NUMEROS DECIMALES PROBLEMAS RESUELTOS DE SECUNDARIA PDF
Si un litro de leche costara S/.17,50, y un litro de vino S/.43,75, ¿cuántos litros de leche se podría comprar con lo que costaría un litro de vino? a) 2,25 b)2,5 c)2 d) 3 e) 3,5 Isabel va a la librería y compra una libreta a S/.8,50 y un lápiz corrector a S/.6,50. Ella tenía S/.25, ¿cuánto le quedará? a)S/.11 b) 10,50 c) 10,20 d) 10,40 e) 10 ¿Saben cuáles son las partes que componen un número decimal? Indíquenlas a continuación: d) En la recta numérica se ha ubicado la parte entera de 6,9. Ubiquen en el lugar asignado, el número entero que viene a continuación: a) Ordenen las ciudades de la tabla de menor a mayor pluviosidad, considerando los datos de un año normal. b) Calculen la diferencia de pluviosidad que se produjo en cada una de las ciudades entre un año normal y el 2004. 3. ¿En qué otras situaciones de la vida cotidiana encuentran números decimales? Mencionen al menos tres. Ciudad Precipitación anual (en mm) ¿Llovió más o Año normal Año 2004 menos? Arica 1,1 0,0 Isla de Pascua 1 222,9 1 132,4 La Serena 104,1 99,3 Juan Fernández 912,6 852,4 Curicó 718,9 546,3 Chillán 1 022,5 958,0 Puerto Montt 1 844,7 1 557,5 Balmaceda 723,2 555,7 6 e) Entre el 6 y el 7 existen infinitos números. Por ejemplo, justo entre el 6 y el 7 está el 6,5, que es un número decimal. Ubíquenlo en la recta numérica anterior. ¿Podrían ubicar también el 6,9? 2. A continuación, se presenta una tabla con las cifras de precipitación en distintas ciudades de Chile, indicando cuántos milímetros de agua caen en un año normal y cuántos cayeron el año 2004. Identifiquen si en cada una de ellas ese año llovió más o menos que en un año normal. 6 , 9 Expresión fraccionaria de un número decimal finito Una fracción se puede convertir en un número decimal y un número decimal se puede convertir en una fracción. Por ejemplo, si calculamos el cociente entre el numerador y el denominador de las siguientes fracciones obtendremos: 23 10 = 2,3 o 4 5 = 0,8 o 433 40 = 10,825 23 10 = 2,3 o 4 5 = 0,8 o 433 40 = 10,825 23 10 = 2,3 o 4 5 = 0,8 o 433 40 = 10,825 Como ves, en los tres casos anteriores los resultados son números que tienen una cantidad de cifras decimales finitas. A estos números se les llama decimales exactos o finitos. Las fracciones se caracterizan por tener un desarrollo decimal. Cuando dividimos el numerador de una fracción por el denominador obtenemos un número decimal, pero, ¿cómo expresamos fraccionariamente un número decimal finito? ff¿Cuál es la expresión fraccionaria de 52,262? Como puedes ver, 52,262 es un decimal finito. Para transformarlo en fracción anotamos el número sin la coma en el numerador y en el denominador, un 1 seguido de tantos ceros como cifras decimales tiene el número decimal. En este caso: 52,262 = 52 262 1 000 Como el número decimal posee tres dígitos decimales, el denominador de la fracción corresponde a un 1 seguido de tres ceros. Una vez obtenida la fracción podemos simplificarla a su mínima expresión. En este caso, podemos simplificarla por 2, obteniendo 52262 1000 26131 500 . Para transformar una fracción en un número decimal simplemente debes dividir su numerador por su denominador. Es posible transformar un número decimal finito en una fracción a b tal que: a: número decimal sin la coma. b: un 1 seguido de tantos 0 como dígitos decimales tiene el número decimal. Cuando debas expresar un número decimal en forma fraccionaria es importante que elimines de la parte decimal todos los 0 que haya a la derecha. Por ejemplo, si el número decimal a transformar es el 2,603200; debes