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ALGORITMO DE LA DIVISIÓN ALGEBRAICA EJERCICIOS RESUELTOS ( DIVISIÓN DE POLINOMIOS ) PDF

IDENTIDAD FUNDAMENTAL DE LA DIVISIÓN :
DIVISIÓN DE POLINOMIOS
La operación de división tiene por objeto calcular dos polinomios denominados COCIENTE y RESIDUO , partiendo de dos polinomios conocidos: DIVIDENDO  y  DIVISOR.


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La división es  un  proceso en el cual, conocidos dos polinomios llamados DIVIDENDO y DIVISOR , se obtienen otros dos llamados COCIENTE y RESIDUO.
   
 Identidad fundamental de la división

*Donde:
¨ D(x) : polinomio dividendo
¨ d(x) : polinomio divisor
¨ q(x)  : polinomio cociente
¨ R(x)  : polinomio residuo.
*Además:
 °[D(x)]  ³  °[d(x)] ³ 1
 °[R(x)]  <  °[d(x)] Ú R(x) º 0
Ejemplo:
A partir de:
       

podemos afirmar que: al efectuar la división se

obtiene como cociente q(x) = x –1  y  como x+1
residuo R(x)=1;donde además se puede observar que:
GA(R) < GA(d), pues GA(R) =0  y  GA(d) = 1.
observación :
Para poder dividir dos polinomios estos deben encontrarse completos y ordenados.
Ejemplos:
Sea el polinomio: P(x) = 5x + 3 + 2x2 + x3
      P(x) = x3 + 2x2 + 5x + 3

Sea el polinomio: Q(x) = 3x3 + 5x – 1
Q(x) = 3x3 + 0x2 + 5x – 1

Sea el polinomio: J(x) = 2x – x2 + 3x4 + 5

     J(x) = 3x4+ 0x3 – x2+ 2x+ 5


ejemplo:


CLASES DE DIVISIóN
De acuerdo a su resto, se pueden clasificar en:
I) División Exacta :
Es aquella que no deja residuo o que: R(x)0. Con esto, el ALGORITMO de la DIVISION queda así:
D(x) = d(x).q(x)
Ejemplos:
Al dividir x2 – x –12 entre x +3 se obtiene:



donde: R(x)0
*Veamos a otro ejemplo :




*Es una división exacta es decir:
II) División Inexacta :
Es aquella que sí deja residuo o que:.
Ejemplo:
Al dividir x3 – 2x + 6 entre x2 + 2x –1, se obtiene:


donde:
•A partir del algoritmo, dividiendo ambos miembros entre d(x), se obtiene:


•La expresión del segundo miembro se denomina cociente completo y se denota por Q(x); es decir:


ejemplo:
 



*Es una división exacta es decir:
Observación:
Si,tenemos D(x)d(x)q(x), luego podemos decir : · d(x) es divisor de  D(x)
· d(x) es factor de D(x)
· D(x) es divisible por  d(x)
ejemplo:
El polinomio  d(x) =  x - 1 , es un factor de:
D(x) =  3x2 + 2x - 5

*pues, D(x) es divisible por d(x), es decir :






Propiedades de grados
En cualquier caso, la división de polinomios se efectúa con respecto a una sola variable. Según esto, con respecto a esa variable, se cumple que:




Ejemplo :
Si °[d(x)] = 3 , entonces el resto podría tener la forma :  R(x) = ax2 + bx + c.
 Si  a = b = c = 0 , entonces  R(x)0
 Casos que se presentan en la división de polinomios
División de monomios  :
Ejemplo:
Aplicando las leyes de los exponentes se tiene:

 para


División de un polinomio en un monomio
Para dividir un polinomio entre un monomio se divide cada uno de los términos del polinomio separadamente entre el monomio divisor  y se suma algebraicamente cada uno de estos términos. Es decir, aplicando la propiedad distributiva de la división se tiene:
               

Ejemplo:


DIVISIóN ENTRE DOS POLINOMIOS
La división de polinomios está definida para una variable tomada como referencia, a la cual se le llama variable ordenatriz.
MÉTODOS PARA DIVIDIR POLINOMIOS
Para dividir polinomios se utilizan los siguientes métodos:
• Método clásico o general
• Método de los coeficientes separados
•Método de Horner
• Método de los coeficientes indeterminados
•Regla de Ruffini
Antes de efectuar una división de polinomios, debemos observar que el dividendo y divisor sean polinomios completos y ordenados en forma descendente, con respecto a la variable ordenatriz. Si faltase algún término, ya sea en el dividendo o en el divisor, éste se completará con ‘‘0’’.
Por su facilidad en su aplicación, debemos considerar como lo más importantes  los métodos de Horner y de  Ruffini.
a) MÉTODO clásico :
se emplea para la división de polinomios de cualquier grado ,para ello se tienen en cuenta los siguientes pasos:

1)Se completa y se ordena los polinomios dividendo y divisor con respecto a una sola variable (llamada ordenatriz )  en forma  descendente, en  caso de que
falten términos,estos se completan con cero . en caso de que halla dos variables se asume a una de ellas como tal  y  las demás hacen el papel de números o constantes .

2)Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor , obteniendose  así el primer término del cociente ; luego este último se multiplica por cada uno de los términos del divisor  y el producto asi obtenido se resta del dividendo , para lo cual se le cambia de signo colocando cada  término con su semejante . en caso de que algún término de ese producto no tenga ningún término semejante en el dividendo , se escribe dicho término en el lugar que corresponde de acuerdo con la ordenación del dividendo y divisor.

3)Se baja el siguiente término del dividendo y se repite el paso anterior tantas veces hasta que el resto  sea a lo más de un grado menos que el grado del divisor (resto de grado máximo) , o en todo caso  hasta obtener cero como resto(división exacta).
ejemplo1:
Dividir p(x)=6x3–2x2–15x+8 entre q(x)=–5+2x2
resolución:
*Se ordenan y se completan los polinomios de acuerdo a la potencias de x :
 


* Se divide el primer término  del  dividendo  entre  el primer término del divisor : 6x3÷2x2=3x ; se multiplica este resultado por el divisor 2x2+0x – 5 y se resta el producto del dividendo.
   



*Se  baja el siguiente término del dividendo (+8) y se divide el primer término del dividendo parcial entre el primer término del divisor :–2x2÷2x2= –1 ; continuando el proceso hasta llegar a un residuo cuyo grado sea menor que el grado del divisor.








Luego :

cociente:  3x –1  ;  resto :  3

ejemplo 2:
Dividir:
               
Resolución:
* Efectuando, se tiene:













*Como puede observar es una división exacta, donde:
Cociente:
Residuo:

b)métodos de los coeficientes separados :
Es un procedimiento similar a la de la metodología clásica, con  la  diferencia  que  en  este caso,  sólo  se  utilizan los  coeficientes. Debemos tener  en cuenta  que  a  parte  de  la  ordenación, tanto el dividendo como el divisor deben estar completos. Caso contrario, se sustituirán con CEROS los espacios correspondientes de los términos que faltasen.
Ejemplo:


Dividir:
             
Resolución:
* Utilizando sólo los coeficientes, se tiene:











Donde:
Cociente:
Residuo:
EJERCICIO 1 :
Luego de calcular el resto en:

 ,  señale    el

coeficiente de su término lineal.
A)– 60            B)– 70            C)– 75             D)79             E)80
Resolución:
Agrupando convenientemente los factores y efectuando, se tiene que:



haciendo el cambio de variable y = x2 + 5x, se tiene:


Luego el resto es: R(x) = –75x + 60, entonces el coeficiente del término lineal es: –75
Rpta: ‘‘c’’
EJERCICIO 2 :
Halle el resto en:

A) 6-x           B) 13+2x           C) 12        D) 12x – 28
Resolución:
Por el algoritmo de la división se tiene que:
7(x – 2)7+5(x – 3)5 + 1=(x – 2)(x – 3)q(x)+ax + b
Por dato se tiene:
 Si x = 2  2a + b = – 4
 Si x = 33a + b = 8
Resolviendo el sistema se tiene: a = 12 y b = – 28
Finalmente, el resto es:  12x – 28
Rpta: ‘‘d’’
EJERCICIO 3 :
Si  al  dividir  P(x)  separadamente entre (x – 2) y
(x – 3) se obtiene el mismo residuo 5, el término principal del polinomio es 2x3 y el término independiente es 17.Determine el resto de la división: P(x)/(x –1) .
A) 6 – x           B) 13           C) 12        D) 12
Resolución:
Por el algoritmo de la división se tiene:

Para:

Luego el polinomio buscado es:
P(x) = (x – 2)(x – 3)(2x + 2) + 5 Finalmente, el resto es:

Rpta: ‘‘b’’
EJERCICIO 4 :
Al dividir un polinomio cúbico de coeficiente principal 3 entre (x2 – 9), se obtiene como residuo 6. Además, el término independiente del polinomio es –3. Luego, halle el resto de dividir el polinomio entre (x –2).
A) 6           B) 22           C) 0           D) –29           E) x+3
resolución:
Por el algoritmo de la división se tiene:
P(x) = (x – 3)(x + 3)Q(x) + 6
Usando el dato del problema se tiene:
P(x) = (x – 3)(x + 3)(3x + B) + 6
Pero:
Luego el polinomio es:
   P(x)=(x– 3)(x+3)(3x+1)+ 6
Finalmente el resto es: P(2) = –29
Rpta: ‘‘d’’
EJERCICIO 5 :
Al dividir un polinomio P(x) entre (x – 3) el residuo es 6, pero al dividir P(x) entre (x + 3) el resto es 0. Luego, halle el resto de dividir P(x)/(x2– 9).
A) 6           B) x           C) 0           D) 2–x           E) x+3
Resolución:
Por el algoritmo de la división se tiene:

Usando los datos se tiene que:


Resolviendo el sistema resulta :
Finalmente el resto es:
Rpta: ‘‘E’’
EJERCICIO 6 :
Al dividir un polinomio  entre ,se obtuvo como residuo: ,si se sabe que el resto de dividir entre es cinco veces el resto de la división de  entre , entonces el valor de  es:
A)15              B)–15              C)–6              D)–9              E)11
Resolución:
*Se tiene que:
*
* .............................(I)
...........................(II)

* Por el teorema del resto:
* En (I):

* Reemplazando:



*En (II):


*Reemplazando:



*Luego como:



*Entonces:
Rpta: ‘‘E’’
EJERCICIO 7 :
Un polinomio de tercer grado tiene el mismo valor numérico 15, para ,  y . si la suma de sus coeficientes es 3, entonces el polinomio  es:



Resolución:
*Datos:






*Entonces, por propiedad:



* Donde:  es de grado 0

* Pero

* Luego:

Rpta: ‘‘E’’
EJERCICIO 8 :
El cociente de dividir un polinomio de tercer grado
entre  es:  y el resto al dividir
dicho polinomio entre  es 1.
Averigüe el resto que se obtiene al dividirlo entre .
A)–6,5           B)–15           C)4,5           D) 3,5           E)2,5
Resolución:
* De la identidad fundamental de la división:
 

*Pero tienen como resto

* Para
* En (I):
* Piden:

Rpta: ‘‘A’’
EJERCICIO 9 :
Un polinomio se ha dividido por  y  hallándose los residuos 6 y 3 respectivamente, entonces el resto de la división es:



Resolución:



* Se pide el resto de:
* Sea , entonces:

* Para:
           
* Para:
               
* Resolviendo:
* Entonces:
Rpta: ‘‘D’’
EJERCICIO 10 :
Al dividir el polinomio  entre  el residuo es,si se divide  entre  el residuo es , entonces el residuo de la  división  es:



Resolución:
*   De:




* De donde:
* Sea  el resto de dividir:
 entre  por  el  algoritmo  de   la
división, se tiene:






* Resolviendo el sistema:
* Por lo tanto:
Rpta: ‘‘E’’
EJERCICIO 11 :
Si P es un polinomio tal que.
Determine el término independiente del cociente que se obtiene en la división (que no es exacta) del polinomio  entre
A)2              B)3              C)4              D)5                 E)6
Resolución:
* De:
* Sea  el resto y cociente de
dividir





* Resolviendo:



* luego el término independiente de ‘‘q’’, será :
   
Rpta: ‘‘B’’