ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA EJERCICIOS RESUELTOS PDF
ECUACIÓN CANÓNICA ORDINARIA Y GENERAL APLICACIONES - GEOMETRÍA ANALÍTICA
GUIA DE CLASE
EJERCICIO 1 :
La ecuación de una circunferencia es:
x² + y² + 4x + 6y = 23
Su forma ordinaria es:
A) (x – 2)² + (y + 3)² = 36
B) (x + 2)² + (y + 3)² = 28
C) (x + 2)² + (y + 3)² = 36
D) (x – 2)² + (y + 3)² = 28
E) (x + 2)² + (y – 3)² = 36
EJERCICIO 2 :
Encontrar las coordenadas del centro y el radio de las circunferencias cuyas ecuaciones son:
A) x² + y² = 10
B) (x – 3)² + y² = 25
C) x² + y² + 2x – 2y = 2
D) x² + y² + 4x = 6
E) x² + 2y² + 4x – 2y – 1 = 0
EJERCICIO 3 :
Hallar la ecuación general de la circunferencia de radio 5 y cuyo centro es C(–1 ; – 3).
A) x² + y² + 2x + 6y – 15 = 0
B) x² + y² – 2x + 6y + 15 = 0
C) x² + y² – 2x + 6y + 15 = 0
D) x² + y² + 2x + 6y – 15 = 0
E) x² + y² + 2x + 6y – 10 = 0
EJERCICIO 4 :
Dar la ecuación de una circunferencia de radio igual a 6u y centro en C(– 4 ; 5).
A) x² + y² + 8x – 10y + 5 = 0
B) x² + y² – 8x – 10y + 5 = 0
C) x² + y² + 8x + 10y – 5 = 0
D) x² + y² – 8x – 10y – 5 = 0
E) x² + y² + 8x – 10y – 5 = 0
EJERCICIO 4 :
Dar la ecuación de la circunferencia cuyo centro está en (2 ; 1) y pasa por el punto (7 ; 6).
A) x² + y² – 4x – 2y – 45 = 0
B) x² + y² + 4x + 2y + 45 = 0
C) x² + y² – 4x + 2y – 45 = 0
D) x² + y² + 4x – 2y + 45 = 0
E) x² + y² – 4x + 2y + 45 = 0
EJERCICIO 5 :
Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto C(7 ; –6) y que pasa por el punto A(2 ; 2).
A) (x – 7)² + (y + 6)² = 80
B) (x +7)² + (y – 6) = 89
C) (x + 7)² + (y – 6)² = 84
D) (x – 7)² + (y + 6)² = 89
E) (x – 7)² + (y + 6)² = 84
EJERCICIO 6 :
Hallar el centro de la circunferencia cuya ecuación es:
x² + y² + 4x + 6y – 23 = 0
A) (2 ;1)
B) (2 ; 3)
C) (–2; –3)
D) (–2; –1)
E) (–3 ; –2)
PROBLEMAS PROPUESTOS
PREGUNTA 1 :
Si la ecuación de la circunferencia es :
x² + y² – 3x + 5y – 14 = 0, entonces su radio
A) √11
B) 5
C) 15
D) 3√10/2
Rpta. : "D"
PREGUNTA 2 :
Sean las curvas C1, C2 de ecuaciones x² + y² = 1 ; x² +y² – 2x – 2y+1=0, halle la ecuación de la recta que pasa por la intersecciones de C1 y C2.
A) x+2y=1
B) x + y=1
C) x–y =3
D) x=5
E) x+y = 2
Rpta. : "B"
PREGUNTA 3 :
Calcular la ecuación de la circunferencia; donde uno de sus diámetros tiene por extremos los puntos a A( – 2; – 3) y B(6;5).
A) x² + y² + 5 =0
B) x² + y² – 4x – 2y – 27 = 0
C) x² +y² – = 0
D) x² + y² – 4x – y – 27 = 0
Rpta. : "B"
PREGUNTA 4 :
Halle la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el eje Y, y una cuerda cuyos extremos son los puntos (2;7) y (4;1).
