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ÁNGULOS VERTICALES EJERCICIOS RESUELTOS-CUARTO DE SECUNDARIA PDF








Ángulos Verticales Son aquellos ángulos que pertenecen a un plano vertical y son medidos con un instrumento llamado teodolito, que es muy usado por los topógrafos (ingenieros civiles). Ángulo de Elevación CLICK AQUI PARA VER PDF    ****

Para determinar un ángulo de elevación debemos de trazar una línea horizontal que pasa por el ojo del observador y la línea visual está por encima de la horizontal. Ángulo de Depresión Para determinar el ángulo de depresión debemos de trazar una línea horizontal que pasa por el ojo del observador y la línea visual está abajo de la horizontal.

* A 20 m del pie de un poste, la elevación angular para lo alto del mismo es de 37º. ¿Cuál es la altura del poste?

a) 15 m b) 12 c) 20 d) 24 e) 25

* Un nadador se dirige hacia un faro y lo observa con un ángulo de elevación de 30º, al avanzar 10 m, el nuevo ángulo de elevación se duplica. Hallar la altura del faro.

a) 8,7 m b) 4,6 c) 9,6 d) 8,6 e) 5,3

* Desde un punto en tierra se observa lo alto del tercer piso de un edificio con un ángulo de elevación a; y la parte baja del quinto piso con un ángulo de elevación. Hallar: tanb/tana.

a) 12 b) 0,75 c) 1,3 d) 0,3 e) 0,25

* Subiendo por una colina inclinada 45º respecto a la horizontal se observa a 20 m, arriba un poste con un ángulo de elevación de 53º. ¿Cuál es la altura del poste?

a) 1 m b) 2 c) 3 d) 4 e) 7

* Una antena de radio está colocada en la azotea de un edificio, a 12 m de distancia del edificio sobre el suelo; son ángulos de elevación de la punta de la antena y de la parte superior del edificio 53º y 37º respectivamente. Hallar la longitud de la antena.

a) 5 b) 7 c) 9 d) 6 e) 10

* Desde un punto en tierra se observa lo alto de una torre con un ángulo de elevación cuya tangente vale 1/2, si nos alejamos 20 m. El ángulo de elevación tiene ahora como tangente a 1/4. Calcular la altura de la torre.

a) 40 m b) 20 c) 10 d) 5 e) N.A.

* Desde lo alto de un acantilado se observa dos barcos en una misma dirección con ángulos de depresión de 45º y 37º respectivamente. Calcular la distancia de separación de los barcos y además la altura del ventilador es de 24 m.

a) 12 m b) 24 c) 32 d) 64 e) 128

* Una mosca que está en el suelo observa un pajarito con un ángulo de elevación de 45º. Si la mosca, para llegar donde está el pajarito describe una trayectoria similar al de un cuarto de circunferencia y además esta mosca en su recorrido observa en un determinado momento a la mosca con un ángulo de elevación de 37º. ¿A qué altura se halla la mosca en esta última observación, si el pajarito está a una altura de 2,5m?

a) 50 cm b) 60 c) 70 d) 80 e) 90

* Desde un punto en tierra se observa lo alto de un poste de 30 m de altura, con un ángulo de elevación cuya secante es igual a 2,125. Calcular la distancia del punto al poste.

a) 16 m b) 32 c) 8

d) 19 e) N.A.

* Un edificio tiene diez pisos de 2,5 m cada uno; y desde lo alto del mismo se observa un objeto en tierra con un ángulo de depresión de 53º. ¿A qué distancia de la base del edificio se encuentra el objeto?

