GEOMETRIA EUCLIDIANA CONCEPTOS Y EJEMPLOS PDF

Objetivos CLICK AQUI PARA VER PDF • Identificar los términos geométricos indefinidos y algunas construcciones básicas de la geometría euclidiana. • Identificar la relación de los ángulos que se forman entre dos rectas paralelas y una recta secante que las corta. • Utilizar y reconocer los teoremas de Thales, Pitágoras y la fórmula de Herón como herramientas básicas en la resolución de problemas de tipo geométrico. • Utilizar las proporciones para expresar la relación entre las partes correspondientes de figuras semejantes. • Deducir las fórmulas para hallar las áreas de: paralelogramos, triángulos, trapecios y polígonos regulares. • Identificar y representar los elementos geométricos que caracterizan a los cuadriláteros, triángulos, polígonos regulares y figuras circulares. • Calcular el área y perímetro de figuras planas. • Calcular el área lateral, área total y volumen de cuerpos geométricos: prismas, pirámides, conos, cilindros y esferas. • Identificar y trazar los elementos de cuerpo sólidos: prismas, pirámides, cilindros, conos y esferas. • Aplicar las fórmulas que involucran figuras planas y cuerpos sólidos en la resolución de problemas geométricos. Antecedentes históricos Términos indefinidos Plano Segmentos de línea Congruencia de segmentos Longitud de un segmento Segmentos proporcionales Concepto de ángulo Congruencia de ángulos Bisectriz de un ángulo Medición de ángulos Tipos de ángulos Clasificación Teorema de Thales Rectas perpendiculares Mediatriz de un segmento Triángulos Clasificación de triángulos Líneas en triángulos Congruencia de triángulos Semejanza de triángulos Teorema de Herón Teorema de Pitágoras Prueba del teorema de Pitágoras Polígonos Área del rectángulo Área del paralelogramo Área del cuadrado Área del triángulo Área del trapecio Área del rombo Área del polígono regular Generalidades de un polígono regular Relaciones entre segmentos y apotemas en algunos polígonos regulares Circunferencia y área del círculo Longitud de arco, áreas de un sector y de un segmento Medición de ángulos y arcos en un círculo Áreas y volúmenes de sólidos Geometría del espacio Ángulo diedro Ángulo poliedro Clasificación de sólidos Área del prisma Volumen del prisma Volumen de la pirámide Área del tronco de pirámide regular Volumen del tronco de pirámide regular Superficie cilíndrica Cilindro circular recto Volumen del cilindro Superficie cónica Área lateral del cono Volumen del cono truncado Revolución de una línea poligonal regular Volumen de la esfera Resumen Paralelepípedo Prisma Cilindro circular recto Cono circular recto Tronco de un cono circular recto Pirámide Tronco de pirámide Esfera Triángulos semejantes Triángulo Triángulo rectángulo Fórmula de Herón Triángulo equilátero Paralelogramo Trapecio Rectángulo Triángulo Círculo Sector circular Corona Triángulo rectángulo Antecedentes históricos La geometría es una ciencia muy antigua y su origen se debe a la necesidad de medir del hombre. Los egipcios (3000 a.c.) desarrollaron una serie de reglas prácticas que permitían medir figuras geométricas y determinar algunas de sus propiedades. La palabra geometría se deriva de la palabras griegas geo (tierra) y metron (medida). Los griegos fueron quienes dieron a la geometría su máximo desarrollo, los cuales trataron de sistematizar los datos geométricos que conocían estableciendo razones lógicas y relaciones entre ellos; por hombres como Tales de Mileto (600 a.c.), Pitágoras (540 a.c.), Platón (390 a.c.) y Aristóteles (350 a.c.) y la mayor parte de lo que se estudia actualmente en geometría, se encuentra en el texto de geometría escrito por Euclides (300 a.c.) títulado Elementos, el cuál se ha utilizado por más de 2.000 años. El estudio de la geometría es necesario en la preparación del ingeniero, del arquitecto, del dibujante; existen muchos ejemplos de formas geométricas en el mundo físico y con el paso del tiempo, el hombre empezó a clasificar esas formas, les dio nombre y creó definiciones para describirlas. Por medio de la geometría se aprecia el orden y la belleza de las formas geométricas que abundan en la naturaleza. Términos indefinidos Se les puede dar un significado por medio de descripciones, los cuales no se consideran como definiciones; estos términos indefinidos son: Punto No tiene ubicación, longitud, anchura ni altura. Se designa al punto conceptual por medio de una letra mayúscula, así: A. B. C. Recta Longitud ilimitada, derecha sin grosor ni extremos. Se designa con letras mayúsculas en dos puntos cualesquiera sobre ella o con una letra minúscula, así: Plano Un plano tiene longitud y anchura pero no espesor. Un plano se representa como parte de un objeto físico, como el corte más delgado posible; pero no son las representaciones reales de un plano. El punto, la recta y el plano cumplen las siguientes propiedades: • Existen infinitos puntos. • Por un punto pasan infinitas rectas. • Dados dos puntos diferentes, estos determinan una única recta. • Una recta contiene infinitos puntos. • Existen infinitas rectas. • Tres puntos que no están en una recta determinan un plano. • Un plano contiene infinitos puntos. Algunas relaciones entre puntos y rectas en un plano. Puntos colineales Tres o más puntos son colineales si pertenecen a una misma recta (). Puntos coplanares Son puntos que se encuentran en un mismo