ECUACIONES POLINOMIALES EJERCICIOS RESUELTOS PDF

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA Toda ecuación polinomial de coeficientes numéricos posee por lo menos una raíz que generalmente es compleja. Corolario : Toda ecuación polinomial de grado ‘‘n’’ tiene exactamente ‘‘n’’ raíces contadas con su respectiva multiplicidad. * Sean las raíces de P(x) polinomio de grado ‘‘n’’ con coeficiente principal ‘‘a’’. límites o cotas de las raíces Al buscar las raíces reales de una ecuación , tal como lo haremos , es útil conocer un intervalo de valores que contenga todas las raíces. Todo número que sea mayor o igual a la mas grande de las raíces, se llama límite superior de las raíces. Cualquier número que sea menor o igual a la raíz más pequeña se llama límite inferior de las raíces. Los límites superior e inferior pueden determinarse aplicando el siguiente teorema. TEOREMA: I) Si en la división sintética de ruffini en un polinomio f (x) entre x – r , donde r es positivo, cada término del tercer renglón es positivo (algunos pueden ser nulos), entonces r es un límite superior para las raíces reales de la ecuación f(x)=0. ECUACIONES POLINOMIALES DE ORDEN ARBITRARIO • En este capítulo nos interesa obtener las raíces de una ecuación de cualquier grado. Considerando que éstas raíces puedan ser simples o múltiples. • Expondremos con cierta amplitud el Teorema de Cardano - Viéte, en el que se establecerá las relaciones entre los coeficientes y las raíces de dicha ecuación polinomial. • Veremos también cómo se puede construir una ecuación de grado arbitrario, conociendo todas sus raíces; sin interesar la naturaleza de las mismas. • Presentaremos las propiedades sobre la naturaleza de las raíces de una ecuación polinomial de coeficientes racionales o reales, y los diversos artificios que nos permitirán reconstruir dichas ecuaciones a partir de estas raíces. GEROLANO CARDANO (1501 - 1576) Médico, matemático y astrólogo italiano cuya obra Ars Magna (1545) marcó el inicio del periodo moderno del Álgebra. Nació en Pavía y vivió una infancia desgraciada. Fue nombrado catedrático de Medicina en Pavía en 1543 y en Bolonia en 1562. Sus actividades astrólogicas incluyeron un horóscopo de Cristo, y en 1570 fue detenido por la Inquisición acusado de herejía, aunque pronto se retractó y escribió una pensión del papa Pío V. Cardano escribió más de 200 tratados, pero los más famosos fueron sus Ars Magna, que contienen las primeras soluciones publicadas de ecuaciones de tercer y cuarto grado, y el Liber de ludo aleae, que contiene algunos de los primeros trabajos sobre probabilidad, en los que aprovechó su experiencia como jugador. Unas semanas antes de su muerte finalizó una autobiografía extremadamente franca, De propria vita, que adquirió cierta fama. Su vida personal fue trágica : uno de sus hijos fue ejecutado en 1560 por el asesinato de su esposa, y otro hijo pasó por la cárcel en numerosas ocasiones por diferentes delitos. Una historia afirma que Cardano se suicidó al no cumplirse su predicción astrológica de su propia muerte, aunque lo más probable es que se trate de una mera invención. ECUACIONES POLINOMIALES DE ORDEN ARBITRARIO Síntesis teórica Sabemos que una ecuación polinomial de grado n podemos representarla así: P(x)=a0xn+a1xn–1+a2xn–2+...+an–1x+an=0 ; a0¹ 0 Pero debido al manejo frecuente de ésta ecuación, adoptaremos la siguiente notación: donde el subíndice n nos indica el grado de la ecuación polinomial. Además, los coeficientes: a0, a1, a2, ..... , an–1, an los representaremos así: ai, donde i = 0, 1, 2, ....., (n–1), n De acuerdo a la naturaleza de los coeficientes a i, una ecuación polinomial puede ser: • Si: a iÎZ, se tendrá una ecuación polinomial con coeficientes enteros. Por ejemplo: P5(x) = 4x5 + 3x4 – 6x2 + x – 5 = 0 • Si: a iÎQ, se tendrá una ecuación polinomial con coeficientes racionales. Por ejemplo: • Si: a iÎR, se tendrá una ecuación polinomial con coeficientes reales. Por ejemplo: • Si: a iÎC, se tendrá una ecuación polinomial con coeficientes complejos. Por ejemplo: TEOREMA DEL FACTOR LINEAL DE UN POLINOMIO Si r es una raíz compleja de la Ecuación polinomial Pn(x) = 0; n ³ 1 y de coeficientes complejos (es decir, verifica la igualdad numérica: Pn(r) = 0), entonces (x – r) es un factor lineal de Pn(x). Del enunciado anterior, siendo (x – r) un factor de primer grado de Pn(x), éste podrá expresarse así: Pn(x) = (x – r) Fn–1(x) Corolario 1 Todo polinomio Pn(x) , n ³ 1 y de coeficientes complejos, siempre admite un factor lineal de coeficientes complejos. Si este factor es (x – r), entonces r es una raíz compleja de Pn(x). De la igualdad: Pn(x) = (x – r) Fn–1(x) Se sabe que r es una raíz de Pn(x) y si existen más raíces de Pn(x), éstas se obtendrán del polinomio Fn–1(x). Se debe notar que determinar las raíces del polinomio Pn(x), equivale a calcular las raíces de la ecuación polinomial: Pn(x) = 0 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA Toda ecuación polinomial Pn(x) = 0; n ³ 1 y de coeficientes complejos, tiene por lo menos una raíz compleja. Cuestión que fue resuelta por K. F. GAUSS, cuya demostración no la expondremos, por estar fuera del propósito de este manuscrito. Corolario 2 Todo ecuación polinomial de grado n, n ³ 1 y de coeficientes complejos, admite n raíces complejas. Ejemplos: • La ecuación de 1er. grado: P1(x) = 2x + 1 = 0 admite una única raíz: • La ecuación de 2do. grado: P2(x) = 3x2 + 2x – 5 = 0 acepta solamente dos raíces: x = 1 ó . • La ecuación de 3er. grado: P3(x) = x3 – 6x2 + 11x – 6 = 0 contiene tres raíces: x=1 ó x=2 ó x=3 Corolario 3 Si la ecuación polinomial: Pn(x) = 0; n ³ 1 de grado “n, admite por lo menos (n + 1) raíces, entonces dicha ecuación será compatible indeterminada, es decir: Pn(x) º 0 a la cual se le denomina también ECUACIÓN IDÉNTICA. Ejemplo: La ecuación Polinomial: (x – a) (x – b) – (x – b) (x – c) = (c – a) (x – b) es compatible indeterminada, ya que admite infinitas soluciones. Corolario 4 Si la ecuación polinomial: Pn(x) = 0; n ³ 2, a0 ¹ 0 admite K raíces iguales a r (n ³ K), entonces se dice que r es una RAÍZ DE MULTIPLICIDAD K de dicha ecuación. Ejemplo: Sea la ecuación: P3(x) = 4x3 – 3x + 1 = 0 Factorizando, se obtiene : P3(x) = (2x–1)2 (x+1) = 0 Luego, se dice que es una raíz de multiplicidad 2. En tanto que (–1) es una raíz simple. En general, sean r, s, t, ..., v raíces de la ecuación polinomial: Pn(x) = 0 ; n ³ 2, a0 ¹ 0 ............ (1) donde: a de ellos iguales a r b de ellos iguales a s g de ellos iguales a t f de ellos iguales a v Luego (1) se podrá escribir así: Pn(x) = a0(x–r)a (x–s)b (x–t)g ... (x–v)f = 0 Siendo: a + b + g + .... + f = n Se dice que: r es una raíz de multiplicidad a o m (a) s es una raíz de multiplicidad b o m (b) t es una raíz de multiplicidad g o m (g) v es una raíz de multiplicidad f o m (f) Ejemplo: Sea la ecuación polinomial: P18(x) = 6x5 (x + 1)2 (x – 2)4 (x – 3)7 = 0 se dice que : “0” es una raíz de m (5) “–1” es una raíz de m (2) “2” es una raíz de m (4) “3” es una raíz de m (7) De lo anterior, la ecuación de grado 18, admite 18 raíces; pero el conjunto solución S de dicha ecuación, admite sólo 4 elementos, es decir: S = { 0, -1, 2, 3 } RELACIONES ENTRE LOS COEFICIENTES Y LAS RAÍCES DE UNA ECUACIÓN POLINOMIAL Teorema de Cardano - Viéte Se tiene la ecuación polinomial de grado “n” en su forma canónica, normalizada u ordinaria: Pn(x) = l Teorema de Cardano-Viéte: S1 = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = -6 S2 = x1x2 + x1x3 + .......... + x4x5 = 10 S3 = x1x2x3 + x1x2x4 + .......... + x3x4x5 = –8 S4 = x1x2x3x4 + .......... + x2x3x4x5 = –7 S5 = x1x2x3x4x5 = 1 7. Dada la ecuación de grado superior: 10x41 + 22x40 + 7x39 + 10 = 0 que admite 41 raíces. Expresándolo en su forma canónica, se tiene: S1 = x1 + x2 + x3 + .......... + x41 = S2 = x1x2 + .......... + x40x41 = S3 = S4 = S5 = .......... = S40 = 0 S41 = x1x2x3 .......... x41 = –1 8. Se tiene la ecuación de grado superior: x100 – 17x99 + 40 = 0 que acepta 100 raíces. Extendiendolo para aplicarle el Teorema: x100 – 17x99 + 0x98 + 0x97 + ..... + 0x + 40 = 0 Se verifican las relaciones : S1 = x1 + x2 + x3 + ..... + x100 = 17 S2 = S3 = S4 = ...... = S99 = 0 S100 = x1x2x3 ..... x100 = 40 FORMACIÓN DE UNA ECUACIÓN POLINOMIAL A PARTIR DE SUS RAÍCES Precisamente la ecuación polinomial canónica: Es la fórmula práctica que nos permite construir una ecuación de grado arbitrario a partir de sus raíces. Ejemplo: Formar la ecuación de 3er. grado cuyas raíces son: Calculando separadamente S1, S2 y S3, así: Reemplazando en la fórmula de construcción: x3 – S1x2 + S2x – S3 = 0 Se tendrá: Eliminando denominadores, la ecuación será: 2x3 + 3x2 – 5x – 6 = 0 NATURALEZA DE LAS RAÍCES DE UNA ECUACIÓN POLINOMIAL Pn(x) = 0 TEOREMA 1 Un polinomio Pn(z) de coeficientes reales y de variable compleja (es decir, la variable z toma valores complejos de la forma a + bi), verifica la siguiente relación : donde: , es el complejo conjugado de z. Teorema 2 Un polinomio Pn(R) de coeficientes racionales y de variable real (es decir, la variable R toma valores reales de la forma ), verifica la siguiente relación: donde: , es el irracional conjugado de R. TEOREMA 3 PARIDAD DE LAS RAÍCES IMAGINARIAS Si una ecuación polinomial Pn(x) = 0, con coeficientes reales, admite la raíz imaginaria (a+bi), entonces su conjugada (a–bi) también es raíz de dicha ecuación. Corolario (1) Todas las raíces imaginarias de una ecuación polinomial, con coeficientes reales, se presentan por PARES, las cuales son dos a dos números imaginarios y conjugados. Por ello, el número de raíces imaginarias de este tipo de ecuaciones es par. Corolario (2) Una ecuación polinomial Pn(x) = 0, con coeficientes reales y de grado impar, tiene por lo menos una raíz real. TEOREMA 4 TETRARIDAD DE LAS RAÍCES IMAGINARIAS Si una ecuación polinomial Pn(x) = 0, con coeficientes racionales, admite la raíz imaginaria , donde a y b son números racionales positivos no cuadrados perfectos, entonces su conjugado , su opuesto y el conjugado de su opuesto , también son raíces de dicha ecuación. TEOREMA 5 PARIDAD DE LA RAÍCES IRRACIONALES Si una ecuación polinomial Pn(x) = 0, con coeficientes racionales, admite la raíz irracional , donde a y b son racionales y b positivo no cuadrado perfecto; entonces su irracional conjugado , también es raíz de dicha ecuación. TEOREMA 6 TETRARIDAD DE LAS RAÍCES IRRACIONALES Si una ecuación polinomial Pn(x) = 0, con coeficientes racionales, admite la raíz irracional , donde a y b son racionales positivos no cuadrados perfectos; entonces, su irracional conjugado su opesuto y el conjugado de su opuesto , también son raíces de dicha ecuación. TEOREMA 7 TETRARIDAD DE LAS RAÍCES COMPLEJAS Si una ecuación polinomial Pn(x) = 0, con coeficientes racionales, admite la raíz irracional , donde a es un racional no cubo perfecto, entonces

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