MAGNITUDES PROPORCIONALES EJERCICIOS DESARROLLADOS DE SECUNDARIA PDF
OBJETIVOS :
► Reconocer como se relacionan dos magnitudes .
► Expresar matemáticamente la relación entre dos magnitudes .
► Graficar el comportamiento de los valores que asumen dos magnitudes en determinados momentos .
► Aplicar las propiedades en la resolución de problemas cotidianos .
PREGUNTA 1 :
El peso de un elefante es D.P. a la raíz cuadrada de su edad. Si un elefante de 36 años pesa 300 Kg, qué edad tendrá cuando pese 400 Kg.
a) 38 años
b) 40
c) 49
d) 54
e) 64
PREGUNTA 2 :
El precio de un diamante es directamente proporcional al cuadrado de su peso. Si un diamante que pesa 50 g cuesta 4 000 dólares, cuánto costará otro diamante que pesa 80 g.
a) $10 000
b) 10 240
c) 12 000
d) 12 400
e) 9 800
PREGUNTA 3 :
El precio de una revista varía inversamente proporcional con el número de ejemplares producidos y directamente proporcional con el número de días que toma su edición. Si una revista cuesta 20 soles y se imprimieron 3 500 ejemplares demorando su edición 15 días, ¿cuál será el precio de otra revista de la que se imprimieron 2 000 ejemplares y su edición demoró 18 días?
a) S/. 30
b) 35
c) 38
d) 42
e) 50
PREGUNTA 4 :
Una rueda “A” de 50 dientes engrana con otra rueda “B” de 30 dientes. Si la diferencia entre el número de vueltas que han dado es 1 600, ¿cuántas vueltas ha dado la rueda “A”?
a) 2 000
b) 2 400
c) 2 800
d) 3 200
e) 3 600
PREGUNTA 5 :
La producción semanal de Jeans en una fábrica es directamente proporcional al número de máquinas que tiene e inversamente proporcional a los años de uso de las mismas. Si una fábrica con 12 máquinas de 4 años de uso cada una produce 900 jeans, ¿cuántas máquinas tiene otra fábrica que tiene 5 años de fundado y produce 600 jeans?
a) 8
b) 9
c) 10
d) 12
e) 15
PREGUNTA 6 :
El peso de un disco metálico es dp al cuadrado de su radio y a su espesor. Si un disco metálico pesa 1 200 gramos, ¿cuánto pesará otro disco del mismo material pero de la mitad de radio y el triple de espesor?
a) 1 200 g
b) 1 000
c) 1 500
d) 900
e) 800
PREGUNTA 7 :
La energía almacenada en un condensador eléctrico es directamente proporcional al cuadrado de su diferencia de potencial. Si un condensador sometido a una diferencia de potencial de 80 voltios almacena una energía de 40 Joules. ¿Cuál será la diferencia de potencial requerida para que la energía almacenada sea de 62,5 Joules?
a) 180 V
b) 120
c) 150
d) 100
e) 420
PREGUNTA 8 :
La potencia de un motor es directamente proporcional a la capacidad del motor e inversamente proporcional a los años de trabajo. Si un motor de 2,5 litros de capacidad y 5 años de uso tiene una potencia de 10 HP. Hallar la capacidad de otro motor que tiene 6 años de antigüedad y 15 HP de potencia.
a) 4 litros
b) 4,5
c) 3,5
d) 5
e) 6
Es todo aquello que experimenta cambios y puede ser medido.
Ejemplo:
La sombra de un árbol, la velocidad de un auto, los días trabajados, etc.
MAGNITUDES PROPORCIONALES
Se dice que dos magnitudes son proporcionales si ellas se relacionan de tal modo que, multiplicando la medida (o valor) de una de ellas por un número, la medida (o valor) correspondiente de la otra queda multiplicada o dividida por el mismo número.
En el primer caso la proporcionalidad se llama directa y en el segundo inversa; usualmente se dice que las Magnitudes son directamente proporcionales (D.P.) o inversamente proporcionales (I.P.)
MAGNITUDES PROPORCIONALES
Se dice que dos magnitudes son proporcionales cuando al variar una de ellas la otra también varía.
Clases de magnitudes:
Magnitudes directamente proporcionales (dp)
Magnitudes inversamente proporcionales (i.p.)
EJEMPLO (1)
Se ha pagado S/.16 por 8 kg de arroz.
