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APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA EJERCICIOS RESUELTOS MATEMATICAS 2 BACHILLERATO PDF

1. Representa la curva y y halla el valor del a´rea limitada por esa curva, el eje OX y las rectas 1 1 x 2 x 1 y x 1. 2. Sea el polinomio P (x ) x 3 ax 2. a) Determina el valor de a de modo que en x 1 la funcio´n P (x ) tenga un punto de inflexio´n. b) Halla el valor del a´rea del recinto limitado por la gra´fica de P (x ) y el eje OX. 3. Halla el a´rea limitada por la gra´fica de la funcio´n f (x ) Lx y las rectas x 1, x . 5 2 4. Halla el a´rea comprendida entre las gra´ficas de las funciones f (x ) x 2 2x 3 y g (x ) 2x 2 4x 3. 5. Calcula el volumen del cuerpo que se obtiene al girar la curva y alrededor del eje de abscisas entre 1 2 x 2 x 0 y x 2. 6. Se consideran las funciones: f (x ) x 2 1 g (x ) . x 1 si x 0 x 1 si x 0 a) Dibuja las gra´ficas de ambas funciones en los mismos ejes de coordenadas. b) Calcula el a´rea del recinto acotado limitado por las gra´ficas de ambas funciones. 7. Calcula el volumen del so´lido de revolucio´n obtenido al girar alrededor del eje el recinto limitado por la gra´fica de la funci´on y x sen x, con 0 x , y el eje OX. 1 1 Y O X y = x sen x 10 5 4 8. El a´rea de una elipse de semiejes a y b es S · a · b. Calcula el volumen de una superficie cilı´ndrica que tiene por base una elipse de semiejes 5 y 4 cm, respectivamente, y por altura 10 cm. 9. Un cuerpo de tres dimensiones tiene por base un cı´rculo de radio 5 cm. Todas las secciones perpendiculares a un dia´metro fijo de dicho cı´rculo son cuadrados. Halla el volumen del so´lido. SOLUCIONES 8. Las secciones que se obtienen al cortar el cilindro por planos paralelos a la base son siempre elipses de a´rea A(x ) 4 · 5 · 20 . Por tanto: V 20 dx 20 · [x ] 20 · 10 10 10 0 0 200 unidades cu´bicas. 9. Las secciones que se obtienen al cortar el cuerpo por planos perpendiculares al dia´metro son cuadrados de lado 2 25 x 2 y por tanto: 5 x A(x ) 4 · (25 x 2) El volumen se puede calcular mediante la integral: V 4 · (25 x 2) · dx 4 5 x 25x 3 5 1. Se considera la funcio´n f (x ) ax 3 bx 2 cx d. a) ¿Que´ valores deben tomar a, b, c y d para que posea un ma´ximo en el punto (1, 2), y un mı´nimo en el punto ( 1, 2)? b) ¿Tiene esta funcio´n algu´n punto de inflexio´n? En caso afirmativo, determina la ecuacio´n de la recta tangente a la curva en ese punto. c) Calcula el valor del a´rea de la regio´n limitada por la gra´fica de la funcio´n f (x ) y el eje de abscisas. 2. Calcula el valor de a sabiendo que la para´bola y ax 2 y la cu´bica y x 3 se cortan en el primer cuadrante encerrando una regio´n limitada de a´rea igual a a. 2 3 3. Dadas las funciones siguientes: f (x ) g (x ) cos 1 1 1 1 1 x 1 1 x 1 1 x 1 2 1 1 1 x a) Halla f (x ). b) Calcula el valor del a´rea de la figura encerrada por las curvas y f (x) e y g (x ). 4. Halla el volumen engendrado por la regio´n limitada por las para´bolas y x 2 y x y 2 al girar alrededor del eje de abscisas. 5. Calcula el volumen del so´lido de revolucio´n determinado por la regio´n comprendida entre las rectas x 0 y x 2 y las curvas f (x ) (x 2)2 y g (x ) x 2, al girar alrededor del eje OX. 6. Calcula el valor de a sabiendo que el a´rea del recinto plano limitado por las gra´ficas de las funciones f (x ) x 1 y g (x ) ax a es igual a una unidad cuadrada. 