PUNTO DE ACUMULACION EJEMPLOS RESUELTOS – LIMITES

Entorno de un punto. Punto de acumulación de un conjunto de números reales
Un punto de acumulación referente a un conjunto de puntos, es aquel que (perteneciendo o no perteneciendo al conjunto en cuestión) cumple que cualquier entorno de él tiene algún punto perteneciente al conjunto.
Ejemplo:
Dado el conjunto A=[0, 1) , 1 no pertenece a él, pero es punto de acumulación pues cualquier entorno del 1 sería de la forma (1-x, 1+x) con x>0 y tiene puntos de A. ¡De hecho cualquier punto de (1-x, 1) pertenece a A!
Si el punto al que tiende un límite no fuera punto de acumulación, existiría algún entorno de dicho punto donde la función (o sucesión) no toma valores --> no podría ser el límite.
Teorema: Un conjunto A es cerrado si y solo si contiene a todos sus puntos de acumulacion.
El infinito aunque no sea un objeto de este mundo y no pertenezca ni a R ni a Z es punto de acumulación de R y de Z.
Los dominios de definición de las funciones reales son conjuntos de números reales y es importante reconocer sus puntos de acumulación para calcular límites en un punto y en el infinito.