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INTEGRALES PROBLEMAS RESUELTOS DE NIVEL BASICO PDF

OBJETIVO : * Realizar un estudio elemental del cálculo integral y sus aplicaciones. La integral y la derivada son operaciones inversas . ANTIDERIVADA DE UNA FUNCIÓN Una función F es llamada ANTIDERIVADA de otra función f en un intervalo J si se cumple : Ejemplo : * Una antiderivada de : * Pues : ANTIDERIVADA GENERAL Sea f una antiderivada de una función f en un intervalo J. Entonces la función G dada por G(x)=F(x)+c, donde «c» es una constante arbitraria, es llamada ANTIDERIVADA GENERAL de la función f en J . Ejemplo : es la antiderivada general de f(x=2x en Antiderivada de la función de la forma : En el siguiente cuadro se ilustran algunas funciones y las antiderivadas respectivas : En general : Si n es un número real diferente de –1, la antiderivada de la función , es el cociente entre la base elevada al exponente aumentado en uno y tal exponente aumentado también en uno . En símbolos : Si,entonces, la antiderivada de f(x) es: Ejemplos : *La función antiderivada de es la función: * La función tiene por antiderivada la función: Recuerda : * La antiderivada de la función es : Recuerda : *La antiderivada de la función es Antiderivadas Trigonométricas : La función f(x)=cosx es la derivada de . Además es la derivada de las funciones : ; ; * Las funciones : son funciones antiderivadas de . Antiderivada de Funciones Exponenciales y Logarítmicas En el capítulo anterior ya se estudió las derivadas de las funciones exponenciales y logarítmicas ; la inversa y la antiderivada , se puede encontrar con el mismo procedimiento que se ha venido desarrollando en este acápite * La antiderivada de la función : porque la derivada de : . * La antiderivada de la función es la función porque la derivada de la función es: . INTEGRAL INDEFINIDA El conjunto de todas las antiderivadas de f(x) se llama la integral de f(x). * Se utiliza el símbolo : que se llama una integral o símbolo de integración. Notación : integral indefinida de f. *Donde F es una antiderivada de f y c es una constante arbitraria. * La función f(x) se llama integrando ; dx indica la variable en términos de la cual debe darse la función resultante . Ejemplos : * La notación se lee integral de la función respecto a la variable x. * La notación se lee la integral de la función respecto a la variable x . * * porque: CÁCULO DE INTEGRALES INMEDIATAS Se llaman integrales inmediatas a aquellas que son fácilmente reconocidas como la antiderivada de una función . La integral de la función porque la derivada de es 2x . * En símbolos : . Integral de Monomios : La integral de expresiones de la forma , se obtiene aplicando la expresión estudiada en el taller anterior : Ejemplos : * * La Integral de una Constante por una Función : * La integral de la función : * La integral de la función porque la derivada de es igual a . Observa: * La integral de la función : * La integral de la función : es porque la derivada de . Observa : * La integral de la función g(x) es de la integral de la función f(x). Es decir : En general : La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función. Ejemplo 1 : Hallar la integral respecto a x de la función . Resolución : La función es el producto de la constante 7 y la función . Por lo tanto : Integral de la Suma de Funciones: La función g(x) = x + 1 es la suma de las funciones y . Por ser y PROPIEDADES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA Sean f y g funciones que tienen definidas antiderivadas en un intervalo J , entonces : (f g) admite antiderivada en J : (kf) admite antiderivadas en J : * En el siguiente cuadro se presenta una síntesis de las funciones estudiadas , sus derivadas y las integrales inmediatas más notables : FÓRMULAS ELEMENTALES DE INTEGRACIÓN 1) 2) 3)4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25) 26) 27) 28) 29) 30) 31) c : constante arbitraria . Ejemplos : Evaluar : * * * * ** * * * * * * * * * TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN I) INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN ALGEBRAICA (CAMBIO DE VARIABLE) Uno de los métodos para calcular integrales es el de sustitución . Este procedimiento consiste en realizar un cambio de variable de tal forma que se transforme la función en una integral inmediata . * Por ejemplo , la integral , no es inmediata ; es decir , no se puede hallar directamente. Es necesario transformarla en otra función cuya integral sea inmediata , para lo cual se hace un cambio de variable . * La función f(x) = (x3 + 2)2 3x2 es el producto de la función compuesta g(x) = (x3 + 2)2 y la función h(x) = 3x2. Pasos para Aplicar el Método de Sustitución : El método de sustitución se emplea de la siguiente forma : * Se identifican las funciones cuyo producto es la función que se desea integrar . * Una de las funciones corresponde a la función primitiva y debe existir la posibilidad de obtener con la otra función, su derivada . * Se halla la derivada de la función compuesta. * Se designa con una variable la primera función que forma la función compuesta . * La función que se debe integrar se expresa en términos de la nueva variable . * Se expresa la integral hallada en términos de la primera variable . Ejemplo 1 : Hallar : Resolución : * La integral no es inmediata. La función denominador es compuesta. * Se llama : u = x2 + 1. * Con la función numerador h(x)= x se puede formar la derivada de la función u= x2+1. equivale a , xdx = . * Se sustituye la función , por u1/2 y xdx por . *Entonces : * Se sustituye u por x2 + 1 : u1/2 + C = (x2 + 1)1/2 + C * Por consiguiente : Ejemplo 2 : Calcular : Resolución : * Sea : v = x2 + 2 dv = 2x dx * Luego : Ejemplo 3 : Probar que : Resolución : * Sea : v = cosx dv = – sen x dx Ejemplo 4 : Calcular : Resolución: * Sea : v = 8x + 1 dv = 8 dx * Luego : OBSERVACIÓN Se puede proceder así: Ejemplo 5: Calcular : Resolución : Ejemplo 6 : Calcular : Resolución : Ejemplo 7 : Calcular : Resolución : Ejemplo 8 : Calcular : Resolución : *La función que aparece en el numerador es la derivada de la función del denominador . Se hace u = x2 +5x+ 2 de donde du=(2x + 5)dx. * Se sustituyen estos valores en la integral : * Finalmente, volvemos a la variable original: Ejemplo 9 : Calcular : Resolución : * La función a integrar es el producto de dos funciones , una de las cuales es la derivada interna de una función compuesta . Llamamos u al exponente de e , u = x4 , con lo cual du=4x3dx. Al sustituir estos valores en la integral tenemos: . Esta es una integral inmediata. *Luego:, volviendo a la variable original , Tenemos : Ejemplo 10 : Calcular : Resolución : * Si llamamos u = tan x , entonces : du = sec2x dx * Al reemplazar en la integral tenemos : * Al volver a la variable original : Ejemplo 11 : Calcular : Resolución : * Cuando en una integral tanto el numerador como el denominador son binomios de grado uno , se II) INTEGRACIÓN POR PARTES Cuando la función que se desea integrar es igual al producto de dos funciones , una de las cuales es la derivada de una función conocida , se puede aplicar el método de integración por partes. * Si u y v son funciones tales que u=f(x) y v= g(x), se tiene : * Al aplicar la derivada del producto de dos funciones : * A funciones iguales les corresponde integrales iguales respecto a la misma variable : ‘‘La integral de la derivada de una función es la función’’ * Al despejar , se tiene: * Se escribe la expresión en forma diferencial : Es la fórmula de la integración por partes . *Una de las técnicas de integración más ampliamente usada es la integración por partes. Ejemplo 1: Calcular: Resolución: * Sean : * Aplicamos : Ejemplo 2 : Hallar : Resolución : * Se hace : u = x y dv = sen x dx : * Se obtiene: y du= dx Ejemplo 3 : Hallar la integral de la función f(x)=Ln