ECUACIÓN DE LA HIPÉRBOLA PROBLEMAS RESUELTOS PDF
OBJETIVOS :
• Identificar, comprobar y graficar las ecuaciones de la hipérbola así como sus aplicaciones.
• Contextualizar la hipérbola en el ámbito cotidiano y en la ingeniería
• Aplicar la teoría en los diversos problemas
PROBLEMA 1 :
La ecuación de la hipérbola es :
9x² – 4y² – 54x + 8y + 113 = 0 marcar lo incorrecto :
A) Vértices : (3; 4); (3; – 2)
B) Focos : (3; 1 + √13); (3; 1 - √13)
C) Longitud del eje transverso = 6
D) Longitud del lado recto = 8/3
E) Excentricidad : 13/2
Rpta. : "E"
PROBLEMA 2 :
Determinar la ecuación de una hipérbola con centro en el origen, si su eje transverso está sobre el eje X. Además su excentricidad es √6/2 y contiene al punto (2; 1)
A) 2x² – y² =2
B) x² – 2y² =2
C) 2x² – y² =1
D) x² – y² =2
E) x² – 2y²=1
Rpta. : "B"
PROBLEMA 3 :
Una hipérbola tiene su centro en el origen y pasa por el punto ( – 1; 2). Calcular su ecuación si la longitud de cada lado recto es 2/3 y su eje conjugado está sobre el eje x
A) y² – 3x²=3
B) y² – 3x²=1
C) 3y² – x²=1
D) 3y² – x²=3
E) y² – x²=1
Rpta. : "B"
PROBLEMA 4 :
Halle la ecuación de la hipérbola con centro (0;0) de manera que los focos estén situados sobre el eje “x”, la distancias entre las directrices es √30/15 y que pasa por el punto P(1; 2).
A)20x² – y² = 20
B) 5x² – y² = 1
C) 20x² – y²=1
D)20x² – y² = 18
E) 5x² – y²= 2
Rpta. : "B"
PROBLEMA 5 :
Determinar la excentricidad de la hipérbola, si el segmento comprendido entre sus vértices se ve desde los focos de la hipérbola conjugada bajo un ángulo de 60°
A) √2
B) √3
C) √5
D) √6
E) 3
Rpta. : "B"
PROBLEMA 6 :
Las ecuaciones de las directrices de una hipérbola son 5x+1=0 y 5x+19=0.
Si la excentricidad es igual a 1,666... , calcular la longitud de sus lados rectos
A) 32/3
B) 16/3
C) 8/3
D) 16/5
E) 32/5
Rpta. : "A"
PROBLEMA 7 :
Las asíntotas de una hipérbola son
2x – y – 6 = 0 y 2x+y – 2 = 0
Si dicha curva pasa por ( – 11; 8), hallar su ecuación
A) 4(x – 2)² – (y+2)² = 576
B) 4(y+2)² – (x – 2)² = 216
C) 4(x+2)² – (y – 2)² = 676
D) 2(y –1)² – (x – 2)² = 276
E) 2(x – 2)² – (y+1)² = 216
Rpta. : "A"
PROBLEMA 8 :
Los extremos del eje conjugado de una hipérbola son los puntos (0;3) y (0; – 3) y la longitud de cada lado recto es 6. Hallar la ecuación de la hipérbola
A) y² – 3x² = 9
B) y² – x² = 9
C) x² – y² = 9
D) x² – 3y² = 9
E) 2y² – 3x² = 6
Rpta. : "C"
PROBLEMA 9 :
Se tiene una hipérbola con centro en (4;2) y foco en (4;6). Si se sabe que la longitud de su lado recto es 6,4, determinar la longitud del eje conjugado
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
Rpta. : "D"
PROBLEMA 10 :
Si la longitud del eje transverso y la excentricidad de una hipérbola, están en la relación de 18 a 3, calcular la distancia entre sus directrices
A) 5
B) 6
C) 8
D) 9
E) 12
Rpta. : "B"
PROBLEMA 11 :
La ecuación de una hipérbola es
4x² – 9y²+16x – 54y – 101=0
Calcular la longitud de su lado recto
A) 2/3
B) 4/3
C) 32/3
D) 8/3
E) 31/3
Rpta. : "B"
