MULTIPLICADORES DE LAGRANGE PDF EJERCICIOS Y EJEMPLOS RESUELTOS
MULTIPLICADORES DE LAGRANGE
Es el método empleado para resolver problemas de optimización restringida. Consiste en convertir un problema de extremos restringidos en una forma tal que se pueda aplicar las condiciones para extremos libres.
PLANTEAMIENTO GEOMÉTRICO
Supongamos una superficie, definida por la función , y sobre esta superficie tracemos una curva, definida por la ecuación .
Se trata de encontrar los máximos y mínimos de esta curva espacial.
PLANTEAMIENTO ANALÍTICO
Se trata de hacer máxima o mínima una función sujeta a una restricción
REDUCCIÓN A UNA VARIABLE
Teóricamente el problema se puede resolver despejando “y” en la ecuación *** y sustituyendo en ****, con lo cual el problema se reduce a calcular un máximo o un mínimo de una sola variable.
El problema se presenta cuando no es práctico o no es posible despejar una de las variables en la ecuación
MÉTODO DE LOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE
Los extremos de la función condicionados por la restricción , se producen en los puntos críticos de la función de Lagrange:
CONDICIONES NECESARIAS DE EXTREMO
Las condiciones necesarias del extremo de una función de Lagrange vienen dadas por el sistema de ecuaciones.
CONDICIONES SUFICIENTES PARA LA EXISTENCIA DE EXTREMOS
CASO DE DOS VARIABLES
MÉTODO DE LA DIFERENCIAL SEGUNDA
MÉTODO DEL HESSIANO
CASO DE TRES O MÁS VARIABLES (CASO GENERAL)
REDUCCIÓN A DOS VARIABLES
EXTREMOS CONDICIONADOS CON VARIAS LIGADURAS
EJERCICIOS RESUELTOS
Utilice el método de multiplicadores de LaGrange para determinar los puntos críticos de la función sujeta a la restricción.
PROBLEMA 1 :
Se elabora una caja rectangular sin tapa con un costo de material de $10 . Si el material para el fondo de la caja cuesta $0.15 por pie cuadrado y el material para los lados cuesta $0.30 por pie cuadrado, determine las dimensiones de la caja de mayor volumen que pueda elaborarse.
PROBLEMA 2 :
Se construye una caja rectangular cerrada con un volumen de 10 pie³ empleando tres tipos de materiales. El costo del material para el fondo y la tapa es de $0.18 por pie cuadrado, el costo del material para el frente y la parte trasera es de $0.16 por pie cuadrado, y el costo del material para los otros dos lados es de $0.12 por pie cuadrado. Calcule las dimensiones de la caja de modo que el costo de los materiales sea un mínimo.
PROBLEMA 3 :
Se elabora una caja sin tapa con una cantidad de material dada. Determine las dimensiones relativas de la caja que contenga el mayor volumen posible.
PROBLEMA 4 :
Demuestre que la caja rectangular de mayor volumen que puede colocarse dentro de una esfera tiene la forma de un cubo.