ECUACION DE LA RECTA PROBLEMAS RESUELTOS PDF

CÁLCULO DE LA PENDIENTE : La pendiente de una recta puede ser calculado conociendo las coordenadas de dos puntos de dicha recta.
EjeRCICIO 1:
EjeRCICIO 2 : Calcular la pendiente de la recta que pasa por las puntas A(– 4; 5) y B (3; –2) ***


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  • RESOLUCIÓN :
    * Para el cálculo de la pendiente de la recta L, aplicamos:
    * Luego: m = –1 EjeRCICIO 3 : Calcular la pendiente de la recta “L” que pasa por los puntos P1(2;–3) y P2(5;6). RESOLUCIÓN :
    RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES 1) Dos rectas paralelas poseen la misma inclinación y si no son verticales , se pueden decir que tienen la misma pendiente: L1// L2, entonces:
    En la figura: Si: L1// L2m1 = m2 m1 y m2 son las pendientes de las rectas L1 y L2 respectivamente. 2) En el caso de que dos rectas sean perpendiculares, si ninguna de ellas es vertical, se cumple que; el producto de sus pendientes es –1.
    CÁLCULO DEL ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS Conociendo las pendientes de las rectas que forman el ángulo puede calcular dicho ángulo.
    m1 es la pendiente de la recta final (L1) y m2 es la pendiente de la recta inicial (L2). Denominamos a L1 Recta Final, porque de acuerdo con la figura el lado final del ángulo está en L1 , lo mismo sucede con L2.
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    RENÉ DESCARTES El concepto de sistema coordenado que caracteriza a la geometría analítica fue aplicado por primera vez en 1637 por el matemático y filósofo francés René Descartes. Por ello, la geometría analítica se llama también geometría cartesiana. Por el papel unificador de la geometría analítica en diversas ramas de la matemática, el aporte de Descartes representa uno de los pilares del desarrollo de la matemática. En el inicio, las dos ramas de la matemática que fueron objeto de esta unificación, fueron el álgebra, por su nivel de representación abstracta y la geometría euclídea.
     ECUACIÓN DE LA RECTA: a) Ecuación Forma, Punto y su Pendiente: Sea un punto P(x, y) de la recta cuya pendiente es “m” se representa mediante la ecuación. Si: Luego: Ecuación Punto Pendiente Donde: P(x, y): Punto de Paso. A: Punto genérico. m: Pendiente. b) Ecuación forma pendiente y su ordenada al origen: Es la tangente trigonométrica de la medida del ángulo de inclinación de la recta. Donde: A: Punto genérico (o, b) : Intersecto con el eje Y. m : Pendiente. c) Ecuación forma de coordenadas de origen: La recta que pasa por (o, b) y (a, o) tiene como ecuación: * De la figura: Luego: Aplicamos ecuación pendiente y ordenada de origen. : Luego: Ecuación de coordenadas al origen d) Ecuación forma simétrica: De la figura: e) Ecuación, distancia de un Punto a una Recta: : Ax + By + C = 0 y un Punto. que no pertenece a la recta. aplicacion 1 : Si el punto (4;a) pertenece a la recta : L: 3x– 5y+15 = 0 . Calcular el valor de “a”. RESOLUCIÓN : * Si (4;a) L : 3x – 5y + 15 = 03(4)– 5a +15 = 0 12 – 5a + 15 = 0 aplicacion 2 : La recta L1: 3x– 4y –10=0 es paralelo a la recta “L2” que pasa por el punto A(2;– 3), calcular su ecuación: RESOLUCIÓN : * De: * Como: * Calculamos la ecuación de “L2” reemplazando m2 y A( 2 ; – 3) en: aplicacion 3 : Los vértices de un triángulo son los puntos A = (– 2;1); B=(4;7); C=(6;– 3). Halle la ecuación de la recta que contiene a la altura BH. RESOLUCIÓN : Pendiente de la recta que contiene a * Ecuación de L: L: y – 7 =(2)(x – 4) L: 0 = 2x – y – 1 guia de preguntas de clase 1. Hallar las medidas de los ángulos de inclinación de L1 y L2. 2. Del problema anterior, hallar la medida del ángulo entre L1 y L2. 3. L1 y L2 son rectas perpendiculares entre sí. L1 : (x; y) L2 : pasa por el origen de coordenadas. Hallar la ecuación de L2. 4. L1 y L2, son dos rectas perpendiculares entre sí. L1 : pasa por (2; 7) L2 : Hallar la ecuación de L1. 5. L1 y L2 son dos rectas paralelas entre sí. L1 : L2 : pasa por el punto (0; 0) Hallar la ecuación de L2. 6. L1 y L2 son dos rectas paralelas entre sí. L1 : L2 : Además, L1,pasa por (2; 3) Hallar: m + b 7. Hallar la pendiente de la recta que contiene el lado de un , si A (3; -7), C(5; 5) y M(2; 4), donde M es punto medio de . A) 5/2 B) -5/2 C) 5 D) - 5 E) - 5/4 8. Hallar el ángulo de inclinación de la recta L, cuya ecuación es: A) 37º B) 53º C) 143º D) 127º E) 123º 9. Hallar la pendiente de una recta que forma con el semieje positivo OY un ángulo de medida 30º. La pendiente de dicha recta es negativa. A) B) C) D) E) -1/2 10. En un cuadrado ABCD, el ángulo de inclinación de la recta que contiene el lado , tiene medida 32º. Hallar la medida del ángulo de inclinación de la diagonal , sabiendo que la ordenada de C es menor que la de D. A) 77º B) 13º C) 157º D) 147º E) 167º 11. En un triángulo equilátero ABC, el ángulo de inclinación mide 27º. Si la ordenada de C es mayor que la de B, hallar la medida del ángulo de inclinación de . A) 33º B) 87º C) 93º D) 147º E) 137º 12. Hallar la medida del ángulo que determinan las rectas L1 y L2, de ecuaciones: L1 : L2 : A) 102º B) 105º C) 115º D) 125º E) 110º 13. La distancia entre los puntos A(1; 3) y B(-5; a) es . El valor de a es: A) 15 B) 15/31 C) 15 D) 15/2 E) 15/7 14. Los puntos P(7; n) y Q(n; -3) están a igual distancia del punto R(n; n). Hallar el valor de n. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 15. En un triángulo ABC, M es punto medio de y N, punto medio de . A(2; 8), C(5; 12). Hallar la longitud de . A) 5 B) 2 C) 5/2 D) 5/3 E) 3 16. En un triángulo PQR, P(0; 3) . Q(7; 11) y R(5; 9). Hallar la longitud PF si F es punto medio de . A) B) C) D) E) 17. Un triángulo ABC tiene su vértice A en el origen de coordenadas y el ángulo recto en B. Si C(12; 8) y //Y, el área de dicha región triangular es: A) 96 B) 112 C) 192 D) 48 E) 24 18. En la figura, ABCD es un cuadrado. Hallar la medida del ángulo de inclinación de L2. A) 75º B) 105º C) 115º D) 135º E) 120º 19. Dos rectas r1 y r2 son perpendiculares entre sí. = pasa por (-2; -3) La pendiente de r2 es: A) 2 B) - 2 C) - 2/3 D) 2/3 E) 3/2 20. Para el problema anterior, hallar la ecuación de r2. A) y =2x+1 B) C) y = 3x D) E) 21. Dos rectas L1 y L2, son perpendiculares entre sí L1 pasa por A (n, n + 3) y B (2; 7), L2 pasa por C(- 7 : 5) y (8; 13). El valor de n es: A) 23/62 B) 62/23 C) 61/23 D) 23/11 E) –16/7 22. ABC es un triángulo recto en B. Si : A(7; 9). B(-4; 6) y C(a; a + 2); el valor de a es: A) 16/7 B) 7/16 C) –7/16 D) –16/5 E) –16/7 23. Las rectas r1 y r2 son paralelas entre sí. pasa por (2; 6), Hallar la pendiente de . A) 2 B) 1/2 C) –2 D) –1/2 E) 6 24. Para el problema anterior, hallar la ecuación de . A) 2x+y -14=0 B) x + 2y + 6 = 0 C) x + 2y – 14 = 0 D) 2x + y – 6 = 0 E) x + 2y – 2 = 0 25. L1 y L2 son dos rectas. El ángulo de inclinación de L1 mide 22º y la pendiente de L2 es . La medida del ángulo que forman estas rectas es: A) 72º B) 38º C) 82º D) 76º E) 78º Determinar la ecuación de la recta. • Entender que indica la ecuación de una determinada recta. • Dada una ecuación, trazar en el plano cartesiano su gráfica HISTORIA ACERCA DE LAS ECUACIONES LINEALES La primera fase, que comprende el periodo de 1700 a.n.e. a 1700 d.n.e., se caracterizó por la invención gradual de símbolos y la resolución de ecuaciones. Dentro de esta fase encontramos un álgebra desarrollada por los griegos (300 a.n.e.), llamada álgebra geométrica, rica en métodos geométricos para resolver ecuaciones algebraicas. La introducción de la notación simbólica asociada a Viete (1540 – 1603), marca el inicio de una etapa en la cual Descartes (1596 – 1650) contribuye de forma importante al desarrollo de dicha notación. En este momento, el álgebra se convierte en la ciencia de los cálculos simbólicos y de las ecuaciones. Posteriormente, Euler (1707 – 1783) la define como la teoría de los “cálculos con cantidades de distintas clases” (cálculos con números racionales enteros, fracciones ordinarias, raíces cuadradas y cúbicas, progresiones y todo tipo de ecuaciones). Para llegar al actual proceso de resolución de la ecuación ax + b = c han pasado más de 3000 años. Los egipcios nos dejaron en sus papiros (sobre todo en el de Rhind –1650 a.n.e. y el de Moscú –1850 a.n.e.), multitud de problemas matemáticos resueltos. La mayoría de ellos son de tipo aritmético y respondían a situaciones concretas de la vida diaria; sin embargo, encontramos algunos que podemos clasificar como algebraicos, pues no se refiere a ningún objeto concreto. En éstos, de una forma retórica, obtenían una solución realizando operaciones con los datos de forma análoga a como hoy resolvemos dichas ecuaciones. Las ecuaciones más utilizadas por los egipcios eran de la forma: x + ax = b x + ax + bx = c Donde a, b y c eran números conocidos y x la incógnita que ellos denominaban aha o montón. Una ecuación lineal que aparece en el papiro de Rhind responde al problema siguiente: “Un montón y un sétimo del mismo es igual a 24” En notación moderna, la ecuación sería: INCLINACIÓN DE UNA RECTA Es el ángulo que forma la recta con el eje de abscisas. Este ángulo se mide a partir del semieje positivo de abscisas hasta la ubicación de la recta, tomando dicho ángulo en sentido antihorario. Para que usted comprenda un poco más al respecto vea el siguiente gráfico: Donde: : Medida del ángulo entre la recta L2 y el semieje X positivo. : Medida del ángulo entre la recta L1 y el semieje X positivo. Ejemplos: PENDIENTE DE UNA RECTA Se denomina pendiente de una recta a la razón trigonométrica tangente de la medida del ángulo formado por la recta y el eje X. Convencionalmente la pendiente de una recta se denota con la letra m (minúscula). De la figura mostrada. * Sea m1 la pendiente de la recta L1 Luego: de acuerdo a lo que hemos dibujado: <90 .="" acuerdo="" al="" de="" entonces="" es="" fico:="" gr="" l2="" la="" luego:="" m1="" m2="" pendiente="" positiva.="" recta="" sea="">90º, entonces m2 es negativa. Ejemplo 1: Dado el gráfico, calcule la pendiente de L1. Resolución: Sea: Ejemplo 2: Dado el gráfico, calcule la pendiente de L2. Resolución: Sea: CÁLCULO DE LA PENDIENTE La pendiente de una recta puede ser calculado conociendo las coordenadas de dos puntos de dicha recta. Para nuestro caso que es una recta L los puntos datos o conocidos serán A(x1; y1) y B(x2; y2), el gráfico ilustra al respecto. Del gráfico: sea m la pendiente de la recta L, luego: m = tan. En el triángulo AMB: Esta última relación será la indicada para calcular la pendiente de la recta, teniendo como dato, los componentes de dos puntos pertenecientes a dicha recta. Ejemplo: 1. Dado el gráfico sea m la pendiente de L. m = tan Luego partiendo desde el punto A. Esto indica que: La pendiente L1 es o la . PROPIEDADES Si: 1. Rectas paralelas Si: 2. Rectas perpendiculares Si: FORMAS DE LA ECUACIÓN DE UNA RECTA 1. Ecuación Punto Pendiente Si la recta L pasa por el punto (x0;y0) de pendiente “m” su ecuación es: Ejemplo: Resolución: Punto de paso: (x0; y0) = (4; 1) Pendiente: Ecuación de L: 4y – 4 = 3x – 12 2. Ecuación Pendiente Intercepto Intercepto: b Pendiente: m Ecuación: 0E de L es: Ejemplos: 1) L1: y = 3x + 2 Þ m = 3 b = 2 2) L2: y = –5x + 1 Þ m = –5 b = 1 3) L3: 2y = 3x + 5 Þ 3. Ecuación General La ecuación general de la recta L es: Donde: Pendiente: Intercepto: Ejemplos: 1) Si: L1: 2x + 3y – 4 = 0 Þ A = 2 B = 3 C = –4 2) Si: L2: 4x – 3y + 2 = 0 Þ A = 4 B = –3 C = 2 2. Halle la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(2; 3) y B(5; 5) Rpta.: 3. Si L1 pasa por el punto (–1; 2) y es paralela a la recta L2, y = 2x – 1, halle la ecuación de L1. Rpta.: 4. Calcule la ecuación de la recta L2 que pasa por el punto (2; 3) y es perpendicular a la recta: L1: 2y = –3x + 1 Rpta.: 5. halle las coordenadas del punto de intersección de las rectas: L1: x + y = 5 L2: x – y = –1 Rpta.: 6. Si los puntos (1; k) y (n; –1) pertenecen a la recta L1: 2x + 3y – 12 = 0, calcule: k + n Rpta.: 7. Calcule el área de la región triangular determinada por la recta: L: 3x + 4y = 12 con los ejes coordenados. Rpta.: 8. Calcule la medida del ángulo formado por las rectas de ecuaciones: L1: x + y – 6 = 0 Rpta.: 9. Si los puntos (2; 3), (10; n) pertenecen a la recta del ángulo de inclinación 45º, halle n. 1. Si los puntos A(2; 3) y B(10; n) pertenecen a la recta de ángulo de inclinación de 37º, hallar n.   A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 2. Halle la ecuación de la recta que pasa por los puntos (0; 6) y (–2; 0).   A) 3x – y – 6 = 0 B) 3x – y + 6 = 0 C) 3x + y + 6 = 0 D) 3x + y – 6 = 0 E) x + y – 5 = 0 3. Halle la ecuación de la recta de ángulo de inclinación 37º y que pasa por el punto medio del segmento donde A(1; 7) y B(9; 5).   A) x + y – 8 = 0 B) 3x – 4y + 9 = 0 C) 2x – y – 13 = 0 D) 4x – 3y + 9 = 0 E) 4x – y + 3 = 0 4. Si el punto (a; b) pertenece a la recta L: 2x + 3y = 6, calcule:   A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 6 5. Calcule la pendiente de la recta L si AOB es un triángulo equilátero.   A) B) C) D) E) –1 6. Se tiene un cuadrado ABCD donde A(1; 3) y C(5; 6). calcule la pendiente de la recta que contiene a la diagonal   A) B) C) D) E) –1 7. Calcule el radio de la circunferencia tangente a los ejes coordenados si la recta L: 2x + 3y = 10 pasa por el centro de dicha circunferencia.   A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 A) 2x + 3y – 13 = 0 B) 2x + 3y + 13 = 0 C) 2x – 3y + 13 = 0 D) 2x – 3y – 13 = 0 E) x + y – 13 = 0 9. Calcule las coordenadas del punto de intersección de las rectas: L1: 6x – y +11 = 0 L2: 3x + 2y + 8 = 0   A) (2; 1) B) (–2; –1) C) (2; –1) D) (–2; 1) E) (–2; 0) 10. Calcule el área de la región triangular limitada por la recta: con los ejes coordenados.   A) 6u2 B) 8u2 C) 9u2 D) 12u2 E) 16u2
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