NUMEROS COMPLEJOS EJERCICIOS RESUELTOS PARA PREUNIVERSITARIOS PDF
NÚMEROS COMPLEJOS Se llama número complejo a todo par ordenado (a;b) de componentes reales, tales que la primera componente representa la parte real y la segunda componente la parte imaginaria. NOTACIÓN : z=(a;b); donde : a;b * Al número ‘‘a’’ se le llama parte real de ‘‘z’’: e(z)= a *Al número ‘‘b’’ se le llama parte imaginaria de ‘‘z’’: m(z)=b EJEMPLO: e(z)= 2 z=(2; 3 ) m(z)= 3
CONJUNTO DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS
El conjunto de todos los números complejos está denotado por: =(x; y)/x ; y en el cual se definen las operaciones de adición, multiplicación y una relación de igualdad, así:
ADICIÓN ENTRE NÚMEROS COMPLEJOS Para hallar la suma entre dos números complejos, se sumarán las partes reales y también las partes imaginarias. Así: * Sean: z1 =(a;b); z2 =(x; y) ,a;b; x; y * Entonces: z1+z2 =(a+ x; b+ y)
MULTIPLICACIÓN ENTRE NÚMEROS COMPLEJOS Para hallar el producto de multiplicar 2 números complejos, para la parte real semultiplicarán las partes realesmenos el producto de las partes imaginarias. Y para la parte imaginaria se multiplicará la primera parte real con la segunda parte imaginaria aumentado en el producto demultiplicar la primera parte imaginaria con la segunda parte real. Así: * Sean 1 2 1 2 1 2 z ; z : z =(a;b) z =(c;d), entonces : z ×z =(ac bd;ad+bc) * Además: m(a;b)=(ma;mb) EJEMPLO: Si: z1 =(3 ; 5) y z2 =(1;7) * Entonces: 1 2 1 2 z +z =(3+( 1); 5+7)=(2;12) z z = 3 1 5 7 ; 3 7 + 5 1 =( 3 35 ; 21 5)=( 38;16) ( )
OBSERVACIÓN : * Sobre se verifica la ley conmutativa,asociativa, distributiva , del elemento neutro , inverso respecto a la adición ymultiplicación. * Al sumar dos números complejos el resultado es un número complejo , porque la suma de reales es un real. Es decir, la adición en es cerrada o la adición en es una operación binaria o la adición 213 en cumple la propiedad clausurativa. *Al multiplicar dos números complejos el producto es un número complejo , porque el producto y la suma de reales es un real. Es decir , la multiplicación en es cerrada o la multiplicación en es una operación binaria o la multiplicación en cumple la propiedad clausurativa.
RELACIÓN DE IGUALDAD Dos números complejos son iguales , si y sólo si sus partes reales y sus partes imaginarias son iguales respectivamente. Así: * Sean z1 ; z2 : z1 =(a;b) z2 =(c; d), entonces : z1 = z2 si y sólo si a= c b= d DEFINICIONES: I) Dado z : z=(a;b) z es el complejo real m( z) 0, luego z (a; 0 ) *Además convendremos en escribir (a;0) a, esto por la similitud que se da al efectuar las operaciones anteriormente definidas. II) Dado z : z=(a; b) z es imaginario m(z) 0 III) Dado z : z=(a;b) z es imaginario puro e( z)=0, luego z=(0;b) *Además si b=1, es decir z=(0;1) definimos como unidad imaginaria y convendremos en asociarle la letra i tales que i=(0;1) TEOREMA: i2 =1 PRUEBA : i=(0 ;1) i2 =(0;1)×(0;1) .... Por definición de multiplicación Por convención 2 2 2 i =(0 1;0+0) i =( 1;0) i = 1 Si : i2 = 1 i= 1 TEOREMA : (0;b)= bi , b IV) Dado z : z=(a;b) z es complejo nulo e( z) m(z) 0 es decir : z=(0;0) RELACIONES DEFINIDAS EN : Dado z : z=(a; b) se define: z=(a; b); z : conjugado de z z* =(a;b); z* : opuesto de z FORMA CARTESIANA O BINÓMICA DE UN COMPLEJO El número complejo: z=(a; b); lo podemos expresar como : 1 i z=(a;b)= a(1;0)+b(0;1) z= a+bi * Si b=0 el número complejo (a+0i) se llama complejo real. * Si a=0 el número complejo (0+bi) se llama complejo imaginario puro . *Dos números complejos: z1=a+bi y z2 =c+di; son iguales si: a = c y b = d * El conjugado de un número complejo : z = a + bi es : z = a – bi * El opuesto de un número complejo : z = a + bi es: z* = a bi Con los números complejos en forma binomial se pueden establecer las mismas operaciones que se realizan con los reales (adición, sustracción , multiplicación , división, potenciaciòn , radicación, menos la relación de orden). CANTIDADES IMAGINARIAS Son aquellos números que resultan de extraer una raíz de índice par a un número r