7. Se considera la para´bola de ecuacio´n y x 2 x 1 y la recta de ecuacio´n y x a: 1 3 4 4 a) Encuentra el valor de a para que uno de los puntos de corte de la para´bola y la recta sea el (4, 1). b) Para el valor hallado, encuentra todos los puntos de corte de ambas funciones. c) Para este mismo valor, representa gra´ficamente la para´bola y la recta y calcula el a´rea de la regio´n limitada por las dos funciones. 8. Calcula el volumen del so´lido de revolucio´n que se obtiene al girar la regio´n plana limitada por la gra´fica de la funcio´n f (x ) y las rectas x 1 y x 1. 1 1 x 2 1 1 + x2 y = Y –1 O 1 X 1 9. Cuando el caudal que mana de un grifo es una funcio´n cualquiera del tiempo, el volumen arrojado a lo largo de un cierto intervalo de tiempo coincide con el a´rea limitada por la funcio´n caudal y el eje de abscisas y, por tanto, se puede calcular con la ayuda de una integral definida. Se considera la funcio´n c 4 t · (t 2) que representa el caudal que mana de un can˜o, donde c se mide en litros/minuto y t en minutos. Calcula el volumen que se consigue recoger en un pilo´n desde el instante t 0 hasta el t 20 minutos. SOLUCIONES 1. Calcula el a´rea comprendida entre la curva f (x ) x 2 2x 5, el eje OX y las rectas x 0 y x 3. 2. Calcula el a´rea del recinto encerrado por la gra´fica de la funcio´n f (x ) 4 x 2 y el eje OX. 3. Calcula el a´rea limitada por la gra´fica de la funcio´n f (x ) x 3, el eje OX y las rectas x 1 y x 1. 4. Halla el a´rea de la regio´n encerrada entre la para´bola f (x ) x 2 1 y la recta y x 7. 5. Halla el a´rea limitada por la gra´fica de la funcio´n f (x ) 6 5x x 2 y la recta y 6. 6. Halla el a´rea limitada por la gra´fica de la funcio´n f (x ) xe x, el eje OX y las rectas x 0 y x 1. 7. Halla el a´rea determinada por la curva f (x ) x 3 y la recta y 4x. 8. Calcula el a´rea encerrada por la curva f (x ) y las rectas x 1 y x 3. x x 2 1 9. Calcula el a´rea encerrada por las para´bolas f (x ) x 2 2x y g (x ) 4x x 2. 10. Halla el a´rea encerrada por la gra´fica de la funcio´n f (x ) x 3 x 2 2x y su recta tangente en el origen. 11. Halla el a´rea de la regio´n encerrada por la funcio´n f (x ) 3x x 3 y el eje OX. 1. Halla el a´rea del recinto limitado por la para´bola f (x ) x y la recta y x. Haz un esquema gra´fico que te sirva de ayuda. 2. Halla el a´rea de la regio´n del plano limitada por las funciones f (x ) senx y g (x ) sen2x, entre x 0 y x . Haz un esquema gra´fico que te sirva de ayuda. 3. Halla el a´rea del recinto sombreado de la figura, donde la curva representa la funcio´n f (x ) Lx. 4. Una piscina se vacı´a a una velocidad que viene dada por la funcio´n v (t ) 4t, expresada en m3/min. Calcula t2 6 los metros cu´bicos de agua que han salido de la piscina entre el minuto 8 y el minuto 20. 5. Los beneficios de una empresa, en miles de euros, vienen dados por la funcio´n b(x) 6x 2 120x 264, donde x representa el nu´mero de an˜os que lleva funcionando la empresa. a) ¿En que´ an˜o alcanza sus ma´ximos beneficios? b) ¿Hay algu´n momento en que la empresa entre en pe´rdidas? c) Halla sus beneficios acumulados entre el tercer y el octavo an˜o de funcionamiento. 6. Un grifo llena de agua un depo´sito a una velocidad que viene dada por la funcio´n f (x ) , donde x se 10 (x 1)2 mide en segundos y f (x ) en litros/segundo. a) Calcula los litros de agua que habra´ en el depo´sito despue´s de 10 s. b) Si el depo´sito tuviese una capacidad de 9 litros, ¿cua´nto tiempo tardarı´a en llenarse?