Matemáticas Preguntas Resueltas PDF

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SUMATORIAS EJERCICIOS RESUELTOS DE RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PREUNIVERSITARIO EN PDF














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Se denomina serie numérica a la adición indicada de los términos de una sucesión numérica y al resultado de la adición se le llama valor de la serie Ejm: 9; 18; 27; 36; .... sucesión numérica 9 + 18 + 27 + 36 = 90 Serie numérica Valor de la serie SERIE ARITMÉTICA t1 + t2 + t3 + t4+.... + tn-1 + tn +r +r +r +r n = Número de términos S = Suma de términos tn = Último término t1 = Primer término t0 = Término anterior al primero r = Razón de la serie Ejm. 1. Hallar el valor de la siguiente serie S = 4 + 7 + 10 + 13 +.......+ 58+ 61 Solución Cada término de la serie es igual al anterior aumentado en tres; es decir que la diferencia entre dos términos consecutivos es 3; por lo tanto: r = 3  S = S = 650 SERIE GEOMETRICA t1+ t2 + t3 + t4+....+ tn-1 + tn xq xq xq xq S = Suma de términos t1 = Primer término tn= Enésimo término n = Números de términos q = Razón de la serie Ejm. 2: Calcular el valor de la siguiente serie S = 3 + 6 + 12 + 24 +.......+ 1536 Solución: Observamos que cada término de la serie es el doble del anterior, entonces: q = 2  S = ó S = 3 x Calculo de n: 1536 = 3 x 2n-1 2n-1 = 512 = 29 n -1 = 9  n = 10  S = 3 (210-1) = (1024-1) S = 3069 SERIE GEOMÉTRICA DECRECIENTE E INFINITA: (0<Q<1) El valor aproximado de “S” lo obtendremos: aplicando: t1 = Primer término q = Razón Ejm.3: Hallar el valor de “S”, si S = 32 + 16 + 8 + 4 + 2..... Solución: Observamos que cada término de la serie es la mitad del término anterior; por lo tanto: q =  S = REPRESENTACIÓN DE UNA SUMATORIA: Se lee: sumatoria de los “ai” desde i= k hasta i = n; donde “k” y “n” son los límites inferior y superior de la , e “i” se llama índice de la sumatoria PROPIEDADES 1. Nº de términos de una sumatoria Nº términos = n – k + 1 Ejemplo:  hay 25-3 + 1 2. Para sumas o diferencias de dos o más variables (ai+ bi - ci) = + - 3. La sumatoria de una constante es igual al Nº de términos por la constante 4. Una  se puede descomponer en dos o más  parciales 5. Sumatoria de una constante y una o más variables SERIES (Sumas) NOTABLES 1. Suma de los “n” primeros IN consecutivos Ejm. 4 Hallar el valor de: S = 1 + 2 + 3 + ... + 50 = 50(51)/2 = 1275 Y = = = = 14460 A = 31 + 32 + ...+89 En este caso le sumamos y restamos (1+2+3+...+30). A = (1+2+3+...+30) + 31+32+...+89 -(1+2+3+...+30) A = 2. Suma de los “n” primeros IN impares consecutivos Ejm. 5: Hallar el valor de: S = 1 + 3 + 5 + ... + 69 2n – 1 = 69; n = 35 S = 35² = 1225 P = 3 + 9 + 15 + .... + 153 = 3 (1 + 3 + 5 +...+51) P = 3 = 3 (26)² = 2028 Q = 51+53+...+139 Q = Q = 4900-325 = 4275 3. Suma de cuadrados de los “n” primeros IN consecutivos Ejm. 6: Hallar el valor de: A = 1 + 4 + 9 + 16 +...+ 361 A = 1² + 2² + 3² + 4² + ...+19² A = 19(20)(39)/6 = 2470 S = 11² + 12² + 13² + ...+24² Sumando y restando: (1² + 2² + 3² + ...+10²) S = S = 4900-385 S = 4515 4. Suma de cubos de los “n” primeros IN consecutivos: Ejm. 7: Hallar el valor de: S = 1+8+27+64+...+8000 S = 13 + 23 + 33 + ...+203 S = A = 125+216+343+...+1728 A = 53 + 63 + 73 + ... +123 A = 5. Suma de cuadrados de los “n” primeros números impares consecutivos Ejm. 8: Hallar el valor de: S = 1 + 9 + 25 + ... + 2601 S = 1² + 3² + 5² + ... + 51² 2n –1 = 51 ; n = 26  S = 26 (4 x 26² -1)/3 = 23436 6. Suma de los “n” números pares consecutivos Ejm. 9: Hallar el valor de: S = 2 + 4 + 6 + ... + 40 S = 2 x 1 + 2 x 2 + 2 x 3 +... + 2 x 40 n = 20 S = 20 (21) = 420. M = 12+14+16+...+40 M = 20 (21) – 5 (6) = 390 7. Suma de cuadrados de los “n” primeros números pares consecutivos Ejm. 10: Hallar el valor de: M = 4 + 16 + 36 + ... + 3600 M = 2² + 4² + 6² + ...+ 60² n = 30 M = x 30 (31) (61) = 37820 PROBLEMAS RESUELTOS 1. A las 8:00 am Luis y Verónica escuchan una noticia. Luis comunica esta noticia a dos de sus amigos, cada uno de los cuales lo comunica a otros dos caballeros y así sucesivamente. Verónica comunica la noticia a tres de sus amigas, cada una de las cuales lo comunica a otras tres damas y así sucesivamente. Si cada persona demora 10 minutos en comunicar la noticia a sus oyentes. ¿Cuántos caballeros y cuántas damas conocerán esta noticia a las 9 am.? Resolución Haciendo el análisis tenemos que la cantidad de personas que se enteran de la noticia a las: 8:00 8:10 8:20.... 9:00 son 1 (L)  2  4 ...... 1 (V)  3  9 ...... Como la noticia “corre” en progresión geométrica, la cantidad total de caballeros y damas que conocerán la noticia serán:   2. Determinar la suma de cifras del resultado: S = 1+3+5+11+33+55+111+333+555+.. 60 sumandos Resolución Agrupando de tres en tres, tenemos: S = S = S = (10-1) + (100-1) + (1000-1) +... S = Los términos de la serie del primer grupo aumentan geométricamente, entonces: S = S 21 cifras S = = S = 111...1090 21 cifras  Suma de cifras de “S” = 18 + 9 = 27 3. Dada la sucesión: 1,2,-3,4,5,-6,7,8,-9..... La suma de sus cien primeros términos es: Resolución Agrupándolos de tres en tres, tenemos: S = 1+2–3 + 4+5–6 + 7+8-9 + ... + 97+98–99 + 100 S = 0 + 3 + 6 + ... + 96 + 100 S = 3.1 + 3.2 + ... + 3.32 + 100 S = S = 1684 4. La suma de los 20 primeros términos de la serie: 3 + 5 +9 + 15 + ........ es: Resolución Para analizar los términos de la serie los ubicamos como una sucesión 3 ; 3 ; 5 ; 9 ; 15 ; 0 +2 +4 +6 2 + 2 +2  r = 2  la serie es cuadrática, donde el término general es de la forma: tn = an² + bn + c donde: a = b = mo–a = 0–1 b = -1 c = to  c = 3 Es decir: tn = n² - n+ 3  = = 2870 – 210 + 60 = 2720 5. Si: 0 < n <1; la suma de: 1 + 2n +3n2 +4n3 +5n4 +.... es igual a: Resolución Dándole otra forma a la serie tenemos: 1 + n + n² + n3 + n4 + ...  S1 = n + n² + n3 + n4 + ...  S2 = n² + n3 + n4 + ...  S3 = n3 + n4 + ...  S4 = n4 + ... S5 = Entonces: S = S1 + S2 + S3 + S4 + ... S = (1 + n + n² + n3 + n4 + ...) S = x = (1 – n)-2 6. En esta secuencia Fila 1: 1,2 Fila 2: 2, 3, 4, 5, 6 Fila 3: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 Fila 4: 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 : : Hallar la suma de los números de la fila 32 Resolución Proyectándonos a la fila 32, tenemos: Fila 32 : 32, 33, 34, 35, ....,126 Que al sumarlos, obtenemos: S = 32 + 33 + 34 + 35 + ... + 126 S = Fila Nº términos tn 1 x3-1 2 +0 2 2 5 +1 6 3 8 +2 10 4 11 +3 14 . . . 32 x3–1 95  32+94 = 126 7. ¿Cuál es la suma de todos los números de tres cifras que comienzan en 3 y son múltiplos de 3? Resolución S = 300 + 303 + 306 + 309 + ...+ 399 S = S = 8. Calcular: Resolución Aplicando propiedades de sumatorias, tenemos: 3 = = = n3 PROBLEMAS PARA RESOLVER EN LA CLASE 1. Hallar: E = 1x2 + 2x4 + 3x6+ ...+15x30 Rpta:............ 2. La suma de los “n” primeros números naturales consecutivos, pares consecutivos e impares consecutivos es 31n+ 6. Hallar “n”. Rpta:............ 3. Reducir: E = 1 – 4 + 9 – 16 + ... + 225 Rpta:............ 4. Hallar el valor de la siguiente serie: S = 1+2+ 5 + 10 + 17 +....+122 Rpta:............ 5. Hallar la siguiente suma: E= 1+ 1+2+2+3+4+3+5+6+...+30+59+60 90 términos Rpta......... 6. Hallar el valor de “M” si: M=1/(1x3)+1/(3x5)+1/(5x7)+....+1/(19x21) Rpta:.......... 7. En las series: A = 1 +4+9+16+....+576 B = 1+2+3+4+.......+69 C = 3 +7+11+15+....+ U Hallar el valor de “U”, para que se cumpla: A = B + C Rpta:......... 8. Mary y Mariela leen una novela de 3000 páginas; Mary lee 100 páginas diarias y Mariela lee 10 páginas en el primer día, 20 el segundo, 30 el tercero y así sucesivamente. Si ambas comienzan a leer el 1ero de mayo, ¿en qué fecha llegarán a la misma página? Rpta:............. 9. Calcular la suma de los números de la fila 30 Fila 1 1 Fila 2 3 5 Fila 3 5 7 9 Fila 4 7 9 11 13 Fila 5 9 11 13 15 17 Rpta:............ 10. Se deja caer una pelota desde una altura de 90 metros; si en cada rebote se eleva 1/3 de la altura de la cual cayó por última vez, qué distancia recorrió la pelota hasta quedar en reposo? Rpta:.............. 11. Calcular: Rpta:.............. 12. Al sumar los cincuenta últimos números múltiplos de 4, que tengan 3 cifras, se obtiene: Rpta: .............. 13. Calcular (m+n); si tanto en el numerador como en el denominador existe el mismo número de términos. Rpta: .............. 14. Hallar la suma 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ........+60 2 + 3 + 4 + 5 + ........+60 3 + 4 + 5 + ........+60 4 + 5 + ........+60 : 60 Rpta:............. SERIES 1. Calcule el valor de la serie. 6+10+14+18+……..+202 A) 5200 B) 5100 C) 5000 D) 4900 E) 4800 RESOLUCIÓN 6 + 10 + 14 + 18 +…+ 202 4 4 4 4n + 2 = 202 n = 50 RPTA.: A 2. Calcule el valor de ‘q’ en la siguiente serie: 2+4+6+8+……..+q=1640 A) 40 B) 50 C) 60 D) 70 E) 80 RESOLUCIÓN 2 + 4 + 6 + 8 + … + 2n = 1 640  q = 2(40) = 80 RPTA.: E 3. Calcule: 1+2+3+4+…..+(x+y), Si: 2 + 4 + 6 + 8 + …..+ x = 650, y además 1+3+5+7+ …. + (3y-2)=625 A) 2140 B) 2145 C) 2150 D) 2155 E) 2 278 RESOLUCIÓN  x = 50  y = 17  67 RPTA.: ? 4. Calcule la suma de los 20 primeros números triangulares, sabiendo que un número triangular es el semi producto de los números naturales tomados de dos en dos. A) 1 530 B) 1 540 C) 1 550 D) 1 560 E) 1 570 RESOLUCIÓN RPTA.: B 5. Calcule el valor de la siguiente serie: S=112+223+334+……(30 sumandos) A) 14880 B) 14960 C) 15000 D) 15100 E) 10 3850 RESOLUCIÓN (30 sumandos) RPTA.: E 6. Dada la serie geométrica decreciente, indicar el valor de la suma limite: A) B) C) D) E) RESOLUCIÓN RPTA.: B 7. Calcule el valor de la suma limite, de la siguiente serie geométrica decreciente: A) B) C) D) E) RESOLUCIÓN RPTA.: D 8. Halle el valor de la serie. A) B) C) D) E) RESOLUCIÓN RPTA.: A 9. Calcule el valor de la siguiente serie: A) 6675 B) 6645 C) 6895 D) 6915 E) 6924 RESOLUCIÓN (50 términos) 5 5 5 RPTA.: B 10. Halle el valor de la serie: A) 5120 B) 5122 C) 5130 D) 5132 E) 5140 RESOLUCIÓN RPTA.: C 11. Calcule el valor de ‘S’ A) B) C) D) E) RESOLUCIÓN RPTA.: B 12. Dado el siguiente arreglo de números: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 …………………...................….. Halle la suma de la fila 20 A) 400 B) 4100 C) 4010 D) 140 E) 8020 RESOLUCIÓN     RPTA.: B 13. Dado el siguiente arreglo numérico: 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 ……………………........... Halle la suma de la fila 15. A) 3380 B) 3390 C) 3395 D) 3380 E) 3490 RESOLUCIÓN 2 ; 10 ; 30 ; 68; ... RPTA.: B 14. Halle la suma de la serie: S=2+3+5+7+8+11+…….+62 A) 1492 B) 1575 C) 1750 D) 1842 E) 1594 RESOLUCIÓN S = 2+3+5+7+8+11 + … + 62 S1 = 2 + 5 + 8 + ...  21 términos S2 = 3 + 7 + 11 + ....  20 términos  S = 1 492 RPTA.: A 15. Si: , halle el valor de: A) 1 660 B) 2 660 C) 1 550 D) 2 550 E) 2 670 RESOLUCIÓN Para n = 10 S = 2660 RPTA.: B 16. En un trabajo de reforestación, laboran 5 personas. Cada día plantan 3 árboles más que el día anterior. El último día plantaron tantos árboles como el quíntuplo del número de días que estuvieron trabajando. ¿Cuántos árboles plantaron el segundo día, sabiendo que los plantados el primer día y el último día totalizan 143? A) 46 B) 49 C) 43 D) 40 E) 20 RESOLUCIÓN x + 3n = 5 n x = 2n x +3 + x + 3n = 143 … i 2x + 3n = 140  7n = 140n=20 Nº árboles = x+ 6= 2(20)+6 =46 RPTA.: A 17. Si la suma de los ‘n’ primeros números enteros positivos es los 7/20 de la suma de los ‘n’ siguientes, halle ‘n’. A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14 RESOLUCIÓN n = 13 RPTA.: D 18. Un comerciante ha estado ahorrando en este mes 178 soles y tiene con esto, S/ 1410 en la caja de ahorros, habiendo economizado cada mes S/ 12 más que el mes anterior. ¿Cuánto ahorro el primer mes? A) 8 B) 10 C) 12 D) 14 E) 16 RESOLUCIÓN 178 = x + 12 (n 1) 190 = x + 12n Además: RPTA.: B 19. Un tren salió de su paradero inicial con 7 pasajeros y en cada parada suben dos pasajeros más de los que hay. Si al llegar a su paradero final se contaron 574 pasajeros. ¿En cuántas estaciones se detuvo a recoger pasajeros? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 RESOLUCIÓN Nº estaciones 1º 2º 3º n .... 7 + 9 + 18 + 36 +...+( ) = 574 Subieron n = 6 RPTA.: B 20. Si S1, S2, S3, …….,S20 son la suma de los 20 primeros términos de una PA. cuyos primeros términos son iguales a uno y sus razones son 1, 3, 5, 7, …….......... , respectivamente, calcule: M= S1+S2+S3+S4+…….+S20 A) 76 400 B) 80 200 C) 4 200 D) 70 300 E) 67 400 RESOLUCIÓN = n =(3n2) (5n4) S4 = 1 + 8 + 15 + 22 + ... + 7n6=(7n6) +19n38=(19n38) M=(n+3n+5n+....+39n)  (2+4+6+...+38) M=400n  380 M = 400 M = 84000  7600 M = 76400 RPTA.: B 21. Sobre el piso se ha dibujado un polígono regular de 24 metros de lado, un atleta se para sobre uno de los vértices y recorre todo el polígono; y luego repite el proceso sucesivamente recorriendo en cada día un lado menos. Si ha recorrido en total 864 m ¿Cuántos lados tienen el polígono? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 RESOLUCIÓN 1 + 2 + 3 + .... +n = 36 n = 8 RPTA.: B 22. De la gráfica mostrada: 13 12 11 10 14 3 2 9 15 4 1 8 16 5 6 7 Una arañita comienza en 1 y pasa a 2, luego a 3 y así sucesivamente. Si la arañita ha girado a la izquierda 20 veces; determine la suma de todos los números sobre los que ha girado. A) 850 B) 745 C) 855 D) 845 E) 955 RESOLUCIÓN S = 5 + 12 + 23 + 38 + … RPTA.: D 23. En el siguiente arreglo numérico: 1 2 3 4 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 9 10 …………………………… ………………………………… Indique la suma de los términos de la fila 17. A) 1089 B) 1189 C) 989 D) 289 E) 1700 RESOLUCIÓN Suma 1 9 25 49 Fila 1 2 3 4… n Suma 1 9 25 49… (2n1)² S17 = (2  17  1)² = 33² = 1089 RPTA.: A 24. Efectuar: A) B) C) D) E) RESOLUCIÓN Multiplicando S , tenemos: n cifras RPTA.: C