previamente, convertirlo en 2,6032. Las fracciones se clasifican en propias e impropias: Fracción propia: 2 5 Su valor es < 1. El numerador es menor que el denominador. Fracción impropia: 7 2 Su valor es > 1. El numerador es mayor que el denominador. Se pueden expresar como número mixto, en este caso: 7 2 = 3 1 2 Archívalo Ejercicios individuales Transforma las siguientes fracciones en números decimales e indica a. cuáles de ellos son finitos y cuáles infinitos: Fracción Expresión decimal ¿Finito o infinito? b. Expresa los siguientes números decimales mediante fracciones. No olvides simplificar cada fracción hasta su expresión mínima: Expresión decimal Fracción 1,25 0,503 0,077 13,652 9,3710 148,0875 Ejercicios grupales a. En grupos de tres personas consideren las siguientes situaciones: a) Un pan de pascua se dividió entre cu2atro niños. El primero tocó , el tercero 0,15 y el cuarto 0,32 del total de la bebida; ¿qué número decimal representa la cantidad de bebida que queda en la botella respecto al total que había al principio? Expresión fraccionaria de números decimales periódicos y semiperiódicos Muchas veces debes haber escuchado expresiones como: "un tercio de la torta es para tus tíos" o "para preparar el jugo tienes que poner un tercio de agua". En ambas situaciones un tercio representa la tercera parte de algo. En el caso de la torta, la dividiríamos en tres partes correspondiendo una de ellas a los tíos y en el caso del jugo, dividiríamos el recipiente en tres partes y una de ellas sería de agua. Los números decimales periódicos son aquellos en los que en su parte decimal se repite una cifra o un grupo de cifras infinitamente. Los números decimales periódicos tienen una parte entera y una parte decimal como cualquier número decimal, pero en su parte decimal, se designa como período a la cifra o conjunto de cifras que se repite indefinidamente. A veces, antes del período puede haber otra cifra o conjunto de cifras que no se repite y que se denomina anteperíodo. En este caso, hablamos de números decimales semiperiódicos. 6444447444448 parte entera coma anteperíodo período 7 42 = La coma se pone una vez que el resto de la división es menor que el divisor. Para seguir dividiendo, multiplicamos el resto por 10. ff¿Qué número decimal representa la tercera parte de algo? Basta dividir 1 por 3. Observa: 1 3 = 0,333333333… o 5 3 = 1,666666666 o 1 9 = ¿Qué sucede con el valor de esta fracción? Podríamos seguir dividiendo indefinidamente, ya que el número decimal que se obtiene es infinito. ¿Cuál es la expresión decimal de la fracción 7 23 ? Desafío al ingenio Otro tipo de decimal es aquel que tiene una cantidad infinita de cifras después de la coma, pero en el que estas cifras no siguen un patrón de repetición. A estos números decimales se les llama infinitos no periódicos. Archívalo Tíos ¿Cómo transformar un decimal p ff eriódico en fracción? En el numerador de la fracción debes colocar la resta entre el número formado por la parte entera seguida del período sin la coma, y el número de la parte entera. Para obtener el denominador debes escribir tantos nueves como dígitos componen el período. Ejemplos: 1,98 = 198 −1 99 = 197 99 o 5,3 = 53 − 5 9 = 48 9 5,3 1,98 = 198 −1 99 = 197 99 o = 53 − 5 9 = 48 9 ff¿Cómo transformar un decimal semiperiódico en fracción? En el numerador de la fracción debes colocar la resta entre el número formado por la parte entera seguida del anteperíodo y del período sin la coma, y el número formado por la parte entera y el anteperíodo sin la coma. Para obtener el denominador debes escribir un