x respecto a la variable x. Resolución : . Se hace u=Ln x y dv=dx , se tiene : y v=x+C. * Entonces : * Entonces : Ejemplo 4 : Hallar la integral de la función: f(x)=x2 ex Resolución : * Se hace : u = x2 y dv = ex dx entonces : * Entonces : * Pero : porque : * Observa que no es inmediata pero se puede hallar por partes, así : * Si u=x; dv=exdx, entonces: du = dx y * Entonces : * Se sustituye por xex–ex+C en la ecuación (I): !RECUERDA! El método de integración por partes se aplica a funciones que sean el producto de dos funciones , una de las cuales es la derivada de una función conocida. Para aplicarlo se procede de la siguiente forma: * La función que se desea integrar se expresa como el producto de dos funciones. A una de ellas se le nota por u, la otra función incluido dx se nota por dv. * La parte seleccionada como dv debe ser integrable. *El sustraendo debe ser más simple que . Ejemplo 5: Calcula la integral. Ten en cuenta las siguientes ayudas : *Identifica las funciones factor que se han de integrar : * Como es la integral del producto de las funciones x y cosx, llama a una de estas funciones u y a la otra llámala dv. ¿Por qué es más conveniente llamar u = x y dv = cosx dx? * Calcula du y v respectivamente. * Reemplaza estas expresiones en: * Como : u= x ; du = dx ; dv = cosx dx ; v=senx * La integral , que deseas calcular se reduce a : Ejemplo 6: Calcula : Resolución : * Llama : u=ex y dv=senx dx * Calcula du y v. * Aplica la fórmula de integración por partes y reemplaza en ellas las expresiones u, du, v, y dv. * Como has obtenido la expresión : , llegaste casi al mismo punto de partida . *Calcula , aplicando el método de integración por partes. * Ahora has obtenido : Observa que la última integral es igual a la que inicialmente se quería calcular . La expresión obtenida hasta el momento es: * Expresa a un solo lado de la igualdad y despeja : . * El resultado es : Ejemplo 7: Usando integración por partes , calcular: Resolución: a) * Sean : * Luego : III)INTEGRACIÓN POR FRACCIONES PARCIALES Si no se tiene éxito al aplicar la integración por doble sustitución , puede aplicarse otra técnica, integraremos funciones de la forma , donde p(x) y q(x) son polinomios . A este tipo de fracciones El caso más simple se da cuando el denominador es de primer grado , como veremos en estos ejemplos: Ejemplo 1 : Resolución : * Como el numerador es de mayor grado que el denominador , se efectúa la división y el resultado se reduce a un polinomio y una fracción del tipo . * Esto permite efectuar la integración sin problemas , porque es fácil integrar una función polinómica y también la fracción : * Como primer paso dividimos : ; luego : * Y la integral se convierte en : Ejemplo 2: Calcular : Resolución : * Podemos comprobar que ; luego: * Puede notarse que al final aparece una integral del tipo: , donde A y b son constantes ; así esta integral es fácil de calcular . Basta con recordar que: * Pero no siempre el denominador será de primer grado, y para integrar funciones racionales del tipo en cualquier caso, donde el grado de p es menor que el de q , hay que transformar ésta en fracciones parciales , como se indica en estos otros ejemplos . Ejemplo 3 : Calcular: Resolución : * Transformemos la fracción como suma de dos fracciones simples. Primero factorizamos el denominador, luego descomponemos: * Efectuando la suma en el segundo miembro : * Igualando numeradores : x–2=A(x+1) + Bx; x – 2=(A+B)x+A * De aquí vemos que A=–2; A+B=1 y B= 3 * Entonces : ; ahora, sí procedemos a integrar * Un método alternativo para hallar A y B consiste en darle valores adecuados a x en la identidad : x – 2 = A(x + 1) + Bx * Así tenemos : Si x = –1 –1 –2 = A(0) + B(–1) B = 3 Si x = 0 0 – 2 = A A = –2 * El procedimiento anterior permite descomponer cualquier función racional cuyo denominador tenga factores lineales no repetidos . Cuando el denominador tenga factores