MULTIPLICADORES DE LAGRANGE PDF EJERCICIOS Y EJEMPLOS RESUELTOS

Multiplicadores de LaGrange
Es el método empleado para resolver problemas de optimización restringida. Consiste en convertir un problema de extremos restringidos en una forma tal que se pueda aplicar las condiciones para extremos libres.
Planteamiento geométrico
Planteamiento analítico
Reducción a una variable
Método de los multiplicadores de Lagrange
Condiciones necesarias de extremo

CONDICIONES SUFICIENTES PARA LA EXISTENCIA DE EXTREMOS
Caso de dos variables
Método de la diferencial segunda
Método del Hessiano
Planteamiento geométrico. Supongamos una superficie, definida por la función z = f (x, y) , y sobre esta superficie tracemos una curva, definida por la ecuación g (x, y) = 0 . Se trata de encontrar los máximos y mínimos de esta curva espacial. Planteamiento analítico. Se trata de hacer máxima o mínima una función f (x, y) sujeta a una restricción g (x, y) = 0 . Reducción a una variable: Teóricamente el problema se puede resolver despejando “y” en la ecuación g (x, y) = 0 : y = h(x) y sustituyendo en f (x, y) = f (x,h(x)) = k (x) , con lo cual el problema se reduce a calcular un máximo o un mínimo de una sola variable. El problema se presenta cuando no es práctico o no es posible despejar una de las variables en la ecuación g (x, y) = 0 . Método de los multiplicadores de Lagrange. Los extremos de la función f (x, y) condicionados por la restricción g (x, y) = 0 , se producen en los puntos críticos de la función de Lagrange: L(x, y,λ ) = f (x, y) +λ g (x, y) Condiciones necesarias de extremo. Las condiciones necesarias del extremo de una función de Lagrange vienen dadas por el sistema de ecuaciones. CONDICIONES SUFICIENTES PARA LA EXISTENCIA DE EXTREMOS. a) Caso de dos variables Sea P(x0 , y0 ) un punto crítico de la función de Lagrange L(x, y,λ ) , obtenido para un valor concreto 0 λ = λ . Formamos la función de Lagrange para ese ( ) ( ) ( ) 0 0 0 λ =λ , L x, y,λ = f x, y +λ g x, y Para estudiar su naturaleza podemos seguir dos caminos: (a‐1) Método de la diferencial segunda El problema de la existencia y el carácter del extremo condicional se resuelve averiguando el signo de la segunda diferencial de la función de Lagrange (particularizada para 0 λ = λ ) ( ) a condición de que: Si d 2L > 0 la función tiene un mínimo condicionado, y si d 2L < 0 la función tiene un máximo condicionado. (a‐2) Método del Hessiano Hallamos el Hessiano de la función de Lagrange ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 , , , , , , xx L x y λ = f x y +λ g x y f x y En el punto crítico correspondiente, y sólo podemos concluir en el caso de que sea positivo. Es decir, si el Hessiano es positivo hay extremo (el tipo lo da Hay máximo condicional ( ) 0 0 , xx f x y ; si es negativa máximo y si es positiva mínimo). En los demás casos hay duda (que habrá que resolver por otro método) b) Caso de tres o más variables (caso general). Calculamos los siguientes determinantes (con las derivadas evaluadas en Reducción a dos variables: Los extremos de la función f (x, y, z), condicionados por la restricción g (x, y, z) = 0 , pueden reducirse a un extremo de dos variables en aquellos casos en que sea posible despejar una de las variables de la ecuación g (x, y, z) = 0 . Extremos condicionados con varias ligaduras: Los extremos de la función f (x ⋅ y ⋅ z), condicionados por las restricciones g ( x, y, z) = 0 y h(x, y, z) = 0 se producen en los puntos críticos de la función de Lagrange: L(x, y, z) = f ( x, y, z) +λ g (x, y, z) +Φh(x, y, z) EJERCICIOS RESUELTOS. Utilice el método de multiplicadores de LaGrange para determinar los puntos críticos de la función sujeta a la restricción. 1. f ( x, y) = 25 − x2 − y2 con la restricción x2 + y2 − 4y = 0 .
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