número con tantos nueves como cifras tenga el período seguido de tantos ceros como cifras tenga el anteperíodo. Ejemplo: 24,65235 = 2465 235 − 24652 99000 = 2440583 99000 Los números decimales periódicos se escriben con una línea recta sobre el período. En algunos libros lo hacen también con una línea curva, como un paréntesis hacia abajo. Ejercicios individuales a. Transforma en fracciones los siguientes números decimales describiendo explícitamente el procedimiento utilizado, como se muestra en el ejemplo: Número decimal Operatoria Fracción 1,431 1431− 14 990 1417 990 1431− 14 990 1417 990 52,2 3,23 0,01 2,314 71,32 Número decimal Operatoria Fracción 5,57 12,2 6,392 0,42 9,9935 23,451 Multiplicación de números decimales Don Pedro necesita comprar lentes ópticos para su hijo. Su Isapre le cubre 5,5 UF. El valor de la UF el día de la compra es de $ 18 532,04. ff¿Qué debe hacer don Pedro para saber exactamente cuánto es lo máximo que la Isapre le cubre? Para averiguar la cobertura de su Isapre don Pedro debe multiplicar 18 532,04 por 5,5. A continuación mostraremos dos métodos para resolver esta operación: Método 1 1º Convertimos los factores en números enteros, multiplicándolos por un número compuesto por un 1 seguido de tantos ceros como cifras decimales tiene cada uno de ellos. Si uno de los factores es un número entero no se amplifica. En el caso del ejercicio que estamos resolviendo, las multiplicaciones son: 18 532,04 · 100 = 1 853 204 y 5,5 · 10 = 55 2º Multiplicamos los números naturales: 1 8 5 3 2 0 4 · 5 5 9 2 6 6 0 2 0 + 9 2 6 6 0 2 0 1 0 1 9 2 6 2 2 0 3º En el producto, corremos la coma de derecha a izquierda tantos lugares como dígitos decimales tengan los factores en conjunto. En el ejemplo: 18 532,04 tiene 2 decimales y 5,5 tiene 1 decimal, por lo tanto, contamos 3 posiciones de derecha a izquierda en el resultado y allí colocamos la coma: 101 926,220. Por lo tanto, la Isapre cubre un máximo de $ 101 926,22 para la compra de los lentes ópticos. Método 2 Una forma de resolución equivalente a la anterior consiste en transformar la multiplicación de números decimales a una multiplicación de fracciones decimales. Observa: Recuerda que los términos de una multiplicación se llaman factores y el resultado, producto. 4 · 3 Factores = 12 Producto El resultado de multiplicar dos fracciones es una fracción cuyo numerador es el producto de los numeradores y cuyo denominador es el producto de los denominadores. Cuando un adulto contrata un plan de salud es muy importante que pida la información detallada de lo que este incluye. Las Isapres cuentan con un informativo específico para cada plan donde figuran los distintos servicios ambulatorios y hospitalarios. Muchas veces en los planes el tope se expresa en UF. La Salud Enlace con… Ejercicios individuales Resuelve las siguientes operaciones multiplicando por medio de los dos a. métodos. Comprueba con una calculadora: a) 348,69 · 6,7 b) 7 298,42 · En la unidad siguiente verás detalladamente la multiplicación de fracciones. División de números decimales Según la Academia Nacional de Ciencias de EE.UU., un niño o niña de 9 a 13 años debería consumir diariamente como mínimo 1,7 L de agua potable, distribuidos en un promedio de 7,5 vasos espaciados equitativamente a lo largo del día. ff¿Cuál es la cantidad de agua que debe contener cada vaso? Para saber la cantidad de agua que debe contener cada vaso, dividimos 1,7 L en 7,5 vasos y para esto utilizaremos el siguiente método: 1. Identificamos cuál de los dos términos de la división tiene más cifras en la parte decimal. En este caso, ambos números son decimales y los dos tienen la misma cantidad de dígitos en la parte decimal. 