ESPACIOS CON PRODUCTO INTERIOR Y ESPACIOS NORMADOS EJERCICIOS RESUELTOS PDF
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4 I Espacios con producto
interior v espacios normados
El propósito de este capítulo es dotar de una "geometría" análoga a la de]R2 y]R3 a otro tipo de espacios
vectoriales, de manera que, conceptos tales como producto punto, ángulo entre vectores, perpendicularidad,
norma de un vector y distancia entre vectores adquieran significado en otros espacios; por ejemplo,
en el de polinomios, en el espacio de funciones, en el espacio de matrices o en el de sucesiones; aun si
en éstos no existe una forma física de "observar" dicha geometría. Lo anterior, como veremos después,
no es un simple capricho con fines de generalización, sino que es de gran importancia teórica y aplicada.
Para poder hacerlo, es necesario generalizar el producto punto de ]Rn a estos espacios, ya que a partir de
él, como vimos antes, fue posible precisar dichos conceptos geométricos en el espacio ]Rn. A esto nos
abocaremos en la primera sección de este capítulo; para que en las siguientes secciones y subsecciones
podamos introducir los conceptos geométricos de los que hemos hablado. Como siempre, los últimos
dos segmentos están dedicados a la resolución de ejercicios y problemas, y a proponer ejercicios para
que el lector practique.
4.1 Espacios con producto interior
Para lograr extender el concepto de producto punto de los espacios ]Rn a otros espacios vectoriales necesitamos
abstraer las propiedades esenciales del producto punto que son, precisamente, las que enunciamos
en la página 123. Recordemos estas características esenciales. '
En]Rn el producto interior (producto punto) se define como: