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ALGEBRA Y FUNCIONES EJERCICIOS RESUELTOS DE PRIMERO DE SECUNDARIA PDF



Productos notables.  Factorización de expresiones algebraicas.  Ecuaciones literales, función lineal y afín.  Composición de funciones. Esta unidad se centra en el desarrollo de la capacidad de generalización de situaciones que derivan del trabajo con los números o con las formas geométricas, apoyada en la potencialidad del lenguaje algebraico para describir esas generalizaciones. También en la solución de ecuaciones de primer grado con coeficientes literales, como una generalización de las ecuaciones de primer grado con coeficientes numéricos. También focaliza la atención en el cálculo de factores y productos, se orienta al desarrollo de la capacidad de generalización apoyada en una sistematización del lenguaje algebraico. Se propone la enseñanza del cálculo de productos notables considerando como conocimientos previos la operatoria aritmética y el cálculo de áreas de rectángulos. En esta perspectiva se hace hincapié en el carácter generalizador aportado por el álgebra. Es importante dentro de esta unidad, el significado que proporciona la aritmética y la geometría en los procedimientos para calcular productos y realizar factorizaciones. Las funciones son sino el que más, uno de los temas principales dentro de toda la matemática, y se ha hecho un esfuerzo para estudiarlas como objetos, usando metáforas de máquinas y de otro tipo. Sin duda que las aplicaciones y utilización como modelos están presentes en el texto y con la debida importancia. ORIENTACIONES DIDÁCTICAS Esta Unidad y en particular sus actividades pretenden desarrollar en el estudiante habilidades que les permitan generalizar regularidades utilizando el lenguaje algebraico. También utiliza el lenguaje algebraico para interpretar y evaluar expresiones utilizadas en las ciencias. Es importante que el estudiante reconozca las ventajas de tener un lenguaje que le permite resumir información científica. El estudiante reconoce en el álgebra una herramienta muy útil para demostrar resultados generales. Las fórmulas en ciencias debieran ser un tema de exploración referente al comportamiento de unas variables respecto de otras. De nuevo, hay muchas actividades que son preguntas abiertas, del tipo: “¿Es cierto que...?” En estos casos es muy importante no darles las soluciones de inmediato. Insistimos en dar sólo algunas pistas que encaminen a la respuesta. Los trabajos en grupos y las discusiones de temas sociales, políticos o morales deben ser dirigidos hacia la tolerancia y respeto. Muy importante es valorar la diversidad de estrategias que surgen para resolver problemas o para modelarlos. En esta unidad se trata el tema de la “Obesidad”; será muy prudente hacer una introducción al tema para evitar las burlas a los estudiantes con sobrepeso. También será prudente tratar el tema de las enfermedades producidas por la desnutrición, como la bulimia y la anorexia. A continuación veremos algunas actividades referidas a las habilidades antes comentadas. Ejemplos de actividades • Reconocen y relacionan variables. En varias situaciones de la vida real y de las ciencias los estudiantes reconocen variables y las relacionan. En el problema de la cuenta de electricidad se lee: "Para calcular el valor mensual de la cuenta de electricidad, se miden los Kilowatts/hora consumidos en el mes. El valor de un KWH es de $68; además se cobra un cargo fijo de $509, independiente del consumo. Supongamos que en una casa se consumieron 181 KWH en el mes de enero". Es importante preguntar a los estudiantes, ¿cuáles son los valores que varían mes a mes? Los estudiantes debieran notar que ni el cargo fijo ni el valor del KWH varían en un periodo prolongado. De modo que mes a mes sólo varían el consumo y el valor de la cuenta. Preguntar a los estudiantes, ¿cuál es la relación entre esas variables?, es decir, si conocemos el consumo de un mes, ¿cuál será el valor de la cuenta? Completar la tabla de la actividad es relevante para notar la dependencia entre las variables. Si un estudiante propone una relación errada invitarlo a evaluarla para que se convenza de que efectivamente está equivocado. Es muy importante que el estudiante conozca, cree y