a) 15,75 m b) 15,25 c) 18,25 d) 18,75 e) 17,75

ÁNGULOS VERTICALES Un ángulo se llama vertical, si está contenida en un plano vertical por ejemplo “” es un ángulo vertical. 3.1 Angulo de Elevación () Es un ángulo vertical que está formado por una línea que pasa por el ojo del observador y su visual por encima de esta. Ejemplo: Una hormiga observa al punto más alto de un poste con un ángulo de elevación “”. La hormiga se dirige hacia el poste y cuando la distancia que las separa se ha reducido a la tercera parte, la medida del nuevo ángulo de elevación para el mismo punto se ha duplicado. Hallar “”. Resolución Luego: 2 = _____________  = _____________ 3.2 Angulo de Depresión () Es un ángulo vertical que está formado por una línea horizontal que pasa por el ojo del observador y su línea visual por debajo de esta. Ejemplo: Desde la parte más alta de un poste se observa a dos piedras “A” y “B” en el suelo con ángulos de depresión de 53º y 37º respectivamente. Si el poste tiene una longitud de 12m. Hallar la distancia entre las piedras “A” y “B”. Luego: _____________ _____________ EJERCICIOS 1. Al observar la parte superior de una torre, el ángulo de elevación es 53º, medido a 36m de ella, y a una altura de 12m sobre el suelo. Hallar la altura de la torre. a) 24m b) 48m c) 50m d) 60m e) 30m 2. Desde una balsa que se dirige hacia un faro se observa la parte más alta con ángulo de elevación de 15º, luego de acercarse 56m se vuelve a observar el mismo punto con un ángulo de elevación de 30º. Determinar la altura del faro. a) 14m b) 21m c) 28m d) 30m e) 36m 3. Al estar ubicados en la parte más alta de un edificio se observan dos puntos “A” y ”B” en el mismo plano con ángulo de depresión de 37º y 53º. Se pide hallar la distancia entre estos puntos, si la altura del edificio es de 120m. a) 70m b) 90m c) 120m d) 160m e) 100m 4. Un avión observa un faro con un ángulo de depresión de 37º si la altura del avión es 210 y la altura del faro es 120m. Hallar a que distancia se encuentra el avión. a) 250m b) 270m c) 280m d) 290m e) 150m 5. Obtener la altura de un árbol, si el ángulo de elevación de su parte mas alta aumenta de 37º hasta 45º, cuando el observador avanza 3m hacia el árbol. a) 3 b) 6 c) 8 d) 9 e) 10 6. Desde 3 puntos colineales en tierra A, B y C (AB = BC) se observa a una paloma de un mismo lado con ángulos de elevación de 37º, 53º y “” respectivamente. Calcule “Tg”, si vuela a una distancia de 12m. a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 7. Un avión que vuela a 1Km sobre el nivel del mar es observado en 2 instantes; el primer instante a una distancia de 1,41Km de la vertical del punto de observación y el otro instante se halla 3,14Km de la misma vertical. Si el ángulo de observación entre estos dos puntos es “”. Calcular: E = Ctg - Ctg2 Considere a) b) c) d) e) 8. Desde lo alto de un edificio se observa con un ángulo de depresión de 37º, dicho automóvil se desplaza con velocidad constante. Luego que avanza 28m acercándose al edificio es observado con un ángulo de depresión de 53º. Si de esta posición tarda en llegar al edificio 6seg. Hallar la velocidad del automóvil en m/s. a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 9. Se observan 2 puntos consecutivos “A” y “B” con ángulos de depresión de 37º y 45º respectivamente desde lo alto de la torre. Hallar la altura de la altura si la distancia entre los puntos “A” y “B” es de 100m a) 200m b) 300m c) 400m d) 500m e) 600m 9. Una hormiga observa lo alto de un poste con un ángulo de elevación “”, si se acerca hacia él una distancia igual a su altura y mira lo alto de dicho poste nuevamente, el nuevo ángulo de elevación es el complemento del anterior. Halle: “tg”. A) B) C) + 1 D)  1 E) 10. Desde un punto en tierra se observa lo alto de un edificio con un ángulo de elevación de 37º . Nos acercamos una distancia “x” y el ángulo de elevación tiene por tangente 4. Si la altura del edificio es “h”. Halle: (Tomar: sen 37º = 0,6) A) 1,21 B) 1,08 C) 1,08 D) 2,13 E) 3,01 11. Desde un punto de tierra se ve lo alto de una torre con un ángulo de elevación “ ”. Nos acercamos una distancia igual a la altura de la torre y el ángulo de elevación es ahora 37º. Calcule: (Tomar: sen37º = 0,6) A) B) C) D) 3 E) 2 12. Una antena de radio de 15m. de longitud se encuentra en la azotea de un edificio. Desde un punto del plano horizontal que pasa por la base del edifico las elevaciones angulares de la parte superior e inferior de la antena son “” y “ ” respectivamente. Si: tan = 0,76 y tan =0,19, determinar (en m) la altura del edifico. A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 13. Un avión que esta por aterrizar observa en su misma trayectoria la pista de aterrizaje de extensión igual al doble de la altura a la que se encuentra, si ve el extremo más alejado con ángulo de depresión de 22º30’ .Calcule con que ángulo observa el otro extremo. A) 22º30’ B) 67º30’ C) 90º D) 60º E) 120º 14. Una persona colocada a la orilla del rio ve un árbol plantado sobre la ribera opuesta bajo un ángulo de elevación de 60º se aleja 40mts, y nuevo ángulo de elevación mide 30º ¿Cuál es la altura del árbol? A) 43,6 B) 30,6 C) 34,6 D) 36,4 E) 38,4 15. Subiendo por un camino inclinado un ángulo de 37º respecto a la horizontal, se divisa lo alto de un poste con un ángulo de elevación de45º. Si el poste se encuentra a 20m del punto de observación; ¿Cuál es la altura del poste? A) 2m B) 3m C) 6m D) 4m E) 8m