2. Amplificamos el dividendo y el divisor por un número compuesto por un 1 seguido de tantos ceros como dígitos decimales tenga el número que identificamos en el paso anterior. 1,7 · 10 = 17 7,5 · 10 = 75 3. Dividimos estos números naturales: 1 7 : 7 5 = 0 , 2 2 6 1 7 0 2 0 0 5 0 0 5 0 0 5 0 … Hay casos en que el dividendo y el divisor no tienen la misma cantidad de dígitos en la parte decimal. En estos casos multiplicamos ambos términos de la división por un 1 seguido de tantos ceros como dígitos después de la coma tenga el número con más cifras decimales. Así habrás convertido tanto dividendo como divisor en números enteros y podrás resolverla sin problemas. Observa el ejemplo: 8,4 : 2,25 En este caso el dividendo tiene 1 dígito decimal y el divisor 2, por lo tanto multiplicaremos ambos por 100. Al hacerlo transformamos la división de números decimales en una división de dos números naturales: 840 : 225 Esta división puedes resolverla como ya sabes. Recuerda que los términos de una división se llaman dividendo y divisor y el resultado, cociente. Divisor 8 : 2 Dividendo = 4 Cociente Para multiplicar y dividir números decimales en una calculadora científica debes ocupar la tecla / para la división y * para la multiplicación. La coma decimal la encuentras generalmente como un punto, en la tecla .. Si 6 gatos cazan 6 ratones en 3 minutos, ¿cuánto tardan 100 gatos en cazar 100 ratones? Desafío al ingenio Ejercicios individuales a. Resuelve las siguientes divisiones: a) 1 255 : 2,5 = b) 4 587 : 5,4 = c) 2 840 : 2,4 = d) 78,9 : 3 = e) 49,49 : 7 = f) 761,25 : 9 = g) 25,69 : 2,3 = h) 345,82 : 46,3 = i) 105,3 : 3,9 = j) 248,33 : 2,5 = b. Descubre la relación que existe entre los números de cada pirámide y completa los casilleros vacíos: a) c) 0,1 0,2 0,8 0,16 2 0,2 1,1 7 3 7,7 2,8 1,2 21,56 4,95 3,3 11 1,5 0,3 0,26 1,3 4 8 3 0,5 4 48 b) d) Análisis de factores y productos Los alimentos que consumes a diario contienen en mayor o menor cantidad determinados compuestos químicos que el organismo necesita. La carne es una fuente habitual de proteínas, grasas y sales minerales en la dieta humana. Entre los minerales que aporta al organismo se encuentran algunos como el hierro, el potasio y el fósforo. En la siguiente tabla presentamos la cantidad de miligramos (mg) de fósforo presentes en un gramo (g) de algunos tipos de carnes de consumo habitual: Carnes Fósforo (mg por g de parte comestible) Seso de vacuno 2,11 Chuleta de cerdo 0,87 Lomo vetado 0,95 Posta negra 1,05 ffSi una persona come 150 g de cada una de las carnes mencionadas en la tabla, ¿qué cantidad de fósforo está ingiriendo con cada una de ellas?, ¿y si comiera solo 0,7 g de cada una? Carnes mg de fósforo por g de carne mg de fósforo en 150 g de carne mg de fósforo en 0,7 g de carne Seso de vacuno 2,11 2,11 · 150 = 316,5 2,11 · 0,7 = 1,477 Chuleta de cerdo 0,87 0,87 · 150 = 130,5 0,87 · 0,7 = 0,609 Lomo vetado 0,95 0,95 · 150 = 142,5 0,95 · 0,7 = 0,665 Posta negra 1,05 1,05 · 150 = 157,5 1,05 · 0,7 = 0,735 Después de obtener el resultado solicitado en el problema anterior pongamos atención en los números y analicemos los datos obtenidos en la tabla: En verde tenemos la multiplicación de dos números mayores que 1; en azul la multiplicación de un número mayor que 1 y otro menor que 1 y en rojo se multiplican dos números menores que 1. ¿Qué ocurre con los productos? 2,11 · 150 = 316,5 1,05 · 0,7 = 0,735 0,95 · 0,7 = 0,665 Elije un número decimal. Réstale 0,3 y el resultado multiplícalo por 4. Suma 5,2 y el resultado multiplícalo por 0,25. Finalmente resta 1. ¿Qué número obtienes? Prueba con otros números decimales. Desafío al ingenio Muchas personas se abstienen de comer carne y pescado, basando su alimentación en el consumo de cereales, legumbres, frutas y vegetales. Esta dieta es conocida como vegetariana. La Salud Enlace con… En la multiplicación de números decimales se obtienen productos que dependen de la naturaleza de los factores: Cuando los factores son mayores que 1 • –tanto si se trata de números naturales como decimales– el producto siempre es mayor que cualquiera de los factores. • Cuando uno de los factores es mayor que 1 –tanto si se trata de un número natural o decimal– y el otro es menor que 1, el producto es mayor que el factor menor que 1 y menor que el factor mayor que 1. • Cuando los factores son menores que 1, el producto siempre es menor que cualquiera de sus factores. Ejercicios individuales a. Completa las siguientes tablas usando calculadora y responde las preguntas: a) ¿Por qué crees que el valor de los productos en todas las columnas va disminuyendo? b) Pinta de un color los casilleros en los que ambos factores son mayores que 1; de un segundo color, los casilleros en los que un factor es mayor que 1 y el otro es menor; y de un tercer color, los casilleros en los que ambos factores son menores que 1. ¿Se cumplen las tres reglas expuestas en el cuadro de definición que está más arriba? 2. Responde las preguntas ocupando la información de la siguiente tabla: Alimento Queso Almendra Yema de huevo Brócoli Nuez Calcio (mg por g de alimento) 7,3 2,5 1,3 0,6 0,9 a) ¿Cuántos miligramos de calcio hay en 0,8 g de queso? b) ¿Cuántos miligramos de calcio hay en 0,5 g de almendras? c) ¿Cuántos miligramos de calcio hay en 4,1 g de yema de huevo? d) ¿Cuántos miligramos de calcio hay en 0,4 g de brócoli? e) ¿Cuántos miligramos de calcio hay en 70 g de nueces? f) ¿Cuántos miligramos de calcio hay en una ración de 0,9 g de queso y 10 g de nueces? Factores Producto 18 · 2 18 · 1,5 18 · 1 18 · 0,5 18 · 0,25 Factores Producto 1,7 · 100 1,7 · 10 1,7 · 1 1,7 · 0,1 1,7 · 0,01 Factores Producto 0,3 · 12 0,3 · 4 0,3 · 1 0,3 · 0,4 0,3 · 0,1 Hoy, excepto en unos pocos países, la unidad de longitud que se utiliza es el metro. Algunas de sus equivalencias son: Números decimales: unidades de longitud ff¿Qué significa la afirmación “Carla caminó 1,8 metros”? ff¿Es lo mismo que decir: “Carla caminó 1,8 centímetros”? De forma gráfica 1 metro equivale a 100 centímetros. Dividimos 1 metro en 100 partes iguales y cada una de esas partes corresponde a 1 centímetro. Considerando lo anterior, 1,8 metros se podría representar así: En conclusión, 1,8 metros equivalen a 180 centímetros. De forma aritmética También se puede determinar la equivalencia de la siguiente forma: Unidades de longitud y sus equivalencias Kilómetro Hectómetro Decámetro Metro Decímetro Centímetro Milímetro 1 kilómetro (km) 1 10 100 1 000 10 000 100 000 1 000 000 1 hectómetro (hm) 0,1 1 10 100 1 000 10 000 100 000 1 decámetro (dam) 0,01 0,1 1 10 100 1 000 10 000 1 metro (m) 0,001 0,01 0,1 1 10 100 1 000 1 decímetro (dm) 0,0001 0,001 0,01 0,1 1 10 100 1 centímetro (cm) 0,00001 0,0001 0,001 0,01 0,1 1 10 1 milímetro (mm) 0,000001 0,00001 0,0001 0,001 0,01 0,1 1 8 décimas de 1 metro 8 décimas de 1 metro son 80 cm 8 décimas de 100 cm porque 1 m = 100 cm 8 10 ⋅1m = 8 10 ⋅100 cm = 800 10 cm = 80 cm Por lo tanto; 1,8 m es lo mismo que 1 m + 8 10 ⋅1m = 8 10 ⋅100 = 800 10 m = 100 cm + 80 cm = 180 cm. Antiguamente se utilizaban diversas unidades de longitud.