plano (). Rectas intersecantes Son dos rectas con un punto en común. l Rectas paralelas Son rectas que están en el mismo plano y no se intersecan, no tiene un punto en común, es decir l es paralela a  y se nota l  . Rectas concurrentes Son tres o más rectas coplanares que tienen un punto en común. Tipos de ángulos Ángulo agudo: es un ángulo que mide entre 0° y 90°. Ángulo recto: es un ángulo que mide 90°. Ángulo obtuso: es un ángulo que mide más de 90° y menos de 180°. Ángulo llano: es un ángulo que mide 180°. Ángulo completo: es un ángulo que mide 360°. Ángulos complementarios: dos ángulos son complementarios si la suma es un ángulo recto 90°. Ángulos suplementarios: dos ángulos son suplementarios si la suma es un ángulo llano 180°. Las tres medianas de un triángulo se intersectan en un punto llamado baricentro. Las tres bisectrices de un triángulo se intersectan en un punto llamado incentro. Las mediatrices de un triángulo se intersectan en un punto llamado circuncentro. Las tres alturas se intersectan en un punto llamado ortocentro. Congruencia de triángulos Dos figuras son congruentes cuando tienen la misma forma y el mismo tamaño. La palabra congruente se deriva de las palabras latinas con que significa "con" y gruere, que significa "concordar, convenir". Las figuras congruentes pueden hacerse coincidir parte por parte, donde las partes coincidentes se llaman partes correspondientes. El símbolo para notar congruencia es ,; el cual es la combinación de dos símbolos;  ; que significa tener el mismo tamaño.  ; que significa tener la misma forma. Triángulos congruentes: son los que tienen el mismo tamaño y la misma forma. Si dos triángulos son congruentes, sus lados y ángulos correspondientes son congruentes. Principio del Lado, Ángulo y Lado (LAL) Si dos lados y el ángulo comprendido de un triángulo son congruentes con las partes correspondientes de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes. Principio de Ángulo, Lado y Ángulo (ALA) Si un lado y los dos ángulos adyacentes de un triángulo son congruentes con las partes correspondientes de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes. Principio del Lado, Lado y Lado (LLL) Si los tres lados de un triángulo son congruentes con los tres lados de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes. Semejanza de triángulos Dos figuras son similares si tienen la misma forma aunque no el mismo tamaño. El símbolo para "similar" es . El triángulo  es similar al triángulo ''' ya que, los ángulos correspondientes son congruentes y sus lados correspondientes son proporcionales. Fórmula de Herón Se utiliza para hallar el área de un triángulo, cuando solo se conoce los lados de un triángulo y no se conoce la altura ni ninguno de los ángulos. Este teórema es de Herón de Alejandría quien vivió hacia el siglo III A.C; son conocidas varias obras suyas, pero se le recuerda sobre todo por la llamada fórmula de Herón. Generalidades de un polígono regular Si se divide la circunferencia en tres o más arcos congruentes y si se unen los puntos consecutivos mediante cuerdas, se obtienen polígonos regulares inscritos. Además, al unir los vértices consecutivos con el centro de la circunferencia, siempre se forman triángulos cuya altura sobre el lado del polígono recibe el nombre de apotema. Áreas y volúmenes de sólidos Geometría del espacio El conjunto de todos los puntos se llama espacio. La geometría del espacio también llamada frecuentemente geometría de los sólidos, trata básicamente de las figuras que no se encuentran en el mismo plano, es decir; una figura en el espacio es una combinación de puntos, rectas y superficies que pueden ser planas y curvas. Ángulo diedro Un ángulo diedro es la unión de una recta y dos semiplanos no coplanares que tienen a la recta como su borde en común. La recta se llama arista del ángulo diedro y la unión de la arista y su semiplano se llama cara o lado del ángulo diedro. Ángulo poliedro Sea  un polígono cerrado que se encuentra en un plano y sea  un punto exterior al plano del polígono. El conjunto de los puntos  sobre los rayos desde  que pasan por todos los puntos  del polígono se llama Ángulo poliendro. Clasificación de sólidos Poliedros Un poliedro es un sólido limitado únicamente por un número finito de superficies planas que son regiones poligonales que cumple: - El interior de dos regiones cualesquiera no se intersectan. - Cada lado de cualquiera de los polígonos, es también un lado de uno de los otros polígonos. - La intersección de dos caras cualesquiera del poliedro es una arista Superficie cilíndrica Superficie cilíndrica es la generada por una recta que gira paralela a sí misma y que intersecta a una curva plana dada. La recta que gira se llama generatriz y la curva fija se llama directriz. Cilindro circular recto Cilindro circular recto es un sólido geométrico limitado por una superficie cilíndrica y dos planos paralelos que intersectan a todas las generatrices. Estos dos planos paralelos y congruentes son las bases del cilindro. La superficie cilíndrica limitada es la superficie lateral del cilindro, la altura del cilindro es la distancia perpendicular entre las bases. El cilindro circular puede ser recto u oblicuo, depende de la linea generatriz, si esta es perpendicular u oblicua a las bases

Archivo

Mostrar más
Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...