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NÚMEROS COMPLEJOS - CONCEPTOS BÁSICOS -ÁLGEBRA RUBIÑOS PDF

Muchos conceptos en matemáticas tardaron varios años y hasta siglos en desarrollarse, desde el momento en que fueron descubiertos por primera vez, por alguna mente brillante, hasta la formalización de los mismos. El avance en el tiempo de la matemática fue un proceso lento, debido al caracter formal de esta ciencia: una de sus reglas es que cualquier objeto nuevo debe estar claramente definido para ser aceptado por toda la comunidad. Así pues, muchas ideas incompletas quedaron relegadas a la oscuridad y el olvido por no encajar en el sistema de razonamiento de la época, como fue el caso de los números complejos.

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Fue en Italia, durante el periodo del renacimiento,
cuando por vez primera los algebristas se dedican a
investigar seriamente estos números y penetran el halo
misterioso en que se hallaban envueltos desde la
antiguedad.
Los complejos aparecen inicialmente en el libro Ars
magna de Girolamo Cardano, publicado en 1545.
Pero ¿Cómo surge la idea de usar estos números?
¿Porque no aparecieron antes?
¿Quién era Cardano? Trataremos de contestar a estas
interrogantes remontándonos a los orígenes del
álgebra.
Podemos decir que los números complejos
aparecieron muy temprano en el paisaje de las
matemáticas, pero fueron ignorados
sistemáticamente, por su caracter extraño, carentes
de sentido e imposibles de representar.Aparecen entre
las soluciones de las ecuaciones cuadráticas, que
generan raíces cuadradas de números negativos.
Por ejemplo la ecuación: x2 + x + 5 = 0 no posee
soluciones reales. Si empleamos la conocida fórmula
de resolución de una ecuación de segundo grado, nos
encontraremos con la raíz cuadrada de –19: Los
matemáticos griegos, que conocían los métodos
geométricos de resolución, consideraban este tipo de
problemas irresolubles.
Es completamente incorrecto decir que la aparición
de los números complejos se debió a la imposibilidad
de resolver todas las ecuaciones cuadráticas, pues
los matemáticos de entonces simplemente no se
interesaban en ello. Lamotivación real de entenderlos,
viene de las ecuaciones cúbicas, como veremos más
adelante.
Recordemos que los griegos rechazaron el uso de los
números negativos, por la falta de un equivalente dentro
de la geometría. Para ellos, todo número representaba
la longitud de un segmento o el área de una figura plana.
La geometría era considerada entonces como el
corazón de toda la matemática y esto, por supuesto,
retardó considerablemente el desarrollo de los
sistemas numéricos.
Con el surgimiento del álgebra durante la EdadMedia,
el concepto de número se amplía, para poder
manipular las ecuaciones, desligadas ya de la influencia
dominante de la geometría. El algebrista se va amover
en un mundo pleno de libertad e imaginación donde
las ecuaciones y fórmulas serían el semillero de las
grandes ideas que darían impulso a la matemática.
Los números, de ahora en adelante, quedarían libres
de sus equivalentes geométricos.
La palabra álgebra se deriva del vocablo arabe aljabr
212
que quiere decir restaurar.
¿Qué tiene esto que ver con la matemática? Cuando
se tiene una ecuación, como por ejemplo 2x + 3 = 5
entonces quitamos y ponemos símbolos a los lados
para resolverla. Esta es la forma de operar del
algebrista. Pero no solo los algebristas operan: también
los doctores lo hacen. En lamedicina antigua el término
álgebra se usaba para designar las operaciones de
los huesos.Así pues, un algebrista era un matemático
o bien un doctor que colocaba los huesos partidos en
su sitio. Algebra es el arte de restituir a su lugar los
huesos dislocados, según el diccionario de la Real
Academia de la Lengua Española.
Debe quedar claro la necesidad de extender los
números reales a los números complejos y conocer
el álgebra básica de los números complejos.
La cuestión de resolver ecuaciones algebraicas a
llevado al hombre desde los números naturales  al
prentender resolver ecuaciones como; x+2=1, a los
números enteros donde no existe solución para
ecuaciones del tipo; 2x  3=0, a los números
racionales  que tiene limitaciones para resolver
ecuaciones como: x2  2  0, hasta llegar a los
números reales. Sin embargo sabemos que no existe
ningún número real x con la propiedad x2  1  0,
entonces se hace necesario extender el conjunto de
los números reales  , tal extensión es el conjunto de
los números complejos  .
NÚMEROS COMPLEJOS
Se llama número complejo a todo par ordenado (a;b)
de componentes reales, tales que la primera
componente representa la parte real y la segunda
componente la parte imaginaria.
NOTACIÓN :
z=(a;b); donde : a;b 
* Al número ‘‘a’’ se le llama parte real de ‘‘z’’:
 e(z)= a
*Al número ‘‘b’’ se le llama parte imaginaria de ‘‘z’’:
m(z)=b
EJEMPLO:
e(z)= 2
z=(2; 3 )
m(z)= 3

 



CONJUNTO DE LOS NÚMEROS
COMPLEJOS 
El conjunto de todos los números complejos está
denotado por:
=(x; y)/x ; y 
en el cual se definen las operaciones de adición,
multiplicación y una relación de igualdad, así:
ADICIÓN ENTRE NÚMEROS
COMPLEJOS
Para hallar la suma entre dos números complejos, se
sumarán las partes reales y también las partes
imaginarias. Así:
* Sean:
z1 =(a;b); z2 =(x; y) ,a;b; x; y 
* Entonces:
z1+z2 =(a+ x; b+ y)
MUNTIPLICACIÓN ENTRE
NÚMEROS COMPLEJOS
Para hallar el producto de multiplicar 2 números
complejos, para la parte real semultiplicarán las partes
realesmenos el producto de las partes imaginarias. Y
para la parte imaginaria se multiplicará la primera
parte real con la segunda parte imaginaria aumentado
en el producto demultiplicar la primera parte imaginaria
con la segunda parte real. Así:
* Sean
1 2 1 2
1 2
z ; z : z =(a;b) z =(c;d), entonces :
z ×z =(ac bd;ad+bc)
 


* Además: m(a;b)=(ma;mb)
EJEMPLO:
Si: z1 =(3 ; 5) y z2 =(1;7)
* Entonces:
              
1 2
1 2
z +z =(3+( 1); 5+7)=(2;12)
z z = 3 1 5 7 ; 3 7 + 5 1
=( 3 35 ; 21 5)=( 38;16)
( )

  
   
OBSERVACIÓN :
* Sobre  se verifica la ley conmutativa,asociativa,
distributiva , del elemento neutro , inverso respecto
a la adición ymultiplicación.
* Al sumar dos números complejos el resultado es
un número complejo , porque la suma de reales es
un real. Es decir, la adición en es cerrada o la
adición en  es una operación binaria o la adición
213
en  cumple la propiedad clausurativa.
*Al multiplicar dos números complejos el producto es
un número complejo , porque el producto y la suma
de reales es un real. Es decir , la multiplicación en 
es cerrada o la multiplicación en  es una operación
binaria o la multiplicación en  cumple la propiedad
clausurativa.
RELACIÓN DE IGUALDAD
Dos números complejos son iguales , si y sólo si sus
partes reales y sus partes imaginarias son iguales
respectivamente.
Así:
* Sean z1 ; z2   : z1 =(a;b)  z2 =(c; d), entonces :
z1 = z2 si y sólo si a= c  b= d
DEFINICIONES:
I) Dado z : z=(a;b)
z es el complejo real m( z)  0, luego z  (a; 0 )
*Además convendremos en escribir (a;0)  a, esto
por la similitud que se da al efectuar las operaciones
anteriormente definidas.
II) Dado z : z=(a; b)
z es imaginario  m(z)  0
III) Dado z : z=(a;b)
z es imaginario puro   e( z)=0, luego z=(0;b)
*Además si b=1, es decir z=(0;1) definimos como
unidad imaginaria y convendremos en asociarle la
letra i tales que i=(0;1)
TEOREMA: i2 =1
PRUEBA :
i=(0 ;1) i2 =(0;1)×(0;1) .... Por definición de
multiplicación Por convención
2
2
2
i =(0 1;0+0)
i =( 1;0)
i = 1
 
 
 
Si : i2 = 1 i= 1
TEOREMA :
(0;b)= bi ,  b
IV) Dado z : z=(a;b)
z es complejo nulo  e( z)  m(z)  0 es decir :
z=(0;0)
RELACIONES DEFINIDAS EN  :
Dado z : z=(a; b) se define:
z=(a;  b); z : conjugado de z
z* =(a;b); z* : opuesto de z
FORMA CARTESIANA O
BINÓMICA DE UN COMPLEJO
El número complejo: z=(a; b); lo podemos expresar
como :  
1 i
z=(a;b)= a(1;0)+b(0;1)
 z= a+bi
* Si b=0  el número complejo (a+0i) se llama
complejo real.
* Si a=0  el número complejo (0+bi) se llama
complejo imaginario puro .
*Dos números complejos: z1=a+bi y z2 =c+di;
son iguales si: a = c y b = d
* El conjugado de un número complejo :
z = a + bi es : z = a – bi
* El opuesto de un número complejo :
z = a + bi es: z* = a  bi
Con los números complejos en forma binomial se
pueden establecer las mismas operaciones que se
realizan con los reales (adición, sustracción ,
multiplicación , división, potenciaciòn , radicación,
menos la relación de orden).
CANTIDADES IMAGINARIAS
Son aquellos números que resultan de extraer una raíz
de índice par a un número real negativo.
EJEMPLOS:


i
i
* 16 = 16( 1)= 16 1= 4i
* 5 = 5( 1)= 5 1= 5i
* 100 = 100 1=10i
  
  
 
214
4 4 4
6 6 6
5
* 625 = 625 1= (1+i)
2
* 729 = 729 1= 3i
 
 
De todos estos el más importante es 1; al cual
denominaremos unidad imaginaria, cuya notación
universal es i= 1
POTENCIAS ENTERAS DE LA
UNIDAD IMAGINARIA
* Analicemos el comportamiento del número
in ;  n ; teniendo en cuenta la siguiente
definición:
i0=1 ; i1=i 1
2
3 2
4 2 2
5 4
6 4 2
7 4 3
8 4 4
9 8
10 8 2
11 8 3
12 8 4
* i =i
* i = 1
* i =i ×i= i
* i =i ×i =( 1)( 1)=1
* i =i ×i=i
* i =i ×i = 1
* i =i ×i = i
* i =i ×i =1
* i =i ×i=i
* i =i ×i = 1
* i =i ×i = i
* i =i ×i =1
 . . .


 




* De donde se aprecia que las potencias enteras de i
se repiten cada cuatro veces y sólo toman uno de los
cuatro valores i ;1 ;  i ; 1
Esto implica que la unidad imaginaria elevado a un
múltiplo de cuatro es igual a la unidad.
* Por lo tanto : i4 =1
* EN GENERAL : o
±4
i =1
PROPIEDADES:
1) i4n =1 i4n+1 =i i4n+2 =1 i4n+3 =i ; n
2 3 4n
2 2
2) i+i +i +...+i =0 ; n
3) (1+i) = 2i ; (1 i) = 2i

 

4) (1+i)4 =(1 i)4 = 4
1+i 1 i
5) =i = i
1 i 1+i
 



TEOREMA:
k k k
o o
n n
i =( 1) i ; k
(a+k) = a+k ; n
   



Cuando el exponente es un número mayor que 4 , se
le divide entre 4 y luego se sustituye con el residuo de
la división efectuada.
EJEMPLOS:
o
o o
o
o
99 4(24)+3 3 144 4(36) 4
22 4+2 -2000 4
81 4+1 -17 17 17
43 4+3
* i =i =i = i * i =i =i =1
* i =i = 1 * i =i =1
* i =i =i * i =( 1) i =( 1)i= 1
* i =i = i


  

COROLARIOS :
Sea i  1 la unidad imaginaria
2 3 4
4k 4k+1 4k+2 4k+3
n n+1 n+2 n+3
2 3 4 5 4k
I) i+i +i +i =0
II) i +i +i +i =0 ; k
III) i +i +i +i =0 ; n
IV) i+i +i +i +i +...i =0 ; k
 
 




EJEMPLOS :
2 3 4 5 1024
1 2 -3 80
* i+i +i +i +i +...+i =0
* i +i +i +...+i =0
EJERCICIO :
Calcular: 1 2 3 1999
2
1+i +i +i +...+i
1+i+i
RESOLUCIÓN :
*Como: 1=i2000 ; entonces el numerador será:
i2000 +i+i2 +i3 +...+i1999
* Ordenando :
1 2 3 4 5 6 7 8 2000
0 0
i+i+i+i +i+i+i+i +...+i
* Se observa que cada cuatro términos se obtiene cero,
luego el numerador será cero, entonces se tiene:
2
0
=0
1+i+i
215
NUMEROS COMPLEJOS
Un número complejo z es aquel que está formado por
la unión de una parte real y otra imaginaria.
Su representación es:
z = a + bi = (a; b) ; a y b
* Siendo a y b números reales , nos indica que el
complejo está formado por ‘‘a’’ unidades reales y ‘‘b’’
unidades imaginarias.
EJEMPLOS :
1 3
2 4
* z =(4; 5)= 4+5i * z =( 3 ; 6)= 3 6i
1 5 1 5
* z = ; = i * z =(0; 5)= 5i
3 2 3 2
 
       
 
PRESENTACIÓN GRÁFICA DE
UN COMPLEJO
FORMA CARTESIANA DE UN
COMPLEJO:
Todo número z escrito en su forma binómica
z= a+bi, puede representarse en su forma
cartesiana z=(a;b).
*El eje horizontal X representa las cantidades reales,
y el eje vertical Y representa las cantidades imaginarias.
b P(a; b)
a
z
X
Y
polo
Afijo
0
“A dicho plano se le
denomina plano de
Gauss”.
(eje real)
(eje imaginario)
i 1
*Donde OP

es el radio vector del complejo z=(a ;b)
CLASIFICACIÓN
I) COMPLEJOS IGUALES :
Dos complejos son iguales, si tienen iguales sus partes
reales y sus partes imaginarias. Esto es:
Si: a+bi= c+di  a= c y b= d
II) COMPLEJO REAL O PURAMENTE
REAL :
Es aquel número complejo que carece de la parte
imaginaria; es decir su parte imaginaria es cero.
NOTACIÓN:
z= x+0i  x ;  x 
EJEMPLOS:
z1 = 3 ; z2 =15 ; z3 = 11
III) COMPLEJO IMAGINARIO PURO :
Es aquel número complejo que carece de la parte real;
es decir su parte real es cero; además su parte
imaginaria es diferente de cero.
NOTACIÓN:
z=0+ yi  yi ;  y  0
EJEMPLOS:
z1 = 3i ; z2 =12i ; z3 = 5i
IV) COMPLEJO NULO :
Es aquel número complejo que presenta la parte real
e imaginaria igual al número cero; es decir las dos
componentes son nulas.
NOTACIÓN:
z=0+0i  0
EJEMPLOS:
z1 = 0+0i ; z2 =0 ; z3 = 0i
EJERCICIO:
Representar gráficamente los siguientes números
4+3i=(4; 3) 7 =(7;0)
2 4i=(2; 4) 3i=(0; 3)
5+2i=( 5; 2)
   
 
RESOLUCIÓN:
(eje real)
(–5;2)
(eje imaginario)
(4;3)
(2;–4)
(0;–3)
0 (7;0)
216
COMPLEJOS CONJUGADOS :
Son aquellos que tienen la misma parte real e
imaginaria, pero de signos contrarios sus partes
imaginarias.
Dado el conjunto z = a + bi; se define el complejo
conjugado de z, denotado por z como:
z = a  bi
EJEMPLOS:
* z=3+4i z=3 4i
* z=3 z= 3
 

OPUESTO DE UN COMPLEJO :
El opuesto de un complejo z = a + bi; es:
z* = a  bi ...................(opuesto de z)
EJEMPLOS:
*
*
*
*
* z=3+ 2i z = 3 2i
* z= 1+5i z =1 5i
* z= 5 2i z = 5+2i
* z=7 z = 7
  
  
  
 
* La representación geométrica de z= a+bi
(a  0)(b  0) de su conjugado y su opuesto :
–a
z*=–a–bi –b z=a–bi
a
b z=a+bi
(Eje real)
PROPIEDADES:
* Sean : z ; z1 ; z2 
I) z= z  z es complejo real
II) z= z
III) z=z=z* z es complejo imaginario puro
1 2 1 2
1 2 1 2
IV) z+z= 2 e(z)
V) z z= 2i m(z)
VI) z z = z z
VII) z z = z z

 


   
 
1 1
2
2 2
n n
n n
z z
VIII) = ; z (0;0)
z z
IX) z = z ; n
X) z = z ; n
     
 
 
 


OPERACIONES EN LA FORMA
BINÓMICA O CARTESIANA
Sean los números z1 = a+bi  z2 = c+di, se
definen las siguientes operaciones :
I) ADICIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS :
Dados los números complejos: z1 , z2 se tiene:
z1+z2 =(a+bi)+(c+di)
z1+z2 =(a+c)+(b+d)i
EJEMPLO:
* Dado: z1 = 3  2i ; z2 = 2+4i
* Entonces:
1 2
1 2
1 2
z +z =(3 2i)+(2+4i)
z +z =(3+ 2)+( 2+4)i
z +z = 5+ 2i

 

II) SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS
COMPLEJOS
Dados los complejos z1 , z2 entonces
1 2 1 2
1 2
1 2
z z = z +( z )
z z =(a+bi)+( c di)
z z =(a c)+(b d)i
 
   
   
EJEMPLO 1 :
* Dado : z1 = 5  7i ; z2 =7+11i
* Entonces :
1 2
1 2
1 2
z z =(5 7i) (7+11i)
z z =(5 7)+( 7 11)i
z z = 2 18i
  
    
   
EJEMPLO 2 :
* Si: z1 = 2 3  4i  z2 = 3+4i
  1 2
1 2
z z = 2 3 3 +( 4 4)i
z z = 3 8i
    
  
217
III)MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS
COMPLEJOS :
Dados los números complejos z1 , z2
se tiene 1 2
2
z z = (a+bi)(c+di)
= (ac+adi+bci+bdi )
=(ac  bd)+(bc+ad)i
 z1z2 =(ac  bd)+(bc+ad)i
EJEMPLO 1:
* Dado : z1 = 2  3i ; z2 =1+ 2i
* Entonces: z . z2 = (2 – 3i) . (1 + 2i) 1
2
1 2
1 2
1 2
z z = 2+4i 3i 6i
z z = 2+i 6( 1)
z z =8+i
   
   
 
EJEMPLO 2 :
* Si: z1=3+ 2i ; z2 = 2  5i
1 2
1 2
z ×z =(3+2i)(2 5i)
z ×z =6 15i+4i+10
 
 
* Luego : z1  z2 =16  11i
* También por propiedad :
1 2
1 2
z z =6+10+(4 15)i
z z =16 11i
  
  
IV) DIVISIÓN DE NÚMEROS
COMPLEJOS :
Sean los números complejos z1 , z2
z2  (0 ; 0) para efectuar la división 1
2
z
z habrá que
multiplicar a z1 y z2 por z2 con lo cual se obtiene:
1 2
1
2 2
2
2 2 2 2
z = a+bi , z = c+di
z a+bi (a+bi)(c di) (ac+bd)+(bc ad)i
= = =
z c+di (c+di)(c di) c +d
a+bi ac+bd bc ad
= + i
c+di c +d c +d
 



EJEMPLO 1:
* Dado: z1 = 2+3i ; z2 = 4  2i
* Entonces: 1
2
z 2+3i
=
z 4  2i
2
1
2
2
1
2
z 2+3i 4+2i 8+4i+12i+6i 8+16i 6
= × = =
z 4 2i 4+2i 16 4i 16+4
z 2+16i 2 16 1 4
= = + i= + i
z 20 20 20 10 5


 

EJEMPLO 2:
2
2 2
2 5i (2 5i)(4 3i) 8 26i+15i 7 26
= = = i
4+3i (4+3i)(4 3i) 4 +3 25 25
   
 

V) POTENCIA DE NÚMEROS
COMPLEJOS :
Emplearemos por ahora exponentes pequeños y para
ello nos apoyaremos de los productos notables.
EJEMPLO:
* Dado: z1 = 2  3i
* Entonces:
2 2
1
Binomio al cuadrado
z = (23i)
2 2 2
1
2 2
1
2
1
2
1
z = 2 2(2)(3i)+(3i)
z = 4 12i+9i
z = 4 12i 9
z = 5 12i
 
 
  
  
PROPIEDADES :
2 2
3 3
4 4
* (1+i) = 2i * (1 i) = 2i
* (1+i) = 2i(1+i) * (1 i) = 2i(1 i)
* (1+i) = 4 * (1 i) = 4
1+i 1 i
* =i * = i
1 i 1+i
 
  
  



VI) RADICACIÓN DE NÚMEROS
COMPLEJOS :
La radicación de números complejos arrojará tantas
raíces como lo indique el índice del signo radical. Es
decir:
dado: z= a+bi
* Se tiene: n a+bi = x+ yi
* Donde: ‘‘n’’ de z (n ; n  2)
EJEMPLO :
Calcular las raíces cuadradas de : 21  20i
RESOLUCIÓN:
* Aplicamos transformación de radicales en simples,
218
así:
 21- 20i
25 4=5 4( 1)=5 2i
4 25=2i 5
    
  
OBSERVACIÓN :
+ a a 2 2
a bi = i ; : = a + b
2 2
 


  donde
EJEMPLO:
20+( 12) 20 ( 12)
12 16i = i = 2 4i
2 2
  
   
MÓDULO O VALOR ABSOLUTO
DE UN COMPLEJO
Dado: z  a  bi; el módulo o valor absoluto de z es
un número real no negativo denotado por z tal que:
b (a; b) = a + bi
a
Afijo de z
Eje real
z
Eje imaginario
z = a2 +b2
Geométricamente, el módulo nos representa la
magnitud del radio vector del complejo z de origen (0;
0) y extremo final el afijo de z.
EJEMPLOS:
Halle el módulo de los siguientes números complejos:
I) z = 3 + 4i III) z = a
II) w = –2 + 3i IV) z = bi
RESOLUCIÓN:
2 2
2 2
I) z = (3) +(4) = 25 = 5 III) z = a
II) w = (2) +3 = 13 IV) z = b
PROPIEDADES:
De la definición demódulo se desprende las siguientes
propiedades; sean z ; z1 ; z2  entonces:
*
2
A) z 0 ; z =0 z=(0;0)
B) z = z = z
C) z = z×z
 
1 2 1 2
1 1
2
2 2
n n
n n
1 2 1 2
1 2 1 2
D) e(z) z ; m(z) z
E) z z = z z
z z
F) = ; z (0;0)
z z
G) z = z ; n
H) z = z ; n 2
I) z +z z + z
J) z z z z
 
 
 
  

  




n ;
AFIJO DE UN COMPLEJO
Es un punto del plano complejo, el cual está
determinado por un par ordenado (a; b)
a= e(z) : nos representa la parte real
b=m(z) : nos representa la parte imaginaria
EJEMPLOS:
1
2
3
4
Afijo del N mero
N mero Complejo
complejo
z =3+5i (3; 5)
z = 2 2i ( 2; 2)
z = 6+8i ( 6;8)
z =7 2i (7; 2 )
   
 
 
ú
ú
FORMA POLAR
Este sistema determina el afijo de un número complejo
mediante dos coordenadas polares, una de las
coordenadas es el radio vector ‘‘r’’ que es la distancia
del afijo (r ; ) al polo y la otra coordenada es el
argumento '' '' , llamado también ángulo polar, que está
determinado por el eje polar y el radio vector, como
muestra la gráfica adjunta .
0
r Radio vector
polo
Eje polar
(r ; q)afijo
q
RELACIÓN ENTRE LAS
COORDENADAS CARTESIANAS Y
LAS COORDENADAS POLARES
Haciendo coincidir el polo del eje polar con el origen de
coordenadas, obtenemos la gráfica del complejo.
z= a+bi ..................(En la forma cartesiana)
219
z= r ..................... (En la forma polar)
b (a; b)
a
Afijo de z
r = z
* Del gráfico:
a2 +b2 =r2 .........................(por Pitágoras)
 r= a2 +b2 ; (r  0)
 r= z
* Además :
b b
tg = = arctg
a a
a
cos = a=rcos
r
b
sen = b=rsen
r
 
 
 



* Pero : z=a+bi=rcos +(rsen )i
 z= r(cos +isen )
(Forma trigonométrica de un complejo)
* O también :
z= z (cos +isen )
* Donde :
r : Módulo del complejo z(r > 0)
 : Argumento principal del complejo z(   )
ARGUMENTO DE UN COMPLEJO
(ARG(z))
Se define:
Arg(z)= +2k ;  k
donde:  : Argumento principal de z, si: 0   < 2
NOTA :
 se puede expresar en radianes o grados
sexagesimales
ARGUMENTO PRINCIPAL DE UN
NÚMERO COMPLEJO
De todos los valores de  ; elegimos aquel que se
encuentra en el intervalo [0 ; 2 >; : es decir
0   < 2 ; a dicho  se le denomina argumento
principal.
OBSERVACIÓN
*Al argumento de z , Arg(z), también se le denomina
amplitud .
* El argumento es el ángulo generado por el radio vector
al girar en sentido antihorario desde el eje real positivo
hacia un punto cualquiera del radio vector.
EJEMPLO 1:
Sea el complejo:
z = 3 + 4i, expresarlo en su forma trigonométrica
4 (3; 4)
3 e
m
5sen37°
5cos37°
37°
5
z=3+4i
 z=5(cos37°+isen37°)
OBSERVACIÓN :
Para calcular el argumento principal de z se debe
observar en qué cuadrante se encuentra el afijo de z y
luego calculamos a partir de
b b
tg = = arctg
a a
    
 
EJEMPLO 2:
Expresar en forma polar : 8 + 6i
RESOLUCIÓN:
* Se sabe que : 8+6i= r(cos +isen )
* Calculando: ‘‘r’’ y ‘‘ ’’:
* r= 82 +62 = 64+36 r=10
b 6 3
* = arctg = arctg = arctg =37°
a 8 4
  

 
* Finalmente : 8+6i=10(cos37°+isen37°)
220
EJEMPLO 3:
Representar :
z= 1+i en la forma polar
RESOLUCIÓN:
* Representando z= 1+i en el plano complejo
m
e
–1
x
y
(–1; 1) 1
a
q
* Vemos que:
 2  2 r= 1 + 1 = 2
1
=180° ; donde tg = =1
1
= 45°
=180° 45°=135
  





 
* Con lo cual: z=1+i= 2 135°
EJEMPLO 4 :
Exprese en la forma cartesiana el número complejo
z= 2 120°
RESOLUCIÓN:
* Teniendo en cuenta que:
z= r  = rcos +irsen
* Se tendrá que : z= 2cos120°+i2sen120°
* Reduciendo al primer cuadrante :
z= 2cos60°+i2sen60°
1 3
z= 2 +i2
2 2
z= 1+i 3

         
   
 
FORMAS DE REPRESENTACIÓN
DE UN NÚMERO COMPLEJO
El número complejo z=a+bi se puede representar
en las siguientes formas:
1) FORMA CARTESIANA : z=a+bi
2) FORMA TRIGONOMÉTRICA :
z=rcos +irsen
3) FORMA POLAR (FASORIAL) :
z= r  = r(cos +isen )
4) FORMA EXPONENCIAL :
z=rei =r(cos +isen )
5) FORMA SINTÉTICA :
z=rcis( )=r(cos +isen )
* Considerar que para todas las formas:
* r= a2 +b2 = z : módulo del complejo.
*
b
= arctg
a
 : Argumento del complejo.
180°    180°
FORMA EXPONENCIAL DE UN
COMPLEJO
Siendo: z= r(cos +isen ) un número complejo en
su forma polar o trigonométrica, la fórmula de Euler
es :
e i = cos +isen
* Multiplicando por ‘‘r’’ :
i
z
re =r(cos+isen)
* Su forma exponencial viene dado por: z= re i
Donde:
• r= z : Módulo de z
•e : Base de los logaritmos neperianos (e = 2,71828...)
• i : Unidad Imaginaria.
• = Arg(z) :Argumento de z, expresado en radianes.
EJEMPLO 1:
Dado el número complejo: z= 3(cos10°+isen10°)
Expresarlo en su forma exponencial.
RESOLUCIÓN:
* Observamos :
•r= z = 3
•Arg(z)= =10°=
18


* Su forma exponencial es : π
i
z= 3e 18
EJEMPLO 2:
Exprese su forma exponencial: z=  3+3i
RESOLUCIÓN
* Se observa:   IIC  = 
* Pero :
3
Tg = =1 =
3 4

 

221
* Luego : 3
= , =
4 4
 
   
* Además : r= (3)2 +32  r= 3 2
* La forma exponencial de z es :
3
πi
3 2e4
IMPORTANTE :
Del teorema de Euler se tiene:
i
i
e = cos +isen .......... I
e = cos isen .......... II


 
   
* Al sumar I + II se tiene:
i i
i i e +e
e +e = 2cos cos =
2
 
   

 
* Al restar I  II se tiene:
i i
i i e e
e e = 2isen sen =
2i
 
   

 
 
EJEMPLO:
Expresar en forma binómica :
π
1+ i
z= 2e 6
RESOLUCIÓN:
π
i
z= 2e  e 6 se puede escribir
π
i
z= 2e  e 6
* Por Euler
z= 2e cos +isen
6 6
3 1
z= 2e + i = 3e+ei
2 2
   
 
 
 
  
 
Conociendo el complejo z= z ei ; podemos hallar la
representación exponencial de su conjugado sólo
reemplazando  por ( ) . z= z ei( )
REPRESENTACIÓN CIS:
Es usada para representar en forma abreviada a un
complejo en su forma polar. Así:
z = z (cos + isen )= z cis
EJEMPLO :
* z= 3(cos17°+isen17°)= 3cis17°
MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS
COMPLEJOS EN OTRAS
REPRESENTACIONES
* EN LA FORMA POLAR :
Primero se hace la transformación de la forma
cartesiana a polar ; es decir , dados:
I) z1 = a+bi= r1 1 , donde
2 2
1 1
b
r = a +b = arctg
a
 
II) z2 = c+di= r2  2 , donde
2 2
2 2
d
r = c +d = arctg
c
 
* Vemos que:
z1z2 =(r1 1 )(r2  2 )=r1r2 1+2
* El módulo del producto es igual al producto de los
módulos de los factores.
* El argumento del producto es igual a la suma de los
argumentos de los factores.
OBSERVACIÓN :
Sean los números complejos :
z= z ei ; w= w ei , se cumple:
FORMA EXPONENCIAL:
z  w= z w ei(+ )
FORMA POLAR:
z  w= z w (cos( + )+isen( + ))
REPRESENTACIÓN CIS:
z  w= z w cis( + )
REPRESENTACIÓN FASORIAL:
zw= z w  +
DIVISIÓN DE NÚMEROS
COMPLEJOS EN OTRAS
REPRESENTACIONES
* EN LA FORMA POLAR :
Primero se hace la transformación de cartesiano a
polar; es decir:
1 1 1
2 2 2
z = a+bi=r
z = c+di=r


* Entonces:
1 1 1 1
1 2
2 2 2 2
z r r
= =
z r r

 


* El módulo del cociente, es igual al cociente de los
módulos del dividendo y divisor.
* El argumento del cociente, es igual a la diferencia del
argumento del dividendo y divisor.
222
OBSERVAR :
Sean: z= z ei ; w= w ei , se cumple:
FORMA EXPONENCIAL :
z z i( )
= e
w w
 
FORMA POLAR :
z z
= (cos( )+isen( ))
w w
   
REPRESENTACIÓN CIS :
z z
= cis( )
w w
 
FORMA FASORIAL:
z z
= ( )
w w
 
* En una división de complejos, se debe tener en cuenta
lo siguiente :
a+bi
I) z= ;
c+di
es un número real, si:
a b
=
c d
a+bi
II)z= ;
c+di
es imaginario puro, si:
a b
=
d c

PROPIEDADES:
Sea: z= r(cos +isen )= rcis ; se establece:
1 2 1 2
1
1 2
2
n
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2
1) cis =1 ;
2) cis cis = cis( + )
cis
3) = cis( )
cis
4) cis( )= cos isen
5) (cis ) = cis(n ) ; n
6) cis = cis = +2k , k
+
7)cis +cis = 2cos cis
2 2
 
   

 

  
 
    
   
 
 


 
 
  
    
   
   



OPERACIONES:
Sea: z1 = r1cis1  z2 = r2cis 2
* Entonces:
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 1 1
1 2 1 2 1 2
2 2 2
z z =r r cis( + )=r r (cos( + )+isen( + ))
z r r
= cis( )= (cos( )+isen( ))
z r r
     
     
TEOREMAS:
Sea: e i = cos +isen , entonces :
1 2 1 2
i
i i ( + )i
1) e =1
2) e e = e

   
1
1 2
2
1 2
i
( )i
i
i n (n )i
i i
1 2
i
i
e
3) = e
e
4) (e ) = e
5) Si e = e = +2k , k
1
6) = e
e

 

 
 


  


 
  


n
CONCLUSIÓN:
Paramultiplicar dos números complejos en forma polar
(exponencial) multiplicamos los módulos y sumamos
los argumentos y, para dividir dos números complejos
en forma polar, dividimos los módulos y restamos los
argumentos.
EJEMPLO:
Sean:
z1 = 2(cos41°+isen41°) ; z2 = cos4°+isen4°
Calcular:
I) z1z2 II) z1÷z2
RESOLUCIÓN:
I) Como : z1 = 2cis41° y z2 = cis4°
* Luego : z1z2 =(2)(1)cis(41°+4°)
1 2
1 2
1 2
z z = 2cis45°
z z = 2(cos45°+isen45°)
z z = 2+ 2i= 2(1+i)



1
2
1
2
1
2
1 2
z 2
II) = cis(41° 4°)= 2cis37°
z 1
z
= 2(cos37°+isen37°)
z
z 4 3
= 2 +i
z 5 5
2
z ÷z = (4+i)
5


    
 

POTENCIACIÓN DE UN COMPLEJO
Para el caso de la potencia de un complejo se puede
utilizar el binomio de Newton o la fórmula de DE
MOIVRE, la cual veremos a continuación:
Dado; z = a + bi; al transformar a polar se obtiene:
z=r 
* Donde r= z = a2 +b2 ..................... ‘‘Módulo’’
223
b
=arctg ; 180° 180°.........(arg.)
a
    
 
n n n
n n
z =(r ) = r n
z = r cosn +isenn
 
 
* El módulo de la potencia es igual al módulo de la
base a la potencia deseada.
* El argumento de la potencia es igual al argumento
de la base por el exponente de la potencia.
TEOREMA DE MOIVRE
Sea el número complejo: z= z ei ; se cumple:
FORMA EXPONENCIAL : zn = z n ein
FORMA POLAR :
zn = z n (cosn +isenn )
REPRESENTACIÓN CIS:
zn = z n cis(n )
FORMA FASORIAL:
zn = z n n
n

  
EJEMPLO 1 :
Calcular : A=(4+4 3i)5
RESOLUCIÓN :
* Transformando adecuadamente :
i /3
5 iπ/3 5 5 i5π/3
5
5
1 3
4+i4 3=8 +i =8(cos +isen )=8e
2 2 3 3
(4+i4 3 ) =(8e ) = 8 e
A= 8 (cos5 /3+isen5 /3)
3
A= 8 (1/2 i )
2
  
 
 
 
 


 
EJEMPLO 2:
Calcular : B=(1+ 3i)120+(1 3i)120
RESOLUCIÓN:
* Primero:
1+ 3i= 2(cos60°+isen60°)
1 3i= 2(cos(60°)+isen(60°))=2(cos60°  isen60°)
* Luego:
120 120
120
120
B= 2 cos +isen + 2 cos isen
3 3 3 3
B= 2 cos120 +isen120
3 3
+ 2 cos120 isen120
3 3
   
 
 
                  
         
         
* Simplificando, resulta :
 B= 2120  2cos40 = 2120 ×2(1)= 2121
RADICACIÓN DE UN COMPLEJO
Para extraer la raíz de un complejo se utiliza la
fórmula de DE MOIVRE.
Dado: z= a+bi= r  , se tiene para la raíz n-ésima
n z = n r = n r  /n
* Cuya expresión genérica es:
n +360°k +360°k
z = r cos +isen
n n
    
         
* O también:
n
n
+ 2kπ + 2kπ
z = z cos +isen
n n
+2k
z = z cis ; n ; n 2
n
 
 
    
         
      
 

* Donde: k = 0; 1; 2; 3 ...... , (n – 1)Tener en cuenta:
1
0
–1
180° 360°
90°
270°
–1 1
1= cos0°+isen0°
1= cos90°+isen90°
1=cos180°+isen180°
1=cos270°+isen270°


OBSERVACIÓN :
Para todo z y todo n  1 ; existen raíces
(n – ésimas) de z
EJEMPLO 1:
Calcular las raíces cúbicas de : z= 4 3  4i
RESOLUCIÓN :
* Como :
1 1
z= 4 3 4i=8 3 i =8 cos( )+isen( )
2 2 6 6
             
   
* Entonces:
1/3
k
/6+ 2kπ /6+ 2k
w =8 cos +isen ,k=0;1; 2
3 3
       
         
* Por lo tanto :
0
1
2
w = 2(cos( /18)+isen( /18))
w = 2(cos(11 /18)+isen(11 /18))
w = 2(cos(23 /18)+isen(23 /18))
 
 
 
 
PROPIEDAD GEOMÉTRICA DE LAS
RAÍCES
Las raíces n-ésimas de z= rei se encuentran sobre
una circunferencia de radio r1/n con centro en el
224
origen y se hallan igualmente espaciadas y una de
las raíces tiene un argumento igual a
1
Arg(z).
n
* Sean: z0 ; z1 ; z2 ; z3 ; ... ; zn-1 ; las n-raíces
(n-ésimas) de z.
X
z3 z4
z5
z6
z7
z0
z1
z2
zn–1
zn–2
Y

* Del gráfico se observa: 2
=
n

  
 
 
* Luego el área del polígono regular de n lados es:
2
n z0 2 2
S= sen
2 n

 
 
 

* Donde zo es una de las raíces (n–esimal) de z
* También se cumple:
n n n n
0 1 2 n 1
0 1 2 n 1
I) z = z = z = ......= z = z
II) z +z +z +......+z =0


EJEMPLO:
Determinar las raíces cúbicas de : z= 1+i
RESOLUCIÓN:
z=1+i= 2(cos3 /4+isen3 /4)
* Entonces las raíces cúbicas de z son:
6
k
3 /4+ 2k 3 /4+2k
w = 2 cos +isen
3 3
         
           
* Luego para : k = 0; 1; 2
6
0
6
1
6
2
w = 2 cos +isen
4 4
11 11
w = 2 cos +isen
12 12
19 19
w = 2 cos +isen
12 12
 
 
 
     
           
     
           
     
           
* Gráficamente :
Y
X
z
z0
z1
z2
RAÍCES CÚBICAS DE LA UNIDAD
Resolver : x3 =1
RESOLUCIÓN:
* Como; 1= cos0°+isen0°, entonces
x=3 1=(cos0°+isen0°)1/3
* Por De Moivre; se tiene:
3 0°+360°k 0°+360°k
x= 1= cos +isen
3 3
   
   
   
* Donde : k = 0; 1; 2
* Para k = 0:
x1 = cos0°+isen0°  x1 =1
* Para k = 1:
2
2
2
x = cos120°+isen120°
x = cos60°+isen60°
1 3
x = +i
2 2
 
 
* Para k = 2 :
3
3
3
x = cos240°+isen240°
x = cos60°+isen60°
1 3
x = i
2 2
 
  
* Entonces las raíces cúbicas de la unidad real son:
conjugados
1 3 1 3
1 ; + i ; i
2 2 2 2
  

* Donde si asumimos por w al número
1 3
+ i
2 2
 
  
 
* Las raíces cúbicas de 1 son: 1, w , w2 es decir:
3
2
1
1 3
1= + i=w
2 2
1 3
i=w
2 2



 

225
PROPIEDADES DE LAS RAÍCES
CÚBICAS DE LA UNIDAD
1) Una de las raíces complejas de la raíz cúbica de la
unidad es el cuadrado de la otra.
2) La suma de las tres raíces cúbicas de la unidad es
igual a cero.
3) El producto de las raíces complejas de la raíz cúbica
de la unidad es igual a 1.
* En conclusión :
2
2 3
3
3k
2
3k+r r
a) 1+w+w =0
1
b) w w =w =1
1= w
c) w =1
w
d) w =w


     
 


4) Se observa que las tres raíces cúbicas de la unidad
tienen elmismo módulo; por lo tanto sus afijos estarán
en el borde de una circunferencia de radio igual al
módulo. En este caso el módulo es igual a la unidad.
1
Y
X
w
w2
* En la figura se observa que los afijos de 1; w; w2 son
los vértices de un triángulo equilátero.
5) w=w2
OBSERVACIÓN
* Si w1; w son las raíces n–ésimas de la unidad;
entonces w1w es también raíz n–ésima de la unidad
en particular w; w2 ; w3 ; ...Son raíces enésimas de
la unidad.
* Si wn-1  1; se dice que w es una raíz primitiva de la
unidad .
1
2 2
w = cos +isen ;
n n
 
* Existen otras raíces primitivas ; las cuales son :
k
2k 2k
w = cos +isen ;
n n
 
k < n, y k es coprimo con n
POLINOMIOS SOBRE LOS
COMPLEJOS
Un polinomio sobre el conjunto (campo) de los
números complejos tiene la forma :
n n–1
P(z)= anz +an–1z +...+a1z+a0
Donde los ai  y z toma valores complejos, n es
su grado.
* El siguiente teorema asegura que una ecuación como
P(z)=0, n  1, siempre tiene solución sobre el
campo de los complejos.
TEOREMA FUNDAMENTAL DE
ÁLGEBRA
Todo polinomio n n–1
P(z)= anz +an–1z +...+a1z+a0
sobre el campo de los complejos con n  0 , tiene
exactamente n raíces, algunas de las cuales se pueden
repetir y P(z) puede ser expresado en la forma :
P(z)= an(z  r1 )(z  r2 )...(z  rn )
EJEMPLO :
Resolver : z2 +(2i  3)z+5  i=0
RESOLUCIÓN:
b b2 4ac (2i 3) (2i 3)2 4(1)(5 i)
z= =
2a 2(1)
3 2i 15 8i
z=
2
        
   

* Como las raíces cuadradas de
15 8
15 8i=17(cos +isen ); cos = ; sen =
17 17
       
* Entonces  está en el tercer cuadrante:
17(cos /2+isen /2)
17(cos( /2+ )+isen( /2+ ))= 17(cos /2+isen /2)
 
     
* Ahora :
•cos /2= (1+cos )/2 =  1/ 17 , entonces:
cos =1/ 17
•sen /2= (1 cos )/2 =4/ 17 , entonces:
sen = 4/ 17
* Entonces : 15  8i  (1 4i)
* Luego : 3 2i+(1 4i) z= =2 3i ó z=1+i
2
  
226
GRÁFICO DE REGIONES
La parte real Re(Z), parte imaginaria Im(Z),módulo |Z|
y argumentoArg(Z) son números reales, donde Z=x+iy;
entonces se pueden relacionarmediante una igualdad
o desigualdad con otras cantidades reales y
representarlos en el plano complejo como lugares
geométricos o regiones donde se ubican los números
complejos.
EJEMPLOS:
I) Ubique todos los números complejos cuya parte real
es igual a 4.
RESOLUCIÓN:
*Los puntos pertenecientes a la recta vertical x=4
es el lugar geométrico donde se ubican todos los
números complejos cuya parte real es igual a 4.
Im(Z)
x=4
0 4 Re(Z)
En esta recta, se ubican
todos los números complejos
Z=x+yi, que satisfacen:
Re(Z)=4 ó x =4
II) Gráfique :|Z|=2
RESOLUCIÓN:
*En esta circunferencia, se ubican todos los
números complejos Z cuyo módulo es |Z|=2
OBSERVACIÓNES :
* Todos los números complejos que se ubiquen en la
región interna de la circunferencia de radio r tienen el
módulo menor que r.
Im(Z)
2+y2=4
R e(Z)
2
0
OBSERVACIÓN:
todos los números complejos que se ubiquen en la
región interna de la circunferencia de radio r tienen
el módulo menor que r .
x2+y2=r2
Re(Z)
r
0
* En la región sombreada se ubican todos los números
complejos Z que cumplen.
|Z|< r ó x2+ y2 < r2
0
r
Re(Z)
x +y =r 2 2 2
Im(Z)
*Todos los números
complejos Z, ubicados
en la parte externa de
una circunferencia de
radio r, incluyendo la
misma, tienen el
módulo mayor o igual a
r.
* En la región sombreada se ubica todos los números
complejos Z que verifican |Z|³ r ó x2 + y2 ³ r2
III) Represente todos los números complejos, tal que
su parte real sea mayor que 3.
RESOLUCIÓN :
* La región sombreada vista de la figura representa
al conjunto de todos los números complejos, donde la
parte real es mayor que 3.
=3
Im(Z)
0 3
Re(Z)
En esta región sombreada,
sin considerar la recta x=3
se ubican todos los números
complejos Z=x+yi, que
verifican Re(Z) > 3Úx>3