A) x² + y² = 20
B) (x – 3)² + y² = 20
C) x² + (y – 3)² = 20
D) x² + (y – 5)² = 20
Rpta. : "C"
PREGUNTA 5 :
Halle la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el punto ( – 1;4) y es tangente a la recta que pasa por los puntos (3; – 2) y ( – 9; 3)
A)(x + 2)² + (y – 4)² = 8
B) (x+1)² +(y – 4)² = 16
C) (x + 2)² + (y – 4)² = 6
D) (x + 3)² + (y – 6)² = 8
Rpta. : "B"
PREGUNTA 6 :
Una circunferencia pasa por los puntos (2;3) y ( – 1;1) y cuyo centro está situado en la recta :
x – 3y –11=0
A) x²+y²+7x+5y – 14=0
B) x²+y² – 7x – 5y+14=0
C) x²+y² – 5x+7y – 6=0
D) x²+y² – 7x+5y – 14 = 0
Rpta. : "D"
PREGUNTA 7 :
Halle la ecuación de la circunferencia tangente al eje de ordenadas y que pasa por los puntos:
A=(2; – 1) y B=(1; 6)
A) (x – 5)² + (y – 3)² = 5²
B) (x – 3)² + (y–5)² = 5²
C) (x – 5)² + (y – 2)² = 5²
D) (x – 3)²+(y – 5)²=3²
Rpta. : "A"
PREGUNTA 8 :
Si los puntos K(4;1), L(14;1), N(a;b), son los vértices de un triángulo rectángulo recto en N, entonces la ecuación de circunferencia que pasa por estos tres puntos es :
A) (x – 1)² + (y – 9)² = 9
B) (x – 9)² + (y – 1)² = 16
C) (x– 1)² + (y – 9)² = 25
D) (x – 9)² + (y – 1)² = 25
Rpta. : "D"
PREGUNTA 9 :
Sea el triángulo ABC inscrito en una circunferencia A( – 3;2) , B(9;6) , C(1; – 2).
Halle la ecuación de la circunferencia.
A) (x +3)² + (y +3)² = 40
B) (x +3)² + (y +4)² = 40
C) (x – 3)² + (y – 4)² = 40
D) (x + 4)² + (y – 4)² = 40
Rpta. : "C"
PREGUNTA 10 :
Hallar el valor de k para que la ecuación : x² + y² – 8x+10y + k = 0 represente una circunferencia de radio 7.
A) 8
B) –6
C) –12
D) 10
E) –8
Rpta. : "E"
PREGUNTA 11 :
Una circunferencia de 10 de radio pasa por el origen e intercepta al eje X en un punto que resulta ser el punto de tangencia de esta circunferencia con una recta de pendiente igual a 3/4 . Halle la suma de las coordenadas del centro de la circunferencia.
A) 12
B) 13
C) 14
D) 15
E) 18
Rpta. : "C"
PREGUNTA 12 :
Halle la ecuación de la recta que pasa por la intersección de las rectas
ℒ1 : x+ 2y+1=0
ℒ2 :2x+y –1=0
y que es perpendicular a la cuerda común de las circunferencias
C1 : x² + y² + 3x =0
C2 : x²+ y²+ 3y =0.
A) 2x+y – 1=0
B) y – 2x+3=0
C) 2y+x+1=0
D) x – y – 2=0
E) y+x=0
Rpta. : "E"
PREGUNTA 13 :
Halle en el primer cuadrante el área de la región no conexa , de una sola pieza , limitada por la curvas (a>0)
C1: x² + y² = (4a)²
C2 :y = – 2x + 4a
C3 : y = 2x – 4a
C4 : y = – 2x + 8a
A) 8p a² – 2a²
B) 16p a² – 6p²
C) 12pa² – 5a²
D) 4p a² – 6a²
E) 16p a² – 5a²
Rpta. : "D"
PREGUNTA 14 :
Dado el punto N = (2 ; 4) y la circunferencia C :
(x–2)² + (y – 4)²=25 .
Determine el área del triángulo cuyos vértices son N y las intersecciones de C con el eje de abscisas .
A) 8
B) 9
C) 10
D) 10
E) 12
Rpta. : "E"
PREGUNTA 15 :
Calcule el área de la región cuadrada inscrita en la circunferencia
x²+ y² –14x+18y +9= 0.
A) 242
B) 250
C) 150
D) 121
Rpta. : "A"
PREGUNTA 16 :
Una recta con pendiente positiva que pasa por el punto (–4;0) determina en la circunferencia de ecuación x² + y²=16 una cuerda de 6,4 de longitud. Halle la ecuación de la recta.
A) 3x – 4y+3=0
B) 3x – 4y+12=0
C) 3x – 4y+6=0
D) 3x – 2y+12=0
E) 2x+3y+6=0
Rpta. : "B"
PREGUNTA 17 :
Halle la ecuación de la recta tangente a la circunferencia
x²+ y²+2x – 2y – 23= 0 en el punto P(2; 5).
A) 4x+3y – 26 = 0
B) 3x+ 4y – 26 = 0
C) 4x – 3y +26 = 0
D) 3x+ 4y +26 = 0
Rpta. : "B"
PREGUNTA 18 :
Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro está contenido en el eje x y que pasa por los puntos A=(1; 3) y B(4;5).
A)(x – 3)² + y² = 13
B) (x – 7)² + y² = 45
C) (x – 4)² + y² =18
D) (x – 2) + y² = 20
Rpta. : "B"
PREGUNTA 19 :
Hallar la ecuación de la circunferencia de centro en el eje x , que pasa por el origen y determina en la recta y = x una cuerda de 3√2 de longitud.
A) x²+y² – 6x=0
B) x²+y² – 6y=0
C) x²+ y² – 4x = 0
D) x²+ y² + 6x = 0
E) x² + y² – 4x = 0
Rpta. : "A"
PREGUNTA 20 :
La circunferencia tiene por ecuación: x²+y² – 30y + 200=0 y tiene centro (20;0), el eje radical de ambos tiene por ecuación 4x – 3y– 5=0. Halle la ecuación de la circunferencia .
A) x²+y²+4x 5y+5=0
B) x²+y² 40x+250=0
C) x²+y²+20x – 195=0
D) x²+y² – 20x – 250=0
Rpta. : "B"
PREGUNTA 21 :
Una circunferencia de radio √10 que pasa por P(7;5) y es tangente a
x – 3y+4 =0
Calcule la suma de las coordenadas del centro de la circunferencia.
A) 8
B) 9
C) 10
D) 11
E) 12
Rpta. : "C"
PREGUNTA 22 :
Una circunferencia de centro A , es tangente al eje x y determina en la parte positiva del eje y un segmento de 8u, si y=x+2 contiene a A, Hallar la longitud del radio.
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
Rpta. : "C"
PREGUNTA 23 :
Se tiene una circunferencia con centro en el origen de coordenadas y de radio 25 . Si la suma de componentes de un punto de dicha circunferencia es 31, calcule la ecuación de la recta tangente en ese punto (la abscisa es mayor que la ordenada) .
A) x + 7y = 625
B) 24x+7y=625
C) 24x – y=625
D) 24x – 7y=625
E) 7x – 7y=625
Rpta. : "B"
PREGUNTA 24 :
Determinar la ecuación de la circunferencia, ubicada en el primer cuadrante tangente al eje de ordenadas en el punto (0;6) y cuyo centro se encuentra a 5 unidades de la recta 3x – 4y – 10 = 0.
A) (x – 3)² + (y – 6)² = 32
B) (x +3)² + (y – 1)² = 32
C) (x – 2)² + (y – 4)² = 32
Rpta. : "A"
PROBLEMAS RESUELTOS
PREGUNTA 1 :
Una recta pasa por el diámetro de la circunferencia
x² + y² – 6x + 4y –12 = 0 y biseca a la cuerda cuya ecuación es x+3y – 6= 0.
La ecuación de dicha recta es:
A) –2x+y –1=0
B) –x+3y –11=0
C) –2x+3y –11=0
D) 3x–y –11=0
E) 3x+2y – 6=0
RESOLUCIÓN :
Rpta. : "D"
PREGUNTA 2 :
Si las rectas
ℒ1 : x – 4y + 3 = 0
ℒ2 : 4x + y – 5 = 0
son tangentes a una circunferencia en los puntos P₁(5 ; 2) y P₂ (2 ; – 3) respectivamente, entonces la suma de las coordenadas del centro de la circunferencia es:
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
RESOLUCIÓN :
Rpta. : "B"
APRENDIZAJES ESPERADOS
• Entender las ecuaciones de la circunferencia y sus elementos.
• Aprender a hallar la ecuación general de una circunferencia .
• Conocer la ecuación ordinaria de la circunferencia
El conocimiento de la utilidad del círculo por el hombre primitivo fue un factor fundamental en el desarrollo de la humanidad.
Además, la naturaleza ofrece infinidad de ejemplos de circunferencias y círculos.
Al desarmar el motor de un automóvil o de un reloj se hallan una gran cantidad de piezas de forma circular.
Así, la sección transversal de la tierra es circular, como también los tallos de las plantas.
Por ejemplo, la nervadura de las haces fibro leñosos en el reverso de la hoja circular del nenúfar gigante del Amazonas es circular y forma una gran variedad de arcos y ángulos
LA CIRCUNFERENCIA
Es un lugar geométrico de todos los puntos de un plano que están a una misma distancia de otro punto fijo del mismo plano denominado centro.
ECUACIONES DE LA CIRCUNFERENCIA
Sea P(x;y) un punto del plano XY cuya distancia constante a otro punto fijo C(h;k) es R.
Luego la ecuación de la circunferencia es :
(x – h)² + (y – k)² = R²
ECUACION CANÓNICA :
Es cuando el centro de las circunferencia está en el origen de coordenadas (0;0)
ECUACION ORDINARIA
(x – h)² + (y – k)² = r²
ECUACIÓN GENERAL
La ecuación general de la circunferencia se obtiene al desarrollarse la forma ordinaria :
EJEMPLO :
Determinar el centro y el radio de la circunferencia cuya ecuación en forma general es :
x² + y² +10x – 4y + 25 = 0
Una circunferencia también queda determinada por tres cualesquiera de sus puntos.
TANGENTES A UNA CIRCUNFERENCIA
Usaremos el método del discriminante que sirve para resolver problemas sobre tangente a cualquier cónica , es un método general.
PROCEDIMIENTO :
𝑖) Intersectar :
circunferencia ∩ tangente
𝑖𝑖) A la ecuación que resulta de la intersección , le aplicaremos el discriminante:
b² – 4ac = 0
𝑖𝑖𝑖) Al aplicar el discriminante , hallaremos el valor que estamos buscando.
Ahora explicaremos porque cuando una circunferencia y una recta son tangentes se cumple siempre que discriminante es cero , porque el discriminante no puede ser mayor que cero , porque no puede ser menor que cero.
La circunferencia es una ecuación de segundo grado, como lo es ax²+bx+c=0.
Si quisiéramos determinar la naturaleza de las soluciones de esta ecuación se analiza el discriminante :
☞ Si el b² – 4ac >0 : significa que hay dos soluciones reales y diferentes.
☞ Si el b² – 4ac < 0 : significa que hay dos soluciones imaginarias , es decir , no hay solución real.
☞ Si el b² – 4ac = 0 : significa que hay dos soluciones reales pero iguales , es decir hay una solución.
EJERCICIO :
Halle la ecuación de la recta tangente en a la circunferencia x² + y² – 2x+y=5 en el punto de tangencia (3;1)
A) 3x + 4y = 5
B) 4x + 2y = 1
C) 3x + 4y = 15
D) 4x + 3y = 15
E) 5x + 3y = 4
FAMILIA DE CIRCUNFERENCIAS QUE PASAN POR LA INTERSECCIÓN DE DOS CIRCUNFERENCIAS DADAS