojas que quedaron. A) 2 661 B) 2 771 C) 2 769 D) 2 772 E) 2 774 17. Si de los números del 1 a 1000, no se marca ni un solo número que contenga la cifra 4 ó la cifra 7 ¿Cuántos números se marcan? A) 506 B) 510 C) 511 D) 512 E) 515 Un libro tiene entre 100 y 1500 páginas, si en las 40 últimas páginas utiliza 155 cifras ¿Cuántas cifras tendría si se enumerara en el sistema octal? A) 3555 B) 4005 C) 3750 D) 4125 E) 4325 18. Sea la P.A.: donde el término del trigésimo lugar de la P.A. es . Halle (a + b + c + d). A) 26 B) 24 C) 30 D) 25 E) 13 19. Halle la diferencia de las bases de 2 sistemas de numeración; si uno tiene 56 números capicúas de 3 cifras más que el otro, y que la suma de dichas bases es 15. A) 5 B) 4 C) 3 D) 6 E) 7 20. Una persona empieza a numerar las páginas de un libro desde el número 4000, se detiene en el número que representa la cantidad de cifras utilizadas. Dar la suma de las cifras del último número. A) 12 B) 13 C) 11 D) 14 E) 15 21. Al enumerar las páginas de un libro en base siete se emplean 996 cifras. Indicar la suma de las cifras del numeral correspondiente a la última página. A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8