GRADOS DE UN POLINOMIO PROBLEMAS RESUELTOS

Grados de un polinomio Grado relativo (G.R.) El grado relativo de un polinomio está representado por el Mayor Exponente de dicha letra o variable. Ejemplo (1) Dado el polinomio: - Grado relativo con respecto a la variable "x" es: 5 - Grado relativo con respecto a la variable "y" es: 4 Ejemplo (2) Dado el polinomio: - Grado relativo con respecto a la variable "x" es: 3 - Grado relativo con respecto a la variable "y" es: 5 - Grado relativo con respecto a la variable "z" es: 6 Grado absoluto (G.A.) El grado absoluto de un polinomio está representado por el monomio de mayor grado. Estimado alumno, no vayas a cometer el error de decir: ; porque esto es falso. Grado de las operaciones algebraicas El grado de una expresión algebraica se determina después de realizar operaciones indicadas, las reglas que debemos aplicar son las siguientes: I.- Grado de un producto: Se suma los grados de los factores. Ejemplo (1) El grado de: ; será: Ejemplo (2) El grado de: ; será: II.- Grado de un cociente: Se resta el grado del dividendo menos el grado del divisor. Ejemplo (1) El grado de: ; será: Ejemplo (2) El grado de: será: III.- Grado de una potencia: Se multiplican el grado de la base por el exponente. Ejemplo (1) El grado de: ; será: 3 .2 = 6 Ejemplo (2) El grado de: será: 6 . 3 . 2 = 36 IV.- Grado de una raíz: Se divide el grado del radicando entre el índice del radical. Ejemplo (1) El grado de: ; será: 8 : 4 = 2 Ejemplo (2) El grado de: será: 12 : ( 2 . 3 ) = 2 Ejercicio 1 En el polinomio: . Calcular: "m" y "n" ; si el grado con respecto a "y" es 4 y el grado absoluto del polinomio es 12. Resolución: Del enunciado: * ) G.R.(y): n + 2 = 4 à n = 2 **) G.A. : m + n + 4 = 12 m + 2 + 4 = 12 à m = 6 Ejercicio 2 Calcular: "m" y "n" para que el monomio: sea de grado absoluto 80 y de grado relativo a "y" 20. Resolución: De acuerdo al enunciado, planteamos las ecuaciones: G.R. (y) : 3m - 2n = 20 . . . . . (1) G.A.: 4(m + n) + 3m - 2n = 80 à 7m + 2n = 80 . . . (2) Sumamos miembro a miembro las ecuaciones (1) y (2): m = 10 Reemplazamos el valor de m = 10 en la expresión (1): 3(10) - 2n = 20 à 30 - 2n = 20 n = 5 Ejercicio 3 Hallar el coeficiente del monomio: ; si su grado absoluto es 10 y el grado relativo a "x" es 7. Resolución: De acuerdo al enunciado, planteamos las ecuaciones: G.R. (x) : 3m + 2n = 7 . . . . . (1) G.A. : 3m + 2n + 5m - n = 10 8m + n = 10 à n = 10 - 8m . . . . . (2) Reemplazamos la expresión (2) en (1): 3m + 2 (10 - 8m) = 7 à 3m + 20 - 16m = 7 13 = 13m m = 1 Reemplazamos el valor de m = 1 en la expresión (2): n = 10 - 8(1) n = 2 Luego, hallamos el coeficiente del monomio: Coeficiente del monomio = , reemplazando el valor de m = 1 y n = 2, obtenemos: Coeficiente del monomio = Coeficiente del monomio = 1 Rpta. Ejercicio 4 En el polinomio: se verifica que la diferencia entre los grados relativos a "x" e "y" es 5 y además que el menor exponente de "y" es 3. Hallar el grado absoluto del polinomio. Resolución: G.R.(x): m +n + 5 G.R.(y): m + 2 * Del enunciado, planteamos la ecuación; (m + n + 5) - (m + 2) = 5 à n + 3 = 5 n = 2 ** El menor exponente de "y" es 3, o sea: m - 4 = 3 m = 7 Luego, calculamos el grado absoluto del polinomio, veamos: Grado absoluto: (n + m + 5) + (m - 4) = 2m + n + 1 2(7) + 2 + 1 = 17 Grado absoluto del polinomio es 17 Rpta. Ejercicio 6 Calcular el valor de: (a + b) si el polinomio: Q(x ; y) = x3a-b-3ya+2b+4+x3a-b-2ya+2b-2 + x3a-b-1ya+2b es de grado absoluto 29 y la diferencia de sus grados relativos a "x" e "y" vale -5. Resolución: Q(x ; y) = x3a-b-3ya+2b+4+x3a-b-2ya+2b-2 + x3a-b-1ya+2b G.R.(x): 3a - b - 1 G.R.(y): a + 2b + 4 * Del enunciado, planteamos la ecuación; (3a - b - 1) - (a + 2b + 4) = -5 à 2a - 3b - 5 = -5 à 2a = 3b . . . (1) ** G.A. del polinomio: 4a + b + 1 = 29 à b = 28 - 4a . . . (2) Reemplazando la expresión (2) en (1) 2a = 3(28 - 4a) à 2a = 3(28) - 12a à 14a = 3(28) \ a = 6 Reemplazamos el valor de a = 6 en la expresión (2): b = 28 - 4(6) \ b = 4 Luego: a + b = 6 + 4 = 10 \ a + b = 10

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