SUCESIONES - LIMITES DE SUCESIONES EJERCICIOS RESUELTOS DE SECUNDARIA–MATEMATICA 4 ESO PDF
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Con una calculadora, forma términos de las siguientes sucesiones y estudia a qué valores tienden.
Se observa que tiende a 3.
0,2 c2 0,1 c10 0,02 c100 0,002 c1000 0,0002 c10 000 0,00002
Se observa que tiende a 0.
Calcula términos de las siguientes sucesiones y observa si tienen límite.
a) an n2 1 b) bn n3 c) cn —
La sucesión no parece tender a ningún número real; por tanto, no tiene límite.
b) b1 1 b2 8 b10 1000 b100 1 000 000
La sucesión no parece tender a ningún número real; por tanto, no tiene límite.
c) c1
1
3 c2 1 c10 8,33… c100 98,039… c1000 998,004 c10 000 9998
La sucesión no parece tender a ningún número real; por tanto, no tiene límite.
Dada la sucesión an —
a) Halla su límite.
b) Calcula las distancias entre los términos a10, a100 y a1000, y el límite.
c) ¿A partir de qué término esta distancia es menor que una centésima?
d) ¿Y menor que una diezmilésima?
a) Calculamos algunos términos:
a10 1,9354… a100 1,993355… a1000 1,999333… Por tanto, lim
Comprueba que la sucesión de término general an n 7 tiende a menos infinito.
Calculamos algunos términos de la sucesión: a10 17; a100 107; a1000 1007; a10 000 10 007
Los términos se van haciendo cada vez menores, de forma que por muy pequeño que sea un valor, siempre encontramos términos
inferiores a él.
Por tanto, lim
n→
an .
Comprueba que lim .
Formamos algunos términos de la sucesión: a10 250; a100 29 500; a10 000 29 950 000. Los términos se van haciendo cada
vez mayores, de forma que por muy grande que sea un valor, siempre encontramos términos superiores a él.
Por tanto, lim
n→
(3n2 5n) .
Dados k 10000 y la sucesión de término general an n2 1, averigua a partir de qué valor del índice
n sus términos son mayores que k.
A partir del término 100, los términos siguientes son mayores que 10 000.
Efectúa las siguientes operaciones cuando n
Rombo de naranjas
Un conjunto de naranjas se agrupan en una especie de rombo con cuatro naranjas por cada lado.
a) Indica el número de naranjas necesarias para construir
una figura semejante a la dada, pero suponiendo
que el lado del rombo tuviera dos, tres y cinco
unidades en cada caso.
b) ¿Cuál de los siguientes términos generales representa
el número de naranjas necesarias para construir
una figura con n unidades por lado?
b) an 6(n 1) bn n2 n cn 6 · 2n 2
a) Para la figura de lado dos se necesitarán 2(1 2) 6 naranjas; para la de lado tres se necesitarán
2(1 2 3) 12 naranjas, y para la figura de lado cinco se necesitarán 2(1 2 3 4 5) 30 naranjas.
b) Para una figura con n unidades por lado se necesitan 2(1 2 3 … n) 2
Autoalimentación
Cierta especie de insectos parecidos a las abejas se organiza de la siguiente forma:
• 150 animales se dedican al mantenimiento de la colmena y a proporcionarle calor, y el resto de los insectos
liba el néctar necesario de las flores para fabricar la miel que alimenta a toda la población.
• Cada 100 recolectores elaboran 5 gramos de miel diarios, y la miel producida se reparte entre todos
los miembros de la colmena.
a) Suponiendo que haya 500 individuos, ¿de cuánta miel puede disponer cada insecto al día?
b) ¿Y considerando que sean 1000 individuos? ¿Y si son 10 000?
c) Generaliza los resultados calculando los gramos de miel con los que puede contar cada insecto suponiendo
que la colmena está formada por n individuos. Después, estima dichos gramos suponiendo
que la población de la colmena es inmensa.
a) Hay 500 150 350 recolectores, que obtienen 350 0,05 17,5 gramos de miel. Por tanto, cada individuo recibirá
17,5 500 0,035 gramos diarios de miel.
b) En una población de 1000 insectos hay 1000 150 850 recolectores, que obtienen 850 0,05 42,5 gramos. Por tanto,
cada insecto dispondrá de 0,0425 gramos de miel.
En una población de 10 000 insectos hay 10 000 150 9850 recolectores, que obtienen 9850 0,05 492,5 gramos.
Cada individuo tendrá 0,04925 gramos de miel.
c) Generalizando los resultados anteriores, la cantidad de miel diaria de que dispone cada insecto en una población de n individuos
viene dada por