FACTORIZACION EN POLINOMIOS SIMETRICOS Y ALTERNADOS PROBLEMAS RESUELTOS

Polinomio simétrico Es el polinomio de dos o más variables que no se altera al intercambiar cualquier par de variables en forma simultánea. TEOREMAS 1. De la adición, sustracción y multiplicación de polinomios simétricos resultan polinomios simétricos. 11. De la multiplicación de un polinomio simétrico por otro alternado resulta otro polinomio alternado. III. Si un polinomio simétrico se anula para alguna de sus variables, se anulará para todas sus variables. IV. Si un polinomio se anula para una variable igual a otra, se anulará para esa misma variable igual a las demás. • Nota Ejemplo Sea G(x;y; z)=S ( x 3+ y 3+ z3 ) +2xyz. Resolución Elegimos arbitrariamente dos variables y; z y las intercambiamos G(x; z;y)=S(x3 +z3 +l )+2xzy =s(x3+l+~)+2xyz Podemos observar que el polinomio no ha sufrido ningún cambio. Por lo tanto, G(x;y; z) es simétrico. Polinomio alternado Es el polinomio de dos o más variables que solo cambia de signo al intercambiar cualquier par de variables de manera simultánea. Ejemplo 3 3 Sea R(x; y)=x - y . Resolución Sl· cam b'l amos x por y, reC,l procamente se o b tI.e ne R( Y; x)=y 3- x 3= - (x 3- y 3) ; de donde R(y;x) =- R(x;y). Por lo tanto, R(x;y) es alternado. Procedimiento para factorizar l. Se verifica si el polinomio es simétrico o alternado. 2. Buscaremos factores binomios haciendo una variable igual a otra o a su negativo. 3. Se establece la identidad de polinomios teniendo presente la simetría. Ejemplos l. Factorice el polinomio 5(x;y; z)=x2(y-z)+/(z-x)+¿(x-y) Resolución Nótese que al intercambiar cualquier par de varibles, el polinomio 5 altera su signo. Es decir: 5(x; y; z)= - 5(y; x; z) Así el polinomio es alternado de grado 3. Además, para x=y se tiene 5(y; y; z)=O ~ (x- y) es un factor de 5. Análogamente, (y-z); (z- x) son factores de 5. Luego 5(x;y; z)= (x- y)(y-z)(z-x). 2. Factorice el polinomio M(a; b; e)=a 3 e+e 3b + b3a -a 3b - b3 e-e3 a. Resolución Si intercambiamos cualquier par de variables, el polinomio solo alterna el signo. Así M(a; b; e)=-M(b; a; e)' Entonces, el polinomio es alternado; además, para a=b se tiene M(b; b; e)=O ~ (a-b) es un factor de M. Luego, por polinomios alternados, los otros factores son

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