POLINOMIO PRIMO EJEMPLOS RESUELTOS DE FACTORIZACION

Un polinomio P(x) se llama primo o irreductible cuando no se puede descomponer en producto de polinomios de grado positivo, menor que el grado de P. En caso contrario se dice que el polinomio es compuesto o reducible o no primo. Ejemplos: Transformar los siguientes polinomios en un producto de un polinomio de grado cero por otro polinomio. De acuerdo con los ejemplos considerados concluimos que: Todo polinomio de primer grado es primo. Ejemplo 1 Factorizar: P(x) = x2-49 Resolución: P(x) = x2-49 = x2-72 Aplicando: a2-b2 = (a+b)(a-b) ; obtenemos: P(x) = x2 - 72 = (x + 7) (x - 7) Ejemplo 2 Factorizar: F(x) = 4x2 - 25 Resolución: F(x) = 4x2-25 = (2x)2 - 52 Aplicando: a2 - b2 = (a + b) (a - b) ; obtenemos: F(x) = (2x + 5) (2x - 5) Ejemplo 3 Factorizar: Q(x) = 5x3 - 180x Resolución: Factorizamos primero, sacando el factor común monomio "5x", así: Q(x) = 5x3 - 180x = 5x · x2 - 5x · 36 = 5x (x2-36) Q(x) = 5x(x2-36) = 5x(x2-62) = 5x(x+6) (x-6) \ Q(x) = 5x(x+6)(x-6) Ejemplo 4 Factorizar: R(x) = 3x4 - 192x Resolución: Factorizamos primero, sacando el factor común monomio "3x", así: R(x) = 3x · x3 - 3x · 64 = 3x (x3-64) = 3x (x3 - 43) = 3x(x-4) (x2+x · 4 + 42) R(x) = 3x(x-4)(x2+4x+16) \ R(x) = 3x (x-4) (x2 + 4x+16) 1 Factoriza completamente cada uno de los polinomios siguientes: a) 4xy3 - 4xy e) 3ax2 + 15ax + 18a i) (a2 - 1)x - (a - 1)y m) (x - 2)2 - (y + 3)2 b) 6a3 + 6 f) x4 - (3y - 1)4 j) (a3 - 1)x-(a2 + a + 1)y n) ax2n - a - xn + 1 c) x8 - 16a2x2 g) 9 - x2 - 2ax - a2 k) (a + b)3 + 1 o) (x + y)2 - (2x - y)2 d) x4 - 81y4 h) (x - y)2 - 1 l) x2 + 6x + 9 - y2 2 Factoriza completamente cada uno de los polinomios siguientes: a) x6 - 1 e) 3ax3 - 3ay3 i) m) x3 - x2 - 16x + 16 b) x8 - y8 f) x5 - xy4 + x4y - y5 j) x4 - y4 - 3x2+3y2 n) x3 + 2x2 - 9x - 18 c) 4x4 - 36y4 g) (2x - 3)2 - (3x - 1)2 k) x3 - x2z - x2 + xz - 2x + 2z o) x2y - 3x2 + xy - 3x - 2y + 6 d) x5 - x h) x2 + y2 + 2xy - z4 l) Clave de respuestas 1. a) 4xy(y + 1)(y - 1) f) [x2 + (3y - 1)2](x + 3y - 1)(x - 3y+1) k) (a+b+1)[(a+b)2 - (a+b)+1] b) 6(a + 1)(a2 - a + 1) g) (3 + x + a)(3 - x - a) l) (x + y + 3)(x - y + 3) c) x2(x3 + 4a)(x3 - 4a) h) (x - y + 1)(x - y - 1) m) (x + y + 1)(x - y - 5) d) (x2 + 9y2)(x + 3y)(x - 3y) i) (a - 1)[(a + 1)x - y] n) (xn - 1)[a(xn + 1) - 1] e) 3a(x + 2)(x + 3) j) (a2 + a + 1)[(a - 1)x - y] o) 3x(2y - x) 2. a) (x + 1)(x - 1)(x2 - x + 1)(x2 + x + 1) f) (x - y)(x + y)2(x2 + y2) k) (x - 2)(x + 1)(x - z) b) (x+y)(x-y)(x2+y2)(x4+y4) g) (x + 2)(4 - 5x) l) a(x + 1)(x - 1)(x2 + 1) c) 4(x+y)(x -y)(x2+3y2) h) (x + y + z2)(x + y - z2) m) (x - 1)(x + 4)(x - 4) d) x(x + 1)(x - 1)(x2 + 1) i) ax(x + 1)(x - 1) n) (x - 3)(x + 2)(x + 3) e) 3a(x - y)(x2 + xy + y2) j) (x + y)(x - y)(x2 + y2 - 3) o) (y - 3)(x + 2)(x - 1)

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