FACTORIZACION POR SIMETRICOS Y ALTERNADOS EJEMPLOS Y EJERCICIOS RESUELTOS

factorización de polinomios simétricos : Los polinomios simétricos son aquellos que no se altera al hacer un intercambio simultáneo de cualquier pareja de variables. Ejemplo: Sea p(x:y:z)= x2+y2+z2+xyz Si hacemos un intercambio de «x» por «y» y viceversa, se obtendrá: q(x:y:z)= y2+ x2 + z2 + yxz de donde se puede apreciar que : p(x:y:z) = q(x:y:z) , entonces p(x:y:z) es un polinomio simétrico. Podría haberse escogido otra pareja, por ejemplo «x» con «z» ó «y» con «z», y tampoco se alterará el polinomio. representación de los polinomios simétricos : * 1er grado 2 variables : a(x+y) * 1er grado 3 variables : a(x+y+z) * 2do grado 2 variables : a(x2+y2)+Bxy * 2do grado 3 variables : a(x2+y2+z2)+B(xy+xz+yz) * 3er grado 2 variables : a(x3+y3)+B(x2y+xy2) * 3er grado 3 variables : a(x3+y3+z3)+B(x2y+x2z+y2x+y2z+z2x+z2y )+Cxyz polinomio alternado Es Aquel que se caracteriza cuando al hacer un cambio simultáneo de cualquier par de sus variables, sólo cambia de signo. EJemplo: Sea : P(x;y;z) = x2 (y– z)+ y2 (z–x) + z2 (y – x) Si intercambiamos simultáneamente «x» y «y» se tendrá: q(x;y;z) = y2 (x– z)+ x2 (z–y) + z2 (x – y) q(x;y;z) =– [ x2 (y– z)+ y2 (z – x) + z2 (y – x)] de donde se puede apreciar que : P(x;y;z)= – q(x;y;z) , dando a entender que p(x;y;z) solo a cambiado de signo , es decir es un polinomio alternado. reglas : * La suma , el producto y el cociente de dos expresiones simétricas cualesquiera es simétrica. * El producto de un polinomio simétrico por otro alternado da otro polinomio alternado. * Si un polinomio simétrico se anula para una de sus variables se anulará para todas las demás. * Si el polinomio simétrico se anulará para una variable igual a otra o su negativo , entonces se anulará para todas las combinaciones de ellas, es decir : «Si el polinomio simétrico tiene 3 variables y se anula para x=y entonces un factor del polinomio sera (x – y) y los otros factores se determinan de acuerdo a la siguiente forma circular o cíclica: De acuerdo a este esquema lease los factores en sentido horario; o sea ellos serán: pasos a seguir en la factorización de polinomios simétricos : * Se comprueba si el polinomio es simérico o alternado. * Se buscan factores monomios haciendo cualquier variable a cero. * Se buscan factores binomios haciendo una de las variables igual a cualquiera de las otras o su respectivo negativo. * Se analiza el grado de la expresión para ubicar los factores que falten. * Se hace la equivalencia de polinomios y se utilizan los principios de identidad para reducir el valor de algunos coeficientes desconocidos. Ejemplo 1 : Factorizar : (a+b+c)5– a5 – b5– c5 Resolución: Al hacerce el intercambio simultáneo de dos de sus variables se deduce que es simétrico. Se deduce que se anula para a= – b , entonces : (a+b); (b+c) y (c+a) son factores. Pero como la expresión a factorizar es de quinto grado , luego tomará la siguiente forma: que tabulando para a=1 ; b=1 y c=0 se obtendrá: 2m+n=15...(I) y para a=2 ; b=–1 y c=0 se obtiene : 5m – 2n=15...(II) que al resolver el sistema de (I) y de (II) se deduce que: m=5 y n= 5 Cosa que la expresión ya factorizada será: Ejemplo 1 : Factorizar : (m+n)5 – m5 – n5 Resolución:
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