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Mostrando las entradas de septiembre, 2012

SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR PDF TEORÍA, EJEMPLOS Y EJERCICIOS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS

COEFICIENTES GENÉRICOS Y ANÁLISIS DE DERIVADAS EN ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGÉNEAS
Los procesos de derivación de funciones específicas, y muy particularmente las propiedades de esas derivadas, pueden utilizarse para orientar la definición de potenciales soluciones a las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas (en acápites posteriores se analizarán las ecuaciones diferenciales lineales generales de orden superior cuya solución arranca por el análisis de las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas asociadas). Esas posibles soluciones, en su forma más genérica, se derivan y reemplazan en la ecuación diferencial obteniéndose expresiones algébricas equivalentes con formato tradicional, que nos permiten definir las soluciones exactas.

SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES PDF TEORÍA, EJEMPLOS Y EJERCICIOS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS

La resolución de las Ecuaciones Diferenciales persigue encontrar expresiones equivalentes que, prescindiendo de derivadas o diferenciales, satisfagan las condiciones de esas ecuaciones. En otros términos, la determinación de las “Funciones Primitivas ” constituye la parte fundamental de la solución de las ecuaciones diferenciales
MÉTODO DE SEPARACIÓN DE VARIABLES
Consiste en colocar, en expresiones separadas de la ecuación diferencial, las funciones de cada variable con su respectivo diferencial y proceder a la integración. Los detalles característicos de la ecuación diferencial son los que definen los mecanismos para lograr la separación de las variables.

MÉTODO DE EULER PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE TÉCNICAS NUMÉRICAS PARA LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

Introducción a los métodos numéricos
El cálculo numérico es una especialidad de la matemática cuyo objetivo es formular los problemas matemáticos de tal forma que puedan resolverse mediante operaciones aritméticas.
El método de Euler

CAMPOS DE PENDIENTES Y LÍNEAS DE FASE PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE TÉCNICAS CUALITATIVAS PARA LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

Técnicas Cualitativas
Hasta ahora hemos estudiado técnicas analíticas para calcular, mediante integración, las soluciones de algunas ecuaciones diferenciales de primer orden. Desgraciadamente, estas técnicas sólo sirven para hallar soluciones analíticas de muy pocas ecuaciones. Y lo que es peor, no se puede esperar descubrir métodos que permitan hallar, mediante técnicas analíticas, soluciones a muchas ecuaciones. Por ello debemos considerar también la posibilidad de estudiar las ecuaciones diferenciales mediante otros métodos.
Campos de Pendientes
Algunos casos particulares importantes
Campo de pendientes para ecuaciones autónomas

EXISTENCIA Y UNICIDAD DE LAS SOLUCIONES PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE VARIABLE COMPLEJA Y CÁLCULO OPERACIONAL

Ahora ya sabemos que para una ecuación diferencial de primer orden hay, en general, infinitas soluciones determinadas por una constante arbitraria. Esta constante queda determinada en cuanto imponemos una condición inicial, y parece que a condiciones iniciales diferentes les corresponden constantes, y por lo tanto soluciones, diferentes. Pero¿ es este en realidad el caso?.
Existencia y Unicidad de las Soluciones
Teorema de Existencia
Unicidad
Teorema de Unicidad
Aplicaciones del Teorema de Unicidad
Papel de las Soluciones de Equilibrio
Unicidad y Análisis Cualitativo

ECUACIONES EXACTAS Y CAMBIOS DE VARIABLES PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE VARIABLE COMPLEJA Y CÁLCULO OPERACIONAL

Ecuaciones Exactas
Las ecuaciones exactas están relacionadas con las llamadas diferenciales exactas, o mejor, con la existencia de campos conservativos.
Factores Integrantes
Cambios de Variables
Hay algunas ecuaciones que no son exactas ni reducibles a exactas mediante factores integrantes sencillos (recordemos que las ecuaciones en variables separables son exactas y las lineales son reducibles a exactas mediante un factor integrante que sólo depende de la variable independiente).

ECUACIONES SEPARABLES Y LINEALES PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE VARIABLE COMPLEJA Y CÁLCULO OPERACIONAL

Técnicas analíticas para las Ecuaciones diferenciales de primer orden
Ecuaciones en Variables Separables
Soluciones de equilibrio
Ecuaciones Lineales de Primer Orden
El Problema de Condiciones Iniciales
Ecuaciones en variable separables
Ecuaciones lineales

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE VARIABLE COMPLEJA Y CÁLCULO OPERACIONAL

Ecuaciones Diferenciales en las Ciencias y la Ingeniera
Ley de enfriamiento de Newton
Flujo calorífico radial
De todas formas, cuando una ecuación diferencial surge en el estudio de un problema real, lo habitual es designar a las variables con letras significativas que nos recuerden los objetos que se están estudiando. Esto es lo que hicimos en el ejemplo del estudio de la variación de la temperatura de la barra. En esa situación la función incógnita la designamos con la letra T, por ser la temperatura el objeto de estudio, y por ser el tiempo la variable independiente, la designamos por t.

NÚMEROS COMPLEJOS PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE VARIABLE COMPLEJA Y CÁLCULO OPERACIONAL

Operaciones algebraicas
Representación geométrica
Valor absoluto y conjugado
Propiedades de la conjugación
Propiedades del valor absoluto
Desigualdad Triangular
Coordenadas polares
Identidades entre argumentos
Forma polar de un número complejo
Fórmula de Euler
Potencias y raíces
Regiones en el plano complejo

ASPECTOS GENERALES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES PDF TEORÍA, EJEMPLOS Y EJERCICIOS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS

ECUACIÓN DIFERENCIAL
FUNCIÓN PRIMITIVA DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL
Es una expresión equivalente a la ecuación diferencial que carece de derivadas y diferenciales. A pesar de utilizarse el término “función”, la expresión obtenida puede ser también una “relación” matemática.
ORDEN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES HOMOGÉNEAS
FUNCIONES HOMOGÉNEAS
ECUACIONES DIFERENCIALES EN DERIVADAS PARCIALES

MATRICES PDF TEORÍA, EJEMPLOS Y EJERCICIOS RESUELTOS DE FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES

MATRIZ
Es un conjunto de expresiones numéricas organizadas tabularmente (en forma de tabla) en filas y columnas. Toda la matriz se agrupa mediante el símbolo de corchetes “[ ]” o el de paréntesis extendido “( )” colocado exteriormente.
ELEMENTOS DE UNA MATRIZ
Cada uno de los valores numéricos, que ocupa una posición de fila y una de columna, se denomina elemento de la matriz.
ORDEN DE UNA MATRIZ
IGUALDAD DE MATRICES
MATRICES CUADRADAS Y RECTANGULARES
MATRIZ NULA

APLICACIONES DE LAS FUNCIONES A LA ADMINISTRACIÓN PDF TEORÍA, EJEMPLOS Y EJERCICIOS RESUELTOS DE FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES

Muchos problemas relacionados con la administración, la economía y las ciencias afines, además de la vida real, requieren la utilización de funciones lineales y otros tipos de funciones para su modelamiento, su comprensión, y fundamentalmente para la toma de decisiones. En muchas ocasiones, la sola comparación entre las funciones tipo y el comportamiento de las variables en un problema administrativo, económico o similar permite obtener los modelos más apropiados.
MODELOS MATEMÁTICOS PARA RESOLVER PROBLEMAS DE LA ADMINISTRACIÓN

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES PDF TEORÍA, EJEMPLOS Y EJERCICIOS RESUELTOS DE FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES

ESPACIOS DE TRES DIMENSIONES
FUNCIONES LINEALES
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES
MÉTODO DE SUSTITUCIÓN
Consiste en reducir progresivamente el orden del sis tema de ecuaciones, despejando una de las incógnitas de una de las ecuaciones, y reemplazar esta expresión en las ecuaciones restantes. Al realizar repetitivamente este proceso se reduce uno a uno el orden del sistema hasta llegar a una ecuación con una incógnita. En este punto se calcula el valor de la única incógnita, y mediante reemplazos regresivos se calculan los valores de las otras incógnitas.

FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS DE LAS FUNCIONES Y MATRICES PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES

CONJUNTOS NUMÉRICOS
Conforme el ser humano fue incrementando la complejidad de su pensamiento matemático, aparecieron tipos de números que respondieron a esa evolución. La agrupación de aquellos números, con características similares, dio lugar a los conjuntos numéricos.
NÚMEROS NATURALES
NÚMEROS ENTEROS
NÚMEROS RACIONALES
NÚMEROS IRRACIONALES
NÚMEROS REALES

FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE FUNCIONES MATEMÁTICAS Y MATRICES

CONJUNTOS NUMÉRICOS
NÚMEROS NATURALES
NÚMEROS ENTEROS
NÚMEROS RACIONALES
NÚMEROS IRRACIONALES
NÚMEROS REALES
RECTA REAL
NÚMEROS IMAGINARIOS
POTENCIAS DE LA UNIDAD IMAGINARIA
NÚMEROS COMPLEJOS
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS
NOTACIÓN ALGÉBRICA DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS
NOTACIÓN POLAR DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS
EQUIVALENCIA ENTRE LAS NOTACIONES DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS
OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS

DIAGONALIZACIÓN DE ENDOMORFISMOS PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS 1

Autovalores y vectores propios. Propiedades
Polinomio característico
Multiplicidad algebraica y geométrica de un autovalor
Matrices semejantes. Propiedades
Matrices diagonalizables
Teorema de Cayley-Hamilton
Diagonalización por congruencia

ESPACIOS VECTORIALES EUCLÍDEOS PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS 1

La estructura de espacio vectorial despliega una gran capacidad operativa cuando incorpora los conceptos de distancia y ángulo entre sus elementos. Para integrar estas dos cualidades métricas en un espacio vectorial es preciso definir en él un producto escalar, el cual otorga a dicho espacio el calificativo de euclídeo, de modo que a todo espacio vectorial dotado de un producto escalar se le denominará espacio vectorial euclídeo.
Espacio vectorial euclídeo
Ortogonalidad. Propiedades
Norma. Propiedades
Proyecciones en espacios euclídeos
Método de los mínimos cuadrados
Ajuste de datos con el método de los mínimos cuadrados

ESPACIOS VECTORIALES YAPLICACIONES LINEALES PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS 1

Espacios Vectoriales
Propiedades de un Espacio Vectorial
Propiedades de los Sistemas Libres y Ligados
Subespacios Vectoriales. Operaciones con Subespacios
Bases de un Espacio Vectorial. Dimensión
Relación entre Dimensiones
Cambio de Base
Aplicaciones Lineales
Nomenclatura
Matriz Asociada a una Aplicación Lineal.
Operaciones con Homomorfismos y sus Matrices Asociadas
Cambios de Bases

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS 1

Sistemas de Ecuaciones en General
Sistemas Equivalentes
Sistemas de Cramer
Teorema de Rouché - Fröbenius
Sistemas Homogéneos
Método de Eliminación de Gauss
Método de Eliminación de Gauss - Jordan
Errores de Redondeo y algunas estrategias de redondeo
Métodos de Factorización
Factorización LU
Factorización LDU’
Factorización de Matrices Simétricas
Factorización de Matrices Simétricas Definidas Positivas

MATRICES Y DETERMINANTES PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS 1

En este punto del temario surge un dilema para el profesor. Si se persigue una rigurosidad matemática habría que comenzar este segundo bloque definiendo la estructura de Espacio Vectorial, para a continuación y como ejemplo, definir las Matrices, pasando posteriormente a las aplicaciones lineales, los sistemas de ecuaciones y finalmente como ejemplo de aplicación multilineal, dar los determinantes.
Matrices
Operaciones con Matrices
Equivalencia de Matrices. Transformaciones Elementales de Matrices.
Cálculo de la Matriz Inversa
Determinantes.
Desarrollo de un Determinante
Propiedades de los Determinantes
Expresión de la Matriz Inversa

INTRODUCCIÓN A LAS ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS 1

En este capítulo se ha tratado de introducir el lenguaje en el que se expresan las Matemáticas por lo que inicialmente puede resultar innecesario tratar de buscar aplicaciones de algo cuya utilidad es servir de fundamento. Esto ya de por si es suficiente aplicación. Sin embargo, dado el interés eminentemente práctico de un estudiante de Ingeniería conviene utilizar algunas aplicaciones del lenguaje de la Teoría de Conjuntos como motivación para su interés.
Conjuntos y Subconjuntos
Operaciones con Conjuntos. Propiedades
Relaciones Binarias: Equivalencia y Orden
Aplicaciones
Tipos de Aplicaciones. Composición de Aplicaciones
Grupos, Anillos y Cuerpos

INFERENCIA ESTADÍSTICA PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS 2

Inferir: Sacar una consecuencia de una cosa. Sacar consecuencia o deducir una cosa de otra. La estadística, ciencia o rama de las Matemáticas que se ocupa de recoger datos, analizarlos y organizarlos, y de realizar las predicciones que sobre esos datos puedan deducirse, tiene dos vertientes básicas:
a) Estadística descriptiva: Básicamente se ocupa de la 1ª parte, es decir, a partir de ciertos datos, analizarlos y organizarlos. Es aquí donde tiene sentido calcular la media, mediana, moda, desviación media, desviación típica, etc.
b) Estadística inferencial: Se ocupa de predecir, sacar conclusiones, para una población tomando como base una muestra (es decir, una parte) de dicha población. Como todas las predicciones, siempre han de hacerse bajo un cierto grado de fiabilidad o confianza. Será esta ´ultima vertiente de la estadística la que estudiemos en este tema.

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Y DISTRIBUCIÓN NORMAL PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS 2

Estudiaremos en este tema dos de las distribuciones de probabilidad más importantes y que son imprescindibles a la hora de adentrarnos en el estudio de la inferencia estadística. La distribución binomial es uno de los primeros ejemplos de las llamadas distribuciones discretas (que sólo pueden tomar un número finito, o infinito numerable, de valores).
La distribución binomial o de Bernoulli
Definición de distribución binomial
El uso de las tablas de la distribución binomial
Probabilidades acumuladas
Media y desviación típica en una distribución binomial
La distribución Normal

GEOMETRÍA VECTORIAL PDF TEORÍA Y EJERCICIOS RESUELTOS DE GEOMETRÍA

Vectores unitarios
Producto punto
Norma de un vector
Ángulo entre dos vectores
Ortogonalidad
Proyección ortogonal
Producto cruz
Área de un paralelógramo y de un triángulo
Triple producto escalar
Triple producto vectorial

LA RECTA PDF TEORÍA Y EJERCICIOS RESUELTOS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA

Definición
Ecuación punto pendiente
Ecuación que pasa por dos puntos
Diversas formas de la ecuación de una recta
Forma General de una recta
Ecuación Normal
Angulo entre dos rectas
Paralelismo y Perpendicularidad
Distancia de un punto a una recta
Distancia Dirigida
Familias
Familia de rectas por la intersección de dos rectas dadas
Familia de perpendiculares a una recta dada
Familia de paralelas a una recta dada
Tópicos Varios

INTRODUCCIÓN A LA LÓGICA MATEMÁTICA Y A LA TEORÍA DE CONJUNTOS PDF TEORÍA Y EJERCICIOS RESUELTOS DE ÁLGEBRA

En el algebra actual tiene importancia y muy especialmente en el cálculo que se efectúa con procesadores electrónicos, el análisis del lenguaje desde un punto de vista lógico. Las expresiones de este lenguaje pueden tomar formas complicadas, pero el análisis de sus partes ofrece la alternativa de desentrañar la esencia de la lógica de las formas expresivas más complejas.
Elementos de lógica
Formas proposicionales
Cuantificadores
Negación de cuantificadores

APLICACIONES DERIVACIÓN PDF TEORÍA Y EJERCICIOS RESUELTOS DE CÁLCULO 1

Regla de L’Hˆopital
Monotonía, Valores Extremos, Concavidad e Inflexiones de una Función
Función Decreciente
Valores Extremos
Máximo-Mínimo
Máximo-Mínimo Relativos
Necesidad para la Existencia de Valores Extremos
Suficiencia para la Existencia de Valores Extremos
Criterio de la primera derivada
Criterio de la Segunda Derivada
Concavidad e Inflexiones
Punto de Inflexión
Optimización de Problemas Aplicados
Estudio de Funciones y sus Gráficos

LAS TÉCNICAS DEL CÁLCULO DERIVACIÓN PDF TEORÍA Y EJERCICIOS RESUELTOS DE CÁLCULO 1

Derivación de Funciones Compuestas (Regla de la Cadena)
Derivada de la Función Inversa
Fórmulas de Derivación de las Funciones Básicas
Derivadas de Orden Superior
Derivada de una Función Implícita
Derivada de una Función Representada Paramétricamente

LA RELACIÓN FUNDAMENTAL PDF TEORÍA Y EJERCICIOS RESUELTOS DE CÁLCULO 1

La Derivada de la Integral Indefinida
Primer Teorema
Definición de Primitiva
Correspondencia entre Primitiva e Integral Indefinida
El uso de primitivas para calcular integrales(Regla de I. Barrow)

LA DERIVADA PDF TEORÍA Y EJERCICIOS RESUELTOS DE CÁLCULO 1

Definición de la Derivada
Propiedades Básicas
Diferenciales
Teoremas Fundamentales
Teoremas De Fermat
Teoremas De Rolle
Teoremas Del Valor Medio
Constancia de una función
Teoremas  De Cauchy

LA INTEGRAL DEFINIDA PDF TEORÍA Y EJERCICIOS RESUELTOS DE CÁLCULO 1

Partición
Suma Superior y Suma Inferior
Propiedades La Integral Definida
Definición Integral Definida
Propiedades elementales de la Integral Definida
Teorema del valor medio
Integrales Indefinidas
Continuidad de las Integrales Indefinidas
Las Funciones: Logaritmo y Exponencial

LÍMITES DE FUNCIONES Y CONTINUIDAD PDF TEORÍA Y EJERCICIOS RESUELTOS DE CÁLCULO 1

Definición de límites de funciones y continuidad
Teoremas básicos
Es fácil verificar los teoremas básicos antes mencionados para las sucesiones convergentes, dan lugar a los correspondientes teoremas básicos para límites de funciones.
Continuidad
El que una función sea continua en un intervalo completo significa simplemente que es continua en todos los puntos de dicho intervalo, en forma grafica no tiene saltos en el intervalo.

SUCESIONES-LÍMITE DE UNA SUCESIÓN PDF TEORÍA Y EJERCICIOS RESUELTOS DE CÁLCULO 1

La noción de sucesión es un instrumento importante para el estudio de un gran número de problemas relativos a las funciones.
Teoremas Básicos
Criterios de convergencia
Teorema de Bolzano-Weierstrass
Teorema del Sandwich

FUNCIONES REALES PDF TEORÍA Y EJERCICIOS RESUELTOS DE CÁLCULO 1

Propiedades de funciones reales 
Una función f definida en un conjunto A es monótona si no tiene oscilaciones, es decir, si al crecer x los valores de f(x) siempre crecen o siempre decrecen.
Transformaciones simples de los gráficos

NÚMEROS REALES PDF TEORÍA Y EJERCICIOS RESUELTOS DE CÁLCULO 1

Llamaremos número real a cualquier fracción decimal. Ejemplos: 
-2; 0; 2; 3333...; 2; 25; -0;785; 3; 141592...; 2;7182818...; -1;4142136...
Intervalos y Entornos
Valor Absoluto / Modulo

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS 1

Los sistemas de ecuaciones lineales tienen muchas aplicaciones en todos los campos y ciencias y ya desde a. C. se tenían métodos para resolver los sistemas. Estudiaremos sobre todo el método llamado de eliminación gaussiana o de Gauss, porque es la base de los procedimientos que se utilizan para resolver un sistema con el ordenador y asimismo para el estudio de los temas que siguen, Espacios Vectoriales y Aplicaciones Lineales.
INTRODUCCIÓN Y DEFINICIONES
RESOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES

APLICACIONES LINEALES PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE ÁLGEBRA LINEAL

INTRODUCCIÓN: APLICACIONES ENTRE CONJUNTOS
Clasificación de las aplicaciones
APLICACIONES LINEALES. PROPIEDADES
Definición: Aplicación lineal
Teorema: Transformación de subespacios
Teorema: imagen de un sistema generador
Teorema: imagen de conjuntos dependientes e independientes
NÚCLEO E IMAGEN
Definición: Núcleo
Definición: Subespacio imagen
CLASIFICACIÓN DE APLICACIONES
MATRIZ ASOCIADA A UNA APLICACIÓN LINEAL
Definición: Rango de una aplicación lineal
Definición: Matriz asociada a una aplicación
Ecuación de una aplicación lineal
Cálculo del núcleo e imagen mediante la matriz asociada
MATRIZ DE UNA APLICACIÓN EN DISTINTAS BASES
Definición: Matriz de una aplicación en bases cualesquiera
Relación entre la matriz estándar y la matriz en otras bases
MATRICES EQUIVALENTES
COMPOSICIÓN DE APLICACIONES

EL ESPACIO EUCLÍDEO PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE ÁLGEBRA LINEAL

Propiedades del producto escalar usual
Definición: Producto escalar en cualquier espacio. Espacio euclídeo
Ejemplos de producto escalar
Conceptos geométricos obtenidos del producto escalar
Vectores ortogonales
Norma o módulo de un vector
Distancia entre dos vectores
Ángulo entre dos vectores
Teorema (Desigualdad de Cauchy-Schwarz)
Definición: Normalización. Conjunto ortonormal
Definición (Matriz ortogonal)
Propiedades de las matrices ortogonales
SUBESPACIOS ORTOGONALES
Definición (vector ortogonal a un subespacio)
Definición: Subespacios ortogonales
Definición: Complemento ortogonal
Construcción del complemento ortogonal
PROYECCIONES ORTOGONALES
Proyección ortogonal de un vector sobre otro
Proyección ortogonal de un vector sobre un subespacio
Coordenadas de un vector en una base ortogonal
CÁLCULO DE BASES ORTOGONALES
Proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt
LA MATRIZ DE PROYECCIÓN
Propiedades de la matriz de proyección

BASES Y DIMENSIÓN PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE ÁLGEBRA LINEAL

Propiedades de las bases
Ejemplos de bases
Teorema y definición: Dimensión
Ejemplos de dimensión
Propiedades de la dimensión
IMPLICITACIÓN
COORDENADAS Y CAMBIO DE BASE
Definición: Coordenadas
Ejemplos de coordenadas
Coordenadas en un subespacio
Definición: Matriz del cambio de base
Propiedades de las matrices de cambio de base
SUMA DIRECTA Y SUBESPACIOS SUPLEMENTARIOS
Definición: Suma directa
Fórmulas de las dimensiones
Definición (subespacio suplementario)
Cálculo de una base de un suplementario

ESPACIOS VECTORIALES PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE ÁLGEBRA LINEAL

Propiedades de la suma de vectores
Propiedades del producto de un vector por un escalar
Definición: espacio vectorial
Ejemplos de espacios vectoriales
SUBESPACIOS VECTORIALES
Definición: Subespacio
Ejemplos de subespacios
Relación entre la forma implícita y paramétrica
Inclusión de subespacios
OPERACIONES CON SUBESPACIOS
Intersección de subespacios
Teorema
Cálculo de la intersección
Suma de subespacios
Cálculo del subespacio suma
DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL
Definición: Combinación lineal
Definición: Independencia lineal
Propiedades de la dependencia / independencia lineal

GEOMETRÍA DE CURVAS PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE CÁLCULO INFINITESIMAL

Curvas en el espacio
Longitud de Arco y Vector Tangente Unitario
Parametrización respecto del arco
El Vector Tangente Unitario
Curvatura y Vector Normal Principal
Curvatura de Curvas en el Espacio
Vector Normal Principal
Componentes Normal y Tangencial de la Aceleración
Fórmula para el Cálculo de la Curvatura
Torsión y Triedo de Frenet
Vector Binormal y Triedro de Frenet
Fórmulas para el Cálculo de la Torsión
Fórmulas de Frenet

FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE CÁLCULO INFINITESIMAL

Funciones Reales de Varias Variables
Representación Gráfica
Funciones de dos variables
Funciones de tres variables
Límites y Continuidad
Límites
Límites Direccionales
Continuidad
Funciones de Tres o Más Variables
Derivadas Parciales
Funciones de Dos Variables
Derivadas Parciales de Orden Superior
Funciones de Tres o Más Variables
Diferenciabilidad
Funciones de Dos Variables
Funciones de Tres o Más Variables
Regla de la Cadena
Regla de la Cadena para dos Variables
Forma General de la Regla de la Cadena
Derivación Implícita
Derivadas Direccionales-Gradiente
Derivadas Direccionales
Vector Gradiente
Funciones de Tres Variables
Máximos y Mínimos
Puntos Críticos y Extremos
Estudio de Máximos y Mínimos

FUNCIONES VECTORIALES Y CURVAS PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE CÁLCULO INFINITESIMAL

Funciones Vectoriales
Límite de una Función Vectorial
Derivada de una Función Vectorial
Reglas de Derivación 
Longitud de un Arco de Curva
Area de una Superficie de Revolución
Giro Alrededor del Eje OX
Giro Alrededor del Eje OY
Coordenadas Polares
Definición
Relación entre Coordenadas Cartesianas y Polares
Curvas en Coordenadas Polares 
Area en Polares de una Región Plana
Longitud de una Curva en Coordenadas Polares
Coordenadas Cilíndricas y Esféricas
Coordenadas Cilíndricas
Coordenadas Esféricas  

INTEGRACIÓN PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE CÁLCULO INFINITESIMAL

Integrales Indefinidas
Antiderivadas
Integrales Inmediatas
Propiedades de las Integrales Indefinidas
Métodos para el Cálculo de Antiderivadas
Problemas de Valores Iniciales
Integrales Definidas
Area Limitada por una Curva y el eje OX
Distancia Recorrida por un Móvil
La Integral de Riemann
Propiedades de las Integrales Definidas 
Integración de Funciones Definidas a Trozos
Teorema del Valor Medio 
Teoremas Fundamentales del Cálculo
Primer Teorema Fundamental del Cálculo
Segundo Teorema Fundamental del Cálculo
Funciones Definidas por Integrales
Integrales Dependientes del Extremo Superior
La Función Logaritmo y La Función Exponencial
Integrales Impropias
Aplicaciones del Cálculo Integral
Area de Figuras Planas

TEOREMA DEL VALOR MEDIO Y APLICACIONES PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE CÁLCULO INFINITESIMAL

Teorema del Valor Medio
Condición Necesaria de Máximo o Mínimo
Teorema de Rolle 
Teoremas del Valor Medio
Consecuencias del Teorema del Valor Medio
Crecimiento y Decrecimiento 
Concavidad y Convexidad 
Regla de L'Hopital para el Cálculo de Límites
Aplicaciones del Cálculo Diferencial
Problemas de Máximos y Mínimos
Análisis de Gráficas

DERIVADAS PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE CÁLCULO INFINITESIMAL

El Concepto de Derivada
¿Cómo Definir la Tangente a una Curva?
La Derivada en un Punto
Significado de la Derivada
Ejemplos de Funciones Diferenciables
Derivadas Laterales
Continuidad de las Funciones Diferenciables
Aproximación Lineal
Derivación
Algebra de Derivadas
Reglas Algebraicas de Derivación
Derivadas de las Funciones Polinómicas y Racionales
Derivadas de las Funciones Trigonométricas
Composición y Derivadas
Regla de la Cadena
Derivación Implícita
Derivación de Funciones Inversas
Regla de la Derivada de la Inversa
Derivadas de Potencias de Exponente Racional
Derivada de las Funciones Trigonométricas Inversas
Derivada del Logaritmo y de la Exponencial
Derivada de las Funciones Hiperbólicas y sus Inversas
Derivadas de Funciones Definidas a Trozos

FUNCIONES PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE CÁLCULO INFINITESIMAL

Concepto de Función
Representación de Funciones
Expresiones
Algoritmos
Combinación de Funciones
Algebra de Funciones
Composición de Funciones
Funciones como Combinación de Funciones
Funciones Inversas
Propiedades
Paridad e Imparidad. Simetrías
Máximos y Mínimos
Cotas. Supremo e Infimo
Crecimiento y Decrecimiento. Monotonía
Concavidad y Convexidad
Funciones Elementales
Funciones Polinómicas
Funciones Racionales
Funciones Algebraicas
Funciones Transcendentes
Funciones Trigonométricas
Funciones Seno y Coseno
Otras Funciones Trigonométricas
Funciones Trigonométricas Inversas

NÚMERO REALES PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE CÁLCULO INFINITESIMAL

La recta Real
Conjuntos
Números reales
Representación decimal
Representación Geométrica
Ampliación de la recta
Intervalos
Valor Absoluto
El plano Cartesiano
Coordenadas cartesianas
Distancia Punto Medio
Rectas 
Circunferencias

SISTEMA DE COORDENADAS POLARES PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE SERIES NÚMERICAS

Para definir las coordenadas polares de un punto en el plano fijamos inicialmente en él un punto O llamado origen (polo) y un rayo inicial (eje polar) desde O (figura 1a).
Relación entre las coordenadas rectangulares y polares
Gráfica de ecuaciones en coordenadas polares
Algunas gráficas importantes en coordenadas polares
Elementos adicionales para trazar curvas en polares

MÉTODOS DE APROXIMACIÓN EN EL CÁLCULO PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE CÁLCULO INTEGRAL

Fórmula de Taylor
En esta primera parte nos proponemos desarrollar un método general que nos permita encontrar, dada una función derivable cualquiera y un punto de su dominio, una función polinómica cuya gráfica pase por dicho punto y que nos haga posible estimar, con un error menor que un valor previamente elegido, los valores que toma la función en un intervalo abierto que contenga al punto en mención (a este intervalo se le llama entorno del punto).
Método de Newton (para el cálculo de raíces)
Métodos numéricos de integración
Regla del trapecio

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES POR MEDIO DE SERIES DE POTENCIAS PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE SERIES NÚMERICAS

James Gregory
James Gregory, matemático y astrónomo escocés, nació en Drumoak en 1638 y falleció en Edimburgo en 1675. Hizo sus primeros estudios en el Marischal College de Aberdeen y posteriormente se trasladó a Londres, en donde completó su formación como matemático, publicó su primera obra, Avances de la óptica, y trabó amistad con el influyente Robert Moray, antiguo presidente de la Royal Society. Con las cartas de recomendación de Moray en su poder, viajó a Francia e Italia, en donde estudió geometría, mecánica y astronomía.
Representación en serie de Taylor
Serie binomial

INTERVALO DE CONVERGENCIA Y RADIO DE CONVERGENCIA DE UNA SERIE DE POTENCIASPDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE SERIES NÚMERICAS

Takakazu Seki Kowa
Takakazu Seki Kowa nació en una familia de guerreros samurai en marzo de 1642 en Fujioka, Japón. Seki Kowa fue un niño prodigio en matemáticas. A lo largo de su vida acumuló un gran número de libros japoneses y chinos sobre matemáticas, llegando a convertirse en un experto en esta ciencia. Fue conocido como «El sabio de la Aritmética».
Serie de Taylor y serie de Maclaurin
Ejemplos ilustrativos sobre intervalo de convergencia absoluta y radio de convergencia

CRITERIOS DE CONVERGENCIA Y DIVERGENCIA DE SERIES PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE SERIES NÚMERICAS

Condición necesaria para la convergencia de series
Criterio de divergencia de series
Criterio de la integral
Criterio de comparación y comparación en el límite
Criterio del cociente
Criterio de la raíz
Criterio de Raabe
Álgebra de series convergentes
Las proyecciones
Una proyección puede definirse como una red de paralelos y meridianos sobre la cual puede ser dibujado un mapa. Para trazar las proyecciones se emplean actualmente cálculos matemáticos muy precisos, pero la idea general se basa en la proyección de las sombras de los meridianos y paralelos de una esfera sobre una superficie que puede convertirse en plana sin deformaciones, tal como la superficie cilíndrica o la cónica.

SERIES DE TÉRMINOS CONSTANTES PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE SERIES NÚMERICAS

Definiciones y primeros ejemplos de series
La serie geométrica
La serie telescópica
Series aritmético-geométricas
Cuando se hace referencia a una serie infinita se quiere expresar la suma de un
número infinito de términos constantes. Como se sabe, la suma entre números reales es una operación «binaria», es decir, sólo se pueden sumar dos números reales para producir un número real.

SUCESIONES DE NÚMEROS REALES PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE CÁLCULO INTEGRAL Y SERIES

Cuando se piensa en el concepto de sucesión, es natural pensar en ella como algo que no necesita definición. Es decir, es como si se colocaran números u otros objetos en un orden determinado.
Definición y ejemplos de sucesiones de números reales
Gráfica de una sucesión
Por ser una sucesión una función de los naturales en los reales, su gráfica está íntimamente relacionada con la gráfica de su función asociada de los reales en los reales.
Límite de sucesiones

LOS TEOREMAS FUNDAMENTALES DEL CÁLCULO PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE CÁLCULO INTEGRAL Y SERIES

Enunciar y demostrar los dos teoremas fundamentales del cálculo. Establecer la relación entre derivación y primitivación Hasta ahora sólo hemos encontrado el valor de pocas integrales definidas. Sabemos de muchas funciones que son integrables, como las funciones continuas, pero no hemos encontrado su valor; además, no hemos utilizado los poderosos instrumentos desarrollados anteriormente, como son las técnicas de integración. Mostraremos ahora que las operaciones de derivación y de integración están íntimamente relacionadas mediante un teorema que muestra cómo la derivada «deshace» la acción de la integral de una función f (t). Posteriormente se presenta el tan esperado segundo teorema fundamental del cálculo para poder completar así los fundamentos teóricos del cálculo integral, cuyas herramientas básicas emplearemos en el próximo capítulo de las aplicaciones.

PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE CÁLCULO INTEGRAL Y SERIES

Aunque la mayor parte de las integrales definidas no pueden ser calculadas exactamente, es importante por lo menos saber cuándo una función es integrable sobre [a, b], y ésta es la información más importante que proporciona el teorema 2 de este módulo. Igualmente, en el teorema 1 se presentan otras propiedades importantes de las funciones integrables y de esta forma se simplifican resultados que son difíciles de demostrar recurriendo directamente a la definición de integral definida.
Álgebra de funciones integrables
Propiedades de la integral definida
Relación entre la integral y la continuidad de una función de variable real

INTEGRAL SEGÚN RIEMANN PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE CÁLCULO INTEGRAL Y SERIES

Área bajo una curva a través de sumas superiores e inferiores
Sumas de Riemann
En este módulo nos ocuparemos del concepto de integral definida de una función acotada en un intervalo cerrado [a, b]. Se parte de un problema particular, como es el problema del área de una región plana, el cual dio origen al cálculo integral. El método expuesto, conocido como «método de los recubrimientos», se debe a Arquímedes, el más grande de los matemáticos griegos y uno de los mayores de toda la historia de la humanidad, quien determinó el área de un segmento parabólico por este método, que aún hoy, después de conocer los modernos métodos infinitesimales, resulta laborioso.

SUSTITUCIONES TRIGONOMÉTRICAS PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE CÁLCULO INTEGRAL Y SERIES

John Wallis Nacido en Ashford en 1616 y fallecido en Oxford en 1703, John Wallis fue el más importante de los matemáticos ingleses inmediatamente anteriores a Newton. Wallis se ordenó sacerdote, pero dedicó la mayor parte de su tiempo a su profesión de matemático. Escribió extensos trabajos de matemáticas y fue el primero en extender el uso de los exponentes a los números negativos y a las fracciones. También utilizó por primera vez el símbolo con el que actualmente se designa el infinito. Además fue el primero en expresar geométricamente los números imaginarios y en escribir una historia seria de las matemáticas.

TABLA PRELIMINAR DE INTEGRALES INDEFINIDAS PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE CÁLCULO INTEGRAL Y SERIES

Antes de exponer los métodos de integración se dará una lista de primitivas (integrales indefinidas) para las funciones ya conocidas. La tabla que se presenta seguidamente reúne las integrales o primitivas de las funciones estudiadas hasta el momento.
Primera tabla de integrales
Integración por partes
Fórmula para la integración por partes
Observaciones importantes del método de integración por partes
Ejemplos ilustrativos del método
Integración por sustitución
Integración de potencias de funciones trigonométricas

LA DIFERENCIAL PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL

En el siguiente módulo se usa la derivada para estimar el cambio de una función y,
por tanto, el valor resultante de la función. El razonamiento que se hará será geométrico, apoyado en la interpretación de la derivada como la pendiente de la recta tangente. Es decir, una pequeña porción del gráfico de una función derivable en torno a un punto P parece casi recto y se asemeja a un pequeño segmento de la recta tangente en P. Esto sugiere utilizar la tangente para estimar la variación del valor de la función causada por una pequeña variación en x.
La diferencial
Interpretación geométrica de la diferencial y fórmulas diferenciales
Aproximaciones y estimación de errores

LA DERIVADA COMO RAZÓN DE CAMBIO PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL

Nuestro interés está centrado en una amplia variedad de razones de cambio con respecto al tiempo: la razón con la que el agua fluye en un depósito, la razón con la cual crece o decrece su altura, la razón en la cual se separan dos móviles después de pasar por un punto específico P, etc.Cuando la variable y está dada en términos de t, basta con derivar y calcular luego el valor de la derivada en el tiempo requerido. Pero en la mayoría de los casos la variable y está ligada (relacionada) con otras variables de las cuales conocemos su razón de cambio.
Variables relacionadas, variables ligadas o razones afines

VALORES EXTREMOS DE UNA FUNCIÓN DE VARIABLE REAL PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL

Se ha visto en el módulo 20 que la existencia de la derivada de una función en un punto c significa geométricamente que la curva y = f (x) tiene una recta tangente en el punto (c, f (c)) y además mT = f ´(c). Este hecho permite determinar, entre otros, aquellos puntos de la curva en los cuales la tangente es horizontal, resolviendo la ecuación f’(x) = 0.
Valores máximos y mínimos de una función de variable real
Extremos relativos
Extremos absolutos

LÍMITES INFINITOS Y ASÍNTOTAS VERTICALES PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL

* Ilustrar por medio de ejemplos la definición de límites infinitos, así como también su significado geométrico en el plano cartesiano.
* Introducir la noción de asíntota vertical y su relación con los límites infinitos.
Límites infinitos
Se entiende por límites infinitos de una función cuando el valor de la función crece o decrece sin «límite» a medida que la variable x se aproxima a un valor dado.
Asíntotas verticales

LÍMITES AL INFINITO Y ASÍNTOTAS DE UNA CURVA PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL

Límites al infinito
Teoremas sobre límites al infinito
Álgebra de límites al infinito
Límite al infinito para funciones racionales
Asíntotas de una curva. Asíntotas horizontales
En primer lugar, se dice que un punto desplazable M se mueve a lo largo de una curva hacia infinito si la distancia entre este punto M y el origen de coordenadas crece indefinidamente.
Clasificación de las asíntotas

OTRAS FUNCIONES TRASCENDENTES Y SUS DERIVADAS PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL

En el texto de Álgebra y Trigonometría de esta misma serie se presentaron con sus propiedades más importantes dos funciones que aparecen en muchas aplicaciones de la matemática, como son la función exponencial y la función logarítmica. Éstas aparecen como funciones inversas una de la otra, y el conocimiento de una de ellas permite deducir el mismo comportamiento de la otra.
Derivada de las funciones exponencial y logarítmica
El número e como un límite
Las funciones hiperbólicas y sus derivadas
Las funciones hiperbólicas inversas y sus derivadas
Aplicaciones de las funciones hiperbólicas: la catenaria y el gudermanniano

DERIVACIÓN DE FUNCIONES DE VARIABLE REAL PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL

La propiedad de continuidad es una propiedad local que indica geométricamente que la curva no se «rompe» en ningún punto de su dominio. Igualmente, la derivabilidad de una función es también una propiedad local, e indica que a la gráfica de la función se le puede trazar una recta tangente en cada punto de su dominio. Parece por tanto natural que esta segunda condición sea más fuerte que la primera.
Relación entre la derivada y la continuidad de una función de variable real
Derivadas laterales

CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE VARIABLE REAL PDF TEORÍA, EJEMPLOS Y EJERCICIOS RESUELTOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL

En el lenguaje cotidiano le hemos dado a la palabra continuidad la connotación de «ausencia de interrupciones». Así, cuando se dice que «se trabajará en jornada continua de 8:00 a.m. a 4:00 p.m.», se quiere manifestar que el trabajo no tiene interrupciones durante el periodo establecido.
Idea intuitiva y definición de función continua
Teoremas sobre funciones continuas
Continuidad en un intervalo

LÍMITE DE FUNCIONES DE VARIABLE REAL PDF TEORÍA, EJEMPLOS Y EJERCICIOS RESUELTOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL

Entre todos los conceptos del cálculo infinitesimal, el de límite es sin duda el más importante y quizás también el más difícil. Por esta razón iniciamos su estudio de una manera intuitiva. Lo que vamos a definir no es la palabra «límite» sino la noción de función que tiende hacia un límite.
Noción intuitiva del límite
Definición de Cauchy (rigurosa) del límite de una función
Escogencia del delta (δ) dado el épsilon (∈)
Teoremas sobre límites
Límites laterales

ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO PDF TEORÍA, EJEMPLOS RESUELTOS Y EJERCICIOS DE ÁLGEBRA MULTILINEAL

El producto interno
Espacios Duales
Bases Ortonormales
Transformaciones Ortogonales
Función Determinante
Funciones Determinantes Duales
Funciones Determinantes Normadas
Ángulos en el plano orientado
El determinante de Gram
El volumen de un paralelepípedo
Producto cruz

SISTEMAS DE ECUACIONES Y MATRICES PDF TEORÍA, EJEMPLOS RESUELTOS Y EJERCICIOS DE ÁLGEBRA BÁSICA

Sistemas de ecuaciones
Sistemas de ecuaciones lineales
Podemos clasificar los sistemas de ecuaciones en lineales y no lineales. De un punto de vista algebraico, se estudian preferentemente los sistemas lineales. En esta sección estudiaremos aquellos lineales con sólo dos variables.
Matrices
Álgebra de matrices
Inversa de una matriz

FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS PDF TEORÍA, EJEMPLOS RESUELTOS Y EJERCICIOS DE ÁLGEBRA BÁSICA

Funciones exponenciales
Funciones logarítmicas
Propiedades de los logaritmos

SECCIONES CÓNICAS PDF TEORÍA, EJEMPLOS RESUELTOS Y EJERCICIOS DE ÁLGEBRA BÁSICA

Parábolas
Las secciones cónicas, también llamadas cónicas, se obtienen cortando un cono circular recto doble con un plano. Al cambiar la posición del plano se tiene un círculo, una elipse, una parábola o una hipérbola.
Elipses
Hipérbolas

INDUCCIÓN MATEMÁTICA PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE ÁLGEBRA BÁSICA

Principio de inducción matemática
Formas equivalentes de inducción
En esta sección discutiremos dos proposiciones equivalentes al principio de inducción matemática. En algunas situaciones una de estas formas puede ser más fácil de usar que otras.
El binomio de Newton

CONJUNTOS, RELACIONES Y FUNCIONES PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE ÁLGEBRA BÁSICA

El término conjunto y elemento de un conjunto son términos primitivos y no definidos. De un punto de vista intuitivo parece ser que cualquier colección de objetos puede ser considerado un conjunto. Sin embargo esto no es así, ya que de lo contrario se llega a paradojas. En general podemos decir informalmente que los conjuntos no pueden ser “demasiado grandes”.
Conjuntos de validez de funciones proposicionales
Relaciones
Particiones y relaciones de equivalencia

LÓGICA PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE ÁLGEBRA

Tablas de verdad
Implicación y Bicondicional
Tautologías
Argumentos y el principio de demostración
¿Cómo ganar un argumento? Aparte de intimidación, abuso de poder, coerción, etc. Estamos hablando de convencer a alguien por medio de un razona miento lógico. Si decimos: ¿Aceptas que p, q y r son verdaderas? y la respuesta es: Si, por supuesto; se puede decir: Entonces concluimos que t debe ser verdadera.
Cuantificadores
Métodos de Demostración

NÚMEROS COMPLEJOS PDF TEORÍA Y EJERCICIOS RESUELTOS DE ÁLGEBRA

Operaciones
Suma
Propiedades de la suma
Producto
Propiedades del producto
Conjugado de un número complejo
Propiedades del conjugado de un número complejo
Modulo de un número complejo
Propiedades del módulo de un número complejo
Representación de los números complejos en el plano
Forma polar o trigonométrica de un número complejo
Interpretación geométrica del producto de dos números complejos
La fórmula de Euler
Potencias de números complejos
Fórmula de De Moivre
Potencias de la unidad imaginaria
Raíces n-ésimas de un número complejo
Las raíces de un polinomio real

ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EN EL PLANO Y EL ESPACIO PDF TEORÍA Y EJERCICIOS RESUELTOS DE ÁLGEBRA

La necesidad de afrontar el estudio de objetos complicados del plano y el espacio hace conveniente disponer de un manejo previo de ciertas curvas y superficies simples. Este primer tema se divide en tres secciones que, aparte de estar unidas por el nexo común de la geometría y por sus múltiples utilidades, se diferencian en los temas que analizan: en primer lugar, se tratan las rectas en el plano y el espacio así como los planos en el espacio; en segundo lugar, las cónicas en el plano y, para Finalizar, las superficies cuádricas en el espacio.
Rectas en el plano
Rectas y planos en el espacio
Cónicas
Secciones cónicas
Definición métrica y elementos notables

COMBINATORIA PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS 2

Recordemos que la Combinatoria es la parte de las Matemáticas que se ocupa de la resolución de problemas de elección y disposición de los elementos de cierto conjunto, de acuerdo con ciertas reglas. Es decir, dentro de la Combinatoria es dónde tienen sentido preguntas del tipo:
1. ¿Cuántas quinielas distintas pueden hacerse?.
2. ¿Cuántas posibles combinaciones pueden darse en la lotería primitiva?.
3. ¿Qué posibilidades hay de que me toquen los cuatro ases en una mano de tute?.
Conceptos fundamentales
Principio de multiplicación
Muestras ordenadas
Muestras ordenadas sin repetición
Permutaciones
Permutaciones con elementos repetidos
Muestras ordenadas con repetición

ENUNCIADOS Y DEMOSTRACIONES FORMALES PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE ESTADÍSTICA-MODELOS LINEALES

Se incluyen aquí teoremas, desarrollos y demostraciones omitidos en el curso de la exposición, por su nivel de formalismo o por no ser esenciales.
Existencia y unicidad de proyecciones
Proyección sobre subespacios h= M∩K(B)

PROCEDIMIENTOS DE CÁLCULO PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE ESTADÍSTICA-MODELOS LINEALES

Hay procedimientos mucho menos costosos desde el punto de vista del cálculo que, además, permiten en algunos casos intuiciones interesantes y demostraciones de gran  simplicidad. En lo que sigue se presenta uno de los métodos de cálculo más utilizados, y la construcción en que se basa (la factorización QR). Se detalla también la correspondencia entre la notación empleada y los resultados de algunas funciones de S que hacen uso de dicha factorización.
Transformaciones ortogonales
Factorización QR

SELECCIÓN DE MODELOS PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE ESTADÍSTICA-MODELOS LINEALES

Criterios para la comparación
En ocasiones, ajustamos un modelo de regresión teniendo una idea clara de las variables que debemos incluir como regresores. Es más frecuente, sin embargo, el caso en que sólo tenemos una idea aproximada de la forma adecuada para nuestro modelo, y debemos decidir con criterio estadístico qué regresores deben ser incluidos.
Criterio AIC
Residuos borrados y validación cruzada
Complejidad estocástica y longitud de descripción mínima
Selección de variables
Regresión sobre todos los subconjuntos de variables
Regresión escalonada

EVALUACIÓN DEL AJUSTE-DIAGNÓSTICOS PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE ESTADÍSTICA-MODELOS LINEALES

En lo que sigue abordaremos esta cuestión, considerando instrumentos para examinar el ajuste localmente (para observaciones individuales). Examinaremos también la cuestión íntimamente relacionada de cuándo una observación (o varias) son muy influyentes, en el sentido de condicionar de modo importante la estimación del modelo.
Análisis de residuos
Residuos internamente studentizados
Residuos externamente studentizados
Residuos BLUS
Residuos borrados
Análisis de influencia
La curva de influencia muestral
Distancia de Cook
Análisis gráfico de residuos

REGRESIÓN SESGADA PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE ESTADÍSTICA-MODELOS LINEALES

De acuerdo con el teorema de Gauss-Markov los estimadores mínimo cuadráticos ordinarios (MCO) son los de varianza mínima en la clase de los estimadores lineales insesgados. Cualesquiera otros que consideremos, si son lineales y de varianza menor, habrán de ser sesgados.
Una aproximación intuitiva
Regresión ridge
Error cuadrático medio del estimador mínimo cuadrático ordinario
Clase de estimadores ridge
Elección de k
Uso de trazas ridge
Elección de k por validación cruzada
Elección de k por validación cruzada generalizada
Estrategias de selección de componentes principales

INFERENCIA SIMULTÁNEA PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE ESTADÍSTICA-MODELOS LINEALES

Problemas que plantea el contrastar múltiples hipótesis simultáneas
Evidencia contra una hipótesis
Análisis exploratorio e inferencia
Inferencia simultánea y modelo de regresión lineal ordinario
Desigualdad de Bonferroni
Intervalos de confianza basados en la máxima t.
Métodos de Scheffé
Empleo de métodos de inferencia simultánea

ESTIMACIÓN DEL MODELO DE REGRESIÓN LINEAL CON R PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE ESTADÍSTICA-MODELOS LINEALES

Se presenta aquí la función 1m y algunas otras, para ilustrar tanto los conceptos teóricos adquiridos como la potencia del entorno de modelización proporcionado por R.
Tipología de variables explicativas.
Interesará distinguir dos tipos de variables: cualitativas (también llamadas categóricas) y numéricas. Las variables cualitativas se desglosan a su vez en nominales y ordinales.
Factores y dataframes
Fórmulas
La función 1m

REGRESIÓN CON PERTURBACIONES NORMALES PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE ESTADÍSTICA-MODELOS LINEALES

Contraste De Hipótesis Lineales
En ocasiones no conocemos la distribución teórica de los estadísticos de interés para muestras finitas. Todo lo que podemos obtener teóricamente es la distribución asintótica (la distribución cuando el tamaño muestral tiende a infinito). En este caso, la simulación permite ver si la aproximación asintótica es aceptable para un cierto tamaño muestral.
Contraste de significación conjunta de la regresión
Construcción de intervalos de confianza para la predicción

ESPECIFICACIÓN INADECUADA DEL MODELO PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE ESTADÍSTICA-MODELOS LINEALES

Inclusión de regresores irrelevantes
Omisión de regresores relevantes
Consecuencias de orden práctico
Los resultados de las dos Secciones anteriores pueden ayudarnos a tomar decisiones a la hora de especificar un modelo. Hemos visto que sobre parametrizar no introduce sesgos: tan sólo incrementa la varianza de los estimadores y resta grados de libertad. Errar “por exceso” tendría por ello en general consecuencias menos graves, y tanto menos importantes cuanto mayor sea el tamaño muestral. La pérdida de un grado de libertad adicional originada por la inclusión de un parámetro es menos importante cuando los grados de libertad restantes (N-P) siguen siendo muchos.

ESTIMACIÓN CON RESTRICCIONES PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE ESTADÍSTICA

Planteamiento del problema
Lemas auxiliares
Estimación condicionada
Los Lemas anteriores proporcionan todos los elementos para obtener de forma rápida el estimador condicionado que buscamos. (Supondremos X y A de rango completo, pero es fácil generalizar el tratamiento reemplazando las inversas por inversas generalizadas.) Aunque el desarrollo formal es algo farragoso, la idea es muy simple.

IDENTIFICACIÓN-COLINEALIDAD EXACTA PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE ESTADÍSTICA

Modelos con matriz de diseño de rango deficiente
Funciones estimables
Restricciones de identificación
Multicolinealidad exacta y aproximada
La existencia de dependencia lineal “exacta” entre las columnas de la matriz de diseño X, es, como se ha visto, fruto habitualmente de una decisión consciente. Escogemos un diseño de rango incompleto, pero lo suplementamos con restricciones de identificación que solventan el problema de la estimación y dotan a los parámetros de la interpretación que deseamos.

ESTIMACIÓN MÍNIMO CUADRÁTICA PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE ESTADÍSTICA

Obtención de los estimadores de los parámetros
Una obtención alternativa
Propiedades del estimador mínimo cuadrático
Estimación de la varianza de la perturbación
Algunos lemas sobre proyecciones

EL MODELO DE REGRESIÓN LINEAL PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE ESTADÍSTICA

Planteamiento del problema
Son frecuentes en la práctica situaciones en las que se cuenta con observaciones de diversas variables, y es razonable pensar en una relación entre ellas. El poder determinar si existe esta relación -y, en su caso, una forma funcional para la misma-es de sumo interés. Por una parte, ello permitiría, conocidos los valores de algunas variables, efectuar predicciones sobre los valores previsibles de otra. Podríamos también responder con criterio estadístico a cuestiones acerca de la relación de una variable sobre otra.
Notación
Supuestos
La estimación mínimo cuadrática como problema de aproximación vectorial
Proyecciones

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES PDF EJERCICIOS RESUELTOS DE ÁLGEBRA LINEAL

Rango de una matriz
Transformaciones elementales
Transformaciones elementales
Calculo del rango
Sistemas de ecuaciones lineales
Resolución de un sistema de ecuaciones lineales
Teorema de Rouché-Frobenius
Aplicación de las transformaciones elementales al cálculo de la matriz inversa

ESPACIOS VECTORIALES PDF EJERCICIOS RESUELTOS DE ÁLGEBRA LINEAL

Subespacios vectoriales
Base de un espacio vectorial
Espacios vectoriales
Teorema de Reemplazamiento
Coordenadas de un valor
Matrices de cambio de base

FUNDAMENTOS PDF EJERCICIOS RESUELTOS DE ÁLGEBRA LINEAL

Relaciones de equivalencia
Leyes de composición internas
Existencia de elemento neutro o identidad
Existencia de elemento opuesto o inverso
Estructuras algebraicas básicas
El anillo de polinomios K[x]

DIAGONALIZACIÓN PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE ÁLGEBRA LINEAL

Planteamiento del problema
Subespacios f-invariantes
Valores y vectores propios de un endomorfismo
Valores y vectores propios de una matriz
Polinomio característico
Valores y vectores propios de una matriz
Polinomio característico
Endomorfismos y matrices diagonalizables

DETERMINANTES PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE ÁLGEBRA LINEAL

El grupo simétrico
Determinante de una matriz
Cálculo de determinantes mediante desarrollos
Aplicaciones de los determinantes
Cálculo de rango
Regla de Cramer

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE ÁLGEBRA LINEAL

Rango de una matriz
Transformaciones elementales
Transformaciones elementales
Calculo del rango
Sistemas de ecuaciones lineales
Resolución de un sistema de ecuaciones lineales
Teorema de Rouché-Frobenius
Aplicación de las transformaciones elementales al cálculo de la matriz inversa

APLICACIONES LINEALES PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE ÁLGEBRA LINEAL

Definición de aplicación lineal y propiedades
El espacio vectorial
El núcleo y la imagen de una aplicación lineal
Matriz asociada a una aplicación lineal
Isomorfismos entre espacios vectoriales
Matriz asociada a una aplicación lineal
Matriz asociada a una aplicación lineal
Matrices equivalentes

NOCIONES BÁSICAS DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE ÁLGEBRA LINEAL

Relaciones de equivalencia
Definición. Sea A un conjunto. Una relación binaria ∼ definida sobre A es una regla que nos indica si dados dos elementos a y b pertenecientes a A están o no relacionados.
Leyes de composición internas
Existencia de elemento neutro o identidad
Existencia de elemento opuesto o inverso
Estructuras algebraicas básicas
El anillo de polinomios K[x]

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS PDF EJERCICIOS RESUELTOS DE MATEMÁTICA APLICADA

Solución analítica exacta
Aproximación utilizando Euler
Convergencia del Método
Tamaño del paso (Sin errores de redondeo)
Método de Taylor de orden 2
Método de Runge-Kutta de orden 2
Aproximación utilizando Euler
Solución exacta y Convergencia del Método
Tamaño del paso (Sin errores de redondeo)
Método de Taylor
Solución exacta

RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE MATEMÁTICA APLICADA

Este tema trata de aproximar la solución de sistemas de ecuaciones Ax=b mediante: métodos directos que, si se utilizara aritmética exacta, producirían la solución exacta métodos iterativos otros métodos para sistemas de ecuaciones no lineales.
Operador
Almacenamiento de matrices
Matrices Full
Matrices Sparse
Métodos directos de resolución
Método de Gauss
Resolución del sistema triangular superior
Método de Gauss para resolver un sistema Ax = b
Estrategias de pivoteo
Método de Gauss con pivoteo para resolver un sistema Ax = b
Método de Cramer
Factorización matricial
Factorización LU
Número de condición
Métodos iterativos de resolución

ECUACIONES NO LINEALES PDF EJERCICIOS RESUELTOS DE CÁLCULO NUMÉRICO

Algoritmo
Identificación del método y comparación con Regula Falsi
Acotación y Separación de raíces
Obtención de las raíces
Método de Newton
Raíz triple
Métodos de intervalo
Métodos de iteración funcional
Calculo del número de iteraciones
Representación de la función
Cálculo del coeficiente de arrastre
Regula Falsi Modificada
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