desarrolle todos los medios de comprobación. Por lo que debe pedir a los estudiantes que sucintamente entreguen los argumentos que aseguren sus conclusiones. Conjeturen y describan, cada uno, una fórmula para calcular el número de manzanos y otra para el número de pinos para n filas de manzanos. La actividad pretende que los estudiantes se complementen y que cada cual confíe en el trabajo del otro. Como la fila de manzanos es la variable que estamos estudiando y en cada caso si hay n filas de manzanos, también hay n columnas de manzanos, entonces los manzanos son n2 . Los pinos forman el perímetro de un cuadrado de lado 2n +1, luego el perímetro del cuadrado es 4(2n +1) = 8n + 4 , pero como los pinos que están en los vértices del cuadrado, han sido contados dos veces es necesario restarlos de la cuenta, es decir la cantidad de pinos para cuando hay n filas de manzanos es 8n. Un error muy común es, pensar que una fórmula es cierta porque se comprueba en unos pocos casos. Por ejemplo, para todos los valores de n, que se muestran en la tabla, se tiene que la cantidad de pinos es mayor que la de manzanos, pero eso ocurre sólo hasta n = 8 y luego el orden se invierte. Es por esto que es tan importante realizar las preguntas que siguen en la actividad: ¿existe un valor de n para el cual el número de manzanos coincide con el de pinos? A medida que el agricultor vaya haciendo mayor el tamaño del huerto: ¿qué aumentará más rápido: el número de manzanos o el de pinos? Se sugiere que los estudiantes entreguen un informe de la actividad en parejas, donde expongan sus conclusiones y, muy importante, argumenten la elección de estrategias y den razones para justificar sus resultados. • Modelan diversas situaciones utilizando productos algebraicos. La modelación es una habilidad muy importante de desarrollar en nuestros estudiantes, sin embargo, suele ser muy difícil para ellos lograr expresar lo que piensan utilizando expresiones algebraicas. Es por esto que la guía del docente es fundamental, para lograr un conocimiento significativo y no provocar frustración entre los estudiantes. Además la modelación involucra una gran cantidad de habilidades: reconocer variables, simulaciones, reconocer en el modelo los valores realmente significativos, resolución de problemas, análisis de información, etc. A continuación presentamos un ejemplo: En un criadero de salmones, tienen 400 salmones de 2 kg cada uno, que los liberaran para que naden río arriba, para desovar. Los salmones aumentan en masa, 400 gr por cada kilómetro que nadan, pero mueren 4 salmones cada kilómetro. ¿Cuál es el valor de la masa M de la comunidad de salmones que quedan vivos después de x km de nado? Has una tabla de x versus M. Estima el valor de x que permite el máximo de masa de la comunidad de salmones. Se sugiere invitar a los estudiantes a responder dos preguntas: 1. ¿Cuál es la masa de un salmón después de x kilómetros? 2. ¿Cuántos salmones quedan vivos después de x kilómetros? Para la primera pregunta, invitar a responder “¿cuánto aumentó la masa de un salmón después de x kilómetros?” Como aumenta 400 g por kilómetro, después de x kilómetros, su masa aumentará 400x. Como al inicio, cada salmón pesaba 2 000 g, después de x km el salmón pesará 2 000 + 400x g. Para la segunda pregunta: como mueren 4 salmones por km, se tiene que después de x km, se han muerto 4x salmones. Recordar que al comienzo se tenían 400 salmones, por lo tanto después de x km, se tendrán 400 − 4x salmones. ERRORES FRECUENTES • -x es un número negativo. Este es un error muy común que es menester erradicarlo de nuestras aulas. No es cierto que −x sea un número negativo, sólo denota el inverso aditivo de x, que a veces es negativo y a veces es positivo, depende de x. Por ejemplo, si x es un número negativo, entonces −x es un número positivo. Este error es el culpable de que mucha gente piense que −x = x , lo cual es falso, en general. Del mismo modo si x < 0 , entonces x2 = −x , lo cual es cierto, pero hay muchas personas que encuentran esta última igualdad una aberración, pero se trata solamente de que creen que -x denota un número negativo. Para derribar ese mito, realice varios ejercicios numéricos que sirvan de contraejemplo para esa suposición. • Confunden “implica” con “equivalente”. Muchos estudiantes confunden estas palabras, lo cual lleva a grandes errores. Por ejemplo, cuando se dice: “Todo número que es múltiplo de 4 es par”, creen que el recíproco también lo es, es decir: “Todo número par es divisible por 4”. Otro ejemplo es: “Si a es divisible por 6 también lo es ab” lo cual es cierto, pero muchas personas creen que su recíproco también es cierto, es decir, “Si ab es divisible por 6 también lo es a” lo cual es falso. Es muy importante estar atentos y revisar con mucho cuidado los argumentos dados por los estudiantes. • Casos particulares permiten demostrar. Es muy común que los estudiantes den por cierta una afirmación, sólo porque la verificaron en unos pocos casos. Por ejemplo: si se les pide probar que la suma de un impar con un número par es un número impar, ellos suelen decir, “obvio, por ejemplo 2+ 3 = 5 es impar”. Es importante hacerles notar, que ese método no permite conocer todos los casos posibles, que los pares son infinitos, lo mismo que los impares y no podremos verificarlos todos, uno a uno, de modo que hay que encontrar una forma general de probar el resultado. Por ejemplo: 2n + 2m+1= 2(n +m) +1. • Los primeros términos de una secuencia, determinan la secuencia. Este error es muy difundido en todo el mundo, en varias prestigiosas pruebas nacionales e internacionales se replica esta mala práctica. La pregunta: “considere la secuencia 1, 2, 3, 4, 5, ... ¿cuál número viene después?”. No tiene sentido en matemáticas, porque, de hecho existen infinitas sucesiones que tienen a estos números como sus primeros términos. Por ejemplo, a n n n n n n n = + ( −1)( − 2)( − 3)( − 4)( − 5) es una de ellas; sin embargo, el sexto término no es 6. Por lo tanto, preguntar por el siguiente término de una secuencia finita es un error matemático. • Utilizan letras para representar números. Evalúan expresiones algebraicas. • Representan categorías de números por medio de expresiones algebraicas :múltiplos de ...; factores de ...; mayores que ...; números pares, etc. • Traducen al lenguaje algebraico relaciones cuantitativas en las que utilizan letras como incógnita. Plantean y resuelven problemas que involucran ecuaciones de primer grado con una incógnita. • Conjeturan y generalizan acerca de patrones numéricos o geométricos utilizando expresiones literales. • Generalizan la notación de potencias y utilizan procedimientos convencionales para el cálculo de multiplicación y división de potencias. • Suman y restan monomios, binomios y polinomios. Reducen términos semejantes y aplican la convención de uso de paréntesis. • Conjeturan y demuestran propiedades numéricas asociadas a múltiplos, factores y divisibilidad. • Resuelven ecuaciones con coefi cientes numéricos y literales. Analizan la existencia de sus soluciones. • Transforman expresiones algebraicas por cálculo de productos, factorizaciones, reducción de términos semejantes y eliminación de paréntesis. • Calculan productos notables; los factorizan; los interpretan numérica y geométricamente. • Resuelven problemas que involucren productos y/o factorizaciones. • Analizan fórmulas e interpretan las variaciones que se producen en perímetros, áreas o volúmenes, por cambio en las medidas lineales de las fi guras. • Conocen algunos antecedentes históricos sobre la evolución del lenguaje algebraico. • Modelan fenómenos y situaciones usando funciones afi nes y lineales. • Analizan gráfi camente la variación de parámetros en una función afín. • Relacionan las funciones lineales con la proporcionalidad directa. Desarrollo de la capacidad de generalización a partir de situaciones observadas. Interés y capacidad de conocer la realidad, y utilizar el conocimiento y la información. Actividades orientadas al aprendizaje de algoritmos o procedimientos rutinarios, así como la aplicación de leyes y principios, por un lado y de generalización a partir de situaciones observadas, por otro Actividades orientadas a utilizar el conocimiento y la información. Desarrollo de actitudes de rigor y perseverancia Repaso La dependencia e independencia de variables es la que refleja cualquier fórmula matemática. Por ejemplo, el costo total de un producto depende del precio y la cantidad de productos. Se establece la relación matemática: