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Mostrando las entradas de agosto, 2012

SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS PDF EJERCICIOS Y EJEMPLOS RESUELTOS

Los SEDO lineales con coe cientes constantes
La exponencial matricial exp(xA)
El caso de autovalores m últiples
El SEDO lineales no homog éneo


ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN PDF EJERCICIOS Y EJEMPLOS RESUELTOS

EDOs de primer orden
Ecuaciones separables
Ecuaciones que se reducen a EDOs lineales o separables
Las EDOs homog eneas
Otras EDOs de primer orden: la EDO de Clairaut
Ecuaciones exactas y factores integrantes
Aproximaciones num éricas: el m étodo de Euler


INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS PDF EJERCICIOS Y EJEMPLOS RESUELTOS

La EDO lineal de primer orden
Ecuaciones diferenciales “ordinarias”
La EDO lineal de primer orden
Algunas aplicaciones de las EDOs lineales de primer orden


ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES Y SISTEMAS DINÁMICOS PDF EJERCICIOS Y EJEMPLOS RESUELTOS

Ecuaciones diferenciales abstractas
Sistemas con peque˜nas perturbaciones asintóticas
Algunos conceptos de sistemas dinámicos
Las tres hipótesis
El Teorema: estabilidad de conjuntos omega-límites
Aplicación a algunas ecuaciones de la física


ECUACIONES DIFERENCIALES PDF EJERCICIOS Y EJEMPLOS RESUELTOS

Ecuaciones diferenciales
Métodos en diferencias de un paso
Coeficientes indeterminados con el Mathematica
El método de Simpson 37
El método de Newton 38
El método de cuadratura de Gauß de tres puntos
Los coeficientes de la cuadratura de Gauß de cinco puntos


INTEGRACIÓN PDF EJERCICIOS Y EJEMPLOS RESUELTOS

La integral de Riemann–Stieltjes
La fórmula de suma de Euler
Métodos básicos de integración numérica
Métodos de extrapolación
Cuadratura de Gauß
Métodos de Montecarlo
Métodos adaptativos


CUERPOS CICLOTÓMICOS PDF EJERCICIOS Y EJEMPLOS RESUELTOS

La fórmula del número de clases
El primer factor del número de clases
Los números de Bernoulli
El segundo factor del número de clases
Números p-ádicos ciclotómicos
La caracterización de los primos regulares


SUMAS DE GAUSS PDF EJERCICIOS Y EJEMPLOS RESUELTOS

Propiedades básicas
Sumas de Gauss y la ley de reciprocidad
El signo de las sumas cuadráticas
El número de clases en cuerpos cuadráticos


LA FUNCIÓN DSETA DE DEDEKIND PDF EJERCICIOS Y EJEMPLOS RESUELTOS

Convergencia de la función dseta
Productos de Euler
Caracteres de grupos abelianos
Caracteres modulares
La función dseta en cuerpos ciclotómicos
El cálculo de L (1, χ)
Enteros ciclotómicos reales


LA TEORÍA DE LOS GÉNEROS PDF EJEMPLOS RESUELTOS

Equivalencia modular
Géneros de formas y módulos
El número de géneros
El carácter de un cuerpo cuadrático
Representaciones por formas cuadráticas
Grupos de clases y unidades


EL TEOREMA DE HASSE-MINKOWSKI PDF EJERCICIOS Y EJEMPLOS RESUELTOS

Formas cuadráticas
Formas cuadráticas sobre cuerpos p-ádicos
Formas binarias en cuerpos p-´adicos
El teorema de Hasse-Minkowski
La ley de reciprocidad cuadrática
Conclusión de la prueba


NÚMEROS P-ÁDICOS PDF EJERCICIOS Y EJEMPLOS RESUELTOS

Valores absolutos
Cuerpos métricos discretos
Criterios de existencia de raíces
Series en cuerpos no arquimedianos


CUERPOS CUADRÁTICOS PDF EJERCICIOS Y EJEMPLOS RESUELTOS

Formas cuadráticas binarias
Equivalencia y similitud estricta
Grupos de clases
Ecuaciones diofánticas cuadráticas
Calculo de grupos de clases


MÉTODOS GEOMÉTRICOS PDF EJERCICIOS Y EJEMPLOS RESUELTOS

La representación geométrica
Retículos
El teorema de Minkowski
El grupo de clases
La representación logarítmica
Calculo de sistemas fundamentales de unidades
Calculo del número de clases


FACTORIZACIÓN IDEAL PDF EJERCICIOS Y EJEMPLOS RESUELTOS

Dominios de Dedekind
Divisibilidad ideal en órdenes numéricos
Ejemplos de factorizaciones ideales
La función de Euler generalizada
Factorización ideal en ordenes no maximales
El problema de la contemporización única real


CUERPOS NUMÉRICOS PDF EJERCICIOS Y EJEMPLOS RESUELTOS

Enteros algebraicos
Discriminantes
Módulos y ordenes
Determinación de bases enteras
Normas e Índices


INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA ALGEBRAICA DE NÚMEROS PDF EJEMPLOS RESUELTOS

Ternas pitagóricas
El Último Teorema de Fermat
Factorización única
La ley de reciprocidad cuadrática
El teorema de Dirichlet
Ecuaciones diofánticas
Ecuaciones definidas por formas


LOS NÚMEROS REALES PDF TEORÍA Y EJEMPLOS

Propiedad de continuidad
Principio de intervalos cerrados encajados
Axioma del supremo
Cortaduras de dedekind
Necesidad de la existencia de números reales
Relaciones entre las diferentes formas de definir los números reales
Origen de los números reales
Números racionales
Propiedades de los números racionales


MAGIA Y PERSONALIDAD DE LOS NÚMEROS PDF EJEMPLOS RESUELTOS

* A trav es del tiempo, algunos n umeros que satisfacen determinada propiedad, han sido objeto de estudio y en algunos casos se les ha relacionado con la religi on, la superstici on, la suerte y hasta con la magia. As como las personas son altas o bajas, delgadas o gruesas, amigables, organizadas, sensatas, buenas o malas, entre muchas m as, los n umeros tienen su propia personalidad y se ha utilizado, desde la magna Grecia, nombres muy sugestivos para su comportamiento.
Números especiales

HISTORIA DE LOS NÚMEROS PDF TEORÍA Y EJEMPLOS

Sobrevolaremos fugazmente por la historia de los números, como para contarte algo de lo mucho que hizo el hombre desde tiempos prehistóricos. En la actualidad estamos tan acostumbrados a utilizar los números que la idea de dónde y cómo surgieron nos resulta muy remotas en el tiempo.
Sistemas de numeración
El paso de los problemas resueltos con recetas particulares a los métodos generales, tiene como requisito el descubrimiento de un sistema adecuado de numeración. El concepto de número sin representación adecuada, sin numeral eficaz, no es nada. El numeral es ni más ni menos que el símbolo escrito del número.

POLINOMIOS Y RAÍCES PDF EJERCICIOS Y EJEMPLOS RESUELTOS

Hechos generales
Algoritmo de División
Máximo común divisor
Factorización de polinomios
Raíces múltiple
Cantidad de raíces
Polinomio interpolador
Polinomios en C [X]
Teorema Fundamental del Algebra
Ubicación de las raíces
Polinomios en Q [X]
Revisión de resultados
Calculo de raíces en Q
Irreductibilidad en Q [X]
Factorización en Q [X]
Polinomios en R [X]
Revisión de resultados
Polinomios irreducibles en R [X]
Cantidad de raíces reales de un polinomio en R [X]
Aproximación de raíces reales
Los métodos de la bisección y de la secante
El método de Newton-Raphson
Búsqueda de punto fijo y convergencia
Criterios de convergencia para el método de Newton-Raphson
Rapidez de convergencia


EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES PDF EJERCICIOS Y EJEMPLOS RESUELTOS

El conjunto de los números Enteros
El conjunto de los números Racionales y el conjunto de los números Irracionales
El conjunto de los números Irracionales
El conjunto de los números Reales
Operaciones definidas en el conjunto de los números reales
Orden en el conjunto de los números reales
Aritmética en el Conjunto de los Números Reales
Propiedades de los números enteros
Operaciones definidas en el conjunto de los números enteros
Adición de los números enteros
Multiplicación de números enteros
Operaciones combinadas
Algoritmo de la división
Divisibilidad
Algunos criterios de divisibilidad
Múltiplos y factores de un número entero
Números primos y números compuestos
Representación de un número compuesto como el producto de números primos
Máximo divisor común
Mínimo múltiplo común
Propiedades de los números racionales
Fracciones equivalentes
Simplificación de fracciones
Fracciones canonícas y fracciones reducibles
Amplificación de fracciones
Representación de números racionales usando el mínimo …

LOS NÚMEROS COMPLEJOS PDF EJERCICIOS Y EJEMPLOS RESUELTOS

¿Imaginámos la realidad?
Ampliando el conjunto numérico
Propiedades de las operaciones en C
El plano Complejo
La raíz de un número complejo


NÚMEROS COMPLEJOS PDF EJEMPLOS RESUELTOS, TEORÍA Y PROBLEMAS

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS
IGUALDAD DE NÚMEROS COMPLEJOS
OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS
SUMA DE NÚMEROS COMPLEJOS. PROPIEDADES
PRODUCTO DE NÚMEROS COMPLEJOS. PROPIEDADES
FORMA BINÓMICA DE UN NÚMERO COMPLEJO
POTENCIA DE NÚMEROS COMPLEJOS
CONJUGADO DE UN NUMERO COMPLEJO
COCIENTE DE NÚMEROS COMPLEJOS
RAÍZ CUADRADA DE NÚMEROS COMPLEJOS
MÓDULO Y ARGUMENTO DE UN NÚMERO COMPLEJO
FORMAS POLAR Y TRIGONOMÉTRICA DE UN NÚMERO COMPLEJO
NÚMEROS COMPLEJOS IGUALES, CONJUGADOS Y OPUESTOS EN FORMA POLAR
OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA POLAR
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DEL PRODUCTO DE NÚMEROS COMPLEJOS


CONJUNTOS, RELACIONES Y FUNCIONES PDF EJERCICIOS Y EJEMPLOS RESUELTOS

Conjuntos
Conjuntos de validez de funciones proposicionales
Relaciones
Particiones y relaciones de equivalencia
Funciones


LOS NÚMEROS COMPLEJOS PDF EJEMPLOS RESUELTOS Y EJERCICIOS CON RESPUESTAS

Definición y operaciones en el conjunto de los números complejos
Forma binómica de un número complejo
Suma y multiplicación de números complejos en la forma binómica
Conjugado de un número complejo
Módulo y argumento de un número complejo
División de números complejos
Raíces complejas de la ecuación de segundo grado
Forma trigonométrica o polar de un número complejo
Multiplicación de números complejos en su forma trigonométrica
Fórmula de Moivre
Forma exponencial de un número complejo
Multiplicación y división de números complejos en su forma exponencial
Raíces n-ésimas de un número complejo
El logaritmo de un número complejo


BOSQUEJO DE FUNCIONES PDF EJEMPLOS RESUELTOS, TEORÍA Y PROBLEMAS

BOSQUEJO DE FUNCIONES
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Desplazamientos
Estiramientos y compresiones verticales
Estiramientos y compresiones horizontales .
Reflexiones
COMBINACIÓN DE FUNCIONES
FUNCIONES COMPUESTAS
PROBLEMAS ENCB


INTEGRAL INDEFINIDA-MÉTODOS DE INTEGRACIÓN PDF EJEMPLOS RESUELTOS

Método de integración por cambio de variable
Método de integración por partes
Integración de funciones racionales
Q(x) tiene solamente raíces reales simples
Q(x) tiene raíces reales múltiples
Q(x) tiene raíces imaginarias simples


INTEGRALES INMEDIATAS-INTEGRAL INDEFINIDA Y CÁLCULO DE ÁREAS PDF EJEMPLOS RESUELTOS

Concepto de primitiva. Propiedades
Tabla de primitivas. Integrales inmediatas
Integrales definidas
Cálculo de áreas mediante integrales
Área comprendida entre dos curvas


DERIVADAS PDF EJEMPLOS RESUELTOS, TEORÍA Y PROBLEMAS

Tabla de Derivadas
Propiedades de la derivadas
Algunos ejemplos de cálculo de derivadas
Aplicaciones de las derivadas
Monotonía. Extremos relativos
Curvatura. Puntos de inflexión
Ejemplos del estudio de la monotonía, los extremos, la curvatura y los puntos de inflexión de una función


ECUACIONES-SISTEMAS DE ECUACIONES PDF EJERCICIOS RESUELTOS

Ecuaciones de primer grado
Sistemas de ecuaciones por el método de igualación
Sistemas de ecuaciones por el método de sustitución
Sistemas de ecuaciones por el método de reducción
Sistemas de ecuaciones


SISTEMAS DE ECUACIONES-MATRICES PDF EJERCICIOS RESUELTOS

* Un alumno de 2º de Bachillerato emplea en la compra de tres lápices, un sacapuntas y dos gomas de borrar, tres euros. El doble del precio de un lápiz excede en cinco céntimos de euro a la suma de los precios de un sacapuntas y de una goma de borrar. Si cada lápiz costara cinco céntimos de euro más, entonces su precio duplicaría al de una goma de borrar. Determina el precio de un lápiz, de un sacapuntas y de una goma de borrar.
* Con las 12 monedas que tengo en el bolsillo (de 50 céntimos, de 20 céntimos y de 10 céntimos de euro) puedo comprar un pastel cuyo precio es 2,80 euros. Si una moneda de 50 céntimos lo fuera de 20, entonces el número de las de 20 céntimos y el número de las de 10 céntimos coincidiría. ¿Cuántas monedas tengo de cada clase?.


SISTEMAS DE ECUACIONES-MÉTODO DE GAUSS PDF EJEMPLOS RESUELTOS

Ecuación lineal
Ecuaciones equivalentes
Sistemas de ecuaciones lineales
Sistemas de ecuaciones equivalentes
Transformaciones para obtener sistemas equivalentes
Clasificación de los sistemas según su número de soluciones
Sistemas escalonados
Matriz asociada a un sistema de ecuaciones lineales
Método de Gauss
Discusión de sistemas de ecuaciones dependientes de un parámetro


SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES PDF EJERCICIOS Y EJEMPLOS RESUELTOS

Expresión matricial de un sistema de tres ecuaciones y tres incógnitas
Método de Gauss para la resolución de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas
Transformaciones elementales de la matriz ampliada
Resolución de problemas


POLINOMIOS PDF EJEMPLOS RESUELTOS, TEORÍA Y PROBLEMAS

Monomio, Binomio y Trinomio
Operaciones con polinomios
Suma y resta
Producto
División
Regla de Ruffini
Teorema del Resto
Raíces de un polinomio
Factorización de polinomios
Fracciones algebraicas
Fracciones algebraicas equivalentes
Razones algebraicas
Simplificación de fracciones algebraicas
Verdadero valor de una fracción algebraica
Reducción de fracciones algebraicas a común denominador
Suma y resta de fracciones algebraicas
Producto y cociente de fracciones algebraicas


NÚMEROS REALES-POTENCIAS Y RAÍCES PDF EJEMPLOS RESUELTOS

Operaciones en el conjunto de los números racionales q
El conjunto de los números reales
Conjuntos numéricos
Intervalos y semirrectas
Propiedades de las potencias
Radicales
Propiedades de los radicales
Suma de radicales
Racionalización de denominadores
Con una raíz cuadrada en el denominador
Con una raíz n-ésima en el denominador
Con una suma o diferencia de raíces cuadradas en el denominador


MÉTODOS NUMÉRICOS PDF EJERCICIOS Y EJEMPLOS RESUELTOS

Método de Euler
En conclusión, elmétodo de Euler se basa en la aproximación lineal de la solución y(x) en x=x0 y requiere evaluar la función f (x,y) sólo una vez en cada aproximación. Sin embargo, el cálculo se complica al tratar de encontrar una buena solución en un intervalo dado, ya que para reducir los errores de aproximación y propagación se requiere reducir el tamaño de paso y, en consecuencia, se necesita hacer un mayor número de cálculos que con una herramienta de cómputo se pueden realizar rápidamente. Una primera posibilidad es utilizar hojas de cálculo, por ejemplo Excel; una segunda alternativa consiste en implementar el método en algún lenguaje de programación, como Mathematica, siguiendo el pseudocódigo que se indica abajo.

APLICACIÓN DE LA TL PARA RESOLVER ECUACIONES DIFERENCIALES PDF EJERCICIOS Y EJEMPLOS RESUELTOS

Aplicación de la TL para resolver ED
En esta sección, presentamos con detalle la manera en que utilizaremos la TL para obtener la solución de un PVI. Con este método podremos no sólo resolver PVI con ED lineales, como las consideradas, sino también otros tipos de PVI que no se han planteado antes en este libro.
Esquema general del método
Para una ED lineal de segundo orden con coeficientes constantes y condiciones iniciales en t=0,
Método de Heaviside
Factores lineales no repetidos


LA TRANSFORMADA DE LAPLACE-TRANSFORMADA DE UNA FUNCIÓN PERIÓDICA PDF EJERCICIOS Y EJEMPLOS RESUELTOS

Transformada de una función periódica
Recordemos que una función f es periódica con periodo p > 0, si satisface:
f (t + p)= f (t ) , para toda t. Para el cálculo de la TL de una función de este tipo, tenemos...

LA TRANSFORMADA DE LAPLACE-TRANSFORMADA DE UNA INTEGRAL PDF EJERCICIOS Y EJEMPLOS RESUELTOS

La transformada de Laplace
En la gran mayoría de los sistemas de interés para la física y la ingeniería es posible (al menos en principio) predecir su comportamiento futuro partiendo de condiciones dadas en un determinado tiempo, el cual podemos desde luego suponer que es t=0.
Transformada de una integral
Transformada de una integral


LA TRANSFORMADA DE LAPLACE-DERIVADA DE UNA TRANSFORMADA PDF EJERCICIOS Y EJEMPLOS RESUELTOS

Derivada de una transformada
Esta propiedad es útil cuando se requiere calcular transformadas inversas de funciones F(s) para las cuales se puede obtener su derivada o su integral definida. Haremos uso de esta propiedad para calcular la TL de funciones trascendentes.

LA TRANSFORMADA DE LAPLACE-TRANSFORMADA DE UNA DERIVADA PDF EJERCICIOS Y EJEMPLOS RESUELTOS

Transformada de una derivada
La siguiente propiedad nos permite aplicar la TL a la solución de una ED. Si f(t) es una función con derivada f´(t), entonces...

LA TRANSFORMADA DE LAPLACE-EXISTENCIA DE TL PDF EJERCICIOS Y EJEMPLOS RESUELTOS

Existencia de TL
Los resultados encontrados en las secciones anteriores nos podrían hacer pensar que bastará cuidar el rango de la variable s para asegurar la existencia de la TL de una función; sin embargo, para algunas funciones éste no es el caso. Consideremos el siguiente ejemplo para ilustrar esa posibilidad.
Condiciones suficientes para la existencia de la transformada de Laplace
funciones seccionalmente continuas de orden exponencial


DEFINICIÓN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE PDF EJERCICIOS Y EJEMPLOS RESUELTOS

Definición y primeras observaciones
En la gran mayoría de los sistemas de interés para la física y la ingeniería es posible (al menos en principio) predecir su comportamiento futuro partiendo de condiciones dadas en un determinado tiempo, el cual podemos desde luego suponer que es t=0. Sólo en muy contados ejemplos es factible predecir el comportamiento pasado del sistema.
Cálculo de la TL
Propiedad de linealidad de la TL
Una fórmula recursiva para la TL
Más ejemplos de cálculo de la TL


APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN-CIRCUITO RLC DE CORRIENTE ALTERNA PDF EJERCICIOS Y EJEMPLOS RESUELTOS

Circuito RLC de corriente alterna
El último circuito que estudiaremos es el circuito RLC de corriente alterna (véase la figura anterior). En este caso la ecuación que modela la carga en el circuito es exactamente la ecuación, con V(t)=V0 sen wt . La ecuación que modela la carga es...

APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN-CIRCUITO LC DE CORRIENTE ALTERNA PDF EJERCICIOS Y EJEMPLOS RESUELTOS

Circuito LC de corriente alterna
Un circuito LC simple de corriente alterna, como el de la figura anterior, está formado por una fuente de voltaje V(t), un capacitor C y un inductor L. Las caídas de potencial en el circuito son Q/C sobre el capacitor...
* Se conecta en serie un capacitor de 0.01 F, un inductor de 0.01H y una fuente de voltaje que suministra 10 cos (10t)V para formar un circuito LC. Determine una expresión para la carga y la corriente en todo tiempo t , suponiendo que inicialmente el capacitor estaba descargado y que no circulaba corriente alguna en el circuito.

APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN-CIRCUITO RL DE CORRIENTE ALTERNA PDF EJERCICIOS Y EJEMPLOS RESUELTOS

Circuito RL de corriente alterna
El circuito de la figura anterior está formado por una malla simple con una fuente de voltaje V(t) de tipo sinusoidal, un resistor R y un inductor L y se le conoce como circuito RL de corriente alterna. De acuerdo con la ley de Kirchhoff de voltaje, tenemos que...

APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN-CIRCUITO RC DE CORRIENTE ALTERNA PDF EJERCICIOS Y EJEMPLOS RESUELTOS

Circuito RC de corriente alterna
En la figura anterior semuestra un circuito RC de corriente alterna; este circuito está formado por una malla simple con una fuente de voltaje V(t) de tipo sinusoidal, un resistor R y un capacitor C. De acuerdo con la ley de Kirchhoff de voltaje, tenemos entonces que la carga satisface a la ecuación diferencial

APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN-CIRCUITO RLC DE CORRIENTE CONTINUA PDF EJERCICIOS Y EJEMPLOS RESUELTOS

Circuito RLC de corriente continua
Consideremos ahora un circuito formado por un resistor R, un capacitor C y un inductor L conectados en serie con una fuente de voltaje V (véase la figura anterior). De acuerdo con la ley de Kirchhoff de voltaje...Con cualquiera de estas dos ecuaciones diferenciales, podemos analizar qué ocurre con la corriente y con la carga en un circuito. Sugerimos, sin embargo, determinar primero la carga del capacitor utilizando la ecuación y posteriormente derivar con respecto al tiempo para obtener la corriente en el circuito.

APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN-CIRCUITO RL DE CORRIENTE CONTINUA PDF EJERCICIOS Y EJEMPLOS RESUELTOS

Circuito RL de corriente continua
En la figura anterior se muestra un circuito RL de corriente continua. Este circuito está formado por una malla simple con una fuente de voltaje V constante, una resistencia R y una inductancia L.

APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN-CIRCUITO RC DE CORRIENTE CONTINUA PDF EJERCICIOS Y EJEMPLOS RESUELTOS

Circuito RC de corriente continua
En esta figura se muestra un circuito RC de corriente continua, el cual está formado por una malla simple con una fuente de voltaje V constante, un resistor R y un capacitor C. Cuando se conecta la fuente, las caídas de potencial ocurren en el resistor RI y en el capacitor Q/C. De acuerdo con la ley de Kirchhoff de voltaje, tenemos entonces que...

APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN-CIRCUITOS ELÉCTRICOS PDF EJERCICIOS Y EJEMPLOS RESUELTOS

Desde hace más de un siglo, la humanidad ha utilizado en su beneficio la energía eléctrica. Actualmente usamos diferentes aparatos que la necesitan, baste recordar sólo los aparatos electrodomésticos que tenemos en nuestras casas para reconocer que sin ellos nuestra vida sería diferente. La energía eléctrica se transmite de diversas formas, por ejemplo, la instalación eléctrica en nuestras casas transmite la energía por medio de cables de cobre que forman diferentes circuitos. Estos circuitos son los más simples, pero en los aparatos electrónicos (teléfonos celulares, televisiones, etc.) aparecen elementos que almacenan y distribuyen la energía de diversas formas. En esta sección se estudian los conceptos básicos de circuitos y las ED que los modelan. Se inicia con los conceptos de campo eléctrico y diferencia de potencial.
La energía eléctrica se transmite por diversos materiales llamados conductores; estos materiales tienen la propiedad de que cargas eléctricas (electrones o iones po…

APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN-VIBRACIONES FORZADAS PDF EJERCICIOS Y EJEMPLOS RESUELTOS

Vibraciones forzadas
Los sistemas estudiados hasta ahora exhiben una dinámica que depende de ciertas constantes intrínsecas al sistema, es decir, las únicas fuerzas que actúan son internas al sistema. Supondremos en esta sección que se aplica una fuerza externa llamada de excitación FE sobre el sistema masa-resorte-amortiguador.
* La fuerza de excitación desempeña un papel diferente al de las otras fuerzas internas del sistema, pues a veces provoca una reducción de la velocidad y en otras provoca un aumento. Es decir, la fuerza de excitación puede reducir o aumentar la energía cinética del sistema. Cuando la fuerza de excitación sea distinta de cero, diremos que el sistemamasa-resorte-amortiguador está forzado.

APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN-MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE PDF EJERCICIOS Y EJEMPLOS RESUELTOS

* Para iniciar el estudio de las vibraciones mecánicas, analicemos una situación cotidiana y simple. Consideremos un cuerpo de masa m que está unido a una pared por medio de un resorte de constante k (sistema masa-resorte) el cual se encuentra sobre una mesa horizontal. Por simplicidad supongamos también que no existe fricción entre el cuerpo y lamesa y que el sistema se encuentra inicialmente en equilibrio.
Caso de un resorte colocado verticalmente

VARIACIÓN DE PARÁMETROS Y REDUCCIÓN DE ORDEN PDF EJERCICIOS Y EJEMPLOS RESUELTOS

Con lo anteriormente tratado hasta aquí, podemos hacer las afirmaciones siguientes:
1. Con el método de variación de parámetros podemos resolver la ED lineal no homogénea
2. Con el método de variación de parámetros podemos resolver la ED lineal con coeficientes constantes
3. Aplicando primero el método de reducción de orden y luego el método de variación de parámetros, podemos resolver la ED lineal

VARIACIÓN DE PARÁMETROS PARA ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN 2 PDF EJERCICIOS Y EJEMPLOS RESUELTOS

El método de variación de parámetros es un procedimiento útil para la obtención de una solución particular yp(x) de la ecuación diferencial ordinaria lineal (no homogénea) y se basa en el conocimiento de la solución general de la lineal homogénea asociada a dicha edo. lineal.

OBTENCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL PDF EJERCICIOS Y EJEMPLOS RESUELTOS

Hasta ahora el problema tratado ha sido:
Obtener la solución general de una ED lineal homogénea con coeficientes constantes.
En esta sección trataremos con el problema inverso:
Obtener una ED lineal homogénea de coeficientes constantes a partir de su solución general. Para obtener la solución general de una ED lineal homogénea con coeficientes constantes, recuérdese que tuvimos que llevar a cabo los pasos siguientes:
1. Proponer como solución a una función exponencial.
2. Obtener la ecuación característica asociada a la ecuación diferencial.
3. Calcular las raíces de la ecuación.
4. Identificar un conjunto fundamental de soluciones
5. Finalmente escribir la solución general.

Por otro lado, para el problema inverso de obtener una ED lineal homogénea de coeficientes constantes, a partir de su solución general, es de imaginarse que hay que llevar a cabo los pasos anteriormente mencionados, pero en sentido opuesto. Esto es, dada la solución general de una ecuación diferencial:
1. Identificar un c…

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN N PDF EJERCICIOS Y EJEMPLOS RESUELTOS

Cabe mencionar que no existenmétodos, ni generales ni sencillos que permitan resolver ecuaciones diferenciales no lineales de orden n. ¿Qué hace la diferencia?; la respuesta es simple: poder usar o no el bagaje del álgebra lineal. Ésta es una ramamuy útil de lasmatemáticas donde encontramos las definiciones, conceptos y resultados que nos permitirán resolver el problema general. Así,nuestro estudio pasará obligadamente por algunas de las ideas más importantes de este tema que se presentan a continuación.
Espacio vectorial
Independencia lineal
Bases de un espacio vectorial
Ecuaciones diferenciales de orden n


ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR-REDUCCIÓN DE ORDEN PDF EJERCICIOS Y EJEMPLOS RESUELTOS

Reducción de orden
Hallar un método para encontrar soluciones que formen un conjunto fundamental de la ED será nuestro trabajo en las siguientes secciones.
Reducción de orden en ED lineales de segundo orden

ECUACIONES DIFERENCIALES PDF EJERCICIOS Y EJEMPLOS RESUELTOS

* En este capítulo trataremos sobre el procedimiento que debemos llevar a cabo para obtener la solución general de la ED lineal no homogénea de orden n.
* Con este objetivo realizaremos un estudio detallado sobre la forma de resolver a la ED lineal no homogénea de segundo orden.


APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN-MODELO LOGÍSTICO PDF EJERCICIOS Y EJEMPLOS RESUELTOS

El modelo de Malthus tiene muchas limitaciones. Por ejemplo, predice que una población crecerá exponencialmente con el tiempo, que no ocurre en la realidad. Si la especie considerada dispone de todos los medios para vivir, como espacio, aire, alimento, entonces su crecimiento será de tipo exponencial; pero si los recursos escasean, entonces habrá competencia para acceder a ellos (peleas, guerras a veces, supervivencia de los más fuertes...) y la razón de crecimiento no será la misma. Por esta razón al modelo de Malthus se le llama de crecimiento irrestricto, mientras que el modelo presentado a continuación se denomina modelo de crecimiento con restricciones. El modelo llamado de crecimiento logístico, fue introducido por Pierre François Verhulst en 1838 y supone que la razón de crecimiento es proporcional conjuntamente tanto a la población misma como a la cantidad faltante para llegar a la máxima población sustentable.

APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN-MODELO DE MALTHUS PDF EJERCICIOS Y EJEMPLOS RESUELTOS

Crecimiento de poblaciones
Es evidente que dicho número P(t) varía con el tiempo, pues en todas las poblaciones se cumple el ciclo biológico nacimiento-crecimiento-reproducción-muerte, sin importar la especie que observemos (pueden ser bacterias, hongos, conejos, animales en peligro de extinción, poblaciones humanas de lugares de todo el mundo...). Lo que más afecta a P(t) son los nacimientos y las muertes, aunque otros fenómenos como la migración (que no consideraremos aquí) también lo afectan.
Modelo de Malthus
Fue un economista inglés, considerado el fundador de la demografía. Es muy famoso por su publicación Ensayo sobre el principio de la población 1798 en la cual concluía que la población humana crece demanera exponencial,mientras que la producción total de alimentos crece en forma lineal, pronosticando un futuro sombrío para la población. Afortunadamente su predicción no se ha cumplido. Sus ideas tuvieron alguna influencia en la teoría de la evolución de Darwin.

APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN-DECAIMIENTO RADIOACTIVO PDF EJERCICIOS Y EJEMPLOS RESUELTOS

Si observamos cierta cantidad inicial de sustancia o material radioactivo, al paso del tiempo se puede verificar un cambio en la cantidad de dicho material; la cantidad M del material es una función del tiempo t , esto es M=M(t). Aún más, dadas las características de los materiales radioactivos, al paso del tiempo ocurre una desintegración o decaimiento del material. Esto no quiere decir que el material desaparezca, sino que la configuración interna de sus átomos cambia y dejan de ser radioactivos.

ECUACIONES DIFERENCIALES REDUCIBLES A PRIMER ORDEN PDF EJERCICIOS Y EJEMPLOS RESUELTOS

* En el siguiente ejemplo aparece una ecuación diferencial de ordenmayor que uno. Esta EDnos va a permitir hallar la solución a la siguiente situación: lanzamos una piedra hacia arriba, lo hacemos con toda la fuerza de la que disponemos; la piedra inicia un ascenso rápido; a medida que pasa el tiempo, la velocidad de la piedra disminuye hasta llegar a cero; en ese momento la piedra alcanza su altura máxima y empieza su descenso.
* No importa qué tan fuerte la hayamos lanzado, la piedra regresará a la superficie de la Tierra por efecto de la fuerza de atracción gravitacional. Veamos la situación con otros ojos; imaginemos ahora que alguien decide disparar un tiro vertical hacia arriba con una pistola, todos sabemos que la velocidad de la bala es enorme, pero ¿será suficiente su velocidad como para no retornar a la superficie tal y como lo haría la piedra? Por sorprendente que parezca, la respuesta es no.

ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS PDF EJERCICIOS Y EJEMPLOS RESUELTOS

Métodos de solución de ED de primer orden
Ecuaciones diferenciales exactas

Antes de abordar este tema, sugerimos al lector revise la última sección de este capítulo, la cual trata sobre algunos conocimientos básicos y necesarios del cálculo de varias variables.

ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGÉNEAS PDF EJERCICIOS Y EJEMPLOS RESUELTOS

* Al tratar con polinomios de más de una variable, se define el grado de cada término como la suma de los grados de sus variables.
Resolución de ecuaciones diferenciales homogéneas
Presentamos dos procedimientos para resolver las ecuaciones diferenciales homogéneas...

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES PDF EJERCICIOS Y EJEMPLOS RESUELTOS

Las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden pueden ser lineales o no lineales. En esta sección centraremos la atención en las ED lineales.
Resolución de la ecuación diferencial lineal homogénea
Para resolver la ecuación diferencial lineal homógenea de primer orden se presentan a continuación dos procedimientos.
Resolución de una ecuación diferencial lineal no homogénea de primer orden

ECUACIONES DIFERENCIALES DE VARIABLES SEPARABLES PDF EJERCICIOS Y EJEMPLOS RESUELTOS

Ecuaciones diferenciales ordinarias
* El primer tipo de EDque presentamos es el de variables separables, porque con frecuencia se intenta separar las variables de las ecuaciones de dos variables

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS-EXISTENCIA Y UNICIDAD DE SOLUCIONES PDF EJERCICIOS Y EJEMPLOS RESUELTOS

* Hasta el momento hemos hablado de las ED y sus soluciones sin preocuparnos sobre el problema de la existencia de dichas soluciones. Es de esperarse que las ED que consideraremos en la mayoría de los casos tengan solución, de otra forma el tiempo y esfuerzo que se inviertan en buscar una solución estarían irremediablemente perdidos. Por otra parte, el hecho de que para una ED en particular una persona no pueda encontrar su solución no significa que la ED no tenga solución. De aquí resulta muy deseable conocer algún criterio que nos permita decidir si una ED o bien un PVI tienen solución. En esta sección vamos a enunciar, sin demostración, un resultado de gran importancia, conocido como el teorema de Existencia y Unicidad de Picard-Lindelöf, que proporciona algunas condiciones que garantizan que un PVI tenga solución única.

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS-CURVA SOLUCIÓN DE UN PVI PDF EJERCICIOS Y EJEMPLOS RESUELTOS

* Como comentamos al hablar sobre las soluciones generales y particulares de una ED, ocurre que las soluciones generales contienen una o más constantes arbitrarias. Para encontrar valores determinados de esas constantes se requiere de una o más condiciones iniciales. Recordemos que llamamos problema de valor inicial (PVI) al formado por una ED y una condición inicial.

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