PROBLEMA 12 :
Una hipérbola con centro en (1; 4) tiene un foco en (7; 4) y un vértice es (3; 4). Hallar su ecuación
A) 2x² – y² – 4x – 8y – 16=0
B) 2x² – y² – 8x+6y – 19=0
C) 4x² – 2y² – 4x+y – 20=0
D) 6x² – 4y² – 48y – 14x+21=0
E) 8x² – y² – 16x+8y – 40=0
Rpta. : "E"
PROBLEMA 13 :
Las asíntotas de una hipérbola son las rectas x – 3y+2=0 y x+3y+2=0, un vértice es ( – 5;0). Hallar la ecuación de la hipérbola
A) 9x²+y²+6y – 4x+1=0
B) 9y² – x² – 8y – 6x – 11=0
C) x² – 9y²+4x – 5=0
D) 25x² – 16y² – 8x – 10=0
E) 9x² – y² – 2x+4y=0
Rpta. : "C"
PROBLEMA 14 :
En una hipérbola cuya ecuación es :
16x² – 9y² – 64x – 54y – 161 = 0
Hallar las coordenadas de su centro
A) (2; – 1)
B) (1; – 3)
C) (2; – 3)
D) (3; – 4)
E) (3; – 6)
Rpta. : "C"
PROBLEMA 18 :
Calcule la longitud del lado recto de una hipérbola con centro en el origen de coordenadas si se sabe que la distancia de uno de sus focos F (3√5 ; 0) a una asíntota es 6 u.
A) 10 u
B) 16 u
C) 18 u
D) 20 u
E) 24 u
PROBLEMA 19 :
Determine la medida del ángulo agudo que forman las asíntotas de la hipérbola.
x² – 3y²+10x+18y–14=0
A) 30°
B) 45°
C) 60°
D) 74°
E) 16°
PROBLEMA 20 :
Los focos de una elipse 9x²+5y²= 45 coinciden con los focos de una hipérbola de excentricidad 2√3/ 3 . Determine la ecuación de la hipérbola.
A) 2y² – 3x²=3
B) 2y² – 3x²=6
C) y² – x²=1
D) y² – 3x²=3
E) y² – x²=2
PROBLEMA 21 :
Determine las ecuaciones de las asíntotas de la hipérbola de ecuación
9x² – y² – 36x –2y +44=0
A) x–y–3= 0; x+ y–1=0
B) 3x–y–7= 0; 3x+ y–5=0
C) 2x–y–5= 0; 2x+ y–3=0
D) x–2y–4= 0; x+2y =0
E) x–3y–5= 0; x+3y +1=0
PROBLEMA 22 :
El eje conjugado de una hipérbola está contenido en la recta ℒ : y = 4, mientras que la ecuación de una de sus asíntotas es ℒ1: 3x+4y – 22= 0.
Si el foco más alejado del origen se encuentra sobre la recta ℒ2 : 9x – 2y = 0, determine la ecuación de la hipérbola.
A) (y – 4)² – x²=144
B) 16(y – 4)² – 9x²=144
C) 16y – 9x²=144
D) 16(y – 4)² – 9(x – 2)²=144
E) 9(x – 2)² – 16(y – 4)²=144
PROBLEMA 23 :
Si θ es la medida del ángulo que forman la hipérbola equilátera x² – y²= r² y la circunferencia x²+ y²=9r², calcule cos2θ.
A) − 79/81
B) − 69/81
C) − 23/25
D) − 79/91
E) − 49/81
HIPÉRBOLA CON CENTRO FUERA DEL ORIGEN
Ahora vamos a calcular la ecuación ordinaria de la hipérbola, pero con el centro en el punto C(h, k).
Esto ocasiona un cambio en la forma ordinaria de la ecuación de la hipérbola horizontal a través de una traslación
Recuerda que cuando la hipérbola las fórmulas para el cálculo de cada elemento de la misma cambia cuando es horizontal a cuando es vertical.
ECUACIÓN GENERAL DE LA HIPÉRBOLA
Ahora vamos a la forma general de la ecuación de la hipérbola.
Recuerda que para convertir de la forma ordinaria a la forma general, basta desarrollar las operaciones necesarias para llevar la ecuación ordinaria a la forma:
A x² + By² + D x + E y + F = 0
independientemente de que el centro de la hipérbola esté o no en el origen del sistema de coordenadas.