Determine: a. El costo de 24 kg b. El peso por el cual se pagó S/.80 Resolución Si se pagó S/. 16 por 8 kg se deduce que el costo de 1kg es S/. 2, luego por 24 kg se pagó 24 (S/. 2)=S/.48 y con S/.80 se pudo comprar 40 kg. Llevando los valores a un cuadro: Observamos el comportamiento de los valores afirmamos que la magnitud costo es directamente proporcional a la magnitud peso. Además se tiene que: Con los valores respectivos podemos elaborar una gráfica, como: • La gráfica de las magnitudes D.P. son algunos puntos de una recta que pasa por el origen de coordenadas. • Además: Donde: Textualmente diremos que el costo está en función del peso. EJEMPLO (2) Un automóvil con una velocidad de 20 m/s tarda 30 s en recorrer cierta distancia. a. ¿Que tiempo tardaría si la velocidad fuera 60m/s? b. ¿Que velocidad debería emplearse para emplear solo 25s? Resolución La velocidad 20m/s nos indica que en 1 segundo se recorre 20 m, por lo tanto en los 30 segundos se recorre 3020m=600m. La velocidad 60 m/s nos indica que en 1 segundo se recorre 60 m, luego para recorrer 600 m es necesario 10 segundos. La velocidad es la relación entre la distancia recorrida y el tiempo empleado, en el caso de 25 s la velocidad es . Llevando los valores a un cuadro: Observando el comportamiento de los valores afirmamos que la magnitud velocidad y la magnitud tiempo son inversamente proporcionales. Además se tiene que: Con los valores respectivos podemos elaborar una gráfica, como: • La gráfica de las magnitudes I.P. son algunos puntos de una rama de una hipérbola. • Además: 60(10)=24(25)=20(30)=(vel.)(tiempo)=y·x=k Luego: Textualmente diremos que: La velocidad esta en función del tiempo. EJEMPLO (3) 10 costureras (todas de igual rendimiento) pueden confeccionar 400 casacas iguales en 48 horas. ¿Cuántas casacas confeccionarían si sólo fueran 8 las costureras y disponen sólo de 45 días? Resolución En este caso participan tres magnitudes: costureras; trabajo y tiempo. Se elige una de referencia para relacionarla con las otras, por ejemplo elegimos a costureras, luego: costureras es D.P. al trabajo costureras es I.P. al tiempo. Esto, matemáticamente se expresa del siguiente modo: Luego con los datos: Costureras Trabajo Tiempo i) 10 400 48 ii) 8 n 45 Se trabaja en el esquema: n = 300 Rpta.: confeccionarán 300 casacas • Cuando en el problema participan más de dos magnitudes se dice que se tiene una proporcionalidad compuesta. Se tendrá: Cada caso en particular tendrá su esquema de proporcionalidad. PROPIEDADES 1. Si A es D.P. a B An es D.P. a Bn nÎQ Si A es I. P. a B An es I. P. a Bn nÎQ 2. Si A es I. P. a B A es D. P. a 1. Demostrar que si: N° obreros DP obra (Tiempo: constante) Obra DP tiempo (N° de obreros: constante) entonces: N° obreros IP tiempo (obra: constante) Demostración: N° obreros DP obra ® obra DP N° obreros obra DP tiempo Si la obra es constante: (N° obreros) (tiempo) = constante 2. Demostrar que en una inversión: capital IP tiempo (ganancia constante) Demostración: 1. Se sabe que A es DP a e IP a . Además cuando A es 14, entonces B = 64 y C = B. Hallar A cuando B sea 4 y sea el doble de B. Rpta.: 2. “A” es directamente proporcional al cuadrado de B e inversamente proporcional a la raíz cúbica de C. Si el valor de B se duplica y el de C disminuye en sus , ¿qué sucede con el valor de “A”? Rpta.: 3. Dos personas tienen concedidas pensiones en razón directa a la raíz cuadrada del número de años de servicio. El servicio de la primera excede al de la segunda en años más y las pensiones están en la relación de 9 a 8. ¿Cuánto tiempo ha servido la segunda persona? Rpta.: 4. Sean dos magnitudes “A” y “B” tales que “A” es IP a “B” ; “A” es DP a “B” si A = 6, cuando B = 20. ¿Cuál será el valor de “A” cuando B = 60? Rpta.: 5. La distancia que recorre un objeto al caer durante un minuto es proporcional al cuadrado del tiempo transcurrido desde que fue soltado expresado en minutos. Si en el tercer minuto recorre 100m, ¿cuánto recorrerá en el octavo? Rpta.: 6. En una ciudad el precio del café varía en forma DP al precio del azúcar y en forma IP al precio del té. Averiguar en qué porcentaje aumenta o disminuye el precio del café cuando el precio del azúcar baja en 10% y el precio del té sube en 20%. Rpta.: 7. Una rueda “A” de 40 dientes engrana a otra de 16 dientes, la cual está conectada mediante un eje con otra rueda “C”, la cual está engranada con una rueda “D”. Si el número de dientes de cada una de estas dos últimas ruedas están en la relación de 2 y 7, ¿cuántas vueltas dará la rueda “D” en 3 minutos si “A” da 14 r.p.m? Rpta.: 8. Si el precio de un diamante es DP al cuadrado de su peso, ¿cuánto se perdería si un diamante se rompe en 2 pedazos siendo uno el triple del otro (el diamante entero costó 32 000 dólares). Rpta.: 9. Si “A” y “B” son magnitudes, además se cumple que: calcular el valor de “n + n”. Rpta.: 10. “A”, “B”, “C” son magnitudes que guardan cierta relación de proporcionalidad de acuerdo a las siguientes tablas: cuando A = 72, B = 9 y C = 8. Halle el valor de “B” cuando A = 120 C = 125.