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CONTEO DE FIGURAS Y RECORRIDOS EULERIANOS EJERCICIOS RESUELTOS DE RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PREUNIVERSITARIO EN PDF

















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La facultad de observación y percepción de cambios en muchas situaciones visuales está unida con la lógica y la memoria. Es necesario por eso, plantearse este tipo de situaciones, tales como las que aparecen en esta lista preliminar: - Comparar dos objetos para notar si son idénticos - Encontrar un objeto oculto, basándose en un modelo. - Enumerar y contar el conjunto de objetos observados - Descubrir el trazo de un recorrido oculto. - Elegir un recorrido óptimo entre varias rutas disponibles, etc. Para algunos de estos problemas se dispone de ciertos métodos sistemáticos o algunas fórmulas pre establecidas, mientras que para otros sólo podemos contar con nuestra intuición e imaginación para obtener la solución. Haremos entonces un estudio por separado de los casos que se conocen. I. CONTEO DE FIGURAS Ejemplo 1: ¿Cuántos triángulos se pueden observar en la figura? A B C D E Resolución: Podemos contar de dos formas: 1. Si utilizamos los vértices para identificarlos tendremos los siguientes triángulos: ABE, ABC, ACD, ADE, ABD y ACE = 6 triángulos 2. Si sólo observamos y utilizamos nuestra memoria registramos estas imágenes: 1 2 3 4 5 6 Los números indican los 6 triángulos reconocidos. Ejemplo 2: ¿Cuántos triángulos hay en la figura? Resolución: Asignándole letras a las figuras más pequeñas a b c g f d e h Tenemos que la cantidad de triángulos buscados son: con 1 letra a, b, c, d, g, h  6 2 letras ab; bc; ad; be; cf; de; fg 7 3 letras  abc; cfh 2 4 letras  abde; defg; defh 3 5 letras  bcefh 1 7 letras  abcdefh 1  Total = 20 Ejemplo 3: ¿Cuántos segmentos hay en la siguiente figura? A B C D E Resolución : Si asignamos a cada uno de los pequeños segmentos una letra (e), tenemos: e e e e A B C D E Con 1 letra: 4 segmentos Con 2 letras: 3 segmentos Con 3 letras: 2 segmentos Con 4 letras: 1 segmento. Total de segmentos: S = 4 + 3 + 2 + 1 = 10 ó S = 1 + 2 + 3 + 4 = 10 Sumando miembro a miembro: 2 S = 5+5+5+5 = 20 Es decir que para 4 “e”, tenemos: S = = 10 Generalizando, para “n” espacios, tenemos Nota: Esta expresión matemática podemos aplicarla a otras figuras, siempre y cuando cada segmento genere la figura pedida. Ejemplo 4: Cuántos triángulos hay en la figura? Resolución: Observamos que cada uno de los segmentos, en la base del triángulo, genera a su vez una figura pedida. Entonces, para n = 5 Nº triángulos = = 15 Ejemplo 5: Cuántos cuadriláteros hay en la figura? Resolución: Calcularemos primero los cuadriláteros que habrían sin las líneas horizontales interiores y luego los cuadriláteros que habrían sin las líneas verticales interiores. Es decir: Nº de cuadriláteros = = 10 Nº de cuadriláteros = = 6 Luego, al superponerlos, se multiplican  Nº cuadriláteros = 10 x 6 = 60 II. FIGURAS DE TRAZO CONTINUO Es posible dibujar algunas figuras con trazo continuo, esto es, sin recorrer dos veces la misma línea y sin levantar el lápiz del papel. Con otros resulta imposible hacerlo. Ejemplo 6: ¿Cuáles de las figuras siguientes se puede dibujar con un solo trazo? a b c d Sólo las figuras a, b y d se pueden dibujar de un solo trazo. La figura “c” es imposible trazarla, a menos que se repita un segmento. * Las razones se basan en una teoría que se conoce desde la época de Leonard Euler (1759) y de la cual extraemos algunos principios. - Para que una figura se pueda dibujar de un solo trazo; es decir, sin levantar el lápiz del papel y sin repetir ninguna línea, es necesario estar en alguno de los siguientes casos: Caso I: Todos los vértices de la figura dada deben ser pares; entendiéndose como vértice par aquel punto o nudo donde concurren un número par de líneas. La trayectoria del trazo debe iniciarse en alguno de los vértices y concluir en el mismo. Caso II: La figura debe tener sólo dos vértices impares. La trayectoria del trazo debe iniciarse en uno de los vértices impares y concluir en el otro vértice impar. - Cualquier otra situación diferente a los dos casos, no da lugar a realizar la figura de un solo trazo. - Si deseamos dibujar de un solo trazo, una figura con mas de dos vértices impares, repetiremos como mínimo líneas; donde “i” es el número de vértices impares. Ejemplo 7: ¿Cuáles de las siguientes figuras, se pueden graficar de un trazo, sin levantar el lápiz, ni pasar dos veces por la misma línea? A B C Ejemplo 8: Como mínimo una araña emplea 5 minutos en recorrer todas las aristas de un cubo construido de alambre de 60 cms. de longitud. ¿Cuál es el tiempo que emplea en recorrer una arista? Resolución: Para emplear el mínimo tiempo en recorrer una arista, la araña debe iniciar un recorrido en uno de los vértices. Debido a que los 8 vértices son impares no podrá hacer el recorrido sin repetir algunos de ellos.  el mínimo de aristas que repite en su recorrido será: = 3  recorrió: 12 + 3 = 15 aristas Resolviendo por regla de tres simple, tenemos: 15 aristas 5 min < > 300 seg. 1 arista x x = = 20 seg PROBLEMAS PARA RESOLVER EN CLASE 1. Calcular el número de triángulos en la figura Rpta. .................... 2. Rpta. .................... 3. Rpta. .................... 4. Rpta. .................... 5. Calcule el número de segmentos Rpta. .................... 6. Rpta. .................... 7. Rpta. .................... 8. Rpta. .................... 9. Calculo del N° de cuadriláteros Rpta. .................... 10. Rpta. .................... 11. Rpta. .................... 12. ¿Cuántos cuadrados se pueden contar como máximo en un tablero de ajedrez? Rpta. .................... 13. ¿Cuántos cuadrados se: a) Observan en la siguiente figura b) ¿Cuántos cuadriláteros que no son cuadrados hay en la figura? Rpta. .................... 14. ¿Cuántos agudos se pueden contar en las siguientes figuras? a) b) Dar como respuesta “a + b” Rpta. .................... 15. ¿Cuántos cubos como máximo hay en el siguiente sólido? Rpta. .................... 16. ¿Cuántos cubos se contarán como máximo en el siguiente sólido? Rpta. .................... 17. Para esta torre de 3 pisos se han utilizado 36 cubos. ¿Cuántos cubos serán necesarios para construir una torre similar de 20 pisos? Rpta. .................... 18. ¿Cuántas de las figuras siguientes se puede dibujar con un solo trazo continúo ni pasar dos veces por una misma línea? (I) (II) (III) (IV) (V) (VI) (VII) (VIII) Rpta. .................... 19. Aquí mostramos los planos de ciertos departamentos. ¿Cuál o cuales de ellos se prestan para pasar por todas las puertas de una sola vez empezando y terminando afuera? (1) (2) 20. ¿Cuántas rutas mínimas diferentes se tiene para llegar al punto “B” partiendo de “A”? (I) (II) 21. De cuántas maneras puedo leer “INGRESO” en la siguiente distribución TAREA DOMICILIARIA 1. En la figura ¿Cuántos triángulos hay? a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12 2. ¿Cuántos cuadriláteros hay en la figura? a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 3. En nuestro tablero de ajedrez trazamos la diagonal principal, ¿Cuántos triángulos contaremos como máximo? a) 72 b) 86 c) 98 d) 110 e) 126 4. ¿Cuántos cuadriláteros que por lo menos tengan un asterisco hay en la siguiente figura? a) 36 b) 49 c) 75 d) 81 e) 69 5. ¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura? a) 40 b) 48 c) 52 d) 60 e) 72 6. ¿Cuáles de las siguientes figuras se puede dibujar, sin levantar el lápiz del papel, ni pasar dos veces por la misma línea? (Indicar Si o No) 7. ¿Cuántos sectores circulares presentan en su interior un *? Rpta. .................... 8. ¿Cuántos cuadriláteros hay como máximo en cada una de las siguientes figuras? 9. ¿Cuántos triángulos se contarán en la siguiente figura? a) 19 b) 21 c) 23 d) 25 e) 27 10. ¿Cuántos triángulos se pueden contar en la siguiente figura? a) 15 b) 17 c) 19 d) 21 e) 23 11. ¿Cuántos cuadriláteros hay en esta figura? a) 35 b) 37 c) 39 d) 41 e) 42 12. ¿Cuántos triángulos y cuántos cuadriláteros hay en la figura? a) 12; 10 b) 10; 18 c) 12; 12 d) 8; 10 e) 12; 8 13. Se tiene monedas de las mismas dimensiones. El número máximo de monedas tangentes dosadas que pueden colocarse tangencialmente alrededor de una de ellas es: a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 CONTEO DE FIGURAS 1. Calcular el máximo número de cuadriláteros. A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 RESOLUCIÓN Por codificación literal: Con 1 letra : 1 Con 2 letras : 3 Con 3 letras : 1 Con 4 Letras : 1 Con 7 letras : 1 Total : 7 RPTA.: D 2. Calcular el máximo número de triángulos. A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12 RESOLUCIÓN Por niveles, de arriba hacia abajo: Nivel 1 : Nivel 2 : Nivel 3 : Total : 12 RPTA.: E 3. Calcular el máximo número de Hexágonos. A) 21 B) 24 C) 30 D) 34 E) 42 RESOLUCIÓN Contabilizando los espacios, en la base, que generan hexágonos, tenemos: x 2 30 RPTA.: C 4. Calcular el máximo número de segmentos. A) 63 B) 68 C) 71 D) 78 E) 84 RESOLUCIÓN En las líneas horizontales hay: En las líneas verticales hay: Total de segmentos: 63+15 = 78 RPTA.: D 5. Calcular el máximo número de triángulos. A) 26 B) 24 C) 22 D) 25 E) 27 RESOLUCIÓN Asignándole código “a” a cada uno de los pequeños triángulos, tendremos: Con 1 “a” : 16 Con 4 “a” : 7 Con 9 “a” : 3 Con 16 “a” : 1 Total : 27 triángulos RPTA.: E 6. Calcular el máximo número de rombos. A) 10 B) 12 C) 14 D) 16 E) 13 RESOLUCIÓN Por codificación simple tenemos: 9 + 4 + 1 = 14 rombos RPTA.: C 7. Calcular el máximo número de triángulos. A) 30 B) 32 C) 34 D) 36 E) 38 RESOLUCIÓN En vértice superior e inferior : En vértice izquierdo y derecho: En el rombo mayor: 8 Total: 38 triángulos. RPTA.: E 8. Calcular el máximo número sectores circulares. A) 12 B) 14 C) 15 D) 17 E) 13 RESOLUCIÓN Por niveles desde “0” hacia afuera: 1º 2º 1 3º 4º 2 Total: 15 RPTA.: C 9. Calcular el máximo número de letras “M”. A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14 RESOLUCIÓN De una sola línea : 4 Con dos líneas : 3 Con tres líneas : 2 Con tres líneas : 1 Total : 10 RPTA.: A 10. Calcular el máximo número de ángulos agudos. A) 19 B) 20 C) 18 D) 17 E) 16 RESOLUCIÓN Aplicando: en el lado derecho: RPTA.: B 11. Calcular el máximo número de semicírculos. A) 11 B) 10 C) 12 D) 16 E) 15 RESOLUCIÓN Aplicando 2Dn, tenemos 2 (2) (4) = 16 RPTA.: D 12. Calcular el máximo número de triángulos. A) 21 B) 19 C) 20 D) 22 E) 24 RESOLUCIÓN Dividiendo en dos sectores; tenemos: Al unirlos se generan adicionalmente: 3 Total: 24 RPTA.: E 13. Calcular el máximo número de triángulos que contengan al menos un símbolo (*) A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12 RESOLUCIÓN Con 1 * : 6 2 * : 2 Total : 8 RPTA.: A 14. Calcular el máximo número de hexágonos. A) 40 B) 39 C) 45 D) 38 E) 37 RESOLUCIÓN Aplicando : , tenemos RPTA.: C 15. Calcular el máximo número de cuadriláteros. A) 600 B) 900 C) 588 D) 589 E) 590 RESOLUCIÓN Aplicando , tenemos RPTA.: C 16. Calcular el máximo número de triángulos. A) 170 B) 174 C) 176 D) 178 E) 180 RESOLUCIÓN Aplicando: tenemos: RPTA.: E 17. Calcular el máximo número de segmentos. A) 520 B) 530 C) 540 D) 550 E) 560 RESOLUCIÓN Horizontalmente tenemos: Verticalmente tenemos: Total: 540 RPTA.: C 18. Calcular el máximo número de cuadrados. A) 98 B) 99 C) 101 D) 91 E) 121 RESOLUCIÓN Como el número de cuadriculas es la misma en ambas dimensiones, aplicamos: ó También: 6x6+5x5+4x4+3x3+2x2+1x1=91 RPTA.: D 19. Calcular el máximo número de trapecios. A) 81 B) 82 C) 83 D) 84 E) 85 RESOLUCIÓN En cada nivel hay 3 trapecios  RPTA.: D 20. Calcular el máximo número de triángulos. A) 96 B) 97 C) 98 D) 99 E) 100 RESOLUCIÓN Además al unir los 4 bloques, tenemos: 4 x 3 =12  Total =96 RPTA.: A 21. Calcular el máximo número de semicírculos. A) 60 B) 70 C) 80 D) 90 E) 100 RESOLUCIÓN Aplicando: RPTA.: C 22. Calcular el número de cuadriláteros no cuadrados. A) 620 B) 621 C) 622 D) 623 E) 624 RESOLUCIÓN Cálculo de cuadriláteros: Cálculo de cuadrados: 6x8+5x7+4 x6+3x5+2x4+1x3=133 Cuadriláteros no cuadrados = 623 RPTA.: D 23. Calcular el máximo número de sectores circulares. A) 82 B) 85 C) 91 D) 81 E) 101 RESOLUCIÓN Analizando por separado En el “vertical”: En el “horizontal”: Total : 81 RPTA.: D 24. Calcular el máximo número de triángulos. A) 275 B) 276 C) 278 D) 290 E) 291 RESOLUCIÓN = 275 RPTA.: A 25. Calcular el máximo número de cuadrados. A) 2n + 3 B) 4n + 6 C) 6n + 4 D) 8n  2 E) 8n + 2 RESOLUCIÓN De 1 cuadricula : De 4 cuadriculas: 2n Total : RPTA.: D 26. Calcular el máximo número de triángulos. A) n(n+1) B) n³+n² + n C) D) n³+n+1 E) RESOLUCIÓN Por niveles: 1 + 3 +6 +… + RPTA.: E 27. Calcular el máximo número de cuadriláteros. A) 100 B) 110 C) 121 D) 132 E) 144 RESOLUCIÓN Considerando sólo la figura central: Tenemos: Al adicionar los otros cuadriláteros se generan Total: 144 RPTA.: E 28. Calcular el máximo número de sectores circulares. A) 80 B) 102 C) 96 D) 92 E) 108 RESOLUCIÓN Separándolos en dos partes, tenemos: Al unirlos se generan adicionalmente:  Total: 92 RPTA.: D 29. Calcular el máximo número de sectores circulares. A) 60 B) 90 C) 110 D) 120 E) 132 RESOLUCIÓN RPTA.: D 30. Las edades de dos personas coinciden con el número de triángulos y cuadriláteros que posean al menos un asterisco (*) en su interior. ¿Cuál es el promedio aritmético de las edades? A) 50 B) 48 C) 52 D) 63 E) 60 RESOLUCIÓN Con al menos uno equivale a decir: Todos – vacíos  # Triángulos = # Cuadriláteros = PA = RPTA.: A 31. ¿Cuántos cuadrados se podrán contar como máximo tal que posean al menos un corazón? A) 20 B) 21 C) 23 D) 25 E) 27 RESOLUCIÓN Al menos 1 <> todos –vacíos  40 – 19 = 21 RPTA.: B 32. En el siguiente gráfico se sabe que el número total de triángulos es de del número total de segmentos que se puede contar. Halle “n”. A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 10 RESOLUCIÓN Triángulos = [Segmentos] 17n=2n + (2n-1)n n = 8 RPTA.: D