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RAZONES Y PROPORCIONES PROBLEMAS RESUELTOS ARITMÉTICA RUBIÑOS PDF

RAZÓN
Es la comparación que se establece entre dos cantidades de una magnitud ; mediante las operaciones de sustracción o división.
Si dicha comparación se realiza por sustracción se llama Razón Aritmética , pero si se realiza mediante una división se llama razón Geométrica.




Magnitud es una propiedad que poseen todos los cuerpos, fenómenos y relaciones entre ellos, que permite que puedan ser medidos y dicha medida, representada en la cantidad, puede ser expresada mediante números sobre la base de una comparación con otro cuerpo o fenómeno que se toma como patrón. La masa, el tiempo, la longitud, el volumen, la rapidez, la temperatura, entre muchas otras, son magnitudes. No debe confundirse magnitud con cantidad. La magnitud es la propiedad, la cantidad es cuánto de eso tiene la magnitud. Por ejemplo, el tiempo es una magnitud, pero 12 horas es una cantidad. Toda medición consiste en atribuir un valor numérico cuantitativo a alguna propiedad de un cuerpo, como la longitud o el área. Estas propiedades, conocidas bajo el nombre de magnitudes físicas, pueden cuantificarse por comparación con un patrón o con partes de un patrón. Constituyen ejemplos de magnitudes físicas, la masa , la longitud , el tiempo , la densidad , la temperatura , la velocidad y la aceleración; caracterizadas por un valor fijo independiente del observador y carecen de dirección y sentido, como por ejemplo, la masa. En física clásica la masa, la energía, la temperatura o la densidad de un cuerpo son magnitudes escalares ya que contienen un valor fijo para todos los observadores. El término magnitud puede referirse a: la magnitud física, aquella propiedad de los sistemas físicos susceptible de ser medida; la magnitud matemática, una propiedad matemática relacionada con el tamaño. patron de medida : Escala o medida previamente definido y aceptado en un determinado ámbito. Medir : Decir cuántas veces se encuentra incluido el patrón de medida. PATRON DE MEDIDA : Escala o medida previamente definido y aceptado en un determinado ámbito. MEDIR : Decir cuántas veces se encuentra incluido el patrón demedida. RAZÓN Es la comparación que se establece entre dos cantidades de unamagnitud ;mediante las operaciones de sustracción o división. Si dicha comparación se realiza por sustracción se llama Razón Aritmética , pero si se realiza mediante una división se llama razón Geométrica. EJEMPLO 1 : Luis y Roxana son aficionados al atletismo. Deciden hacer una competencia y observan que cuando Luis recorre 25 m , Roxana recorre 35 metros. Basados en este ejemplo, podemos afirmar que: * Roxana recorre 10 m más que Luis. Para llegar a esta conclusión hemos efectuado una comparación por sustracción. A este tipo de comparación le llamaremos razón aritmética. 30  21 = 9 Valor de la razón aritmética Antecedente consecuente * Si nosotros efectuamos la división entre las distancias recorridas por Roxana y Luis obtendremos: 35 7 25 5 consecuente = Antecedente valor de la razón y podemos afirmar que: * La rapidez de Roxana y la de Luis están en la relación de 7 a 5. * La rapidez de Roxana es como 7 y la de Luis es como 5. * La rapidez de Roxana es 2/5 más que la de Luis. 249 EJEMPLO 2 : 300 km/h 400 km/h B A Comparando sus velocidades se puede afirma que: La velocidad de A excede a la velocidad de