Matemáticas Preguntas Resueltas PDF

ESCRIBE AQUÍ LO QUE DESEAS BUSCAR

SUCESIONES - LIMITES DE SUCESIONES EJERCICIOS RESUELTOS DE SECUNDARIA–MATEMATICA 4 ESO PDF

SUCESIONES. LÍMITES DE SUCESIONES Con una calculadora, forma términos de las siguientes sucesiones y estudia a qué valores tienden. Se observa que tiende a 3. c) c1 1 5 0,2 c2 0,1 c10 0,02 c100 0,002 c1000 0,0002 c10 000 0,00002 Se observa que tiende a 0. Calcula términos de las siguientes sucesiones y observa si tienen límite. a) an n2 1 b) bn n3 c) cn — n n 2 2 — a) a 1 2 a 2 5 a 10 101 a 1000 1 000 001 La sucesión no parece tender a ningún número real; por tanto, no tiene límite. b) b1 1 b2 8 b10 1000 b100 1 000 000 La sucesión no parece tender a ningún número real; por tanto, no tiene límite. c) c1 1 3 c2 1 c10 8,33… c100 98,039… c1000 998,004 c10 000 9998 La sucesión no parece tender a ningún número real; por tanto, no tiene límite. Dada la sucesión an — 3n 6 n 1 — : a) Halla su límite. b) Calcula las distancias entre los términos a10, a100 y a1000, y el límite. c) ¿A partir de qué término esta distancia es menor que una centésima? d) ¿Y menor que una diezmilésima? a) Calculamos algunos términos: a10 1,9354… a100 1,993355… a1000 1,999333… Por tanto, lim n→ 3 n 6 n 1 2. b) a10 2 1,9354 2 0,0646; a100 2 1,993355 2 0,006645; a1000 2 1,999333 2 0,000667 c) an 0 3n 6 n 1 2 6n 3 n 6 n 1 2 3n 2 1 1 1 00 ⇒ 200 3n 1 ⇒ 200 3 1 n ⇒ 66,33 n A partir del término 67, la diferencia entre los términos de la sucesión y su límite es menor que una centésima. d) bn 0 3n 2 1 10 1 000 ⇒ 20 000 3n 1 ⇒ 20 00 3 0 1 n ⇒ 6666,33 n. A partir del término 6667, la diferencia entre los términos de la sucesión y su límite es menor que una diezmilésima. 9.3 9.2 9.1 La sucesión de término general bn n 3 1 tiene por límite 0. Halla a partir de qué término se verifica que bn 0 < 0,00001. n 3 1 100 1 000 ⇒ 300 000 n 1 ⇒ n 299 999 Por tanto, a partir del término 299 999 se verifica que: bn 0 100 1 000 La sucesión de término general cn — 2 n n 2 2 2 1 — tiene por límite —1 2 —. Calcula a partir de qué término se verifica que cn —1 2 — < 0,0001. 2 n n 2 2 2 1 1 2 10 1 000 ⇒ 10 1 000 ⇒ 4n2 3 2 10 1 000 ⇒ 30 000 4n2 2 ⇒ ⇒ 29 998 4n2 ⇒ n 29 4 998 86,6. Por tanto, a partir del término 87 se verifica que: cn 1 2 10 1 000 Comprueba que la sucesión de término general an n 7 tiende a menos infinito. Calculamos algunos términos de la sucesión: a10 17; a100 107; a1000 1007; a10 000 10 007 Los términos se van haciendo cada vez menores, de forma que por muy pequeño que sea un valor, siempre encontramos términos inferiores a él. Por tanto, lim n→ an . Comprueba que lim n→ (3n2 5n) . Formamos algunos términos de la sucesión: a10 250; a100 29 500; a10 000 29 950 000. Los términos se van haciendo cada vez mayores, de forma que por muy grande que sea un valor, siempre encontramos términos superiores a él. Por tanto, lim n→ (3n2 5n) . Dados k 10000 y la sucesión de término general an n2 1, averigua a partir de qué valor del índice n sus términos son mayores que k. an 10 000 ⇒ n2 1 10 000 ⇒ n2 9999 ⇒ n 9 999 99,995 A partir del término 100, los términos siguientes son mayores que 10 000. Efectúa las siguientes operaciones cuando n → . a) (n 1) b) — 3n2 1 1 — a) (n 1) ( ) 1 b) 3n2 1 1 ( ) 1 1 ( 1 ) 0 Realiza las correspondientes operaciones cuando n → . a) 3n( 5) b) — 25 n 4 2 — a) 3n( 5) 15n 15 ( ) b) 25 n 4 2 25 4 0 9.10 9.9 9.8 9.7 9.6 2n2 4 2n2 1 4n2 2 9.5 9.4 Dadas las sucesiones an — n 2 n 5 — y bn — 5 n n 3 9 — , calcula: a) lim n→ an y lim n→ bn b) lim n→ 5an y lim n→ 7bn c) lim n→ (an · bn) y lim n→ (an)bn a) Formamos algunos términos de las sucesiones para hallar los límites. a10 1,33…; a100 1,9047…; a1000 1,9900… Por tanto, lim n→ n 2 n 5 2 b10 0,31…; b100 0,2097…; b1000 0,2009… Por tanto, lim n→ 5 n n 3 1 0,2 1 5 b) lim n→ (5an) lim n→ 5 n 2 n 5 5 lim n→ n 2 n 5 5 2 10 lim n→ (7bn) lim n→ 7 5 n n 3 9 7 lim n→ 5 n n 3 9 7 1 5 7 5 c) lim n→ (an bn) lim n→ n 2 n 5 5 n n 3 9 lim n→ n 2 n 5 lim n→ 5 n n 3 9 2 1 5 2 5 lim n→ (an)bn lim n→ (an) bn 2 15 5 2 Dadas las sucesiones an — n2 n 2 5 — y bn — n 7 n 1 — , halla: a) lim n→ an y lim n→ bn b) lim n→ (an bn) c) lim n→ — b an n — y lim n→ (an)bn a) Formamos algunos términos de las sucesiones para hallar los límites. a10 0,9523…; a100 0,9995…; a1000 0,99995… Por tanto, lim n→ n2 n 2 5 1 b10 6,3636…; b100 6,9306…; b1000 6,933… Por tanto, lim n→ n 7 n 1 7 b) lim n→ (an bn) lim n→ n2 n 2 5 n 7 n 1 lim n→ n2 n 2 5 lim n→ n 7 n 1 1 7 8 c) lim n→ b an n lim n→ 1 7 lim n→ (an)bn lim n→ (an) bn 17 1 Halla lim n→ . lim n→ lim n→ 4 3 4 n 7 n 5 2 n 2 3 3 n 2 2 n 5 3 4n3 7n2 5n 2 3n3 2n 5 4n3 7n2 5n 2 3n3 2n 5 9.13 lim n→ lim n→ n2 n 2 5 lim n→ n 7 n 1 n2 n 2 5 n 7 n 1 9.12 lim n→ 9.11 Calcula lim n→ — 3n2 n 4 2 5 n 2 2 —. lim n→ 3 n24 n2 5 n 2 2 lim n→ ∞ Dada la sucesión de término general: an 1 — n 1 9— n 9 . a) Halla los términos a100, a1000 y a10 000. b) ¿Está acortada la sucesión?¿Es creciente? a) a100 1 100 1 9 109 2,7059…; a1000 1 1000 1 9 1009 2,7169…; a10 000 1 10 00 1 0 9 10 009 2,7181… b) La sucesión está acotada superiormente y es creciente. Dada la sucesión de término general: an — n n 4 3— n 3 . a) Calcula los términos a100, a1000 y a10 000. b) ¿Está acortada la sucesión? ¿Es creciente? a) a100 1 1 0 0 0 0 4 3 103 2,7052…; a1000 1 1 0 0 0 0 0 0 4 3 1003 2,71692…; a10 000 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 4 3 10 003 2,71814… b) La sucesión está acotada superiormente y es creciente Calcula: a) lim n→ 1 — n 1— 5n b) lim n→ 1 — n 1— 5n 2 a) lim n→ 1 n 1 5n lim n→ 1 n 1 5 n e5 b) lim n→ 1 n 1 5n 2 lim n→ 1 n 1 5n 1 n 1 2 lim n→ 1 n 1 5n lim n→ 1 n 1 2 e5 1 e5 Calcula: a) lim n→ — n n 1 2— n 2 b) lim n→ — n n 5 1— n 1 a) lim n→ n n 1 2 n 2 lim n→ n n 2 2 n 1 2 n 2 lim n→ 1 n 1 2 n 2 lim n→ 1 (n 1 2) (n 2) 1 e 1 1 e b) lim n→ n n 5 1 n 1 lim n→ n n 1 1 n 4 1 n 1 lim n→ 1 n 1 lim n→ 1 4 e4 n 1 4 1 n 4 1 1 n 4 1 9.18 9.17 9.16 9.15 1 n 2 2 5 n 3 n 1 24 n 2 2 5 9.14 R E S O L U C I Ó N D E P R O B L E M A S De forma muy parecida se obtiene el anticopo de nieve. Observa la secuencia siguiente. ¿Cuáles serán los perímetros sucesivos de las figuras anticopo de nieve? Forma la sucesión de los perímetros. Sea L la medida del lado del triángulo equilátero. Los parámetros sucesivos de las figuras anticopo de nieve son: p1 3L p2 4 3 L 3 4 L p3 4 9 L 6 8 9 L 3 8 3 L 8 3 L 1 3 6L Para pasar del perímetro de una figura al de la siguiente, basta con multiplicar por 4 3 . La sucesión de los perímetros es una progresión geométrica de razón 4 3 ; por tanto, los términos de esta sucesión son los siguientes: 3L; 4 3 (3L); 4 3 2 (3L); … 4 3 n (3L) … Observa las siguientes figuras. A partir de un recuadro, lo vamos bordeando con semicircunferencias y aparecen dos sucesiones: las áreas rayadas en verde y los perímetros de las semicircunferencias. Estudia ambas sucesiones. Sea L la medida del lado del cuadrado. Sucesión de las áreas rayadas en verde: A1 2 2 L 2 2 L2 A2 4 4 L 2 4 L2 A3 8 8 L 2 8 L2 Por tanto, 2 L2 ; 2 L 2 2 ; 2 L 3 2 ; 2 L 4 2 … 2 L n 2 , … Sucesión de los perímetros de las semicircunferencias: p1 2 2 2 L 2 L p2 4 2 4 L 2 L p3 8 2 8 L 2 L Se trata de una sucesión constante. 2 L, 2 L, 2 L… ... 9.20 ... 9.19 A C T I V I D A D E S E J E R C I C I O S P A R A E N T R E N A R S E Sucesiones. Hacia la idea de límite Calcula algunos términos de estas sucesiones y halla el valor al que tienden. a) an —5n2 n 2 2— c) cn — 3 6n 2n — b) bn — n 3 1 — d) dn — n 2 n 1— a) c) b) d) Comprueba si la sucesión an — 1 n n— tiene límite. a10 0,9; a100 0,99; a100 0,999 ⇒ lim n→ 1 n n 1 ¿Cuáles de las siguientes sucesiones no tienden a un valor real? a) an 1 n c) cn —n2 2 n 1— b) bn —4n 4 n 1— d) dn 3n2 7n 2 a) a10 9; a100 99; a1000 9999 c) c10 4,95; c100 49,995; c1000 499,9995 b) b10 0,975; b100 0,9975; b1000 0,99975 d) d10 372; d100 30 702; d1000 3 007 002 Las sucesiones an, cn y dn no tienden a un número real. Escribe el término general de una sucesión cuyo límite sea 1. an 2 2 n n 1 3 Límite de una sucesión El límite de la sucesión an — n n 9 — es 1. Halla el término a partir del cual la distancia al límite es menor que 0,01. n n 9 1 11 00 ⇒ n 9 9 1 1 00 ⇒ n 9 9 1 1 00 ⇒ 900 n 9 ⇒ n 891 A partir de a891 9.25 9.24 9.23 9.22 9.21 n 10 100 1000 → cn 3,529 3,046 3,004 → 3 n 10 100 1000 → an 4,98 4,9998 4,999998 → 5 n 10 100 1000 → dn 0,55 0,505 0,5005 → 0,5 n 10 100 1000 → bn 0,2727 0,0297 0,002997 → 0 Dada la sucesión an — 1 8n 2n —: a) Calcula su límite. b) Halla la distancia entre el término a100 y el límite. ¿Es menor que una milésima? a) lim n→ 1 8n 2n lim n→ lim n→ 8 2 4 b) 1 8 2 1 00 100 4 4,020 4 0,020. No es menor que una milésima. Halla el límite de la sucesión bn — n 2 n 1 — calculando algunos términos. ¿A partir de cuál de ellos la diferencia entre estos y el límite es menor que 0,0001? b10 1,81…; b100 1,98…; b1000 1,998… lim n→ bn 2 n 2 n 1 2 10 1 000 ⇒ n 2 1 10 1 000 ⇒ n 2 1 10 1 000 ⇒ 2000 n 1 ⇒ n 1999 A partir de a1999. Considera las sucesiones an — n 1— y bn — n 1—. a) Calcula sus límites. b) Encuentra en cada una de ellas el término a partir del cual la diferencia entre los términos y el límite es menor que una millonésima. c) Compara los resultados obtenidos. a) a10 0,1; a100 0,01; a1000 0,001; lim n→ an 0 b10 0,1; b100 0,01; b1000 0,001; lim n→ bn 0 b) n 1 0 100 1 0000 ⇒ n 1 100 1 0000 ⇒ n 1 000 000 n 1 0 100 1 0000 ⇒ n 1 100 1 0000 ⇒ n 1 000 000 En los dos casos es a partir del término a1000000. c) Los límites son iguales, y el término a partir del cual la diferencia entre los términos y el límite es menor que una determinada cantidad es también el mismo. Demuestra que lim n→ —2 1 4 n n — —1 4 —. 2 1 4 n n 1 4 ⇒ 2 2 2 n 4 1 n 2n ⇒ 2 1 4n ⇒ 2 1 4n ⇒ 2 1 4n ⇒ n 2 4 1 Por tanto, para cualquier valor de se puede encontrar un valor de n de tal modo que a partir del término an, la distancia entre estos y el límite es menor que . 9.29 9.28 9.27 8 n 1 2 8 n n n 1 2 n n 9.26 Sucesiones divergentes Indica a qué tienden estas sucesiones. a) 6n2 10 c) 5 3n b) 2n n2 d) 10n 4 a) a10 610; a100 60 010; a1000 6 000 010 Por tanto, lim n→ (6n2 10) b) b10 80; b100 9800; b1000 998 000 Por tanto, lim n→ (2n n2) c) c10 25; c100 295; c1000 2995 Por tanto, lim n→ (5 3n) d) d10 96; d100 996; d1000 9996 Por tanto, lim n→ (10n 4) Calcula el término de la sucesión an 4 2n a partir del cual todos son mayores que 10000. 4 2n 10 000 ⇒ 2n 9996 ⇒ n 4998 A partir de a4998. Halla el término de la sucesión an 3 n a partir del cual todos son menores que 1000. 3 n 1000 ⇒ n 1003 ⇒ n 1003 A partir de a1003. Comprueba que a partir del término b23, todos los términos de la sucesión bn 12 2n2 son menores que 1000. ¿Cuál es su límite? 12 2n2 1000 ⇒ 2n2 1012 ⇒ n2 506 ⇒ n 22,49 ⇒ lim n→ (12 2n2) Demuestra que lim n→ — 6 3 2n— . Dado k 0, 6 3 2n k ⇒ 6 2n 3k ⇒ 2n 3k 6 ⇒ n 6 2 3k Entonces, para cada valor k 0 se puede encontrar un valor de n de modo que todos los términos a partir de an sean menores que ese valor de k. Dada la sucesión an — n n 2 2 — : a) Calcula su límite. b) Demuestra que se puede encontrar un término a partir del cual todos son mayores que 100. a) a10 8,3…; a100 98,03…; a1000 998,00… Por tanto, lim n→ n n2 2 b) n n2 2 100 ⇒ n2 100n 200 0 Resolvemos la inecuación obteniendo las raíces de n2 100n 200. n ; n1 101,96, y n2 1,96 Como lo que buscamos es el término de la sucesión an a partir del cual todos los términos son mayores que él, consideramos solo la raíz positiva. El término buscado es 102. 100 1 0 000 800 2 9.35 9.34 9.33 9.32 9.31 9.30 Límites de operaciones con sucesiones Si lim n→ an 4 y lim n→ bn 3, calcula: a) lim n→ (an bn) c) lim n→ — 3 b a n —n b) lim n→ (an bn) d) lim n→ (an)bn a) lim n→ (an bn) lim n→ an lim n→ bn 4 3 1 c) lim n→ 3 b a n n 3 12 4 b) lim n→ (an bn) lim n→ an lim n→ bn 4 3 12 d) lim n→ (an)bn lim n→ (an) bn ( 4)3 64 Halla el resultado de estas operaciones cuando n → . a) 7n2 2n c) — 1 4 n — b) — n3 9 2— d) (n 3) (5 n2) a) (7n2 2n) c) 1 4 n 4 0 b) n3 9 2 9 2 d) (n 3) (5 n2) ( ) Calcula: a) lim n→ 3 — n 2 5 — c) lim n→ e) lim n→ 1 — n 8— 2 — 3 1 n — b) lim n→ 6 — n 4— 2 d) lim n→ 4— 2n 5— f) lim n→ 1 a) lim n→ 3 n 2 5 3 0 0 c) lim n→ e) lim n→ 1 n 8 2 3 1 n 1 2 2 b) lim n→ 6 n 4 2 62 36 d) lim n→ 4 2 n 5 40 1 f) lim n→ 1 1 Indeterminaciones Calcula: a) lim n→ — n2 3 n 5 n 6 2— c) lim n→ — n2 3n 4 n n2 2—e) lim n→ 1 — 2 1 n — 2 n b) lim n→ — 2n n 3 3 4 1 n— d) lim n→ 1 — 3n 1 1 — 3n 1 a) lim n→ n2 3n 5 n 6 2 lim n→ d) lim n→ 1 3n 1 1 3n 1 e b) lim n→ 2 n n 3 3 4 1 n 2 e) lim n→ 1 2 1 n 2 n e c) lim n→ n2 3 n4 n n2 2 lim n→ 0 n 1 2 n 1 3 n 2 4 3 n 1 2 2 n 4 2 1 n 1 3 1 n 5 n 2 2 n 3 n 6 2 9.39 5 n n 1 4 5— n n 1 — 4 9.38 9.37 lim n→ 3 lim n→ an lim n→ bn 9.36 Halla: a) lim n→ — 5 3n 4 n 2n n 2 4— b) lim n→ — 5 4 n n 6 4 4 3 n n 3 9 2— c) lim n→ — 4 n n 2 2 n 1 — d) lim n→ a) lim n→ 5 3 n4 n 2n n 2 4 lim n→ 1 3 c) lim n→ 4 n n 2 2 n 1 lim n→ 1 4 1 2 b) lim n→ 5 4 n n 6 4 4 3 n n 3 9 2 lim n→ d) lim n→ 5 4 n n3 2 n lim n→ 0 Encuentra los siguientes límites: a) lim n→ 1 — n 1— 2n 1 b) lim n→ 1 — n 4— 2n a) lim n→ 1 n 1 2n 1 lim n→ 1 n 1 2n lim n→ 1 n 1 lim n→ 1 n 1 n 2 1 e2 b) lim n→ 1 n 4 2n lim n→ 1 8 e8 Halla: a) lim n→ 1 — n 7 1 — n c) lim n→ — n n 1 2 — n b) lim n→ — n n 3 5 — n 1 d) lim n→ — 4 4 n n 2 2 1 1 — n2 a) lim n→ 1 n 7 1 n lim n→ 1 e 7 b) lim n→ n n 3 5 n 1 lim n→ n n 5 5 5 3 n 1 lim n→ 1 n 8 5 n 1 lim n→ 1 e 8 c) lim n→ n n 1 2 n lim n→ n n 1 1 2 1 n lim n→ n n 2 2 n 1 2 n lim n→ 1 n 1 2 n 2 e 1 d) lim n→ 4 4 n n 2 2 1 1 n2 lim n→ 4n2 4n 1 2 1 1 1 n2 lim n→ 1 4n 2 2 1 n2 lim n→ 1 e 2 1 1 e 2n2 4n2 1 4n2 1 2 1 4 n 2 2 1 n n 2 8n 8 n 5 n 5 8 1 n 8 5 7n n 1 n 1 7 1 n 7 1 9.42 n 4 1 n 4 9.41 5 2 n 12 n 32 4 n 1 2 5 n 4 3 n 2 6 n 4 2 n 3 5 n 9 6 1 n 1 4 n 1 2 n 5 4 n 1 3 1 3 n 2 2 —5n —2 4 n3 n 9.40 C U E S T I O N E S P A R A A C L A R A R S E Si una sucesión tiende a 0, ¿se puede afirmar que tiene límite? Razona tu respuesta. Sí, puesto que 0 es un número real. A partir del término a50 de una sucesión, todos los términos son mayores que 1000. ¿A qué tiende esa sucesión? La sucesión tiende a . Si a partir de un término, todos los de una sucesión están a una distancia de 3 menor que 0,00001, ¿es 3 el límite de esa sucesión? Sí Si la diferencia entre los diez primeros términos de una sucesión y 5 es menor que 0,0001, ¿es 5 el límite de la sucesión? No necesariamente, puesto que la distancia entre los primeros términos de la sucesión y el límite no es importante en el concepto de límite. Razona si es posible encontrar una sucesión de términos negativos que tienda a . ¿Y una de términos positivos que tienda a ? En el primer caso, si los términos son negativos y la sucesión es decreciente, tenderá a , y si son negativos y la sucesión creciente, no tenderá a un número. Del mismo modo, si los términos son positivos y la sucesión creciente, tenderá a , y si son positivos y la sucesión decreciente, tenderá a un número. Escribe una sucesión que tienda a: a) c) b) 2 d) 1 a) 2, 8, 24, 96, 480,2880… c) 2, 8, 24, 96, 480, 2880… b) 1; 1,5; 1,8; 1,9;1,99… d) 2; 1,5; 1,1; 1,01; 1,001… Explica si una sucesión puede tener dos límites diferentes. No es posible. Como a partir de un término de la sucesión la diferencia entre los términos y el límite es tan pequeña como queramos, si existieran dos límites, no se podría cumplir esa condición para los dos valores, puesto que si sucede para uno, es imposible que suceda lo mismo para el otro. Razona si son verdaderas o falsas estas afirmaciones: a) El límite de una sucesión cuyos términos son todos negativos es . b) Una sucesión con todos sus términos iguales no tiene límite. c) Si a partir de un término, todos los de la sucesión son mayores que un valor positivo cualquiera, la sucesión es divergente. d) Una sucesión de términos decimales no puede tener por límite un número entero. a) Falsa. La sucesión an n 1 tiende a 0 y todos sus términos son negativos. b) Falsa. Su límite sería el valor de todos los términos de la sucesión. c) Verdadera. Tienden a . d) Falsa. La sucesión del apartado a es un ejemplo de ello. 9.50 9.49 9.48 9.47 9.46 9.45 9.44 9.43 Cuando al calcular el límite de una sucesión surge una indeterminación, significa que: a) El límite no se puede calcular. b) Tiende a o a . c) Es necesario utilizar otro método para obtener el límite. Señala la respuesta correcta. La respuesta correcta es la c. P R O B L E M A S P A R A A P L I C A R Partiendo de un cuadrado de 1 metro de lado, se construyen otros trazando paralelas a los lados por sus puntos medios. a) Copia en tu cuaderno y completa esta tabla. b) ¿Cuántos cuadrados hay en el décimo paso? ¿Cuánto mide el lado de los cuadrados más pequeños en este paso? c) Estudia a qué tienden la sucesión del número de cuadrados y la de la longitud del cuadrado más pequeño. b) La sucesión del número de cuadrados en cada paso es una progresión aritmética de primer término 1 y diferencia 3; por tanto, en el décimo paso habrá 28 cuadrados. La sucesión de la longitud del cuadrado más pequeño es una progresión geométrica de primer término 1 y razón 1 2 ; por tanto, en el décimo paso la longitud del cuadrado más pequeño será 2 1 9 5 1 12 . c) La sucesión del número de cuadrados tiende a , y la del lado del cuadrado más pequeño, a 0. Javier y Laura se encuentran a una distancia de 10 metros. Javier avanza la mitad de esa distancia y Laura retrocede la cuarta parte. Después, Javier avanza de nuevo la mitad de la distancia que lo separa de Laura y esta retrocede la cuarta parte. a) Halla los términos de la sucesión que indica en cada movimiento la distancia que los separa. b) ¿Llegarán a juntarse en algún momento? a) a1 10 1 4 10 1 2 10 3 4 10 7,5 a2 3 4 10 1 4 3 4 10 1 2 3 4 10 3 4 3 4 10 3 4 2 10 5,625 a3 3 4 2 10 1 4 3 4 2 10 1 2 3 4 2 10 3 4 3 4 2 10 3 4 3 10 4,21875 an 3 4 n 10 b) Se trata de encontrar un término, o lo que es lo mismo, un valor de n de modo que an 3 4 n 10 0. Pero eso no es posible puesto que 3 4 n 0 para cualquier valor de n. Sin embargo, lim n→ 3 4 n 10 0. Por tanto, solo se juntarían en el . 9.53 1 m 1) 2) 3) 9.52 9.51 Pasos 1 2 3 4 5 N.o de cuadrados 1 4 7 10 13 Longitud del lado del cuadrado más 1 — 1 2 — 1 4 1 8 1 1 6 pequeño (m) Los padres de Juan abrieron una cartilla con 60 euros a un 2% anual cuando nació. a) Si no volvieron a ingresar dinero, calcula qué cantidad había al finalizar el primer año, el segundo y el tercero. b) Escribe el término general que permite obtener el dinero que tiene la cartilla al final de cada año. c) Halla el límite de la sucesión. d) Si no se saca dinero, ¿a partir de qué año tendrá una cantidad superior a 10 000 euros? a) Al finalizar el primer año: a1 60 60 0,02 60 1,02 61,12 Al finalizar el segundo año: a2 60 1,02 1,02 60 1,022 62,424 Al finalizar el tercer año: a3 60 1,022 1,02 60 1,023 63,67248 b) an 60 1,02n c) lim n→ (60 1,02n) d) 60 1,02n 10 000 ⇒ 1,02n 10 6 0 0 00 ⇒ log 1,02n log 10 6 00 ⇒ n log 1,02 log 10 6 00 ⇒ ⇒ n ⇒ n 258,3 A partir del año 259. El crecimiento de ciertas plantas es de aproximadamente 0,1 milímetros al día. a) Calcula el término general de la sucesión que muestra su crecimiento diario. b) Si se dejan crecer indefinidamente, ¿a partir de qué día su altura será superior a 1 metro? a) Si l es la longitud de la planta, an l 0,1n b) 1 m 1000 mm l 0,1n 1000 ⇒ 0,1n 1000 l ⇒ n 10 000 10 l Según la longitud inicial de la planta, el valor de n varía. De un material radiactivo se sabe que 1 kilogramo se reduce a la mitad cada año. a) ¿Cuál es el término general de la sucesión que expresa la pérdida de material con el tiempo? b) ¿A qué tiende esta sucesión? c) Encuentra el año a partir del cual la cantidad de material que queda es inferior a 1 gramo. a) an 1 2 n b) lim n→ 1 2 n 0 c) 1 2 n 0,001 ⇒ 1 2 n 0,001 ⇒ log 2 n log 0,001 ⇒ n lo g lo 0 g ,00 2 1 ⇒ n 9,97 A partir del décimo año. Cada persona produce al año unos 300 kilogramos de basura, de la que un 90% se puede reciclar. Calcula a partir de qué año la cantidad de basura reciclable es superior a 10 000 toneladas. Cantidad anual de basura reciclada por persona: 300 0,9 270 kilos. Al cabo de n años se obtendrán 270n kilos de basura reciclada. 270n 10 000 000 ⇒ n 10 0 2 0 7 0 0 000 ⇒ n 37 037,037 A partir del año 37 038. 9.57 9.56 9.55 log 10 6 00 log 1,02 9.54 La cantidad de puntos en estas figuras determina los llamados números triangulares. a) Determina los primeros términos de la sucesión de los números triangulares. b) Calcula su término general. c) ¿Qué término es igual a 231? d) ¿Es una sucesión convergente o divergente? Demuéstralo. a) a1 6; a2 10; a3 15; a4 21; a5 28 b) an 6 4 5 6 7 … (n 2) 6 (4 5 … n 2) 6 4 n 2 2 (n 1) n2 5 2 n 6 c) n2 5 2 n 6 231 ⇒ n2 5n 6 462 ⇒ n2 5n 456 0 n 5 2 43 ⇒ a19 231 d) lim n→ n2 5 2 n 6 Es divergente. R E F U E R Z O Sucesiones. Hacia la idea de límite ¿Cuál es el límite, si lo tienen, de estas sucesiones? a) 1, 3, 5, 7, 9, 11… b) 0,1; 0,3; 0,7; 0,8; 0,9; 0,99… c) 1,7; 1,8; 1,9; 1,99; 1,999… a) No tiene límite; es divergente. b) 1 c) 2 Indica, obteniendo algunos términos, si tienen límite estas sucesiones. a) an — n 5 2 — c) cn 4n6n b) bn — n 2 n 1 — d) dn —3n n 2— a) c) b) d) 9.60 9.59 n 5 2 43 19 n 5 2 43 24 5 4 25 1824 2 9.58 n 10 100 1000 → an 0,05 0,0005 0,000005 → 0 n 10 100 1000 → bn 2,22 2,02 2,002 → 2 n 10 100 → cn 1,32 1036 1,723 10361 → n 10 100 1000 → dn 3,2 3,02 3,002 → 3 Comprueba que existe un término de la sucesión an — 2 n 3n— a partir del cual la diferencia entre los términos y 3 es menor que 0,000001. 2 n 3n 3 100 1 0000 ⇒ 2 3n n 3n 100 1 0000 ⇒ n 2 100 1 0000 ⇒ n 2 100 1 0000 ⇒ n 2 000 000 A partir del término a2 000 000. Halla el límite de la sucesión an — 3 1 n — y comprueba que, a partir del término a998, todos distan del límite menos de 0,001. a10 0,076…; a100 0,0097…; a1000 0,00099… Por tanto, lim n→ 3 1 n 0 3 1 n 10 1 00 ⇒ 3 1 n 10 1 00 ⇒ 1000 3 n ⇒ n 997 A partir del término a997, todos distan del límite menos de 0,001. Dada la sucesión an 4 — n 1—. a) Calcula su límite. b) Halla el término a partir del cual la diferencia entre los términos de la sucesión y el límite es menor que 0,001. a) a10 4,1; a100 4,01; a1000 4,001. Por tanto, lim n→ 4 n 1 4. b) 4 n 1 4 10 1 00 ⇒ n 1 10 1 00 ⇒ n 1000. A partir de a1000. Sucesiones divergentes Encuentra el término de la sucesión an 4n2 a partir del cual todos son mayores que 10 000. 4n2 10000 ⇒ n2 2500 ⇒ n 50 A partir de a50. Comprueba que existe un término de la sucesión an 2 3n a partir del cual todos son menores que 1000. 2 3n 1000 ⇒ 3n 1002 ⇒ n 334 A partir de a334. Copia en tu cuaderno y completa. —2 4 n3 — —6n 2 1— 5n2 — n 3 1 — — 4n 8 n 3 — 9.66 9.65 9.64 9.63 9.62 9.61 Convergentes Divergentes n 4 3 6 n 2 1 n 3 1 5n2 4 n 8 n3 3 Cálculo de límites Calcula: a) lim n→ (3 n2) b) lim n→ 6 — n 5— c) lim n→ — 7 4 8n— d) lim n→ 2n a) lim n→ (3 n2) c) lim n→ 7 4 8n b) lim n→ 6 n 5 6 d)lim n→ 2n Calcula: a) lim n→ — 3 2 n n 1 4 — b) lim n→ — 3 1 2 n n 2 — c) lim n→ — 1 5 0 n n 2 2 3 n— d) lim n→ 1 — 4n 1 1 — 4n 1 a) lim n→ 3 2 n n 1 4 lim n→ 3 2 c) lim n→ 1 5 0 n n 2 2 3 n lim n→ 2 b) lim n→ 3 1 2 n n 2 lim n→ 0 d) lim n→ 1 4n 1 1 4n 1 e A M P L I A C I Ó N Halla los siguientes límites. a) lim n→ — 1 2n 2n — 2n b) lim n→ — 3 n n— n c) lim n→ — 2n 5 n 1— n d) lim n→ 1 — n 4— n4 a) lim n→ 1 2n 2n 2n lim n→ 2 2 n n 2 1 n 2n lim n→ 1 2 1 n 2n e c) lim n→ 2n 5 n 1 n lim n→ 5 2 b) lim n→ 3 4 n n n 1 4 0 d) lim n→ 1 n 4 n4 lim n→ 1 e Demuestra que la sucesión an n2 2n es divergente. ¿A qué tiende? a10 80; a100 9800; a1000 998 000. Por tanto, lim n→ (n2 2n) Escribe el término general de dos sucesiones cuyo límite sea 3. ¿El término a partir del cual la distancia entre los términos y el límite es menor que una milésima es el mismo en ambas? an 3n n 1 ; 3n n 1 3 10 1 00 ⇒ 3n n 1 3n 10 1 00 ⇒ n 1 10 1 00 ⇒ n 1000 A partir de a1000. bn 3n2 n 2 1 ; 3n2 n 2 1 3 10 1 00 ⇒ 3n2 n 1 2 3n2 10 1 00 ⇒ n 1 2 10 1 00 ⇒ n2 1000 ⇒ n 31,62 A partir de b32. 9.71 9.70 n 4 1 n 4 9.69 n 3 2 n 2 n 1 2 1 10 n 1 5 n 3 2 3 n 1 2 n 4 9.68 9.67 Encuentra el valor de k para que el límite sea el que se indica. a) lim n→ — k 2 n n 3 1— 2 b) lim n→ — k 3 n n 2 2 1 2— 1 a) lim n→ 2 kn n 3 1 2 2 ⇒ 2 kn n 3 1 2 k 2⇒ 2 k 2 ⇒ k 4 b) lim n→ 3 kn n 2 2 1 2 1 ⇒ 3 kn n 2 2 1 2 3 k ⇒ 3 k 1 ⇒ k 3 Halla el valor de a para que se cumpla: a) lim n→ — 4n 2 a n 3 n 1 3 — —1 2 — b) lim n→ — 3 n na 2 n— a) lim n→ 4na 2n 3 n 1 3 1 2 ⇒ a 3 b) lim n→ 3 n na 2 n ⇒ a 1 Calcula los límites y comprueba que no se cumplen las igualdades de las operaciones con límites. ¿A qué crees que es debido? a) lim n→ — 3 2 n— —n2 n 1 — b) lim n→ — 7 n n2— : — 2 n2 n3 — a) lim n→ 3 2 n n2 n 1 lim n→ lim n→ n 2 2 n n lim n→ lim n→ 3 2 n lim n→ n2 n 1 b) lim n→ 7 n n2 2 n2 n3 lim n→ 7 2 n n 2 n n 4 4 lim n→ 1 lim n→ 7 n n2 lim n→ 2 n2 n3 No se cumplen las igualdades porque en el caso de aplicar las operaciones con límites salen indeterminaciones. Calcula el término de la sucesión an 3n a partir del cual todos los términos son mayores que 1000. 3n 1000 ⇒ n log 3 log 1000 ⇒ n 6,29 A partir de a7. 9.75 n 7 2 1 n 2 3 1 1 n 1 n 2 3n n2 2n2 2n 2n 9.74 9.73 9.72 Dada la sucesión an —2 5 — n : a) Calcula su límite. b) Halla el término de la sucesión a partir del cual la diferencia entre los términos y el límite es menor que una centésima. a) a10 0,000104…; a100 1,60 10 40; lim n→ 2 5 n 0 b) 2 5 n 1 1 00 ⇒ 2 5 n 1 1 00 ⇒ n log 2 5 log 1 1 00 ⇒ 0,39 n 2 ⇒ n 5,02. A partir de a6. P A R A I N T E R P R E T A R Y R E S O L V E R Rombo de naranjas Un conjunto de naranjas se agrupan en una especie de rombo con cuatro naranjas por cada lado. a) Indica el número de naranjas necesarias para construir una figura semejante a la dada, pero suponiendo que el lado del rombo tuviera dos, tres y cinco unidades en cada caso. b) ¿Cuál de los siguientes términos generales representa el número de naranjas necesarias para construir una figura con n unidades por lado? b) an 6(n 1) bn n2 n cn 6 · 2n 2 a) Para la figura de lado dos se necesitarán 2(1 2) 6 naranjas; para la de lado tres se necesitarán 2(1 2 3) 12 naranjas, y para la figura de lado cinco se necesitarán 2(1 2 3 4 5) 30 naranjas. b) Para una figura con n unidades por lado se necesitan 2(1 2 3 … n) 2 n(n 2 1) n(n 1) n2 n. Autoalimentación Cierta especie de insectos parecidos a las abejas se organiza de la siguiente forma: • 150 animales se dedican al mantenimiento de la colmena y a proporcionarle calor, y el resto de los insectos liba el néctar necesario de las flores para fabricar la miel que alimenta a toda la población. • Cada 100 recolectores elaboran 5 gramos de miel diarios, y la miel producida se reparte entre todos los miembros de la colmena. a) Suponiendo que haya 500 individuos, ¿de cuánta miel puede disponer cada insecto al día? b) ¿Y considerando que sean 1000 individuos? ¿Y si son 10 000? c) Generaliza los resultados calculando los gramos de miel con los que puede contar cada insecto suponiendo que la colmena está formada por n individuos. Después, estima dichos gramos suponiendo que la población de la colmena es inmensa. a) Hay 500 150 350 recolectores, que obtienen 350 0,05 17,5 gramos de miel. Por tanto, cada individuo recibirá 17,5 500 0,035 gramos diarios de miel. b) En una población de 1000 insectos hay 1000 150 850 recolectores, que obtienen 850 0,05 42,5 gramos. Por tanto, cada insecto dispondrá de 0,0425 gramos de miel. En una población de 10 000 insectos hay 10 000 150 9850 recolectores, que obtienen 9850 0,05 492,5 gramos. Cada individuo tendrá 0,04925 gramos de miel. c) Generalizando los resultados anteriores, la cantidad de miel diaria de que dispone cada insecto en una población de n individuos viene dada por (n 15 n 0) 0,05 . El límite de la sucesión anterior es 0,05 y, por tanto, en una población inmensa de insectos, cada uno de ellos dispone de 0,05 gramos de miel al día. 9.78 9.77 9.76 A U T O E V A L U A C I Ó N Halla los términos que sean necesarios para obtener el valor al que tienden estas sucesiones y calcula dicho valor. a) an — 3 4 2 n n — b) bn — 2 n n 2 1 5— a) b) Calcula el límite de estas sucesiones y halla el valor del término a partir del cual todos los demás difieren del límite menos de 0,001. a) an — n 2 n 1 — b) bn — 3 n n 2 1— a) lim n→ n 2 n 1 lim n→ 2 n 2 n 1 2 10 1 00 ⇒ 2n n 2n 1 2 10 1 00 ⇒ n 2 1 10 1 00 ⇒ 2000 n 1 ⇒ n 1999 A partir de a1999. b) lim n→ 3 n n 2 1 3 3 n n 2 1 3 10 1 00 ⇒ 3n n 1 3 2 n 6 10 1 00 ⇒ n 7 2 10 1 00 ⇒ 7 000 n 2 ⇒ n 6998 A partir de a6998. Calcula, si es posible, el término de las sucesiones a partir del cual todos los siguientes son menores que 10 000. a) an 5 n b) bn 2n2 8 a) 5 n 10 000 ⇒ n 10 005 ⇒ A partir de a10 005. b) 2n2 8 10 000 ⇒ n2 5004 ⇒ n 70,73 No existe un término a partir del cual todos los demás sean menores que 10 000, ya que el valor de n que se obtiene indica que cumplen esa condición los términos menores que a70. Indica si estas sucesiones son divergentes. ¿A qué tienden? a) an — 2 1 n n 2 2 — b) bn — 1 3n n2— a) lim n→ 2 1 n n 2 2 1. No es divergente. b) lim n→ 1 3n n2 lim n→ . Sí es divergente. n 1 2 1 n 3 n 2 2 1 n 1 2 1 9.A4 9.A3 3 n 1 1 n 2 n 2 1 n 1 9.A2 9.A1 n 10 100 1000 10 000 → an 0,260 0,47 0,497 0,4997 → 0,5 n 10 100 1000 10 000 → bn 0,25 0,0205 0,002 0,0002 → 0 Calcula los siguientes límites. a) lim n→ (2n3 5) b) lim n→ 2n 8 c) lim n→ —n2 7 3 — d) lim n→ 4 — n 9 2 — a) lim n→ (2n3 5) b) lim n→ 2n 8 c) lim n→ n2 7 3 d) lim n→ 4 n 9 2 4 Halla los siguientes límites. a) lim n→ — n4 1 1 — b) lim n→ — 6 2 n n 3 3 3 7 n — c) lim n→ — 3 2 n n 2 5 2— d) lim n→ — n 5 n2 1— a) lim n→ n4 1 1 0 c) lim n→ 3 2 n n 2 5 2 lim n→ 0 b) lim n→ 6 2 n n 3 3 3 7 n lim n→ 3 d) lim n→ n 5 n2 1 lim n→ Calcula: a) lim n→ 1 — 2 1 n — n b) lim n→ 1 — n 1 5— 3n a) lim n→ 1 2 1 n n lim n→ 1 2 1 n 2n 12 e 12 b) lim n→ 1 n 1 5 3n lim n→ 1 n 1 5 n 5 n 3 n 5 e3 M U R A L D E M A T E M Á T I C A S M A T E T I E M P O S Sumas y más sumas Fíjate en las siguientes sumas. 1 —1 1 — 2 1 —1 1 — — 2 1 1 — 2,5 1 —1 1 — — 2 1 1 — — 3 1 2 1 — 2,67 1 —1 1 — — 2 1 1 — — 3 1 2 1 — — 4 3 1 2 1 — 2,71 Calcula las tres sumas que continúan la serie. ¿Cuál crees que es el resultado si se suman infinitos términos? Construiremos la siguiente tabla. El resultado de la suma de infinitos términos es el número e. 9.A7 5 n 1 n 1 2 6 n 3 2 2 n 7 3 n 2 n 5 2 3 n 2 2 9.A6 9.A5 Término a1 a2 3 4 5 6 7 Valor 1 1 a1 1 2 a2 1 6 a3 2 1 4 a4 1 1 20 a5 7 1 20 a6 50 1 40 Suma 2 2,5 2,67 2,7083 2,7167 2,7181 2,7183