TRAZADO DE CURVAS PARAMETRICAS EJERCICIOS RESUELTOS

Graficación de Curvas Parametrizadas 

Para curvas de ecuaciones de la forma y = f(x) puede considerarse que x es el parámetro. 

Al analizar los signos tanto de f’(x) como de f’’(x), siempre se considera que x aumenta. 

Así, cuando se afirma que f es creciente en el intervalo [a; b], significa que los valores de f(x) aumentan (crecen) a medida que los valores de x van aumentando a partir de a hasta b. Por lo contrario, los valores de f(x) irán disminuyendo si x disminuye desde b hasta a. 

Cuando la curva está definida por medio de ecuaciones paramétricas, puede ocurrir que cuando t aumente, x aumente o disminuya. Esta doble posibilidad hace que la aplicación del criterio de la primera derivada, a partir del signo de dy/dx, se haga confusa en algunos casos. 

En lugar de hacer el análisis a partir del signo de dy/dx es más conveniente hacerlo a partir de los signos de dx/dt y dy/dt. La concavidad de la curva se determina de la misma forma que para las curvas definidas por ecuaciones de la forma y=f(x); es decir, a partir del signo de d2y/dx2. 

Sabemos que para curvas parametrizadas en que x(t) e y(t) son funciones diferenciables, se verifica : Expresión que permite hallar d2y / dx2 en términos del parámetro t y para los t en que y’ sea diferenciable. Ejemplo : 

Trace la gráfica de la curva cuyas ecuaciones paramétricas son: resolución: Derivando cada una de las ecuaciones paramétricas se obtienen: y luego reemplazando estas derivadas en la ecuación , se obtiene: Vemos que dy/dx=0 si t= –1 ó t=1. Vemos también que dy/dx no existe (es infinito) en t= –1/2. Así, los puntos críticos son: –1,–1/2 y 1. Estos puntos dividen al dominio en 4 intervalos. Por el método de los puntos críticos se determinan los signos que tienen dx/dt y dy/dt en cada uno de estos intervalos, tal como se muestra en la Tabla. En la tabla se concluye que en el punto (2;5) y tiene un máximo debido a que al aumentar t desde – hasta –1, x decrece e y crece. Esto significa que los puntos de la gráfica se van generando hacia la izquierda y hacia arriba, hasta el punto (2;5). Luego, si cuando t aumenta de –1 a –1/2, x sigue decreciendo pero y decrece, significa que del punto (2;5), los puntos se van generando hacia la izquierda pero hacia abajo. Así, en el punto (2;5), y tiene un máximo relativo. Análices semejantes se hacen alrededor de los otros puntos críticos, determinando las conclusiones de la Tabla. Derivando la ecuación (I), se obtiene: y luego reemplazando valores en la ecuación, se obtiene: Como t2 + t + 1 > 0 para todo t, entonces el único punto crítico es t = – 1/2. Además, d2y/dx2 < 0 para t< –1/2, y d2y/dx2 > 0 para t > – 1/2. Por lo tanto, la gráfica es cóncava hacia abajo para t < –1/2 y cóncava hacia arriba para t > – 1/2. La Figura muestra la gráfica de la curva. Nótese que para t= –1 y t = 1, la recta tangente es horizontal, y para t = – 1/2, la tangente es vertical. Nótese también que la curva pasa por un mismo punto dos veces. A tal punto se le denomina punto doble . Para hallar dicho punto doble se resuelve el sistema: cuya solución es t1= – 2 y t2=1 que determinan, casualmente, el punto (6;1) en donde y tiene su valor mínimo.