lineales repetidos , factores de mayor grado no reducibles a lineales , debemos considerar variantes en el procedimiento , como las que se indican a continuación : * Por cada factor (x – a)n donde n es el número de veces que (x – a) se repite , corresponden fracciones parciales ; así: * Si en el denominador hay un factor cuadrático x2+ bx + c , que no se puede factorizar en el campo real, y sólo aparece una vez , corresponderá a una fracción parcial de la forma : * Estas y otras variantes se podrán aplicar en un curso que tenga mayor extensión y, por tanto, sugerimos sólo considerar casos como los que se presentaron como ejemplos . Ejemplo 4 : Calcular: Resolución : * 1 = A(x2 + 1) + (Bx + C)x * x = 0 ; 1 = A * x = 1 ; 1 = 2 + B + C * x = –1 ; 1 = 2 + B – C * Luego : Ejemplo 5 : Calcular : Resolución : * 1 = A(x + 1)2 + Bx(x + 1) + Cx * x = 0 ; 1 = A * x = –1 ; 1 = –C C = –1 * x = 1 ; 1 = 4 + 2B – 1 B = –1 * Luego : Ejemplo 6 : Calcular : Resolución : OBSERVACIÓN : * * Ejemplo 7 : Calcule: Resolución : * Sea u = ex : IV) INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA En las integrales que contienen expresiones como , las sustitución de ciertas funciones trigonométricas pueden simplificar el integrando . Ejemplo 1 : Calcular : Resolución : Construimos el siguiente triángulo en función de 9 ó 32 y x : INTEGRAL DEFINIDA El área de cualquier figura se puede calcular por procedimientos geométricos siempre y cuando se encuentre limitada por segmentos . En geometría elemental se aprendió que el área de un rectángulo es igual al producto de la base por la altura ; y el área de un triángulo es igual al semiproducto de la base por la altura . Para calcular el área de cualquier figura limitada por segmentos , se divide la región en rectángulos y triángulos , y se calcula el área de cada región. Cuando el área que deseamos calcular está limitada por curvas , este último procedimiento no se puede emplear. Para determinar el valor de estas áreas hace falta el cálculo integral tal como lo estudiaremos a continuación . * La gráfica corresponde a la función continua y=f(x) * Se desea hallar el área de la región del plano limitada por la gráfica de la función , el eje x y las rectas x = a y x = b . * Para tal efecto , se divide el intervalo [a;b] , en dos subintervalos. Se busca de esta forma aproximar la suma de las áreas de regiones rectangulares al área de la región bajo la curva. * Si se divide el intervalo cerrado [a ; b] en cuatro subintervalos, se logra una mayor aproximación: PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DE UNA FUNCIÓN CONTINUA Sean f(x) , g(x) dos funciones continuas en [a ; b], entonces : 1) 2) ; k cte . real 3) 4) PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO INTEGRAL Sea f una función continua en J = [a; b] y G es la función definida por G(x) = , entonces : SEGUNDA TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO Si y=f(x) es una función continua en [a;b] entonces: donde F’(x) = f(x) * Donde : : símbolo de integración f : función integrando a y b : límites de integración (a0 * Entonces el área de la región A limitada por la gráfica de f , el eje x y las rectas x=a y x=b se define como : Ejemplo 2 : Calcule el área de la región limitada por la gráfica de f dado por f(x)=4 – x2, el eje x y las rectas x=–1 y x=2 Resolución : Área : R TEOREMA : Sean f y g funciones continuas en J = [a ; b] y de . Entonces el área de la región R limitada por las gráficas de f y g y las rectas x=a y x = b. * Donde : Ejemplo 3 : Calcular el área limitada por la gráfica de las funciones f(x)=2–x, g(x) = x2–5x y las rectas . Resolución : Área (A) Ejemplo 4: Hallar el área comprendida entre la gráfica de la función f(x) = –x2 + 6 y el eje x . Resolución : * La gráfica de la función es una parábola cóncava hacia abajo que corta al eje x en los valores y . * Si en la integral se sustituyen los valores y , de la siguiente manera : * El valor obtenido corresponde a la integral definida : Ejemplo 5 : Hallar el área de la región del plano limitada por la gráfica de la función f(x) el eje x y las rectas x=1 y x=4. Resolución : * Recuerda la gráfica : * El área de la región rayada es la integral Ejemplo 6 : Hallar el área de la región limitada por la gráfica de la función f(x)= – x , las rectas x= – 3 y x= – 1. Resolución : * El área correspondiente entre las rectas x=1 es la integral * Entonces el área de la región es 4 . VOLÚMEN DE UN SÓLIDO Si la región comprendida entre una curva , el eje x y una recta paralela al eje y , gira sobre el eje x , se genera un sólido cuyo volumen se puede calcular por medio del Cálculo Integral . El volumen del sólido que se genera al rotar la curva es igual a la suma de los volúmenes de cada uno de los cilindros que tienen de radio f(x) y de altura Al volumen se llega por sucesivas aproximaciones : Para tal efecto dividimos el intervalo cerrado [a;b] en cuatro intervalos iguales. Se observa que la suma de los volúmenes de los cilindros obtenidos se aproxima al volumen del sólido . * Si se divide el intervalo [a ; b] en ocho subintervalos iguales , se observa que la suma de los volúmenes de los cilindros obtenidos , se aproxima más al volumen del sólido . * Si el intervalo se divide en un número cada vez mayor de intervalos iguales , se puede lllegar a obtener un número infinito de cilindros cuya suma de los volúmenes tiene por límite el volumen del sólido , y se expresa por la integral definida de la función correspondiente . jemplo 1: Hallar el volumen del cono generado por el triángulo que rota respecto al eje x, limitado por la gráfica de la función y=x en el intervalo cerrado [0 ; 8]. Resolución : *El cono se forma por un conjunto infinito de cilindros de radio y=x , espesor cada uno de los cuales tiene por volumen el conjunto: *La suma de cilindros tiene un límite que es la integral que corresponde al volumen del cono. * Entonces : V = Ejemplo 2 : Hallar el volumen del sólido generado por la rotación alrededor del eje x de : ; el eje x ; Resolución : Ejemplo 3 : Halle el volumen del sólido que se genera por la rotación de la región limitada por la curva: y el eje x en el intervalo de : [2 ; 8] Resolución : OTRAS APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA Aparte de aplicarse en el cálculo de áreas, también se utiliza en otros campos como la física, química, ecología, etc. Sirviendo para estimar acontecimientos futuros o pasados . Ejemplo 1: Una partícula que parte del reposo, efectúa el movimiento a una velocidad dada numéricamente por v=(3t2+5) cm/s. Hallar la distancia recorrida por la partícula en los primeros 5 segundos . Resolución : * Tenemos: * Como parte del reposo : f(0)=0 ; en (I) : 0 = 0 + c c = 0 * Reemplazando en (I) , nos queda : f(t) = t3 + 5t * Para t = 5 , nos queda : f(5)=53+25=150cm , que es la distancia recorrida por la partícula. Ejemplo 2 : Se estima que dentro de t meses la población P de cierto pueblo cambiará a una tasa de por mes. Si la población actual es de 25000 personas, ¿cuál será la población dentro de 32 meses? Resolución : * Como, entonces * Es decir : P(t) = 2t + + c ........ (I) * Pero cuando t=0, la población es de 25000, en (I): 25000 = 2 (0)+(0)+c * Luego c = 25000 ; en (I) : P(t) = 2t + + 25000 ................. (II) * Para t=32, en (II): La población dentro de 32 meses , será de 27624 personas . LONGITUD DE ARCO Sea f: [a; b] una función con derivada continua en [a ; b], entonces la longitud del arco de la curva desde el punto cuya abscisa es ‘‘a’’’ hasta el punto cuyo abscisa es ‘‘a’’ es expresado por la fórmula. OBSERVACIÓN : Si g : [c ; d] es un función continua en [c; d], entonces la longitud del arco de la curva x=g(y) desde el punto A(g(c),c) hasta el punto B(g(d),d) es expresado por la fórmula : Ejemplo 1 : Determinar la longitud de la circunferencia: