SUMAR Y RESTAR FRACCIONES EJEMPLOS RESUELTOS DE SEXTO GRADO DE PRIMARIA O BÁSICO PDF

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  • Representar la suma y la resta,Sumar y restar fracciones con igual denominador,Taller de resolución de problemas Estrategia: trabajar desde el final hasta el principio,Manos a la obra: Representar la suma de fracciones con distinto denominador, Manos a la obra: Representar la resta de fracciones con distinto denominador, Usar denominadores comunes, Sumar y restar fracciones CAPÍTULO La naranja se originó hace unos 20 millones de años en el sudeste asiático. La dispersión mundial de los cítricos se debió a los grandes movimientos migratorios de la humanidad. A Chile llegó con el descubrimiento de América y la Conquista, hace aproximadamente 400 años. El clima chileno es propicio para su cultivo. Chile es, actualmente, país exportador de naranjas. Investiga Imagina que comes parte de una naranja para el desayuno, y luego te comes el resto para el almuerzo. ¿De cuántas maneras podrías comerte la naranja? Elige la cantidad de secciones, de 8 a 11, para tu naranja. Escribe la cantidad de secciones de la naranja para ambas comidas en forma de fracción. Escribe tres pares de fracciones. 6 Sumar y restar fracciones La idea importante La suma y resta de fraccione se basa en la comprensión de las fracciones equivalentes. VOCABULARIO DEL CAPÍTULO fracciones equivalentes operaciones inversas número mixto convertir fracción en su mínima expresión PREPARACIÓN fracciones equivalentes Fracciones que representan el mismo número o la misma cantidad. fracción en su mínima expresión Una fracción está en su mínima expresión cuando el numerador y el denominador tienen solamente el 1 como factor común. operaciones inversas Operaciones que se anulan una a la otra, como la suma y la resta o la multiplicación y la división. Comprueba si has aprendido las destrezas importantes que se necesitan para completar con éxito el capítulo 6. u Fracciones equivalentes Encuentra dos fracciones equivalentes para cada ilustración. 1. 2. 3 . 4. 5. 6. 7. 8. 9. u Fracción en su mínima expresión Escribe cada fracción en su mínima expresión. 10. _ 2_ 4 11. _ 4_ 6 12. _ 2_ 8 13. _ 3_ 9 14. _ 6__ 10 15. _ 6__ 12 16. _ 8__ 10 17. _ 4__ 20 18. _ 8__ 12 19. _ 1_0_ 30 20. _ 1_5_ 25 21. _ 6__ 18 Capítulo 6 131 Materiales ■ barras de fracciones Puedes sumar y restar fracciones con denominadores semejantes usando barras de fracciones. Suma. 1 __ 8 1 _5 _ 8 Coloca una de las barras de 1_ 8 debajo de 1 barra de fracción de entero. 18 1 Coloca 5 barras más de _18 para mostrar _58 . Cuenta las barras de fracciones. Escribe la respuesta como fracción simplificada a su mínima expresión. Usa barras de fracciones para hallar 6_2 1 6_5 . Sacar conclusiones 1. Con tus barras de fracciones, ¿cuántas barras de 8_1 equivalen a 12 ? ¿Qué sabes sobre _48 y _21 ? 2. Mira las barras de fracción que hiciste para D. ¿Cómo sabes si la suma de dos fracciones es mayor que 1? 3. Aplicación Muestra cómo aplicar el mismo método usando barras de fracciones para hallar _3 5 2 _1 5 . Representar la suma y la resta OBJETIVO: representar la suma y la resta de fracciones con igual denominador. Repaso rápido Escribe cada fracción en su mínima expresión. Paso Paso Paso Puedes usar las barras de fracciones con denominadores semejantes para restar fracciones. Resta. _ _7_ 10 2 _ _3_ 10 Usa barras de fracciones para hallar la suma o la diferencia. Escribe la respuesta como fracción en su mínima expresión. 1. 2. 3. Halla la suma o la diferencia. Escríbela como fracción en su mínima expresión. 12. Explica una regla que puedas usar para sumar o restar fracciones con denominadores semejantes. Coloca siete barras de 1_10_ debajo de la barra de fracción de 1 entero. 1 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 Coloca tres barras de 1_10_ debajo de las siete barras de 1_10_ para representar 1_30_ . Compara las filas de barras. Halla la diferencia en su mínima expresión. Aprende Repaso rápido 2Sumar y restar fracciones con igual denominador OBJETIVO: sumar y restar fracciones con igual denominador. PROBLEMA El glaciar de la laguna de San Rafael, al sur de Chile, es uno de los glaciares que retrocede con mayor rapidez. Algunos glaciares retroceden aproximadamente 78 metros, otros 114 metros por año. Imagina que en 2 años retrocede _2_ 10 km y en otros dos años _3_ 10 km. ¿Qué distancia en km retrocede el glaciar en cuatro años? Escribe cada fracción en su mínima expresión. 1. _2__ 10 2. 6__ 8 3. 4__ 8 4. 2__ 6 5. 6__ 9 • Suma los numeradores. • Escribe la suma sobre el denominador. • Escribe la suma en su fracción en su mínima expresión. • Resta los numeradores. • Escribe la diferencia sobre el denominador. • Comprueba que la diferencia esté en su fracción en su mínima expresión. Sombrea 2 partes de un modelo de décimos. Sombrea 3 partes más. Escribe la fracción que corresponde a la parte sombreada. 1_50_ 5 12_ Por lo tanto, el glaciar se desplaza 1_2 km cada 4 años. Usa un dibujo. Usa papel y lápiz. Resta. _ 3__ 10 2 _ 2__ 10 Sombrea 3 partes de un modelo de décimos. Resta _2_ 10 . Traza una línea a través de dos partes. Escribe la fracción: _1_ 10 . 1. Usa un dibujo para hallar _2 8 1 _ 4 8 . Escribe la respuesta en su mínima expresión. Usa una representación Usa papel y lápiz. Suma. _2 10 1 _3 10 _2__ 10 + _3__ 10 = _ 5__ 10 = _1_ 2 _ 3__ 10 + _2__ 10 = _1__ 10 LECCIÓN Práctica con supervisión 134 Comprensión de los aprendizajes Estación preferida 20 estudiantes otoño primavera verano 1 1 0 invierno 1 2 0 1 2 0 1 5 0 Halla la suma o la diferencia. Escríbela como fracción en su mínima expresión. 2. _1 _ 4 1 _2 _ 4 3. _3 _ 4 2 _1 _ 4 4. _5 _ 8 1 _3 _ 8 5. _2 _ 3 2 _1 _ 3 6. _ 7__ 10 1 _ 1__ 10 7. Explica cómo hallar 1_ 22_ 1 1_ 42_ . Halla la suma o la diferencia. Escríbela como fracción en su mínima expresión. 8. _ 1__ 10 1 _ 3__ 10 9. _3 _ 6 2 _1 _ 6 10. _4 _ 8 1 _3 _ 8 11. _5 _ 7 2 _3 _ 7 12. _ 7__ 12 1 _ 5__ 12 13. _4 _ 4 2 _1 _ 4 14. _2 _ 7 1 _4 _ 7 15. _5 _ 8 2 _3 _ 8 16. _1 _ 3 1 _1 _ 3 17. _3 _ 8 2 _1 _ 8 Halla el número que falta en cada . 18.  1 _4 _ 9 5 _7 _ 9 19. _ 3_ 4 2  5 _1 _ 4 20. 1 2  5 _2 _ 3 21. _ 9__ 12 1  5 _1 _1_ 12 USA DATOS Para 22–24, usa el gráfico. 22. ¿Qué fracción de estudiantes eligió la primavera y el verano como su estación preferida? 23. Razonamiento ¿Cuáles dos estaciones fueron elegidas por 15_ de los estudiantes? 24. ¿Cuál es el error? Para hallar la diferencia entre la cantidad de estudiantes que eligió el verano y la cantidad que eligió el invierno, Clara calculó 1_ 50_ 2 1_ 20_ y obtuvo 3. ¿Cuál es su error? Álgebra 25. Compara. Escribe ,, ., o 5. 1 840,099  1 840,215 26. Karina corrió _ 1 4 de kilómetro. Escribe la distancia que corrió en forma de decimal. 27. Escribe la fracción _ 3_7 8 en forma de número mixto. 28. Álvaro vertió 4_ 1 de taza de jugo de naranja y 4_3 de taza de jugo de piña en un vaso. ¿Cuántas tazas de jugo hay en el vaso? A _ 1_ 4 de taza C _ 3_ 4 de taza B _ 3_ 8 de taza D 1 taza Práctica independiente y resolución de problemas Capítulo 6 135 3 Aprende la estrategia Trabajar desde el final hasta el principio puede ayudarte a resolver un problema. Puedes usar esta estrategia cuando sabes cómo termina una situación pero no sabes cómo empieza. Estrategia: trabajar desde el final hasta el principio OBJETIVO: resolver problemas usando la estrategia trabajar desde el final hasta el principio. Trabaja desde el final hasta el principio en una recta numérica. Isabel pagó $ 32 000 por 3 tarros de pelotas de tenis de lanzamiento rápido y una raqueta de tenis. La raqueta costó $ 20 000. Ella no recuerda el precio exacto de las pelotas de tenis. ¿Puedes hallar cuánto pagó Isabel por cada tarro de pelotas de tenis? Sí puedes. ¡Trabaja desde el final hasta el principio! Escribe la ecuación. ($  · 3 tarros de pelotas de tenis) 1 raqueta 5 total ( · 3) 1 $ 20 5 $ 32 Trabaja desde el final hasta el principio usando operaciones inversas.  5 (32 2 20) : 3 5 12 : 3 5 4 Por lo tanto, Isabel pagó $ 4 000 por cada tarro de pelotas de tenis. Comprueba tu respuesta. ($ 4 000 · 3) 1 $ 20 000 5 $ 32 000 $ 12 000 1 $ 20 000 5 $ 32 000 $ 32 000 5 $ 32 000 ✓ ¿Por qué es importante comprobar tu respuesta cuando usas la estrategia de trabajar desde el final hasta el principio? Explica cómo puedes comprobar tu respuesta. Comenzando desde el 3 en la recta numérica, mueve 1 38_ , u 11 octavos hacia la izquierda. Luego mueve otros 5 octavos hacia la izquierda. Por lo tanto, Soledad usó 1 ovillo de lana roja. Soledad tejió un poncho para el invierno. Usó en total 3 ovillos de lana café, roja y amarilla. Primero usó 18_3 de ovillo de lana café y 8_5 de ovillo de lana amarilla. Si el resto de lana era roja, ¿cuánto de la lana roja usó Soledad? Trabaja desde el final hasta el principio con una ecuación. LECCIÓN 58 3 1 8 0 1 3 136 • Identifica los pasos del problema. • ¿Qué parte del problema es una incógnita? • ¿Qué estrategia puedes usar para resolver el problema? Puedes trabajar desde el final hasta el principio para resolver el problema. • ¿Cómo puedes usar la estrategia para resolver el problema? Traza una recta numérica que muestre octavos. Trabaja desde el final hasta el principio. Comenzando desde 1 _ 7 8 , mueve 7 octavos hacia la izquierda. Luego mueve otros 3 octavos hacia la izquierda. Solo quedan 5 octavos más antes del 0 en la recta numérica. Por lo tanto, usaron 85 de metro de fieltro para el títere mediano. • ¿Cómo sabes que tu respuesta es correcta? • ¿De qué otras maneras podrías resolver este problema? 