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FACTORIAL DE UN NÚMERO Y NÚMERO COMBINATORIO-EJERCICIOS RESUELTOS DE ÁLGEBRA PRE PDF

factorial de un número
Llamamos así al producto que resulta de multiplicar todos los números enteros y positivos consecutivamente desde la unidad hasta el número considerado inclusive ; se denota por :  n! ó  ó

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* Se lee : factorial de «n» ó «n» factorial.
 ó    ...... «2» factorial






9!= 362 880
10!=3 628 800
15!=1 307 674 368 000
20!=24 32 902 008 176 640 000
25!=15 511 210 043 330 985 984 000 000
   70!=1,19785717... × 10100
   450!= 1,73336873... × 101 000
   3 249!= 6,41233768... × 1010 000
   25 206!= 1,205703438... × 10100 000
   100 000!= 2,8242294079... × 10456 573
Por medio de la combinatoria, los factoriales intervienen en el cálculo de las probabilidades. Intervienen también en el ámbito del análisis, en particular a través del desarrollo polinomial de las funciones (fórmula de Taylor). Se generalizan a los reales con la función gamma, de gran importancia en el campo de la aritmética.

En General:


Definición:................. uno  factorial
Por convención : ..... cero  factorial
PROPIEDAD I :
* Por definición:



* Ordenando:



esta última expresión adquiere importancia cuando se trata de simplificar expresiones , un tanto complicadas que involucran el uso de factoriales ; además n! se puede desarrollar explícitamente según uno lo requiera:



Ejemplos:
*

*

*

*

*
*
*
*
PROPIEDAD Ii :



Ejemplo:



oBSERVACIÓN :


PROPIEDAD III:



Ejemplo :
*
*
observaciónes
*
*
*

 PROPIEDADES AUXILIARES
I):



Ejemplos :





II) :



Ejemplos :





III) Descomposición racional de una fracción:




Ejemplos:
Calcular la suma de la serie:



resolución:
* Descomponiendo cada una de las fracciones:




* resulta :

semifactorial, cofactorial o cuasifactorial de un número natural
La definición de cofactorial de un número  entero positivo dependerá de la naturaleza de este , es decir si el número es par o impar
* Simbología:

* Lectura : «Semifactorial del número n»
* Axiomáticamente : :



Ejemplos:
* Para números pares , se tienen :






* Para números impares , se muestran :






* También debemos observar que :


fórmulas generales del semifactorial
a) Si n es un número par :










* Por lo tanto:



Ejemplos :




b) Si «n» es un número IMPAR:


*Multiplicando y dividiendo por











* Por lo tanto :

Ejemplos:



número combinatorio
Se define como el número total de grupos que se pueden formar con «n» elementos tomados de «k» en «k», de modo que los grupos se diferencien por lo menos en un elemento.
Notación :
Se lee :
combinación de «n» elementos tomados de k en k, o simplemente combinación de n en k.
Ejemplo explicativo:
De cuántas maneras se pueden agrupar 6 elementos tomados de dos en dos. Veamos.
* Sean :



* Se obtienen :
         
En general:
se trata de agrupar «n» elementos tomados de «k» en «k». El número de maneras se obtiene a partir de la fórmula matemática:



* Donde:
n : Es el índice superior, el cual nos indica el número total de elementos.
k : Es el índice inferior, el cual nos muestra el número de elementos existentes en cada grupo.
* Aplicándolo en el ejemplo anterior:



Ejemplos:


*



*



*


*


*

regla práctica
En la definición, aplicando la descomposición general :





* Por lo tanto :




Ejemplos:
*
*
*
PROPIEDADES:
I) Combinaciones complementarias


Ejemplos:





Estamos observando que para ciertos números combinatorios, esta propiedad, nos permite reducir sus índices inferiores.

*


*


CONSECUENCIAS:



Ejemplos:
* *

II) propiedad de la igualdad


Debemos tener en cuenta, que las igualdades resultantes, son relaciones mutuamente excluyentes. Es decir, una de ellas es independiente de la otra.
Ejemplo:


Observar que las ecuaciones no forman un sistema, ya que estas igualdades son completamente independientes.
III) suma de combinatorios :


Ejemplos:




Ejercicio 1:
Calcular la suma de la serie:

Resolución:
* Sumando y restando , resulta:










Ejercicio 2:
Calcular:


Resolución:











IV) degradación de ambos índices :
                               


Ejemplos:







V)degradación del índice superior :
                         
Ejemplos:





VI) degradación del índice inferior :
                                       

Ejemplos:








PROBLEMA 1:
Si:

Calcular :


A) 2 B)3 C)1 D)20 E)4
Resolución:
* Recordemos que el factorial de un número se puede descomponer como el producto del factorial de un número menor, multiplicado por todo los consecutivos hasta el número de consideración (PROPIEDAD DEGRADATIVA)





* Luego:                

rpta: ‘‘A’’
PROBLEMA 2:
Reducir la siguiente expresión :

A)7 B)16 C)7! D)8! E) 10!
Resolución
* Dando común denominador :

* Invirtiendo :


*


* Reemplazando :


   
* Luego : R = 8!  
rpta: ‘‘d’’
PROBLEMA 3:
Simplificar :


A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10
Resolución:
* Decomponiendo convenientemente




* Cancelando 81! y 40! en la 1ra y 2da fracción respectivamente , resulta :



rpta: ‘‘A’’
PROBLEMA 4 :
Simplificar :

A) n B) n–1 C) n+3 D)n+2   E)2n
Resolución :
* Podemos expresar :



* Reemplazando en ‘‘S’’ :




* Factorizando n! en el numerador y denominador :





rpta: ‘‘d’’
PROBLEMA 5:
Simplificar:
A)      B) n–5         C)(n–2)!       D)1       E)
Resolución:
* Escribiendo convenientemente el numerador y  factorizando el denominador :











                                                                  rpta: ‘‘A’’
PROBLEMA 6:
Calcular :

A)32 B)16 C)8 D)33 E) 17
Resolución:
* Descomponiendo los factoriales en los respectivos paréntesis, hasta 31! en el primero, hasta 15! en el 2do. y hasta 7! en el tercero se obtiene:




* Simplificando los factoriales, se obtendrá:
   


* Nuevamente simplificando :

rpta: ‘‘b’’
PROBLEMA 7:

Calcular «x», en :

A) 2 B)4 C)6 D)8 E)10
Resolución:
* Factorizando el denominador :




* Cancelando (x+7)! :



* Luego :
rpta: ‘‘c’’
PROBLEMA 8:

Resolver :



A)4 B)5 C)3 D)2 E)7
Resolución:
* Tratando de  formar  x! , resulta:



           
rpta: ‘‘b’’
PROBLEMA 9 :
Si  entonces al simplificar la expresión E definida por  se obtiene:



Resolución:
* Tratemos   de    representar todo en función de (n–1)!,  así:


* Factorizando :





rpta: ‘‘b’’
PROBLEMA 10:

Simplificar :

A)x+2 B)x C)1 D)2 E) 4
Resolución:
* Degradamos :


* Reemplazando en el denominador:



* Factorizando «x!» en el denominador:






rpta: ‘‘A’’
PROBLEMA 11:
Resolver la ecuación :
A)4 B)5 C)6 D)7 E) 8
Resolución:
* Descomponiendo en función de x! ; así

* Cancelando este, se obtiene:

* Efectuando, resulta:
 

* Factorizando : (x + 3)(x – 5) = 0
* Sólo se toma :  x = 5            
rpta: ‘‘b’’
PROBLEMA 12:
Señale el equivalente de :



A) (n+2)!   B)(n+1)!    C)n2      D)n(n+1)       E)(n+1)!–1

Resolución:
* Por razonamiento inductivo se tiene:
* Para un sumando :
* Para dos sumandos :
* Para tres sumandos:
* Para «n» sumandos :


rpta: ‘‘e’’
PROBLEMA 13:

Calcular la suma de :






Resolución:
* Efectuando, se tiene como equivalente de la suma:




*Expresando cada fracción de una forma conveniente para deducir el último término, así:





* Desdoblando cada fracción:



* Resulta :

rpta: ‘‘a’’
PROBLEMA 14:
En la siguiente ecuación:



el valor de n es:

A)11 B)10 C)9 D)8 E)7
Resolución:
* Factorizando (n – 1)!, resultará:






rpta: ‘‘C’’
PROBLEMA 15 :
En la siguiente igualdad, el valor de n es:


A) 4 B) 5 C)6 D) 7 E) 8
Resolución:
* Agregando 1 , en ambos miembros:









rpta: ‘‘b’’
PROBLEMA 16 :
Hallar la suma de :




A)55 B)77 C)285 D)85 E) 385
Resolución :
* Los sumandos son de la forma :


* Simplifiquemos en general :



* Factorizamos (n+1)n!; nos quedará que :



* En nuestro caso particular nos quedará así:


Recuerde:




* En nuestro caso :

rpta: ‘‘e’’
PROBLEMA 17 :
Si , hallar el valor de «S» que consta de «n» términos siendo:





Resolución:
* Un término cualquiera de S puede escribirse:



* Transformemos dicho término:




* De aquí:



* Dando valores a «n» tenemos los términos de S.





* Sumamos:

rpta: ‘‘b’’
PROBLEMA 18:

Hallar el valor de :


A) 2 B) 1 C) 3 D)0 E)5
Resolución:
* Notamos que son complementarios.

 * Luego se cumple :

* Reemplazando en «E»;


           
rpta: ‘‘b’’
PROBLEMA 19:
Resolver la ecuación  :
A)15 B)16 C)17 D)18 E) 19
Resolución:
* Aplicando la regla práctica :


 




rpta: ‘‘c’’
PROBLEMA 20:
Calcular «x», en :

A)6 ó 8    B) 10 ó 12 C) 14 ó 7       D) 8 ó 12
Resolución:
* Se presenta dos posibilidades:





El problema tiene 2 respuestas: x =10; x =12

rpta: ‘‘b’’
PROBLEMA 21:
Calcular :



Resolución:
* El numerador se pasa a una suma por diferencia, en el denominador se aplica Legendre :






* Aplicamos la propiedad de suma:

............................... (I)
* Degradamos la parte inferior de :



* Reemplazando «I» y «II» en K:





PROBLEMA 22:
Reducir la expresión :


A)6n B)7n C)8n D)9n E) 10n
Resolución:



* Simplificando:


* n2 + 3n = x * n2 – 3n = y



* Considerando  que :

* Es decir :
* Finalmente, resulta «6n»
rpta: ‘‘a’’
PROBLEMA 23 :
Calcular «m+n», si:


A)12 ó 14   B)18 ó 12   C)20 ó 16   D)24 ó 20    E)16
Resolución:
* Descomponiendo  :
*Reemplazando y sumando combinatorios convenientemente:






* Primer caso :

* Segundo caso :

rpta: ‘‘b’’
PROBLEMA 24:
Dada  las relaciones :
Se pide la suma del valor de «n» y el menor valor de «k»
A)5 B)6 C)7 D)8 E) 9
Resolución:
* De la 1ra. ecuación :
* De la 2da. ecuación :
* Por definición:







* Tomando el menor valor: k=3, luego lo que se pide: n+k = 6+3 =9
rpta: ‘‘e’’
PROBLEMA 25:


Al simplificar , se obtiene:




Resolución:
* Por complementarios se tiene:


* Reemplazando se tiene:





* De aquí :
rpta: ‘‘d’’

PROBLEMA 26
Reducir :




Resolución:
* Transformando :

* Reemplazando y sumando de 2 en 2 se tiene:







rpta: ‘‘c’’
PROBLEMA 27 :
Efectúe :




Resolución:








rpta: ‘‘c’’
PROBLEMA 28 :
De la relación mostrada:



Calcular el valor de (m+n+p)

A)62 B)63 C)64 D)65 E) 66
Resolución:
* Expresando :
* La ecuación se puede escribir:







 *Igualando se tiene :
* Como:
*
 Por lo tanto : m+n+p =66
rpta: ‘‘e’’
PROBLEMA 29:
Calcular el valor de «p», si :



A)6 B)8 C)10 D)4 E) 14
Resolución:
* Para el numerador extraemos el factor; . En el denominador degradamos superior e inferior.




* Reemplazando se tiene:



* Ahora:  es equivalente a . Luego, degradando la parte interior en el numerador :









* Finalmente reduciendo : p = 8
rpta: ‘‘b’’
PROBLEMA 30 :
Calcular:





Resolución:
* Primero:



* Por propiedad: