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RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES EJERCICIOS RESUELTOS MATEMATICAS 2 BACHILLERATO PDF

1. Resuelve los siguientes sistemas de dos ecuaciones lineales con dos inco´gnitas utilizando el me´todo de Cramer: a) 2x 3y 7 5x 4y 14 b) 5x 2y 23 2x 4y 10 c) x 3y 15 5x y 27 d) 2x 7 3y 3 3 x 2y 21 2 5 60 2. Resuelve los siguientes sistemas de tres ecuaciones lineales con tres inco´gnitas utilizando el me´todo de Cramer: a) x 2y 3z 14 2x y 2z 10 3x 2y 5z 22 b) x y z 3 2x y z 0 3x y 2z 1 c) 2x 3y 4z 30 3x y 5z 33 x y 3z 15 3. Resuelve los siguientes sistemas aplicando el me´todo de Gauss: a) x 2y z 3 x 4y z 11 x 3y 2z 9 b) x 3y 2z 4 2x y 3z 0 x 3y 3z 7 4. Aplicando el teorema de Rouche´, estudia la compatibilidad de cada uno de los siguientes sistemas e indica las soluciones en los casos en que existan: a) 2x y 3z 14 3x y z 4 3x 2y 2z 2 b) 2x y 3z 14 3x y z 4 x y 15z 40 5. En un centro educativo se ofertan para los alumnos del segundo curso de Bachillerato las materias optativas de Tecnologı´a de la Informacio´n, France´s y Geologı´a; cada alumno debe cursar dos y solo dos de estas materias. Se sabe que en una clase, en la que hay un total de 35 alumnos, 28 estudian Tecnologı´a de la Informacio´n y 15 estudian France´s. a) Plantea un sistema de ecuaciones lineales que permita averiguar cua´ntos alumnos de ese grupo estudian Tecnologı´a de la Informacio´n y France´s, cua´ntos estudian Tecnologı´a de la Informacio´n y Geologı´a y cua´ntos estudian France´s y Geologı´a. b) Indica el nu´mero de alumnos que estudian Geologı´a. 6. Elena compro´ cuatro lapiceros y seis gomas de borrar y pago´ 1,60 euros; Javier compro´ cinco lapiceros y tres bolı´grafos y pago´ 2,45 euros, y Julio pago´ 1,30 euros por cinco gomas de borrar y dos bolı´grafos. a) Averigua el precio de cada uno de los materiales de papelerı´a mencionados. b) ¿Cua´nto debera´ pagar Ana por cinco lapiceros, cinco gomas de borrar y diez bolı´grafos? 7. a) Calcula el valor de a para que el siguiente sistema de ecuaciones lineales sea compatible indeterminado y expresa, para este valor, sus infinitas soluciones con ayuda de un para´metro. 2x 3y z 15 x 2y z 11 x z a b) ¿Existe algu´n valor real de a para el cual el sistema anterior sea compatible determinado? SOLUCIONES rango M rango M* 3 El sistema es compatible determinado. La solucio´n u´nica es: x 2, y 1, z 3 b) M M* 2 1 3 2 1 3 14 3 1 1 3 1 1 4 1 1 15 1 1 15 40 rango M 2, rango M* 3 El sistema es incompatible. 5. a) Sea x el nu´mero de alumnos que estudian Tecnologı ´a de la Informacio´n y France´s, y el nu´mero de alumnos que estudian Tecnologı´a de la Informacio ´n y Geologı´a, y z el nu´mero de alumnos que estudian France´s y Geologı´a. x 8, y 20, z 7 x y z 35 x y 28 x z 15 b) El nu´mero de alumnos que estudian Geologı´a es: y z 27 6. a) Sea x el precio de cada lapicero, y el de cada goma de borrar y z el de cada bolı´grafo. 4x 6y 1,60 x 0,25 5x 3z 2,45 y 0,10 5y 2z 1,30 z 0,40 b) Ana debe pagar: 5 · 0,25 5 · 0,10 10 · 0,40 5,75 euros 7. a) M M* 2 3 1 2 3 1 15 1 2 1 1 2 1 11 1 0 1 1 0 1 a rango M 2 El sistema es compatible indeterminado cuando el rango de M* tambie´n es 2, y para ello se debe verificar que: 0 a 3 2 3 15 1 2 11 1 0 a Las infinitas soluciones se pueden expresar de la forma: x 3 t , y 7 t , z t b) Es imposible, ya que el rango de M es siempre 2. 1. Estudia, segu´n los diferentes valores del para´metro a, la compatibilidad o incompatibilidad del siguiente sistema y resue´lvelo en los casos en que sea posible: 2x 2y 3z 6 a y z 6 3x y z 17 2y z a 2. Estudia, segu´n los diferentes valores del para´metro a, el tipo de compatibilidad del siguiente sistema homoge´neo y escribe todas sus soluciones en cada caso: 2x 3y 0 2x ay z 0 y z 0 2x 2ay z 0 3. Estudia para que´ valores de a y de b el siguiente sistema es compatible determinado: abx ay a 2z 1 bx 2y az 2 b 2x by 3abz 3 4. Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales: ax 3y z 10 x ay z 3 3x y 2z 1 y 2z 2 a) Discute el sistema segu´n los diferentes valores del para´metro a. b) Resue´lvelo para el valor a 2. 5. Dada la matriz A 4 11 5 3 8 3 3 7 2 a) Calcula los valores de tales que WA I W 0 siendo I la matriz identidad. b) Resuelve el sistema de ecuaciones lineales A · X 2X siendo X . x y z 6. Tres can˜os diferentes surten de agua a un estanque. El primero y el segundo juntos tardan 63 horas en llenarlo; el primero y el tercero juntos tardan 70 horas en realizar la misma operacio´n, mientras que el segundo y el tercero tardan 90 horas. a) Calcula el tiempo que tardara´n en llenar el estanque cada uno de los can˜os por separado. b) Calcula el tiempo que se tardarı´a en llenar el estanque si funcionan los tres can˜os a la vez. 7. Se considera el polinomio P(x ) x 3 ax 2 bx c, del cual sabemos que cumple las siguientes condiciones: i) Es divisible por x 1. ii) Si se divide dicho polinomio entre x 2, se obtiene de resto 9. iii) Si se divide dicho polinomio entre x 2, se obtiene de resto 11. Calcula el valor de los coeficientes indeterminados a, b y c. SOLUCIONES 1. M M* 2 2 3 22 3 6 a 0 1 1 0 1 1 6 3 1 1 31 1 17 0 2 1 02 1 a WM*W 2 ·(a 6) 2 2 3 6 a 0 1 1 6 3 1 1 17 0 2 1 a a 6 rango(M*) 4 rango(M) rango(M*) El sistema es incompatible. a 6 rango (M) rango (M*) 3 El sistema es compatible determinado. Resolvie´ndolo se obtiene la u´nica solucio´n: x 5, y 4, z 2 2. M 2 3 0 2 a 1 0 1 1 2 2a 1 2 0 y 2a 4 2 3 0 2 3 2 a 1 0 1 0 1 1 4a 8 2 3 0 0 1 1 2 2a 1 a 2 rango (M) 3 Sistema compatible determinado. La u´nica solucio´n es x 0, y 0, z 0 a 2 rango (M) 2 Sistema compatible indeterminado, equivalente a 2x 3y 0 y z 0 Resolvie´ndolo, se obtienen las infinitas soluciones: x 3t, y 2t, z 2t, siendo t cualquier nu´mero real. 3. ab ab a a 2 a a a b 2 a 1 2 1 b 2 b 3ab b b 3b a 2b 2 2a 2b 2 1 1 1 1 2 1 1 1 3 El sistema tiene una u´nica solucio´n, excepto para a 0 o b 0. 4. a) 3 · (a 2) · (2a 15) a 3 1 10 1 a 1 3 3 1 2 1 0 1 2 2 a 2; rango(M) rango(M*) 3 Compatible determinado. a 7,5; rango(M) rango(M*) 3 Compatible determinado. a 2 y a 7,5; rango(M) 3, rango (M*) 4 Incompatible. b) Si a 2 x 1, y 2, z 2 5. a) WA I W 4 11 5 3 8 3 3 7 2 ( 1) · (1 ) · ( 2) 0 1, 1, 2 b) Sistema compatible indeterminado, las infinitas soluciones son: x t, y t, z t 6. a) Si el primero tarda x horas, el segundo y horas y el tercero z horas, en una sola hora cada uno de ellos llenarı´a , y del estanque, respecti- 1 1 1 x y z vamente. Se plantea el sistema: 1 1 1 x y 63 1 1 1 x 105 horas y 147,5 horas x z 70 z 210 horas 1 1 1 y z 90 b) 48 horas y 28 minutos 1 1 1 1 105 157,5 210 7. P(1) 0 a b c 1 P( 2) 9 4a 2b c 1 P(2) 11 4a 2b c 3 a 1, b 1 y c 3 1. Indica, justificando la respuesta, si los siguientes pares de sistemas de ecuaciones son o no equivalentes: a) ; b) ; x y z 5 x y z 5 x 5y 3z 13 x y z 5 x y 7 x y 7 x y z 5 x y 7 2x 2y z 12 x y 1 2y z 4 2. Resuelve, si es posible, por el me´todo de Cramer el siguiente sistema de ecuaciones: x y 2z 1 2x 5y 9z 3 5x 7y 8z 4 3. Discute y resuelve por el me´todo de Gauss los siguientes sistemas de ecuaciones: a) b) x y z 0 3x y z 1 2x y z 0 x y 5z 2 x 2y z 0 4. Encuentra los valores de m que hacen que el siguiente sistema sea de Cramer: x y mz 0 x y z 0 my 3z 0 5. Resuelve el sistema: 2x 2y z 1 x y z 2 3x y 1 x 2y z 1 6. Un centro comercial tiene una oferta de detergente, cafe´ y gel de ducha. Un consumidor compra dos ecobolsas de detergente, cuatro paquetes de cafe´ y un bote de gel, y gasta 12 euros; otro compra cuatro ecobolsas de detergente, un paquete de cafe´ y dos botes de gel, gastando 18 euros; y un tercero compra una ecobolsa de detergente, dos paquetes de cafe´ y cuatro botes de gel, gastando 10 euros. Plantea un sistema de ecuaciones que permita determinar el precio de los tres productos y resue´lvelo. 1. Resuelve el sistema: x 2y z 0 x 4y 3z 2t 0 x 7y 7z 4t 0 2x 2z t 0 2. Resuelve el siguiente sistema por el me´todo de la matriz inversa: 3x y 2 2x y z 0 3y 2z 1 3. Discute y resuelve el sistema, segu´n los valores del para´metro a: x y z 3 3x 4y z 5 x y az 3 ax 2y (a 2)z a2 2 4. Discute, segu´n los valores de los para´metros a y b, el sistema y resue´lvelo en su caso: 2x y 1 x y 2z 1 3x y az b 5. Un determinado inversor dispone de un capital C que invierte en tres productos financieros a, b y c. Se desea saber cua´l es el intere´s de a, cua´l el de b y cua´l el de c, sabiendo que: — Si invierte el 15 % en a, el 50% en b y el resto en c, obtiene una rentabilidad del 5 %. — Si invierte el 30 % en a, el 45% en c y el resto en b, obtiene una rentabilidad del 5,5 %. — Si invierte exclusivamente a partes iguales en a y b, obtiene una rentabilidad del 6,5 %. Plantea el sistema de ecuaciones correspondiente y resue´lvelo. 6. Dado el sistema: x 1 11 2 y 2 0 1 3 z 1 10 2 Expre´salo en la forma matricial A X B y resue´lvelo por el me´todo de la matriz inversa.