78 3 8 78 1 1 Usa la estrategia PROBLEMA La clase de quinto básico del señor Pérez está presentando un espectáculo de títeres sobre seguridad para el primer y el segundo básico. Para hacer sus propios títeres, los estudiantes de quinto año de enseñanza básica compraron 1_8 7 metro de fieltro para tres títeres de distinto tamaño. Cortaron _8 3 de metro para el títere más pequeño y _87 de metro para el títere más grande. ¿Cuántos metros de fieltro usaron los estudiantes para el títere mediano? 0 Capítulo 6 137 Resolución de problemas con supervisión Materiales para el espectáculo de títeres Material Cantidad Madera metro Pintura litro Fieltro metro 37 1 3 2 1 4 9 5 6 01 23 4 567 89 10 1. Para construir el escenario de los títeres para su espectáculo, los estudiantes usaron un total de 9 6_5 metros de fieltro para hacer la cortina, el techo y la falda del escenario. Si usaron 3 6_1 metros para la cortina y 3 6_5 metros para la falda, ¿cuántos metros de fieltro usaron para el techo? Primero, haz una recta numérica que muestre de 0 a 10. Divide cada sección en sextos. Luego, trabaja desde el final hasta el principio en la recta numérica. Finalmente, comprueba tu respuesta. 2. ¿Qué pasaría si los estudiantes tuvieran 2 6_5 metros para la cortina? ¿Cuánto fieltro se usaría para el techo? 3. Veinte minutos antes de empezar el espectáculo, los estudiantes todavía estaban trabajando en el escenario. Javiera tardó 12,5 minutos en corchetear la falda y luego le pasó la corchetera a Carlos, quien tardó 6,75 minutos en corchetear el techo. Cuando terminaron, ¿cuántos minutos quedaban para empezar el espectáculo? Trabaja desde el final hasta el principio para resolver los problemas 4. Los estudiantes tenían 11_21_ de hora para ver un espectáculo de títeres acerca de la seguridad. El primer 1_52_ de hora se trató sobre la seguridad en el patio de juegos, y el siguiente 1_22_ de hora se trató sobre la seguridad en la cafetería. Las dos primeras partes del espectáculo provocaron más risas de lo esperado y se extendió por 1_12_ de hora. El resto del tiempo se trató sobre cómo cruzar una calle concurrida. ¿Cuánto tiempo tuvieron los estudiantes para la última parte del espectáculo que trataba sobre cómo cruzar una calle concurrida? USA DATOS Para 5–7, usa la tabla de datos. 5. Los estudiantes usaron 4_2 de una lata de un litro de pintura para los carteles y 4_ 3 de una lata de un litro de pintura para utilería. ¿Cuántos litros de lata de pintura quedaron para pintar el decorado del fondo? 6. Para construir el escenario de los títeres, los estudiantes usaron dos marcos en forma de U sostenidos por 4 patas. Para cada marco en forma de U se usaron 11 3_1 metros de madera. ¿Cuánta madera usaron los estudiantes para las 4 patas? 7. Explica cómo usarías una recta numérica para hallar la longitud de cada pata usada para sostener el escenario de los títeres. Muestra tu trabajo. Resolución de problemas • Práctica de estrategias 138 ESTRATEGIA ELIGE UNA Práctica de estrategias mixtas USA DATOS Para 8–11, usa la tabla. 8. En la sala de teatro Agustín Siré, de la Facultad de Arte de la Universidad de Chile, la taquilla abrió al mediodía para vender entradas. A las 12:10, ya se habían vendido 20 entradas. A las 12:20, se habían vendido 40 entradas. Al final de la primera media hora, se habían vendido 60 entradas. Si el patrón continúa, ¿a qué hora se habrán vendido todas las entradas? 9. El teatro La Memoria de Santiago tiene 3 espectáculos el sábado por la tarde, mientras que el teatro Huemul tiene 1 espectáculo. Si ambos teatros tuvieran la sala llena, ¿cuál vendería la mayor cantidad de entradas ese día? ¿Cuántas entradas más venderá ese teatro? 10. Formula un problema Vuelve al Problema 9. Escribe un problema similar cambiando el teatro y el patrón. 11. Problema abierto Imagina que hay un intervalo de 25 minutos entre los espectáculos en el teatro Condell en Valparaíso. Si el teatro está abierto desde la 1:00 p.m. hasta las 4:30 p.m., ¿cuántas entradas podrá vender? ¿Cómo podría el teatro cambiar la duración del espectáculo o el intervalo entre los espectáculos para poder vender más entradas? ESFUÉRZATE UNICEF, el Fondo de las Naciones Unidas para la infancia, usa títeres en sus programas como herramienta para educar y entretener. En el país africano de Namibia, los adolescentes usan títeres para enseñar acerca de la seguridad. En una plaza del pueblo, 2 000 personas miran el espectáculo de títeres que tiene una hora de duración. 12. En Vietnam, un espectáculo de títeres similar atrae a un promedio de 1 200 personas. Si en Vietnam hay seis espectáculos de títeres al mes, aproximadamente, ¿cuántas personas pueden ver el espectáculo de títeres de UNICEF cada mes? Nombre, Ciudad Teatro Condell, Valparaíso Sala Agustín Siré, Santiago Teatro Huemul, Santiago Teatro La Memoria, Santiago Cantidad de asientos 300 160 500 100 Tamaño del escenario Largo x ancho (en pies) 18 x 14 12 x 12 20 x 8 6 x 7 Duración del espectáculo (en minutos) 55 40 45 30 Teatros de títeres 13. En Namibia, 25_ de los titiriteros tienen de 12 a 14 años. Del resto de los titiriteros, uno de cada tres tiene de 10 a 11 años. ¿Cuántos quintos del total de los titiriteros tienen de 10 a 11 años? Hacer un diagrama o dibujo Hacer una representación o una dramatización Hacer una lista organizada Buscar un patrón Hacer una tabla o gráfico Predecir y probar Trabajar desde el final hasta el principio Resolver un problema más sencillo Escribir una ecuación Usar el razonamiento lógico Capítulo 6 139 1 14 12 ? Materiales ■ barras de fracciones Puedes usar barras de fracciones para sumar fracciones con distinto denominador. Halla _1 2 1 _1 4 . Coloca una barra de _1 2 y una de _1 4 debajo de una barra de fracción de entero. Halla barras de fracciones de igual denominador que coincidan exactamente debajo de la suma _1 2 1 _1 4 . Registra la suma en su mínima expresión. Usa barras de fracciones para hallar _ 3 5 1 _1 2 . Registra la suma. Sacar conclusiones 1. ¿Qué barras de fracciones de igual denominador usaste para que coincidieran exactamente debajo de _1 2 1 _1 4 ? ¿Podrías haber usado cualquier otra barra de fracciones de igual denominador? Si es así, ¿cuáles habrías usado? 2. ¿Qué barras de fracciones de igual denominador usaste para hallar _ 3 5 1 _1 2 ? ¿Es la suma mayor o menor que 1? 3. Análisis En tu representación de _ 3 5 1 _1 2 , ¿cuántas barras de _1_ 10 equivalen a _ 3 5 ? ¿Cuántas equivalen a _1 2 ? ¿Qué sabes sobre _ 3 5 y _6_ 10 ? ¿Y sobre _1 2 y _5_ 10 ? Halla la suma o la diferencia. Escríbela como fracción en su mínima expresión. 1. 1__ 4 1 1 __ 4 2. 3__ 8 2 1 __ 8 3. 4__ 8 1 3 __ 8 4. _5__ 10 2 _2__ 10 5. 1__ 5 1 4 __ 5 Representar la suma de fracciones con distinto denominador OBJETIVO: representar la suma con fracciones de distinto denominador. 1 14 12 4 140 Paso Paso 1 1 13 13 16 13 13 16 16 16 16 16 16 1 13 13 16 16 16 16 16 16 23 4 6 16 1 6 4 6 1 6 5 Por lo tanto, 6 12 18 18 18 18 18 18 14 12 15 15 Cuando hallas las barras de fracciones que coinciden exactamente debajo de una suma, has hallado fracciones equivalentes. Halla: _2_ 3 1 _1_ 6 . Coloca dos barras de fracciones de 3_ 1 debajo de una barra de 1. Luego coloca una barra de fracciones de 16_ al lado de las dos barras de 13_ . Halla barras de fracciones con igual denominador que sean equivalentes a 23_ y 16_ . Suma las fracciones con igual denominador. Halla la suma. Escribe la respuesta como fracción en su mínima expresión. 1. 2. 3. _1 _ 2 1 _3 _ 8 _ 3_ 8 1 _1 _ 4 _ 1_ 2 1 _2 _ 5 Halla la suma usando barras de fracciones. Escríbela como fracción simplificada a su mínima expresión. 4. _2 _ 5 1 _ 3__ 10 5. _1 _ 4 1 _ 2__ 12 6. _1 _ 2 1 _ 3__ 10 7. _1 _ 2 1 _1 _ 3 8. _1 _ 4 1 _ 4__ 12 9. _1 _ 3 1 _3 _ 6 10. _1 _ 5 1 _ 1__ 10 11. _3 _ 4 1 _1 _ 3 12. _3 _ 4 1 _1 _ 6 13. _2 _ 5 1 _1 _ 2 14. _2 _ 3 1 _1 _ 4 15. _3 _ 4 1 _5 _ 6 16. Explica cómo sumar _2 8 y _3 4 usando barras de fracciones. ¿Qué fracciones equivalentes usarías para hallar 1_2 1 3_4 ? Paso Capítulo 6 141 Halla la diferencia. Escríbela como fracción en su mínima expresión. 1. 3__ 4 2 1__ 4 2. 5__ 8 2 2__ 8 3. 2__ 3 2 1__ 3 4. 4__ 5 2 2__ 5 5. 1__0_ 10 2 _8__ 10 Materiales ■ barras de fracciones Puedes usar barras de fracciones para restar fracciones con distinto denominador. Halla _3 4 2 _1 8 . Coloca tres barras de _1 4 debajo de 1 barra de fracción de entero. Luego coloca una barra de _ 1 8 debajo de las barras de _ 1 4 . Compara las barras. Halla barras de fracciones con igual denominador que coincidan exactamente debajo de la diferencia _3 4 2 _1 8 . Anota la diferencia. Usa barras de fracciones para hallar _ 1 3 2 _1 4 . Sacar conclusiones 1. ¿Qué barras de fracciones de igual denominador usaste para que coincidieran exactamente debajo de _ 3 4 2 _ 1 8 ? 2. ¿Qué barras de fracciones igual denominador usaste para hallar _ 1 3 2 _ 1 4 ? 3. Análisis En tu representación de _ 1 3 2 _ 1 4 , ¿cuántas barras de _1_ 12 equivalen a _ 1 3 ? ¿Cuántas equivalen a _ 1 4 ? ¿Qué sabes sobre _ 1 3 y _4_ 12 ? ¿Y sobre _ 1 4 y _3_ 12 ? Representar la resta de fracciones con distinto denominador OBJETIVO: restar fracciones con distinto denominador usando barras de fracciones. 1 14 1 4 1 4 ? diferencia 18 1 14 1 4 1 4 1 8 5 142 13 13 1 14 ? 13 13 1 14 ? diferencia 1 12 1 12 1 12 1 12 1 12 Paso Paso 15 15 ? 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 13 13 ? 16 1 10 1 10 1 10 12 ? Puedes usar barras de fracciones con igual denominador semejantes para restar fracciones con distinto denominador. Resta. _2 3 2 _ 1 4 Coloca dos barras de 13_ debajo de 1 barra de fracción de entero. Luego coloca una barra de 14_ debajo de las dos barras de 13_ . Halla barras de fracciones con igual denominador que coincidan exactamente debajo de la diferencia 23_ 2 14_ . ¿Qué fracciones con igual denominador usarías para hallar 5_ 6 2 1_2 ? Usa barras de fracciones para hallar la diferencia. Escribe la respuesta como fracción en su mínima expresión. 1. _ 7__ 10 2 _ 2_ 5 2. _2 _ 3 2 _1 _ 6 3. _1 _ 2 2 _ 3__ 10 Halla la diferencia usando barras de fracciones. Escribe la respuesta como fracción en su mínima expresión. 4. _ 3_ 5 2 _ _3_ 10 5. _ _5_ 12 2 _1 _ 3 6. _1 _ 2 2 _ _1_ 10 7. _3 _ 5 2 _1 _ 2 8. _7 _ 8 2 _1 _ 4 9. _2 _ 3 2 _3 _ 6 10. _3 _ 4 2 _1 _ 3 11. _5 _ 6 2 _1 _ 2 12. Explica cómo usar barras de fracciones para hallar _ 3 4 2 _ 5 8 . Por lo tanto, _2 _ 3 2 _1_ 4 5 _5__ 12 Capítulo 6 143 Aprende Paso Paso Paso Paso Usar denominadores comunes OBJETIVO: usar un denominador común para sumar y restar las fracciones con distinto denominador Doñihue es un pueblo lleno de tradiciones, como por ejemplo las chamanteras, personas dedicadas a la confección de mantas. Imagina que _1 2 chamanto se teje en un mes y _ 1 4 en dos semanas. ¿Qué cantidad de la manta se ha tejido? Halla un múltiplo común para cada par. 1. 2 y 4 2. 5 y 10 3. 4 y 6 4. 3 y 9 5. 6 y 10 Para sumar o restar fracciones con distinto denominador, exprésalas como fracciones con un denominador común. Ejemplo 1 Suma. _1 _ 2 1 _1 _ 4 Por lo tanto, se ha tejido 34_ de la manta. • Elena estimó que la suma se acerca a 1_2 . ¿Es razonable su estimación? Imagina que una tejedora de chamanto tenía 5_ 6 de madeja de lana para terminar una de estas mantas. Necesitaba solo 3_ 4 madeja para acabar una manta. ¿Qué cantidad de madejas quedó cuando acabó la manta? Ejemplo 2 Resta. 5 __ 6 2 3 __ 4 Multiplica los denominadores para hallar un denominador común. 2 • 4 5 8 denominador común Usa el denominador común para escribir fracciones equivalentes. Luego suma. Por lo tanto, a la tejedora de chamantos le quedó _1_ 12 de madeja de lana. Multiplica los denominadores para hallar un denominador común. 6 • 4 5 24 denominador común Usa el denominador común para escribir fracciones equivalentes. Luego resta. Idea matemática Primero estima la respuesta. Luego compárala con la respuesta exacta para ver si es razonable. 1 __ 2 = 1 __ 4 ; 4 __ 8 = 2 __ 8 5 __ 6 - 3 __ 4 = 20 __ 24 - 18 __ 24 4 __ 8 + 2 __ 8 = 6 __ 8 = 3 __ 4 20 __ 24 - 18 __ 24 = 2 __ 24 = 1 __ 12 6 LECCIÓN Vocabulario mínimo común denominador (m.c.d.) mínimo común múltiplo (m.c.m.) ← fracción en su mínima expresión ← fracción en su mínima expresión 144 Recuerda Para sumar o restar fracciones con distinto denominador, también puedes escribir fracciones equivalentes con el mínimo común múltiplo. El mínimo común múltiplo (m.c.m.) es el menor múltiplo común de dos o más denominadores. Ejemplo 3 Suma. _1 _ 4 1 3 __ 8 Una tejedora de chamantos compró hilo de seda y lana para tejer los diseños en sus mantas . Compró _ 1 4 de kilogramo de hilo de seda y _ 3 8 de kilo de lana natural. ¿Cuántos kilógramos de materiales compró? Por lo tanto, la tejedora de chamantos compró 5_ 8 de kilógramo de materiales. Más Ejemplos Para hallar el mínimo común denominador, primero halla el mínimo común múltiplo de los denominadores. Usa un denominador común. Multiplica los denominadores para hallar un denominador común. 4 • 8 5 32 ← denominador común Usa un denominador común para escribir fracciones equivalentes. Luego suma. Usa el mínimo común denominador (m.c.d.) Haz una lista de los múltiplos de cada denominador. Múltiplos de 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24 Múltiplos de 8: 8, 16, 24, 32, 40, 48 El mínimo común múltiplo es 8. Por lo tanto, el m.c.d. de 1_ 4 y 3 _ 8 es 8. Escribe fracciones equivalentes. Luego suma. Suma. _1 _ 6 1 _1 _ 2 Usa un denominador común para escribir fracciones equivalentes. Luego suma. Resta. _1 _1_ 12 2 _5 _ 8 Halla el mínimo común denominador. Luego escribe fracciones equivalentes para restar. Por lo tanto, _1 _ 6 1 _1 _ 2 5 _2 _ 3 . Por lo tanto, _1_1_ 12 2 _5 _ 8 5 _ 7__ 24 . _1_1_ 12 • _2 _ 2 5 _2_2_ 24 _ 5_ 8 • _3 _ 3 5 _1_5_ 24 _2_2_ 24 - _1_5_ 24 5 _7__ 24 _ 1_1_ 12 2 _5 _ 8 1 __ 4 = 8 __ 32 ; 3 __ 8 = 12 __ 32 8 __ 32 + 12 __ 32 = 20 __ 32 = 5 __ 8 ← fracción en su mínima expresión 1 __ 4 = 1 __ 4 • 4 __ 8 = 2 __ 8 1 __ 6 + 1 __ 2 2 __ 8 + 3 __ 8 = 5 __ 8 1 __ 2 • 3 __ 3 = 3 __ 6 1 __ 6 + 3 __ 6 = 4 __ 6 = 2 __ 3 ← fracción en su mínima expresión → entonces → Convertir a fracción equivalente ← igualar denominadores → Capítulo 6 145 Halla la suma o la diferencia. Escribe la respuesta como fracción simplificada a su mínima expresión. 8. _3 _ 5 1 _1 _ 4 9. _5 _ 8 1 _1 _ 5 10. _ 1__ 12 1 _1 _ 2 11. _ 7__ 10 1 _1 _ 5 12. _2 _ 7 1 _ 3__ 10 13. _5 _ 6 2 _3 _ 8 14. _3 _ 4 2 _1 _ 2 15. _7 _ 8 2 _1 _ 6 16. _3 _ 7 2 _ 3__ 14 17. _ 5__ 12 2 _1 _ 4 Halla el número que falta para cada j. Escribe la respuesta como fracción simplificada a su mínima expresión. 18. _5 _ 8 2 j 5 _3 _ 8 19. _1 _ 6 1 j 5 1 20. _ 9__ 10 2 j 5 _1 _ 5 21. _ 5__ 12 1 j 5 _1 _ 2 Para 22–24, usa la ilustración. 22. Sara hace un cinturón para una muñeca usando el siguiente diseño de piedras. ¿Qué fracción de las piedras en su diseño son azules o rojas? 23. ¿Cuál es la pregunta? La respuesta es 1_ 25_ del patrón. 24. Al hacer el cinturón, Sara quiere repetir el patrón de piedras tres veces. Tiene un total de 21 piedras rojas, 18 piedras azules y 19 piedras blancas. Escribe una fracción que represente el número de piedras que le quedarán. Comprensión de los aprendizajes Álgebra 25. Eric tiene 4 bombillas rojas, 2 bombillas azules, y 6 bombillas amarillas. Si elige una sin mirar, ¿qué probabilidad hay de que elija la roja? 26. 420 : 15 5 27. Escribe dos fracciones equivalentes para _32_24 usando denominadores menores que 32. 28. Carlos plantó 23_ del jardín con caléndulas y 6_ 1 del jardín con petunias. ¿Qué parte del jardín plantó con estas flores? A _ 1_ 6 C _ 5_ 6 B _ 1_ 2 D 1 1. Copia el problema de la derecha. Muestra cómo restar fracciones con distinto denominador escribiendo fracciones equivalentes. Escribe la respuesta como fracción simplificada a su mínima expresión. Halla la suma o la diferencia. Escribe la respuesta como fracción en su mínima expresión. 2. _3 _ 4 2 _1 _ 8 3. _2 _ 5 1 _ 3__ 10 4. _1 _ 4 2 _1 _ 7 5. _ 5__ 12 1 _1 _ 3 6. _ 9__ 10 2 _1 _ 2 7. Explica cómo puedes usar múltiplos comunes para sumar 8_ 7 y 3_1 . Práctica con supervisión Práctica independiente y resolución de problemas _4_ 5 - _2_ 6 _ _ _ 30 - _ _ _ 30 j j ↓ ↓ 146 Variedad de patrones Una de las artesanías de los pueblos originarios más conocidas de la antigüedad es la cestería. Diferentes tribus usaban distintos materiales, como madera, pasto, agujas de pino, o ramas de sauce, según lo que encontraban disponible en su entorno. Los patrones y materiales en los canastos podrían usarse para identificar a la tribu que los tejió. Estos patrones, como los patrones en matemáticas, a menudo seguían una regla, como: multiplica por 5 o suma _14 . Busca el patrón en esta lista de fracciones. 14_, 24_, 43_, 44_, 45_ ¿Cómo cambian los valores de estas fracciones cuando aumentan los numeradores? ¿Cuál es la regla del patrón? Usar recursos visuales puede ayudarte a resolver el problema. Elige un recurso visual que te ayude a plantear el problema o su solución. Por ejemplo, puedes usar una recta numérica para representar las fracciones. 14 2 4 3 4 4 4 5 4 6 4 7 4 8 4 0 Piensa: Para resolver el problema, también puedes usar recursos visuales como tiras de fracciones o representación de fracciones. Recursos visuales Resolución de problemas Usa un recurso visual para resolver el problema. 1. Resuelve el problema de arriba. 2. a. ¿Cómo cambian los valores de estas fracciones cuando aumentan los denominadores? 2_ 1_ , 3_ 1_ , 4_ 1_ , 5_ 1_ , 6_ 1_ , _n 1 b. ¿Cuál es la próxima fracción en el patrón? q Estos canastos muestran los diferentes tipos de patrones que usaban los pueblos originarios americanos en las artesanías. Capítulo 6 147 Aprende Paso Paso Paso Paso Sumar y restar fracciones OBJETIVO: usar el mínimo común múltiplo para sumar y restar fracciones. Se midió la longitud del caparazón de una tortuga marina verde durante dos años. El primer año, el caparazón creció _2 5 de metro. El segundo año, el caparazón creció _3_ 10 de metro. ¿Cuánto creció el caparazón durante el período de los dos años? Ejemplo 1 Suma. _2 _ 5 1 _3__ 10 Estima la suma o la diferencia. 1. 1__ 2 1 1__ 7 2. 3__ 5 2 1__ 8 3. 1__ 6 1 7__ 8 4. 3__ 4 2 3__ 5 5. _7__ 12 1 2__ 5 Por lo tanto, el caparazón de la tortuga gigante creció 1_70_ de metro en dos años. Ejemplo 2 El caparazón de una tortuga carey adulta mide 3_4 de metro de longitud aproximadamente. El caparazón de una cría mide 1_5 de metro. ¿Qué diferencia de longitud hay entre sus caparazones? Resta. _3_ 4 2 _ 1_ 5 El mínimo común múltiplo de 4 y 5 es 20. Por lo tanto, el m.c.d. de 34_ y 15_ es 20. Usa el m.c.d. para cambiar las fracciones a fracciones equivalentes. Resta las fracciones. Si es necesario, escribe la respuesta en su mínima expresión. Por lo tanto, la diferencia entre las longitudes es de 12_01_ metro. Idea matemática Para sumar o restar fracciones de distinto denominador, halla el mínimo común múltiplo (m.c.m.) para escribir fracciones equivalentes. Luego suma o resta los numeradores. fracción en su mínima expresión. ← Podemos amplificar una de las fracciones para igualar los denominadores y así sumar las fracciones. En este caso, amplificamos por 2 la fracción 25_ y queda la fracción 1_40_ . Suma las fracciones. Escribe la respuesta en su mínima expresión. _4__ 10 1 _3__ 10 = _7__ 10 7 LECCIÓN _3__ 4 = 3 • 5 ____ 4 • 5 = 1_ _5_ 20 1_ _5_ 20 – _4__ 20 = 1_ _1_ 20 _1__ 5 = 1 • 4 ____ 5 • 4 = _4__ 20 2 • 2 5 v 2 4 10 4 10 3 10 + = + = 148 Comprensión de los aprendizajes 1. Observa el problema de la derecha. Halla la suma de las fracciones escribiendo fracciones semejantes. Escribe la respuesta como fracciónen su mínima expresión. Halla la suma o la diferencia. Escríbela como fracción en su mínima expresión. 2. _3 _ 4 1 _1 _ 8 3. _ 7__ 10 2 _ 2_ 5 4. _1 _ 5 1 _1 _ 6 5. _2 _ 3 2 _1 _ 4 6. _5 _ 8 1 _1 _ 3 7. Explica cómo sabes que 1_21_0 está simplificada. 24. __6_ 10 1 _ _7_ 10 5 25. ¿Cómo se escribe el decimal 0,45 en forma de fracción? 26. ¿Cuál es el m.c.d. de _ 3 4 y _ 1 3 ? 27. Romina tardó _ 1 3 de hora en caminar a la biblioteca y luego _ 1 4 de hora en caminar a la casa de Ana. ¿Cuánto tiempo tardó Romina en total en caminar a ambos lugares? A _ 1 6 de hora C _7_ 12 de hora B _ 1 2 hora D _ 3 4 de hora Halla la suma o la diferencia. Escríbela como fracción en su mínima expresión. 8. _3 _ 7 1 _ 1_ 8 9. _3 _ 4 2 _ 1_ 2 10. _2 _ 3 1 _1 _ 4 11. _5 _ 6 2 _2 _ 3 12. _7 _ 8 1 _ 1_ 4 13. _4 _ 9 2 _1 _ 6 14. _1 _ 3 1 _1 _ 5 15. 1 2 _ 3__ 10 16. _ 3__ 10 1 _3 _ 4 17. _6 _ 7 2 _ 2__ 14 Compara. Escribe , o . en cada . 18. _1 _ 3 1 _1 _ 8  _2 _ 3 1 _1 _ 7 19. _5 _ 6 2 _1 _ 4  _ 9__ 10 2 _1 _ 2 20. _1 _ 4 1 _ 3_ 8  _2 _ 3 2 _1 _ 2 Para 21–23, usa las ilustraciones. 21. ¿Cuánto más larga es la tortuga A que la tortuga B? 22. ¿Qué diferencia de longitud hay entre la tortuga carey más grande y la tortuga carey más pequeña? 23. ¿Cuál es el error? Sara dijo que si la tortuga C creciera 13_ de metro más, mediría 35_ de metro de longitud. Describe su error. Escribe la respuesta correcta. Práctica con supervisión Práctica independiente y resolución de problemas C 2 5 m A 3 4 m B 2 3 m _3_ 2  __ 4 + _3_ 4  __ 4 Capítulo 6 149 Estrategia: comparar estrategias OBJETIVO: comparar diferentes estrategias para resolver problemas. • Haz un resumen de lo que debes hacer. • ¿Qué información se da? • ¿Hay información que no usarás? Si es así, ¿cuál es? • ¿Qué estrategia puedes usar para resolver el problema? A menudo puedes usar más de una estrategia para resolver un problema. Usa material concreto y trabaja desde el final hasta el principio. • ¿Cómo puedes usar la estrategia para resolver el problema? • ¿Qué otra estrategia podrías usar para resolver el problema? Usa la estrategia PROBLEMA En la clase de Ciencias de Natalia, los estudiantes observan el total de precipitación mensual. Al final de cada semana, registran la cantidad de lluvia que cayó. Al final de la tercera semana, había caído un total de _ 5 6 milímetros de lluvia, _ 2 5 milímetros más que la cantidad de lluvia registrada al final de la semana 2. Durante la semana 2, cayó _ 1 3 de milímetros más de lluvia que la semana anterior. ¿Cuál fue la cantidad de precipitación en la semana 1? Hacer una representación Puedes usar barras de fracciones para hallar los datos que faltan. 16 16 16 15 15 16 16 13 1 10 _ 5_ 6 5 _1_ 3 1 _2_ 5 1 _ 1__ 10 Trabajar desde el final hasta el principio Puedes escribir una ecuación para mostrar el total de precipitación. n 5 _5_ 6 2 _2_ 5 2 _1_ 3 n 5 _2_5_ 30 2 _1_2_ 30 2 _1_0_ 30 n 5 _3__ 30 , or _ 1__ 10 Halla un común denominador. semana 1 1 semana 2 1 semana 3 5 total n 1 _1_ 3 1 _2_ 5 5 5 __ 6 Por lo tanto, cayó 1_ 10_ de milímetro de lluvia en la semana 1. 8 LECCIÓN 150 Día LUNES MARTES MIÎRCOLES JUEVES VIERNES SÃBADO DOMINGO 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Precipitaciones en las comunas (milímetros) Los Vilos Illapel Combarbalá Salamanca Precipitación en la Región de Coquimbo durante una semana de agosto Práctica de estrategias mixtas ESTRATEGIA ELIGE UNA 5. Julia está construyendo una base rectangular para la estación meteorológica de la escuela. El perímetro es 3 _2 3 metros. Si el ancho es _ 1 3 de metro, ¿cuál es la longitud? USA DATOS Para 6–9, usa la tabla. 6. Ordena las cuatro ciudades de menor a mayor según la cantidad de precipitación que hubo el lunes. 7. ¿En qué día cayó la misma cantidad de precipitación, mayor que cero, en dos ciudades? ¿Cuáles fueron las dos ciudades y cuál fue la cantidad de precipitación? 8. ¿En qué día la suma de la precipitación en dos ciudades fue igual a la cantidad de precipitación que cayó en una tercera ciudad? ¿Cuáles fueron las ciudades y cuál fue la cantidad de precipitación? 9. Explica cómo podrías usar la estrategia trabajar desde el final hasta el principio para resolver uno de los problemas de arriba. Hacer un diagrama o dibujo Hacer una representación o una dramatización Hacer una lista organizada Buscar un patrón Hacer una tabla o gráfico Predecir y probar Trabajar desde el final hasta el principio Resolver un problema más sencillo Escribir una ecuación Usar el razonamiento lógico Capítulo 6 151 11. _ 7__ 12 1 _1 _ 6 12. _7 _ 8 2 _1 _ 2 13. _ 1_ 4 1 _3 _ 6 14. _ 7_ 8 2 _1 _ 4 15. _ 5_ 7 2 _1 _ 3 16. _ 6__ 11 1 _1 _ 3 17. _5 _ 6 2 _1 _ 2 18. _3 _ 4 1 _2 _ 5 19. _ 4_ 5 2 _1 _ 6 20. _1 _1_ 12 1 _1 _ 5 21. Mario tardó 3_ 2 de hora en caminar a la escuela y 6_ 1 de hora en caminar de la escuela a la biblioteca. ¿Cuánto tardó Mario en total, caminando a la escuela y luego a la biblioteca? 22. Nancy estudió 1_ 12_0 de hora. Liliana estudió 4_ 3 de hora. ¿Cuánto tiempo más que Liliana estudió Nancy? Halla el número que falta en cada . 9. _3 _ 8 1  5 _7 _ 8 10. _ 7__ 12 2  5 _1 _ 2 11.  2 _1 _ 4 5 _5 _ 8 12. _5 _ 6 2  5 _1 _ 3 Álgebra Grupo B Halla la suma o la diferencia. Escribe la respuesta como fracción simplificada a su mínima expresión. Grupo A Halla la suma o la diferencia. Grupo C Halla el mínimo común denominador (m.c.d.) en las fracciones. 1. _4 _ 5 Práctica adicional 152 Capítulo 6 153 Jugadores 4 estudiantes Materiales 4 conjuntos de tarjetas de números (1–8) Cada jugador hace un esquema de situaciones de resta en un papel. El primer jugador mezcla las tarjetas de números y reparte 4 tarjetas a cada jugador. Con base en sus tarjetas, los jugadores tratan de formar dos fracciones que tengan la menor diferencia posible. Los jugadores muestran sus ejercicios de resta, colocándolos en el esquema. Los jugadores resuelven los ejercicios de los demás para determinar cuál resulta en la menor diferencia. El jugador que plantea el ejercicio con la menor diferencia obtiene 1 punto y vuelve a mezclar las tarjetas para la próxima ronda. Gana el juego el primer jugador que obtenga 5 puntos. 1 2 3 4 5 6 7 8 —– —= ¿Cuál es la diferencia? 5 1 2 6 Comprueba el vocabulario y los conceptos Elige el mejor término del recuadro. 1. Una ____________ es aquella que podemos graficar y ubicar en la recta numérica en el mismo lugar. 2. Explica cómo puedes usar barras de fracciones para sumar y restar fracciones con denominadores no semejantes. Comprueba tus destrezas Estima cada suma o diferencia.
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