B en 100 km/h NOTA: A esta forma de comparar (por sustracción) llamaremos Razón Aritmética donde: •La 1ra. cantidad: 400 llamaremos Antecedente. •La 2da. cantidad: 300 llamaremos Consecuente. •El resultado: 100 llamaremos el valor de la Razón Aritmética. INTERPRETACIÓN : •La velocidad del avión A excede a la del avión B en 100 km/h. •En cada hora el avión A avanza 100 km más de lo que avanzó el avión B Al comparar las velocidades tenemos también: 400 km/ h 100 100 100 100 km/ h km/ h km/ h km/ h  < >4veces km/h 300 km/ h 100 100 100 km/ h km/ h km/ h  < > 3 veces km/h NOTA: A esta (forma de comparar (por división) llamaremos Razón Geométrica donde: •La 1ra. cantidad: 400 llamaremos Antecedente. •La 2da. cantidadd: 300 llamaremos Consecuente. •El resultado: 400 4 300 3  llamaremos el valor de la Razón Geométrica. INTERPRETACIÓN : •Las velocidades del avión A y B son entre sí como 4 es a 3 porque: 400 = 400 × 100 300 = 3 × 100 •Las velocidades de los aviones A y B están en la relación de 4 a 3 •En cada hora, por cada 4 km que avanza el avión A, el avión B avanza 3 km. CLASES DE RAZÓN I) RAZÓN ARITMÉTICA (R.A.) : Es la que se obtienemediante la sustracción y consiste en determinar en cuánto excede una de las cantidades a la otra. EJEMPLO 1: Los automóviles A y B se desplazan con velocidad de 24 m/ y 20m/s respectivamente, comparemos sus velocidades: ó é ó Valor de Raz n Aritm tica Raz n Antecedente Consecuente 24 m/s 20 m/s = 4 m/s      INTERPRETACIÓN : La velocidad del automóvil ‘‘A’’ excede en 4 m/s a la velocidad del automóvil ‘‘B’’. EJEMPLO 2: Sean los pesos de Wendy y Cecy 30 kg y 21 Kg. La razón aritmética de sus pesos es: 30 – 21 = 9 Antecedente Consecuente Valor de la R. A. * Podemos afirmar que el peso deWendy excede o es mayor en 9 kg al peso de Cecy . II) RAZÓN GEOMÉTRICA (R.G.) : Es la que se obtienemediante la división y consiste en determinar cuantas veces cada una de las cantidades contienen la unidad de referencia. EJEMPLO 1 : Los edificios M y N tienen una altura de 48 m y 36m respectivamente, comparemos sus alturas (en ese orden): Razón Geométrica Antecedente 48m 4 = Consecuente 36m 3 Valor de la razón     250 INTERPRETACIÓN : * Las alturas de los edificios M y N son entre sí como 4 es a 3, porque: * Altura de M: 4 (12 m), Donde: 12 es la unidad de referencia * Altura de N: 3(12 m) * Por cada 4 unidades de 48mhay 3 unidades de 36m. * Las alturas de los edificios My N están en la relación de 4 a 3. EJEMPLO 2: La producción de una fotocopiadora es de 4200 copias por hora y la de una impresora es de 900 hojas impresas por hora. La razón geométrica de sus producciones por hora es: Antecedente 4200 14 = Consecuente 900 3 valor de la R.G.    * Podemos afirmar que la producción de la fotocopiadora (4200=14×300) y la producción de la impresora(900=3×300) están en la relación, son entre sí o son proporcionales a 14 y 3 respectivamente. * La R.G., es más aplicable para una variedad de problemas, por ello en algunos problemas cuando sólo semenciona la razón, quedará sobreentendido que se trata de la R.G. EN GENERAL : Sean las cantidades a y b. Razón Aritmética Razón Geométrica ab k Donde: a : Antecedente b : Consecuente k : Valor de la razón Aritmética r : Valor de la razón Geométrica a =r b a=bk NOTA: Cuando se menciona solamente razón o relación se debe entender que se hace referencia a la razón geométrica. PROPORCIÓN Es la igualdad en valor numérico de dos razones de la misma clase. CLASES DE PROPORCIÓN I) PROPORCIÓN ARITMÉTICA : Es aquella que se forma al igualar a los valores numéricos de dos razones aritméticas . EJEMPLO 1: Se tiene cuatro artículos cuyos precios son: S/. 15; S/. 13 ; S/. 9 ; S/. 7 . los cuales se comparan mediante la sustracción del siguiente modo: S/.15 S/.13= S/.2 S/.15 S/.13=S/.9 S/.7 S/.9 S/.7 =S/.2        Términos Extremos Términos Medios INTERPRETACIÓN : El precio S/.15 excede al precio de S/.13 tanto como el de S/.9 excede al de S/.7 EJEMPLO 2 : Raquel Ronel Hoy 32 años 7 años 25 años Hace 24 años 7 años 17 años 8 años 32 25 = 7 24 17 = 7   32  25 = 24  17 términos medios términos extremos La diferencia de edades de 2 personas en cualquier circunstancia del tiempo son iguales . En el ejemplo , 32 excede a 25 tanto como 24 excede a 17 . EJEMPLO 3 : En el corral de Lenin hay 15 gallinas y 10 patos ; en la de Rodolfo hay 12 gallinas y 7 patos. 251 * Observamos: En el corral de Lenin hay (15 –10=5)5 gallinas más que el número de patos, en el corral de Rodolfo también hay (12 –7=5) 5 gallinas más que el número de patos . La comparación por sustracción en ambos casos son equivalentes. Igualando: 15 –10=12 –7 * A esta igualdad de 2 razones aritméticas equivalentes se denomina Proporción Aritmética. EN GENERAL: a – b = c – d Donde: a y d son los términos extremos b y c son los términos medios PROPIEDAD: [Suma de extremos]= [suma de medios] * Es decir: a + d = b + c NOTA: Convencionalmente se asumen los términos de la proporción aritmética en el orden como se presenta en el texto. 1er 2do 3ro 4to = Término Término Término Término                           TIPOS DE PROPORCIONES ARITMÉTICAS Dependiendo del valor que asumen los términos medios las proporciones aritméticas, presenta dos tipos. A) DISCRETA: Cuando los valores de los términos medios son diferentes EJEMPLO: 10 – 6 = 15 – 11 * Los términos medios 6 y 15 son diferentes ÞLa proporción aritmética es discreta. Se dice que el cuarto término 11, es la CUARTA DIFERENCIAL de 10; 6 y 15 (en ese orden) B) CONTINUA: Cuando los valores de los términos medios son iguales. EJEMPLO: 10 – 6=6 – 2 * Los términos medios tienen el mismo valor : 6 ÞLa proporción aritmética es CONTINUA. Se dice que el cuarto término 2, es la TERCERA DIFERENCIAL de 10 y 6 (en ese orden). * El término medio 6 es la media diferencial de 10 y 2. la forma práctica de cálculo es: 10+2 =6 2 EN GENERAL: Sea la proporción aritmética CONTINUA: a – b = b – c * El cuarto término ‘‘c’’ es la TERCERA DIFERENCIAL de a y b (en ese orden). * El término medio b es la MEDIA DIFERENCIAL de a y c. la equivalencia es: a+c b= 2 RESUMIENDO: II) PROPORCIÓN GEOMÉTRICA Es aquella que se forma al igualar los valores numéricos de dos razones geométricas. EJEMPLO 1: Se tiene cuatro recipientes cuyas capacidades son: 21L ; 7L ; 15L y 5L, las cuales se comparan mediante la división del siguiente modo: 21 =3 21L 5L: Términos Extremos 7 21L 15L = 15 7L 5L 7L 15L: Términos Medios =3 5        y y INTERPRETACIÓN: La capacidad de 21L es a la capacidad de 7L como la de 15L es al de 5L. EJEMPLO 2 : Volumen total= 70 litros Agua Leche 40 litros 30 litros 40 litros 252 Luego demezclados en forma homogénea se le extrae 14 litros Volumen total= 70 litros Agua Leche 3×(2) 3×(8) 4×(2) 4×(8) 14 litros 56 litros Extrae Queda Se puede observar de los volúmenes de agua y leche: 6 24 3 8 32 4 6 32 términos extremos 8 24 términos medios y y = = INTERPRETACIÓN: •6 es a 8 como 24 es a 32 •El volumen de agua y leche: en lo inicial, en lo extraído y en lo que queda en el recipiente; guardan la misma relación. EJEMPLO 3 : En la familia de Carlos que son 6 integrantes, todos los días compran 3 panes, en la familia de Jhon que son 10 integrantes se compran 5 panes, en ambas familias el reparto de los panes es en forma equitativa. Observamos: En la familia de Carlos los 3 panes deben ser distribuidas entre 6, como las partes son iguales a cada uno le corresponde 3 1 = 6 2       medio pan; en la familia de Jhon, los 5 panes deben ser distribuidos entre 10 personas, como la distribución es en partes iguales a cada uno le corresponde 5 1 = 10 2       también medio pan. Ambos casos son equivalentes. Igualando 3 5 = 6 10       . A esta igualdad de 2 razones geométricas se denomina proporción geométrica EN GENERAL: a c = b d Se lee: ‘‘a’’ es a ‘‘b’’ como ‘‘c’’ es a ‘‘d’’ Donde: a y d son los términos extremos. b y c son los términos medios. PROPIEDAD: Producto de extremos = Producto de medios * Es decir: a d = b c NOTA: Convencionalmente se asumen los términos de la proporción en el orden como se presentan en los enunciados: (1er. Término) (3er. Término) = (2do. Término) (4to. Término) CLASES DE PROPORCIÓN GEOMÉTRICA A) DISCRETA: Cuando los términos medios son diferentes. EJEMPLO: 8 10 = 4 5 * Los términos medios 4 y 10 son diferentes * La proporción geométrica es discreta. Se dice que el cuarto término 5 es la cuarta proporcional de 8; 4 y 10 (en ese orden) EN GENERAL: Sea la proporción geométrica discreta: a c = b d En la cual b  c , el cuarto término ‘‘d’’ es la Cuarta proporcional de a ; b y c (en ese orden) B) CONTINUA: Cuando los términos medios son iguales. EJEMPLO: 8 4 = 4 2 Los términos medios tienen el mismo valor: 4 La proporción geométrica es continua. Se dice que el cuarto término 2 es la tercera proporcional de 8 y 4 (en ese orden). El término medio 4 es la media proporcional de 8 y 2. Su forma práctica de cálculo es: (8)(2)=4 EN GENERAL: Sea la proporción geométrica CONTINUA: a b = b c El cuarto término ‘‘c’’ es la tercera proporcional de 253 a y b. El término medio ‘‘b’’ es la media proporcional de a y c. la equivalencia es: b= ac RESUMIENDO: EJEMPLO: TÉRMINOS Extremo Medios Extremo 1er. 2do 3er. 4to Proporción Aritmética 1510=127 15 10 12 7 Proporción Geométrica 3 6 5 10 3 = 5 6 10 REPASANDO: × d × Proporción Proporción Aritmética Geométrica a c a b= c d = b d a + d = c + b a = b c suma de suma de producto de producto de términos = términos términos = términos medios extremos extremos me                                 dios           Donde: •a y c son antecedentes. •b y d son consecuentes. •a y d son términos extremos. •b y c son términos medios. Además: 1er término 2do término 3er término 4to término a b c d Una proporción dependiendo de sus términos medios puede ser: Discreta: Cuando los valores de los términos medios son diferentes: 2522 = 18 15 15 es la cuarta diferencial de 25 ; 22 y 18 Lenin 25 años Erika 22 años Dany 18 años Taty 15 años 3 18 6 9 9 es la cuarta proporcional de 6 ; 18 y 3 6 3 18 9 Continua: Cuando los valores de los términosmedios son iguales. Gabriel 13 años jheny 9 años Ronel 5 años 13 9 = 9 5 Media diferencial de 13 y 9 Tercera diferencial de 13 y 9 9=13+5 2 a b = b c Media diferencial de a y c b= a+c 2 40 20 80 80 40 20 = 40 Media proporcional de 80 y 20 Tercera proporcional de 80 y 40 40= 80  20 a b bc = Media proporcional: de a y c b= a c Proporción geométrica continua Proporción aritmética continua 254 PROPIEDAD DE LA PROPORCIÓN GEOMÉTRICA Al efectuar las operaciones de adición y/o sustracción con los términos de una razón en la proporción, estas mismas operaciones se verifican con los términos de la otra razón. EJEMPLOS: Si: ó ó ó 4 6 4+8 6+12 4+8 6+12 = = = 8 12 8 12 4 6 8 4 12 6 8+4 12+6 = = 8 12 8 4 12 6 12 18 12 18 4 6 12 18 = ; = ; = ; = 8 12 4 6 8 12 4 6 144=144 ; 72=72 ; 48=48 ; 72=72      6+2 15+5 3+1 = = 2 5 1 6 15 6+2 15+5 3+1 = =3 = = 2 5 6 2 15 5 3 1 6 2 15 5 3 1 = = 6 15 3           EN GENERAL: Si: Se cumple lo siguiente a c a+b c+d a b c d a b c d = = = = b d b d b d a+b c+d      SERIE DE RAZONES GEOMÉTRICAS EQUIVALENTES (SRGE) Es la igualdad de dos o más razones geométricas que tienen el mismo valor. EJEMPLO 1: 12 1 4 1 25 1 20 1 = ; = ; = ; = 24 2 8 2 50 2 40 2 * Igualando: Serie de razones Valor de Razón 12 4 25 20 1 = = = = 24 8 50 40 2   EJEMPLO 2 : En algunas oportunidades nos encontramos con razones geométricas que resultan de comparar distintos pares de números que generan elmismo valor , por ejemplo: Comparamos el número de bolsas de arroz y su costo. ARROZ ARROZ ARROZ ARROZ ARROZ ARROZ ARROZ ARROZ ARROZ S/.3 S/.3 S/.3 S/.3 S/.3 S/.3 S/.3 S/.3 S/.3 12 =3 4 9 =3 3 6 =3 2  La razón geométrica entre el costo y el número de bolsas de arroz siempre es 3, igualando tenemos: 6 9 12 = = =3 2 3 4 A esta igualdad llamaremos serie de razones geométricas equivalentes (SRGE). Donde: 6 ; 9 y 12 son los antecedentes. 2 ; 3 y 4 son los consecuentes. 3 es la constante de proporcionalidad. EJEMPLO 3 : Sean: 9 12 15 21 =3 ; =3 ; =3 ; =3 3 4 5 7 * Igualando: Constante de proporcionalidad Consecuentes Antecedentes 9 12 15 21 3 4 5 7 =3 * Se cumple en la serie: 4 3 9+12+15+21 9+15+21 I) * =3 * =3 3+4+5+7 3+5+7 Suma de antecedentes constante = Suma de consecuentes de proporcionalidad 9 12 15 21 9 15 21 II) * =3 * =3 3 4 5 7 3 5 7 Producto de antecedentes                 n constante = Producto de consecuentes de proporcionalidad       n: número de razones que se multiplican en la serie EJEMPLO 4 : Si: A=3k A B C D B=5k = = = =k C=9k 3 5 9 10 D=10k      Se lee: A, B, C, y D, están en la misma relación que están los números 3 ; 5 ; 9 y 10. Antecedente=Consecuente constante de proporcionalidad 12 15 21 33 * = = = = 3 4 5 7 11        255 12+15+21+33 12 15+21+33 =3 =3 4+5+7+11 4 5+7+11 suma de antecedentes =K suma de consecuentes     3 4 12 15 21 =3 3 4 5 7 12 15 21 33 =3 4 4 5 7 11                   Tres razones que se multiplican Cuatro razones que se multiplican Producto de antecedentes n =K Producto de consecuentes Donde n es número de razones que se multiplican. OBSERVACIÓN: La serie de la forma a b c d = = = b c d e , se denomina serie de 4 razones geométricas equivalentes continuas. EJEMPLO : En las siguientes series de razones geométricas: 8 12 18 81 54 36 24 * = = * = = = 12 18 27 54 36 24 16 Se observa que primer consecuente es igual al segundo antecedente, el segundo consecuente igual al tercer antecedente y así sucesivamente. A este tipo de serie se le denomina: serie de razones geométricas continuas equivalentes. En general: A B C D = = = =k B C D E , también 4 3 2 3 2 nk nk nk nk = = = =k nk nk nk n Es una serie de razones equivalentes continuas. EN GENERAL: 1 2 3 n 1 2 3 n 1 2 3 n 1 2 3 n a a a a = k ; = k ; = k ; ......... ; = k b b b b a a a a = = = ........= = k b b b b  Serie de ‘‘n’’ razones geométricas equivalentes Donde: a1 , a2 , a3 ,….., an: Antecedentes b1 , b2 , b3 ,…..., bn: Consecuentes k: Constante de proporcionalidad o valor de la razón. PROPIEDADES: 1) En toda serie de razones geométricas equivalen tes se cumple que: ‘‘la razón geométrica entre la suma de sus antecedentes y la suma de sus consecuentes posee un valor igual a la constante de proporcionalidad de dicha serie’’ Es decir: 1 2 3 n 1 2 3 n a +a +a +...+a = k b +b +b +...+b ó Suma de antecedentes razón = Suma de consecuentes varía       2) En toda serie de razones geométricas equivalentes, se cumple que ‘‘la razón geométrica entre el producto de los antecedentes y el producto de los consecuentes posee un valor igual al constante de proporcionalidad elevada a un exponente igual al número de razones que conforman la serie’’. Es decir: 1 2 3 n n 1 2 3 n n a a a ... a = k b b b ... b Producto de antecedentes =(razón ) Producto de consecuentes         Donde: n: Indica el número de razones que se están multiplicando. REPASANDO :
PROBLEMA 1:
Las edades de Juan y Rocío están en relación de 5 a
9 y la suma de ellas es 84. ¿Qué edad tiene Juan?
A) 20 años B) 30 C) 40 D) 45 E) 60
PROBLEMA 2:
Calcular la cuarta diferencial de los precios de tres
artículos que son S/.50, S/.34 y S/.29.
A) 12 B) 21 C) 13 D) 18 E) 17
PROBLEMA 3:
Calcule la cuarta proporcional de las estaturas de 3
estudiantes y que son: 1,6 m; 1,2m y 1,4m.
A) 1 B) 2,03 C) 2,01 D) 1,05 E) 3
PROBLEMA 6:
Tres números son entre sí como 4 ; 7 y 11, y la suma
del menor con el mayor de dichos números es 105.
Determinar el menor de estos números.
A) 49 B) 14 C) 24 D) 30 E) 28
PROBLEMA 11:
En una proporción geométrica se sabe que el
producto de extremos es 600. Si los términos medios
son consecutivos. ¿Cuál es la suma de los términos
medios?
A) 94 B) 49 C) 24 D) 25 E) 78
PROBLEMA 17:
El producto de los cuatro términos de una
proporción geométrica continua es 20 736. Si la
razón de la proporción es menor que 1 y la suma de
los extremos es 30, determinar el segundo extremo.
A) 12 B) 20 C) 28 D) 32 E) 24
PROBLEMA 14:
La relación entre el número de pasajeros de dos
micros es de 7 a 5; si bajan 4 pasajeros de uno y
suben al otro, se iguala el número de pasajeros en
ambos , ¿cuántos pasajeros llevan entre ambos?
A) 54 B)36 C)72 D)60 E) 48
PROBLEMA 24 :
Para envasar 15000 litros de aceite se dispone de
botellas de 1/2 litro, 1 litro y 5 litros. Por cada
botella de 5 litros, hay 10 de un litro y 20 de medio
litro. Al terminar de envasar el aceite, no sobra
ninguna botella vacía. ¿Cuántas botellas había en
total ?.
A) 18000 B) 27000 C) 18600
D) 30000 E) 240
PROBLEMA 28 :
Un asunto fue sometido a votación de 600 personas
y se perdió; habiendo votado de nuevo las mismas
personas sobre el mismo asunto, fue ganado el caso
por el doble de votos por el que se había perdido la
primera vez, y la nueva mayoría fue con respecto a
la anterior como 8 es a 7. ¿Cuántas personas
cambiaron de opinión?.
A) 100 B) 110 C) 120 D) 140 E) 150
PROBLEMA 42 :
En tres razones geométrtcas iguales y continuas,
cuyos términos y la razón son enteros positivos. Se
sabe que la media aritmética, de lamedia geométrica
de los términos de la segunda razón y la media
geométrica de los consecuentes extremos es 810.
Determinar la serie de razones.
RESOLUCIÓN: